江苏省苏州市2017届高三调研测试数学试题

苏州市2017届高三第一学期期末调研数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1、已知集合1xxA，3xxB，则集合BA ．

2、已知复数iiz21，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为 ．

3、在平面直角坐标系xOy中，双曲线16322yx的离心率为 ．

4、用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20

人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 ．

5、一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为20.，目标未受损的概率为40.，则目标受损

但未完全击毁的概率为 ．

6、阅读下面的流程图，如果输出的函数)(xf的值在区间],[2141内，那么输入的实数x的

取值范围是 ．

7、已知实数yx,满足431yxxxy，则目标函数yxz2的最大值是 ．

8、设nS是等差数列na的前n项和，若7772Sa,，则7a的值是 ．

9、在平面直角坐标系xOy中，已知过点),(11M的直线l与

圆52122)()(yx相切，且与直线01yax垂直，则实数a ．

10、一个长方体的三条棱长分别为983,,，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面

积没有变化，则圆孔的半径为 ．

11、已知正数yx,满足1yx，则1124yx的最小值为 ．

12、若832tantan，则)tan(8 ．

13、已知函数05042xexxxfx,,)(，若关于x的方程05axxf)(恰有三个不同的

实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为 个．

14、已知CBA,,是半径为1的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点（含 开始

输入x

[2,2]x ()2fx

()2xfx

结束 Y

输出()fx N

圆周），则PAPCPCPBPBPA的取值范围为 ．

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明

或演算步骤）

15、已知函数212232xxxfcossin)(．

（1）求函数)(xf的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合

（2）设ABC的内角CBA,,所对的边分别为cba,,，且3c，0)(Cf，若

ABsinsin2，求ba,的值．

16、如图，已知直四棱柱1111DCBAABCD的底面是菱形，F是1BB的中点，M是线

段1AC的的中点．

（1）求证：直线//MF平面ABCD；（2）求证：平面1AFC平面11AACC．

17、已知椭圆)(:012222babyaxC的离心率为23，且过点),(12P．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过P点作两条直线分别交椭圆C于),(11yxA

),(22yxB两点，若直线PQ平分APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定

值．

18、某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下：

其中，点EA,为x轴上关于原点对称的两点，曲线BCD是桥的主体，C为桥顶，且曲线

段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为],[,22482xxy，曲线段DEAB,均

为开口向上的抛物线段，且EA,分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔

接处),(DB的切线的斜率相等．

（1）求曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；

（2）车辆从A经B到C爬坡．定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：PM

（该点P与桥顶间的水平距离）（设计图纸上该点P处的切线的斜率），其中PM的单

位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，

它们的爬坡能力分别为80.米，51.米，02.米，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度

1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？

19、已知数列na的前n项和为nS，且22nnaS（Nn）．

（1）求数列na的通项公式；

（2）若数列nb满足1211212121133221nnnnbbbba)(，求数列nb的

通项公式；

（3）在（2）的条件下，设nnnbc2，问是否存在实数，使得数列nc（Nn）

是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由．

20、已知函数xkxxf)(ln)(1（Rk）．

（1）当1x时，求函数)(xf的单调区间和极值；

（2）若对于任意],[2eex，都有xxfln)(4成立，求实数k的取值范围；

（3）若21xx，且)()(21xfxf，证明：kexx221．

附加题

21. 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

A. 选修4-1:几何证明选讲

如图,E是圆O内两条弦AB和CD的交点,过AD延长线上一点F作圆O的切线FG,G为切点,已知EF=FG,求证:EF∥CB.

(第21-A题)

B. 选修4-2:矩阵与变换

已知矩阵A=2113,B=1101,求矩阵C,使得AC=B.

C. 选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为212222xtyt(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0,已知直线l与曲线C相交于A,B两点,求线段AB的长.

D. 选修4-5:不等式选讲

已知a,b,x,y都是正数,且a+b=1,求证:(ax+by)(bx+ay)≥xy.

【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

22.口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2,两张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上的数字之和为ξ.

(1) ξ为何值时,其发生的概率最大?请说明理由;

(2) 求随机变量ξ的数学期望E(ξ).

23.在平面直角坐标系xOy中,已知两点M(1,-3),N(5,1),若点C的坐标满足=t+(1-t)(t∈R),且点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A,B两点.

(1) 求证:OA⊥OB;

(2) 在x轴上是否存在一点P(m,0),使得过点P任作一条抛物线的弦,并以该弦为直径的圆都过原点?若存在,求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.

苏州市2017届高三第一学期期末考试答案

1.(1,3)2.-12思路分析先化z=a+bi(a,b∈R)的形式或设z=a+bi(a,b∈R),再去分母.解法1z=(1-i)i2i·i=1+i-2=-12-12i,所以z的虚部是-12.解法2设z=a+bi(a,b∈R),则2i(a+bi)=1-i,即-2b+2ai=1-i,所以-2b=1,得b=-12.易错警示复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部是b,不是bi.3.3思路分析先求出a2∶b2∶c2.由已知,得a2∶b2∶c2=3∶6∶9,得e2= 2 2=3,所以e=3.4.900思路分析根据分层抽样的特点,建立比例式.设该校学生总数为n,则300 =45-20-1045,得n=900.5.0.4设“目标受损但未完全击毁”为事件A,则其对立事件 是“目标未受损或击毁目标”.P(A)=1-P( )=1-(0.4+0.2)=0.4.解后反思在数学中,“但”与“且”的意义本质上是相同的.6.[-2,-1]流程图表示输出分段函数f(x)=2 , ∈[-2,2],2, ∉[-2,2]的值.令f(x)∈14,12,得-2≤ ≤2,14≤2 ≤12,解得-2≤x≤-1.7.5思路分析先画出可行域,并解出.可行域是以A(3,1),B(3,2),C(2.5,1.5)为顶点的△ABC及它的内部.z=2x-y=(2,-1)·(x,y)≤(2,-1)·(3,1)=5.解后反思利用向量数量积的几何意义——一个向量的模与另一个向量在该向量上的投影的乘积,比平移直线更直观.

8.-13思路分析可先求出基本量a1,d,再求a7;也可利用S7=7a4先求出a4.在等差数列{an}中,S7=7a4=-7,所以a4=-1.又a2=7,所以公差d=-4,从而a7=a4+3d=-1-12=-13.