《高等数学2》经管类期末试卷

高数b2期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。

A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3x^2答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin x) / x。

A. 1B. 0C. 2D. ∞答案：A4. 判断下列级数是否收敛。

∑(1/n^2)，n从1到∞。

A. 收敛B. 发散答案：A5. 判断函数f(x)=e^x在实数域R上的连续性。

A. 连续B. 不连续答案：A6. 求二阶偏导数f''(x,y)，其中f(x,y)=x^2y+y^2。

A. 2xyB. 2xC. 2yD. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)=______。

答案：1/(x+1)2. 计算定积分∫(0,2π) sin(x) dx=______。

答案：03. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。

答案：e4. 判断级数∑(1/n)，n从1到∞是否收敛，答案是______。

答案：发散三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。

经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。

2. 计算定积分∫(0,1) e^x dx。

答案：∫(0,1) e^x dx = [e^x](0,1) = e^1 - e^0 = e - 1。

3. 求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x。

答案：根据洛必达法则，lim(x→0) (e^x - 1) / x = lim(x→0) e^x = 1。

高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上)(本大题共5小题，每小题4分，总计20分)1、设函数，则=2、曲面在点处的切平面方程为____3、= .4、曲面积分= ，其中，为与所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧.5、幂级数的收敛域为。

二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、函数在(1,1）点沿方向的方向导数为（ )。

（A） 0 （B） 1 （C) 最小 (D）最大2、函数在处( ）.(A）不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在（C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在3、计算=（ )，其中为（按逆时针方向绕行)．（A）0 (B）（C） (D)4、设连续,且,其中D由所围成，则（ )。

（A）（B) （C） (D)5、设级数收敛，其和为，则级数收敛于( )。

（A）(B）(C）（D）三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分,总计24分)1、设函数由方程所确定，计算，。

2、计算，其中,为曲线,．3、求幂级数的和函数．三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分）1、求内接于半径为的球面的长方体的最大体积．2、计算，其中平面区域．3、计算，其中为平面被柱面所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题,每小题6分，总计12分）1、计算其中为上从点到点．2、将函数展开成的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、 2、3、 4、 5、二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、C2、A3、B4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分，共24分)1、解：方程两端同时对分别求偏导数，有，………………6分解得：.…………………………………………8分2、解:作图（略）。

原式=………………………2分.………………………8分3、解：经计算，该级数的收敛域为。

南京理工大学紫金学院课程考试答案及评分标准 课程教学大纲编号： 0610201课程名称： 经管类高等数学(下) 学 分： 5 试卷编号： A考试方式： 闭卷 组卷年月：2017年5月 组卷教师： 田露一. 填空题（每题3 分，共24分）1. 12. ycos (xy )dx +xcos(xy)dy3. 2f 1+1x f 24. 2y e z −15. (x +14)−2(y −12)+2(z −516)=06. ∫dy ∫f(x,y)dx 2−y y 107. [2,4) 8. y =1x (2x 3+x +C)二. 单项选择题（每题3 分，共12分）B BC A三． 1. S⃗ =−5i +j +5k ⃗ ………5分 所求直线方程为x−1−5=y−21=z−15. ………8分2. ∬(x 2+y 2)dς=∬ρ3dφdρ(2分)=∫dφ∫ρ3dρ(6分)=9π2√302π0D D ……8分四． 1. 先考察级数∑|(−1)n tan πn |∞n=3 的敛散性 因为lim n→∞tan πn πn =1 故由比较判别法的极限形式 ………3分级数 ∑|(−1)n tan πn |∞n=3 发散………5分再考察级数∑(−1)n ln 2n n ∞n=1 的敛散性 （1） tan πn >tan πn+1于是当n ≥3时，{tan πn }单调递减………7分（2） lim n→∞tan πn =0………9分故由莱布尼兹定理，∑(−1)n tan πn ∞n=3收敛，且条件收敛. ………10分五.V =πe −π∫(lny )2dy(2分)=πe −π[(yln 2y )|1e −2∫lnydy e1](6分)= =e 12π(8分)或V =2π∫xe x 10dx(6分)=2π ………8分 六. 特征方程r 2+r −2=0，得r 1=−2 ,r 2=1对应齐次通解 Y =C 1e −2x +C 2e x ………3分 设特解y ∗=(Ax +B)e −x ………5分 (y ∗)′=(−Ax +A −B)e −x ，(y ∗)′′=(Ax +B −2A)e −x ，代入原方程得A =12 ,B =−34特解y ∗=(12x −34)e −x ………8分 通解y =C 1e −2x +C 2e x +(12x −34)e −x . ………10分。

