必修5《解三角形》复习
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1 数学必修5（解三角形）复习
***知识梳理
把三角形的三个角,,ABC和它们的对边,,abc叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。可以利用正弦定理和余弦定理等求解。
Ⅰ.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
RCcBbAa2sinsinsin（其中R是三角形外接圆半径）
Ⅱ.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
Abccbacos2222，Baccabcos2222，Cabbaccos2222。
由此可得推论：bcacbA2cos222，acbcaB2cos222，abcbaC2cos222。
Ⅲ.三角形的面积公式：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21。
Ⅳ.有关三角形内角的几个常用公式：
A＋B＋C＝π。 sin(A+B)=sinC； cos(A+B)= -cosC； tan(A+B)= -tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA；
Ⅴ.在三角形中大边对大角，反之亦然。
Ⅵ.对于三角形的分类或三角形形状判断，主要从边或角两方面入手。
Ⅶ.在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B =
60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。
Ⅷ.解三角形常见的四种类型:
(1)已知两角,AB与一边a,由A+B+C =π及正弦定理CcBbAasinsinsin，可求出角C，再求b、c.
(2)已知两边,bc与其夹角A，由2222cosabcbcA，求出a，再由正弦定理或余弦定理推论，求出角,.BC.
(3)已知三边a、b、c，由余弦定理推论可求出角A、B、C.
(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinsinabAB，求出另一边b的对角B，由180CAB，求出C，再由sinsinacAC求出c，而通过sinsinabAB求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：
A>90° A=90° A<90° 2 ab 一解 一解 一解
ab 无解 无解 一解
ab 无解 无解 sinabA 两解
sinabA 一解
sinabA 无解
***巩固练习：
一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, A=3,a
=3,b=1，则c = ( B )
A．1
B．2 C．3—1 D．3
2.已知ABC中，CBA,,的对边分别为,,abc若62ac且75Ao，则b ( )
A.2 B．4＋23 C．4—23 D．62
答案 A
解析 000000026sinsin75sin(3045)sin30cos45sin45cos304A
由62ac可知,075C,所以030B,1sin2B
由正弦定理得261sin2sin2264abBA,故选A
3.在△ABC中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若2223acbac，则角B的值为（ ）Ａ
Ａ．6 Ｂ．3
Ｃ．6或56 Ｄ．3或23
4.在△ABC中，)sinlg(sinsinlg2)sinlg(sinACBCA, 则△ABC为（ ）C
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
5.已知锐角三角形三边分别为3，4，a，则a的取值范围为（ ）C
A．15a B．17a C．75a D．77a
6.在ABC中，60A，16AC，面积为2203，那么BC的长度为（ ）
A．25 B．51 C．493 D．49 3 解析：D．1sin604322032ABCSABACAB,得55AB，再由余弦定理，
有222165521655cos602401BC，得49BC．
7.在△ABC中，若CcBbAacoscoscos，则△ABC是（ B ）
A．直角三角形. B．等边三角形. C．钝角三角形. D．等腰直角三角形.
解：令,coscoscosabckABC
则由正弦定理得coscoscos,cotcotcot,sinsinsin.kAkBkCABCABCABC
8.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且2ca，则cosB（ B ）
A．14 B．34 C．24 D．23
9.在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC一定是（ B ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
解：由正弦定理，令,sinsinsinabckABC则
sin,sin.acACkk由已知条件CBAsincossin2得
2cos,cos.2accBBkka故余弦定理得
22222,0,0,220,.cacbabababaacabab
另解：2sincossin,2sincossin,2sincossincoscossin,sincoscossin0,sin0,.ABCABABABABABABABABAB
10.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，
△ABC的面积为23，那么b=（ B ）
A．231 B．31 C．232 D．32
解：因该三角形的面积为32，30,B故13sin30,6.22acac
由余弦定理得222222cos3063.bacacac
由因,,abc成等差数列，故222222,4218.bacbacacac 4 故22231263,31,31.bbb
11.若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则△ABC( C )
A．一定是锐角三角形. B．一定是直角三角形.
C．一定是钝角三角形. D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
【答案】C解析：由sin:sin:sin5:11:13ABC及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得0115213115cos222c，所以角C为钝角
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=2a，则( A )
A．a＞b B．a＜b C. a＝b D. a与b的大小关系不能确定
另解一：由已知条件及正弦定理得2,sin120sinsinabaBA故
sin1206,4sin2sin3sin12062sin.422abBBA2sinsinsincoscossin66cos1201sin12044611330610.42428BACACAC
6621,.4sin3065148aabbB
另解二：由余弦定理得222222cos120.cabababab因2,ca故 5 2222222,0,1510,1.2aababbaabbbbaaa 故.ab
13.在△ABC中，A = 60°，a = 43,b = 42，则B等于( C )
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
解析：sinB=aAbsin=342324=22,又∵b
14. △ABC中，a = 2bcosC，则此三角形一定是( A )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析：由正弦定理得sinA=2sinBcosC, 即sin(B+C)=2sinBcosC. ∴sin(B-C)=0.
又∵-π
另解：由已知条件及余弦定理得2222cos,222aaabcCabbab
故2222,0,.aabcacacac
15.在△ABC中，2cos22Abcc(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为( B )
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵cos22A=2cos1A,∴2cos1A=ccb2,即cosA=cb.
又∵cosA=bcacb2222,∴cb=bcacb2222,即a2+b2=c2.∴△ABC为直角三角形.故选B.
16.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则
tanECF（ D ）
A. 1627 B. 23 C. 33 D. 34
解析：因90,,ACBab故2,ca由余弦定理得 6 222222222cos4533222129329265.99aaECaaaaa
易知222252,.99FCaEFa故由余弦定理得
2222222cos25521024999,510529ECFCEFECFECFCaaaa 243sin1,55335tan.445ECFECF
17.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c ，若223abbc，sin23sinCB，则A=( A )
A．030 B．060 C．0120 D．0150
【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。
由正弦定理得232322cbcbRR，
所以cosA=2222+c-a322bbccbcbc=323322bcbcbc，所以A=300
另解：由正弦定理及sin23sinCB得23cb.又因223abbc，故
2222323,7.abbbab由余弦定理得2222222276cos22211136236.22223bcabcbcbAbcbcbccbbc
