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必修五-解三角形-讲义

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人教版数学必修五

第一章 解三角形 重难点解析

【重点】

1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。

2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。

4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。

5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。

6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。

【难点】

1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。

4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。

5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。

【要点内容】

一、正弦定理：

在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即Aasin=Bbsin=Ccsin =2R（R为△ABC外接圆半径）

1．直角三角形中：sinA=ca ，sinB=cb， sinC=1

即 c=Aasin， c=Bbsin ， c=Ccsin．

∴Aasin=Bbsin=Ccsin

2．斜三角形中

证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中

S△ABC=AbcBacCabsin21sin21sin21 abcOBCAD 两边同除以abc21即得：Aasin=Bbsin=Ccsin

证明二：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ

∴RCDDaAa2sinsin

同理 Bbsin=2R，Ccsin＝2R

正弦定理的应用

正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：

1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:

⑴若A为锐角时:

)( ba) ,( babsinA)( bsinA a sin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Aba

babababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinA

⑵若A为直角或钝角时:)( ba

锐角一解无解ba

2、余弦定理

余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：

CabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos2222222222 word格式-可编辑-感谢下载支持

若用三边表示角，余弦定理可以写为

余弦定理可解以下两种类型的三角形：

（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；

（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．

注意：

在（0，π）范围内余弦值和角的一一对应性．若cosA＞0．则A为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA＜0，则A为钝角．

3、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系

在△ABC中，c2=a2+b2-2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是

c2=a2+b2-2ab·0=a2+b2．

说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．

这与Rt△ABC中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例．

4、三角形的有关定理：

内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

cos2C=sin2BA, sin2C=cos2BA

面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinB

S= pr =))()((cpbpapp (其中p=2cba, r为内切圆半径)

射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA

5、求解三角形应用题的一般步骤：

（1）、分析题意，弄清已知和所求； （2）、根据提意，画出示意图；

（3）、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；

（4）、正确运用正、余弦定理。

【典型例题】

例1 已知在BbaCAcABC和求中，,,30,45,1000

解：0030,45,10CAc

∴00105)(180CAB

由CcAasinsin得 21030sin45sin10sinsin00CAca

由CcBbsinsin得

25654262075sin2030sin105sin10sinsin000CBcb

例2 在CAacBbABC,,1,60,30和求中，

解：∵21360sin1sinsin,sinsin0bBcCCcBb

00090,30,,60,ACCBCBcb为锐角，

∴222cba

例3 CBbaAcABC,,2,45,60和求中，

解：23245sin6sinsin,sinsin0aAcCCcAa

0012060,sin或CcaAc

1360sin75sin6sinsin,75600000CBcbBC时，当， word格式-可编辑-感谢下载支持

1360sin15sin6sinsin,151200000CBcbBC时，当

或0060,75,13CBb00120,15,13CBb

例4 已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC

分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为DBCDCBDCBCABDADABDABsinsin,sinsin，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.

证明：在△ABD内，利用正弦定理得：

ABDADBADABABDADADBABsinsinsinsin即

在△BCD内，利用正弦定理得：

.sinsin,sinsinDBCBDCDCBCDBCDCBDCBC即

∵BD是B的平分线.

∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC.

∵∠ADB＋∠BDC＝180°

∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC

∴CDBCDBCBDCABDADBADABsinsinsinsin

∴DCADBCAB

评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.

例5在ΔABC中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C及边c．

解：由正弦定理得：sinA=23245sin3sinbBa,因为B=45°<90°且b

所以有两解A=60°或A=120°

(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=22645sin75sin2sinsinBCb, (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=22645sin15sin2sinsinBCb

思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论．

例6△ABC中，若22tantanbaBA，判断△ABC的形状。

解一：由正弦定理：BABAAAABBA2sin2sinsinsincosAcosB sinsincossincossin22即：

∴2A = 2B 或 2A = 180  2B 即：A= B 或 A + B = 90∴△ABC为等腰或直角三角形

解二： 由题设：22222222222222sincoscossinbaRbbcacbacbcaRabaBABA

化简：b2(a2 + c2  b2) = a2(b2 + c2  a2) ∴(a2 b2)(a2 + b2  c2)=0

∴a = b或 a2 + b2 = c2 ∴△ABC为等腰或直角三角形．

思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手．

例7在ΔABC中，已知Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，b=1, 求证：1

解：由正弦定理:CcBbAasinsinsin,得a+c=Bbsin(sinA+sinC)= 232(sinA+sinC)= 332

[sinA+sin(120°－A)]=2sin(A+30°)，因为0°

法二．∵B=60°,b=1，∴a2+c2-b2=2accos60°, ∴a2+c2-1=ac, ∴a2+c2-ac=1,

∴(a+c) 2+3(a-c) 2=4, ∴(a+c) 2=4-3(a-c) 2.