经管类高等数学答案【篇一：《高等数学》(经管类)期末考试试卷】class=txt>《高等数学》（经管类）期末考试试卷班级：姓名：学号：分数：1. ???0e?4xdx? 2. 已知点a(1,1,1),b(2,2,1),c(2,1,2)则?bac?3. 交换二次积分次序：?dy?0112?yf(x.y)dxxn4. 已知级数 ?n，其收敛半径r= 。

n?12?n?5. 已知二阶线性常系数齐次常微分方程的特征根为1和?2则此常微分方程是6. 差分方程2yx?1?3yx?0的通解为1. 求由x?0,x??,y?sinx,y?cosx 所围平面图形的面积。

《高等数学》（经管类）第 1 页共8页2. 求过点(2,0,且与两平面x?2y?4z?7?0,3x?5y?2z?1?平行的直线方?3)0程。

3.求x y??00 《高等数学》（经管类）第 2 页共8页4. 设可微函数z?z(x,y)由函数方程 x?z?yf(x2?z2) 确定，其中f有连续导数，求?z。

?x?z?2z5. 设 z?f(xy,xy),f具有二阶连续偏导数，求 ,2。

?x?x22《高等数学》（经管类）第 3 页共8页6. 计算二重积分???x2?y2d?，其中d为圆域x2?y2?9。

d7. 求函数 f(x,y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的极值。

《高等数学》（经管类）第 4 页共8页n221. 判断级数 ?nsinnx 的敛散性。

n?12?2. 将f(x)?x展开成x的幂级数，并写出展开式的成立区间。

x2?x?2《高等数学》（经管类）第 5 页共8页【篇二：高等数学经管类第一册习题答案】1.1 --1.1.3函数、函数的性质、初等函数一、选择题1.c;2.d;3.d 二、填空题1.x?5x?11;2. 1;3. ?0,1?2三、计算下列函数的定义域。

1. ???,2???3,???;2. ???,0???3,???;3. ?2,3???3,???;4. ?0,1?四、(1)y?u2,u?sinv,v?lnx.(2) y?u2,u?lnt,t?arctanv,v?2x.?sinx?1,x?1?五、 f?x???sinx?1,0?x?1??sinx?3,x?0?1.2.1 数列的极限一、选择题1.c;2.d;3.d 二、填空题1.111;2. ;3. 22311三、计算下列极限1. . 2. . 3. 1.4.231.2.2 函数的极限?2???. 5. 10 ?3?4一、选择题1.c;2.d;3.d 二、填空题1. a?4,b??2;2. 1;3.三、计算下列极限1. 2. 2. 6 . 3. 2x.4.1. 5. 1 33?;3. ;4. 05?1.2.3---1.2.5 无穷小与无穷大;极限的运算法则和极限存在准则；两个重要极限一、选择题1.ab;2.c;3. c 二、填空题1. ?1;2.?3?6三、计算下列极限1. e. 2. ?? . 3. e.4.?2??6205. e21.2.5--1.2.6 两个重要极限；无穷小的比较一、选择题1.c;2.b;3.a二、填空题1.1;2. k?0;3. 高. 21?1?22三、计算下列极限1. 1. 2. . 3. e.4. e2. 5. e41.3.1 函数的连续性与间断点一、选择题1.b;2.c;3.a 二、填空题1. x?0,?1;2. 三、求下列函数的不连续点并判别间断点的类型。

