九年级数学反证法预学案

29.2.1《反证法》学案（二)【学习目标】1.结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2.了解反证法的思考过程、特点;3.会用反证法证明问题.【重难点】重点：反证法的证明步骤难点：运用反证法证题【学习过程】一、自主学习完成下面假设结论的反面：1.“是”的反面是2. “有”的反面是3.“等”的反面是4.“成立”的反面是5.“有限”的反面是【注意】：1.“都是”的反面是不都是，即“至少有一个不是”(不是“都不是”)2.“都有”的反面是即“”(不是“”)3.“都不是”的反面是即“”(不是“”)4.“都没有”的反面是即“”(不是“”)5.“至少有一个”的反面是 ,“至多有一个”的反面是。

6.“至少有n个”的反面是 ,“至多有n个”的反面是。

7.“对所有x成立”的反面是 ,“对任意x不成立”的反面是。

二、课堂研讨1.求证：在三角形中，至多有一个角是钝角。

（写出已知、求证）已知：求证：证明：2.求证;在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等。

（写出已知、求证和证明过程）三、练习检测1.如果一个梯形同一底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗？请证明你的猜想。

2.求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行。

3.一组对边相等，一组对角相等的四边形是不是一定是平行四边形？如果一定是，请给出证明，如果不一定是请举出反例。

4.试用反证法证明圆的切线的判定方法;经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（即与圆只有一个交点----切点）四、小结与作业习题29.2第3，4题。

Ｐ82教学反思：。

反证法(1)反证法的定义是什么？有什么特点？(2)利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？1．反证法的定义及证题的关键[点睛]对反证法概念的理解(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”．(2)反证法属“间接解题方法”．2．“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法．(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．用反证法证明否定性命题[典例] 直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．当点B 在W 上且不是W 的顶点时，求证：四边形OABC 不可能为菱形．[证明] 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2， 设AC 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0， 所以直线OB 的斜率为－14k. 因为k ·⎝⎛⎭⎪⎫－14k≠－1， 所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾． 所以四边形OABC 不可能是菱形．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤用反证法证明“至多”“至少”问题，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)＜0，(a －1)2－4a 2＜0，(2a )2＋4×2a ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，⇒－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．[一题多变]1．[变条件，变设问]将本例改为：已知下列三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围．解：若方程没有一个有实根，则⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4(3－4a )＜0，(a －1)2－4a 2＜0，4a 2＋8a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，即－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.故三个方程至少有一个方程有实根，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞)．2．[变条件，变设问]将本例条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a 的取值范围．解：假设三个方程都有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)≥0，(a －1)2－4a 2≥0，(2a )2＋4×2a ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4a －3≥0，3a 2＋2a －1≤0，a 2＋2a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－32或a ≥12，－1≤a ≤13，a ≤－2或a ≥0.即a ∈∅.所以实数a 的取值范围为实数R.3．[变条件，变设问]已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0. ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴(a ＋b )(c ＋d )＝1， ∴ac ＋bd ＋bc ＋ad ＝1.而ac ＋bd ＋bc ＋ad ＞ac ＋bd ＞1，与上式矛盾， ∴假设不成立，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．用反证法证明唯一性命题[典例] 设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a .证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．[证明]因为a>1，所以f(0)＝1－a<0，f(ln a)＝(1＋ln2a)e ln a－a＝a ln2a>0，所以f(0)·f(ln a)<0，由零点存在性定理可知f(x)在(0，ln a)内存在零点．假设至少有2个零点，则f(x)在(－∞，＋∞)上不单调．由已知得f′(x)＝(1＋x2)′e x＋(1＋x2)(e x)′＝(1＋x)2e x≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，矛盾，∴假设不成立，则f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．。