∵0≤a-c<1 ∴0≤3(a-c)2<3, ∴4-3(a-c) 2≤4,

即(a+c) 2≤4, a+c≤2a+c>1, 1

思维点拨：边角互化是解三角形问题常用的手段．

例8已知⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有

BbaCARsin2sinsin222成立，求△ABC面积S的最大值．

解：由已知条件得

baBRBAR2sin2sinsin2222．即有 2222babca，

又 222cos222abcbaC ∴ 4c ．

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解三角形知识点

解三角形知识点

《必修五》解三角形知识点归纳

一、正弦定理

正弦定理：2sinsinsinabcRABC

文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

符号语言：2sinsinsinabcRABC

特点：对称美、和谐美

（一）理解定理

1、正弦定理：在△ABC中，2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC【在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角，从而知正弦定理的基本作用是进行三角形中的边角互化】

2、正弦定理的基本作用：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如角化边sinsinbAaB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaBAb

3、常用公式及其结论

⑴正弦定理包含三个等式sinsinabAB，sinsinbcBC，sinsinacAC每一个等式中都包含四个量，可以“知三求一”

(2)三内角和为180即180ABC，222ABC

(3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,,;,,.abcacbbcaabcbcaacb

(4)面积公式：2111sinsinsin2sinsinsin2224abcSabCbcAacBRABCR

⑸三角函数的恒等变形：sin()sinABC，cos()cosABC ，()tantanABC，sincos22ABC，cossin22ABC，tantan22ABC，tantan+tantantantanABCABC

⑹CBAcbasin:sin:sin::

⑺角化边: CRcBRbARasin2sin2sin2

⑻边化角:RcCRbBRaA2sin2sin2sin

⑼在△ABC中，①若BbAacoscos，则△ABC是等腰三角形或直角三角形; ②若BaAbcoscos，则△ABC是等腰三角形;③若222coscos+cos1ABC或coscoscosaAbBcC，则△ABC是直角三角形.

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点 精品文档

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

2、三角形三边关系：a+b>c; a-b

3、三角形中的基本关系：sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABC

sincos,cossin,tancot222222ABCABCABC

4、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC．

5、正弦定理的变形公式：

①化角为边：2sinaR，2sinbR，2sincRC；

②化边为角：sin2aR，sin2bR，sin2cCR；

③::sin:sin:sinabcC；

④sinsinsinsinsinsinabcabcCC．

6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）

7、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac．=2R2sinAsinBsinC=Rabc4=2)(cbar=))()((cpbpapp

8、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，

2222coscababC．

9、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab．

10、余弦定理主要解决的问题：

人教新课标版数学高二-人教数学必修五第一章 解三角形

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精校版 第一章 解三角形

本章规划

《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学必修五的第一部分，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁．教学中应加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固．要重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导． 1.教学内容

全章有三大节内容：

第一大节：正弦定理和余弦定理，这一节通过初中已学过的三角中的边角关系，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”重点是正弦定理的概念和推导方法，体现了从特殊到一般的思想，并可以向学生提出用向量来证明正弦定理，这一点可以让学生探究．在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角形的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．

第二大节：应用举例，在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法．学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够．针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问高中数学-打印版

人教A版高中数学必修五《第一章解三角形》基础知识和经典例题详解.docx

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鑫达捷 1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC．

2、正弦定理的变形公式：

①2sinaR，2sinbR，2sincRC；

②sin2aR，sin2bR，sin2cCR；

③::sin:sin:sinabcC；

④sinsinsinsinsinsinabcabcCC．

3、三角形面积公式：

111sinsinsin222CSbcabCac．

4、余弦定理：

在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，

2222coscababC．

5、余弦定理的推论：

222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab．

6、简单的判断三角形

设a、b、c是C的角、、C的对边，则：

①若222abc，则90Co；

②若222abc，则90Co；

③若222abc，则90Co．

7．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &

鑫达捷 线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：

（1）两类正弦定理解三角形的问题：

第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.

（2）两类余弦定理解三角形的问题：

第1、已知三边求三角.

第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

8．三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。