《高等数学（二）》期末考试试卷考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟一、选择题（单选题，每题4分，共28分）1、0lim =∞→n n u 是∑∞=1n n u 收敛的（ B ）A ．充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件2、若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列命题（ B ）正确（其中∑==ni i n u s 1）A ．0lim =∞→s n n B. s n n lim ∞→存在C. s n n lim ∞→ 可能不存在 D. {}为单调数列s n 3、设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤ ,2,1(=n ）则下列命题正确的是（ C ）A ．若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 B. 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 发散C.若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散D.若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛4、下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．1)1(1+-∑∞=n n n nB. n n n 1)1(1∑∞=-C. 211)1(n n n ∑∞=-D. n n n ∑∞=-1)1( 5、幂级数∑∞=-12)2(n nn x 的收敛区间为（ B ） A.（1,3） B.[]3,1 C.[)3,1 D.(]3,16、幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛半径为（ C ）A. 0B. 1C. +∞D. 37、点A （-3,1,2）与B （1，-2,4）间的距离是（ A ） A. 29 B. 23 C. 29 D. 23二、填空题（每题4分，共16分）1、球心在点（1，-2,3），半径为3的球面方程为 9)3()2()1(222=-+++-z y x2、方程0222222=-+-++z x z y x 表示的图形是圆心在（1,0，-1），半径为2的球面. .3、二元函数229y x z --=的定义域是{}9:),(22≤+y x y x4、y x y x y x F --=22),(，则)3,1(F = 5 . 5、幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径为是 1 .三、计算题1、求函数的一阶偏导数（1）)ln(222y x x z += （2）xy e u =223222)ln(2y x x y x x x z +++=∂∂ xy ye xu =∂∂ 2222y x y x y z +=∂∂ xy xe yu =∂∂2、求函数32y x z =，当01.0,02.0,1,2-=∆=∆-==y x y x 的全微分32xy xz =∂∂ 223y x y z =∂∂ 2.0)1,2()1,2(-=∆-+∆-=y f x f dy y x3，y x z 2)31(+=，求x z ∂∂，yz ∂∂ 216(13)y z y x x-∂=+∂)31ln()31(22x x yz y ++=∂∂4、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定的一个隐函数，求dxdy 0).2(.cos 2='+-+'y xy y e y y x 22cos x e y y xy y-'=-5、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值（1）x f x 24-= y f y 24--=（2）令0,0==y x f f 得：2,2-==y x（3）2,0,2-==-=yy xy xx f f f 故2,0,2-==-=C B A 0,02<<-A AC B 有极大值.8)2,2(f =-=极大y6、计算积分⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由3,x y x y ==在第一象限内所围成.161103==⎰⎰⎰⎰D x x ydy xdx xydxdy四、应用题1、建造容积为V 的开顶长方形水池，长、宽、高各应为多少时，才能使表面积最小？（10分） 长为32v x = 宽32v y = 高3221v z =2、把正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个数.（7分） 3a z y x ===。