2.2.2反证法学案（含答案）2.2.2反证法反证法学习目标1. 了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题知识点反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的他们都问王戎“你怎么知道李子是苦的呢”王戎说“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”思考1本故事中王戎运用了什么论证思想答案运用了反证法思想思考2反证法解题的实质是什么答案否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确梳理1反证法的概念一般地，由证明pq转向证明綁qrt, t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定絲q为假，推出q为真的方法，叫做反证法2庾证法常见的几种矛盾与假设矛盾与数学公理.定理. 公式.定义或已被证明了的结论矛盾与公认的简单事实矛盾例如，导出01,00之类的矛盾3反证法证明数学命题的一般步骤分清命题的条件和结论做出与命题结论相矛盾的假设由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真1反证法属于间接证明问题的方法2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理3庾证法的实质是否定结论导出矛盾类型一用反证法证明否定性命题例1已知三个正数a, b, c成等比数列但不成等差数列求证a, b, c不成等差数列证明假设a, b, c成等差数列，则2bac,4bac2ac. a, b, c成等比数列，b2eic,由得bac,代入式，得ac2acac20, ac,从而abc.这与已知a, b, c不成等差数列相矛盾，假设不成立故a, b, c不成等差数列反思与感悟对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的跟踪训练1已知正整数，a, b, c满足a2b2c2.求证a, b, c不可能都是奇数证明假设a, b, c都是奇数，则a2, b2, c2都是奇数左边奇数奇数偶数，右边奇数，得偶数奇数，矛盾假设不成立，a, b, c不可能都是奇数类型二用反证法证明“至多.至少”类问题例2a, b, c0,2,求证 2ab, 2bc, 2ca不能都大于1.证明假设2ab, 2bc, 2ca都大于1.因为 a, b, c0,2,所以 2a0,2b0,2c0.所以 2ab22ab1.同理，2bc22bcl, 2ca22ca1.三式相加，得2ab22bc22ca23,即33,矛盾所以2ab,2bc, 2ca不能都大于1.庾思与感悟1用反证法证明“至少”“至多”类命题，可减少讨论情况，目标明确否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误需仔细体会“至少有一个” “至多有一个'‘等表达的意思2常用的“原结论词"与“庾设词"归纳如下表原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有不存在至少有两个至多有nl个至少有nl个跟踪训练2已知 a, b, c是互不相等的实数，求证由ylax22bxc, y2bx22cxa和 y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由ylax22bxc, y2bx22cxa, y3cx22axb,得 12b24ac0, 22c24ab0,且32a24bc0.同向不等式求和，得 4b24c24a24ac4ab4bc0,所以2a22b22c22ab2bc2ac0,所以 ab2bc2ac20,所以Elbe.这与题设a, b, c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证类型三用反证法证明唯一性命题例3求证方程2x3有且只有一个根证明 2x3, xlog23.这说明方程2x3有根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的假设方程2x3至少有两个根bl, b2blb2,则12b3,22b3,两式相除得122bbl, blb20,则blb2,这与blb2矛盾假设不成立，从而原命题得证反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有"“只有一个"“唯一存在''等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性跟踪训练3求证两条相交直线有且只有一个交点证明设两直线为Q, b,假设结论不成立，即有两种可能无交点；至少有两个交点1若直线b 无交点，那么Qb或a, b是异面直线，与已知矛盾；2若直线a, b至少有两个交点，设为A和B,这样同时经过点A, B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线"相矛盾所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点1证明“在ABC中至多有一个直角或钝角"，第一步应假设A三角形中至少有一个直角或钝角B三角形中至少有两个直角或钝角C三角形中没有直角或钝角D三角形中三个角都是直角或钝角答案B2用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中A有一个内角小于 60B每一个内角都小于60C有一个内角大于60D每一个内角都大于 60答案B3 u abCabDab或ab答案D4用反证法证明“在同一平面内，若ac, be,则ab”时，应假设Aa不垂直于C B EI, b都不垂直于cCabDa与b 相交答案D5已知fxx2pxq. 1求证flf32f22； 2求证f 1|, |f2|, |f3|中至少有一个不小于12.证明 Iflf32f21pq93pq242pq2.2假设|fl|, |f2|, f3|中至少有一个不小于12不成立，则 fl|, |f2|, |f3| 都小于 12,则 |fl|2|f2| |f32.因为 fl|2|f2 |f3 flf32f21pq93pq84p2q2,这与Ifl|2|f2||f3|2相矛盾，所以假设不成立，原命题成立，所以|fl|, f2|, |f3|中至少有一个不少于12.用反证法证题要把握三点1必须先否定结论，对于结论的及面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的2反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法3反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义.公理.定理. 事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.。

（二）讲授新知
在讲授新知环节，我首先详细解释反证法的定义，并通过具体实例演示反证法的步骤。在讲解过程中，注重让学生理解反证法的核心思想——通过假设命题不成立，从而推导出矛盾，进而证明原命题成立。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我将设计几个具有挑战性的问题，让学生分组进行讨论。这些问题涵盖反证法在不同类型的数学题目中的应用，旨在培养学生的逻辑推理能力和团队协作能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学习的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的学习态度。
2.使学生认识到反证法在数学学习中的重要性，体会数学的严谨性和美妙，增强学生的数学素养。
3.通过反证法的学习，培养学生面对困难时，勇尝试、坚持不懈的品质。
4.引导学生学会尊重他人意见，善于合作交流，培养良好的团队精神和沟通能力。
在本章节的教学过程中，教师将始终关注学生的全面发展，注重知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的有机结合，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学，提高他们的数学素养和综合素质。通过本章节的学习，学生将更加深入地理解反证法的内涵，为今后的数学学习和人生发展奠定坚实基础。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解和掌握反证法，我将创设贴近学生生活的情景，激发他们的学习兴趣。例如，可以通过讲述一个侦探故事，让学生扮演侦探，寻找线索，解决问题。在这个过程中，引导学生体会反证法在推理过程中的作用，使他们在情景体验中自然地接纳反证法。
3.小组合作，促进交流
案例中注重小组合作，让学生在互动交流中共同解决问题。这种教学策略有助于培养学生的团队协作能力、沟通能力，以及尊重他人意见的良好品质。
4.反思与评价，提高自我认知
在教学过程中，引导学生进行反思与评价，使他们在总结经验教训的基础上，不断提高自我认知。此外，实施多元化的评价方式，关注学生的全面发展，激发他们的学习信心。