2024级本科高等数学（二）期末试题与解答A（本科、经管类）一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．到两点(1,1,0)A -和(2,0,2)B -距离相等的点的轨迹为（ C ）.A ．230x y z ---=；B ．230x y z +-+=；C ．230x y z +--=；D ．230x y z ++-=．2．微分方程2x y y y e x '''-+=+的非齐次特解形式可令为（ A ）.A ．2x Ax e Bx C ++；B ．x Ae BxC ++；C ．2()x Ae x Bx C ++；D ．x Axe Bx C ++．3．函数22(,)(4)(6)f x y y y x x =--的驻点个数为（ B ）.A.9；B. 5；C. 3；D. 1.4．设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 中在第一象限的部分，则积分⎰⎰+Dd y x y x σ)sin cos (33＝（ D ）.A.σd y x D ⎰⎰1sin cos 23；B.⎰⎰132D yd x σ；C.⎰⎰+1)sin cos (433D d y x y x σ； D.0.5．下列级数中，绝对收敛的级数为( C ). A. 111(1)n n n ∞-=-∑；B. 1(1)n n ∞-=-∑； C.111(1)3n n n ∞-=-∑；D. 11(1)n n ∞-=-∑ . 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．函数22(,)arcsin()ln f x y x y =+-的连续域为221(,)12x y x y ⎧⎫<+≤⎨⎬⎩⎭． 7．2211(),lim(2)n n n n x y a a d πσ∞→∞=+≤-+=∑⎰⎰设级数收敛则3π ．8．设ln(ln )z x y =+，则1z z y x y ∂∂-=∂∂ 0 ． 9．交换420(,)dy f x y dx ⎰积分次序得2200(,)x dx f x y dy ⎰⎰ ．10．投资某产品的固定成本为36（万元），且成本对产量x 的改变率（即边际成本）为()240C x x '=+（万元/百台），则产量由4（百台）增至6（百台）时总成本的增值为100万元． 三、试解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11．求解微分方程2xy y y '-=满意初始条件11x y==的特解. 解：分别变量得d d (1)y x y y x=+ （2分） 两端积分得lnln ln 1y x C y =++，即1y Cx y =+ （5分） 由11x y ==，得12C =故所求通解为 21y x y =+或2x y x=- （8分） 12．设()y x z z ,=由方程3=-+z xy e z所确定，求221x y z zx ===∂∂及221x y z z y ===∂∂.解：令3),,(--+=z xy e z y x F z ，则y F x =，x F y =，1-=z z e F （4分） 所以ze y x z -=∂∂1，z e x y z -=∂∂1221x y z zx ===∂=∂，221x y z z y ===∂=∂. （8分） 13．(,),,.x y y z z z f e f x x y-∂∂=∂∂且可微求， 解：122x y z y e f f x x -∂''=-∂ （4分） 121x y z e f f y x-∂''=-+∂ （8分） 14．设(,)sin()f x y x x y =+，求(,)22xx f ππ，(,)22yy f ππ. 解：sin()cos()x f x y x x y =+++，cos()y f x x y =+ （2分） 2cos()sin()xx f x y x x y =+-+ （4分）sin()yy f x x y =-+ （6分） (,)222xx f ππ=-，(,)022yy f ππ= （8分） 15．求幂级数1n n nx ∞=∑的收敛区间与和函数.解：收敛半径为1R =，收敛区间为(1,1)- （2分）111n n n n nxx nx ∞∞-===∑∑，令11()n n S x nx ∞-==∑,则 （4分） 10011()()1xx n n n n x S x dx nx dx x x ∞∞-=====-∑∑⎰⎰ （6分） 所以在(1,1)-内201()(())()1(1)x n n x x nx xS x x S x dx x x x ∞=''====--∑⎰ （8分） 16．dxdy e I Dy ⎰⎰=2，其中D 是第一象限中由直线x y =与曲线3x y =所围成的闭区域. 解：22310y y y y D I e dxdy dy e dx ==⎰⎰⎰⎰ （3分）2130()y y y e dy =-⎰ （5分） 112e =- （8分）四、试解下列各题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17．某种产品的生产原料由,A B 构成，现投入原料,A B 各,x y 单位，可生产出产品的数量为20.01z x y =.,A B 原料的单价分别为10元和20元，欲用3000元购买原料，问两种原料各购买多少单位时，使生产数量最大？解：目标函数：20.01z x y =，约束条件： 1020300x y +=设2(,,)0.01(1020300)F x y x y x y λλ=++- （2分） 20.021000.0120010203000x y F xy F x x y λλ=+=⎧⎪=+=⎨⎪+-=⎩（4分） 消去λ解得：200,50x y ==当A 原料购买200单位，B 原料购买50单位时，生产数量最大.（6分）18．由抛物线21(0)y x x =-≥及x 轴与y 轴所围成的平面图形被另一抛物线2(0)y kx x =≥分成面积相等的两部分，试确定k 的值．解：两抛物线的交点为)1k P k+，则2210)A x kx dx =--=（2分） 而12112022(1)3A A A x dx =+=-=⎰ （4分）所以23= 解得3k =． （6分） 五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19．证明级数2211ln 1sin 7n n n n π∞=⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑发散. 证明：记221ln 1sin 7nn u n n π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是 221lim lim ln 1lim sin 17n nn n n n u n π→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故级数发散. （5分） 20．设(,)z z x y =由方程222()z x y z yf y ++=所确定，其中f 可导. 试证：222()22z z x y z xy xz x y∂∂--+=∂∂ 证明：令222(,,)()z F x y z x y z yf y=++-，则 2x F x =，2()()y z z z F y f f y y y '=-+，2()z z F z f y'=- （2分） 从而22()z x z x z f y∂=-∂'-，2()()2()z z z y f f z y y y z y z f y '-+∂=-∂'- （4分） 所以2222222()2(2()())()22()z z z x x y z xy y f f z z y y y x y z xy z x y z f y'--+-+∂∂--+=-∂∂'- 2xz = （5分）。

2011级本科高等数学（二）期末试题及解答A（少学时、经管类）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. [少学时]设直线方程为000:x x y y z z L m n p---==, 平面方程为:0Ax By Cz D π+++=, 若直线与平面平行或直线在平面上,则 ( A ).(A) 充要条件是:0Am Bn Cp ++=； (B) 充要条件是:A B Cm n p==； (C) 充分但不必要条件是: 0Am Bn Cp ++=； (D) 充分但不必要条件是:A B C m n p==. [经管类]已知()y x f ,在()b a ,处偏导数存在，则()(),,limh f a h b f a h b h→+--=（ A ）.(A) ()b a f x ,2' ； (B) ()b a f x ,2' ； (C) ()b a f x ,' ； (D) 0 . 2．设(,)z z x y =是由方程z x y z e ++=所确定的隐函数, 则zx∂=∂ ( C ). (A)11z e -； (B) 21z e -； (C) 11ze--； (D)1ze -. 3．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极小值为 ( B ). (A) 1 ； (B) 1-； (C) 0； (D) 3-.4．下列说法正确的是 ( D ).(A) 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑必收敛；(B) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则必有lim 0n n u →∞≠；(C) 若级数1n n u ∞=∑发散, 则lim n n S →∞=∞；(D) 若lim 0n n u →∞≠, 则级数1n n u ∞=∑必发散.5．设(,)f x y 具有一阶连续偏导数,且(1,1)2f =,(,)x f m n m n =+,(,)y f m n m n =⋅,令()(,(,))g x f x f x x =，则(1)g '=( C ).(A) 3 ； (B) 6 ； (C) 9 ； (D) 12 .二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.[少学时]设(1,3,2)a =，(2,,4)b y = ，且a b ⊥ ，则y =103-.[经管类]级数)21)1(1(1n n n n -+∑∞=的和为 0 .7.函数221(,,)u x y z z x y=-- 的间断点是22{(,,)}x y z z x y =+. 8.设函数22z x y y =+, 则dz =22(2)xydx x y dy ++. 9.微分方程0ydx xdy +=的通解是xy C = . 10.【少学时】曲线sin (0)2y x x π=≤≤与2x π=及0y =所围的平面图形绕y 轴旋转所成旋转体的体积为2π .【经管类】曲线x y e =与0x =、1x =及0y =所围的平面图形绕y 轴旋转所成旋转体的体积为2π .三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 11．求极限2011cos()lim1x yx y xy e→→--．解：2011cos()lim 1x y x y xy e →→--22011()2lim x y xy x y →→= （4分） 01lim2x y y →→=12=． （8分） 12．设2(,)tan()2x y f x y xy e =-，求(0,1)x f ，(0,1)y f ． 解：22sec ()4x yx f y xy xye=- （3分）222sec ()2x y y f x xy x e =- （6分） (0,1)1x f =，(0,1)0y f =． （8分）13.设223(,,)u x y z xy y z x z =++，求)1,1,1(du ．解：223x u y x z =+，22y u xy yz =+，23z u y x =+ （3分）(1,1,1)4x u =，(1,1,1)4y u =，(1,1,1)2z u = （5分） (1,1,1)442du dx dy dz =++ ． （8分）14.设(,)z f u v =而,u y v xy ==,且f 具有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂.解: '.zy f x∂=⋅∂2 （4分） ()'''''z f y f f x x y∂=++⋅∂∂222122'''''.f yf xyf =++22122 （8分）15.判别正项级数122n n n ∞=+∑的敛散性. 解: lim lim n n n n n n u n u n ++→∞→∞⎛⎫+=⋅ ⎪+⎝⎭113222 （3分） lim .()n n n →∞+==<+311222（6分） 所以原级数收敛. （8分） 16.计算二重积分22xy De d σ+⎰⎰,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域.解:x y Ded d ed πρσθρρ+=⋅⎰⎰⎰⎰2222200 （4分）().e d e e ρρπρππ⎡⎤===-⎣⎦⎰222224001212（8分）四、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17.[少学时]设一平面经过原点及点(6,3,2)M -且与平面428x y z -+=垂直, 求此平面方程.解: 所求平面的法向量(,,),(,,)n n OM ⊥-⊥=-412632. （2分）则 (,,)(,,)(,,)-⨯-=-412632446.取 (,,)n =-223. （4分）故所求平面方程为: x y z+-=2230. （6分）[经管类]求差分方程153x x y y +-=07()3y =的特解.解：因5,3a C ==，故通解为3514x x x C y Aa A a =+=-+⋅- （2分） 又03743y A =-+=，则3712A = （4分）故所求特解为3375412x x y=-+⋅ . （6分） 18.设幂级数 11n n nx ∞-=∑.(1). 求收敛半径及收敛区间 . (2). 求和函数.解: (1). lim lim .n n n na n a n ρ+→∞→∞+===111所以收敛半径.R =1 （1分）当x=1时,n n ∞=∑1发散;当x =-1时,()n n n ∞-=-∑111 发散.所以收敛区间为: (,)-11. （2分） (2). 设和函数为: ()n n S x nx ∞-==∑11. （3分）()xxx n n n n S x dx nx dx nx dx ∞∞--==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰1100011.x n nn n x x x x ∞∞==⎡⎤===⎣⎦-∑∑1101 （4分）故 '().().()x S x x x x ⎛⎫==-<< ⎪--⎝⎭211111（6分）五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19.)(t f 为连续函数，求证11123001()()3x dx x f y dy t f t dt =⎰⎰⎰.证明：111220()()yxdx x f y dy dy x f y dx =⎰⎰⎰⎰ （2分）13001()3yf y x dy =⎰ （4分） 11330011()()33f y y dy t f t dt ==⎰⎰. （5分） 20.设110,0,(1,2,)n n n n n n a b a b n a b ++>>≤= ，且级数1n n b ∞=∑收敛，证明级数1n n a ∞=∑收敛.证明：由已知110,0,(1,2,)n n n n n na b a b n a b ++>>≤= 得： 1111n n n n a a ab b b ++≤≤≤ （2分） 于是 11n n a a b b ≤，1,2,n = （4分） 又级数1n n b ∞=∑收敛，所以级数1n n a ∞=∑收敛. （5分）。