正定二次型的应用
专业：数学与应用数学 学好：201102014010
姓名：张文洪 指导教师：武慧虹
摘要
在高等代数中，正定二次型占很重要的地位。本文主要探讨了正定二次型的性质及正定二次型的延伸应用。如正定二次在重积分中的应用、在解决极值问题的应用、在分块矩阵中的应用、在线性方程组中的应用、在欧式空间中的应用、在物理力学中的应用等，而且它在理论研究中也有很大的实用价值，它不仅正数学学科中用到，在其他数学延伸学科中物理和工程学中也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式一一解答。
关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵
二次型
2007-029-8
设mnA是实矩阵，E为n级单位矩阵。已知矩阵.BEAA 证明：当0时，矩阵B为正定矩阵。
2007-029-9
已知二次曲面方程为2221231213232554481.xxxxxxxxx（1）求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？
2007-008-8
已知矩阵8111181111811118A
(1)求二次型432143214321),,,(),,,(xxxxAxxxxxxxxf;
(2)用正交线性替换化二次型),,,(4321xxxxf为标准型;
(3)证明AT),(定义了4R上的内积,其中,是4R的列向量,T是的转置,并求在该内积下4R的一组标准正交基.
(4)求实对称矩阵B使得ABk,其中k为正整数(只要写出B的表达式,不必计算其中的矩阵乘积)
2007-021-7
121234212(,,...,)...nnnfxxxxxxxxx求二项式的秩和正负惯性指数之差.
2007-012-2
求实二次型 3241312143212422),,,(xxxxxxxxxxxxf的规范形及符号差。
2007-001（A）-1
化二次型123122313,,222fxxxxxxxxx为标准型,并给出所用的非退化线性替换. 2007-030-2（3）（填空题）
已知实二次型313221232221321222),,(xaxxxxxxaxxxxxf的正负惯性指数都是1，则a= .
2007-030-3（6）（计算与证明题）
设A是n级实对称矩阵，ABABT是正定矩阵，证明A是可逆矩阵。
2007-031-6
设A为n阶正定矩阵，n,,,21为实n维非零列向量，当ji时有0'jiA，证明： n,,,21线性无关.
高等数学线性代数教材目录
第一章 行列式
1.1 行列式的引入
1.2 二阶和三阶行列式的计算
1.3 行列式的性质和性质的应用
1.4 行列式的性质证明
第二章 矩阵和向量
2.1 矩阵的概念和基本运算
2.2 矩阵的转置和逆
2.3 向量的线性相关性和线性无关性
2.4 向量组的秩和极大线性无关组
第三章 矩阵的运算
3.1 矩阵的加法和减法
3.2 矩阵的数乘
3.3 矩阵的乘法
3.4 矩阵的特殊类型
第四章 线性方程组 4.1 线性方程组的概念和解的分类
4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解
4.3 线性方程组的向量表示
第五章 向量空间
5.1 向量空间的定义和例子
5.2 向量子空间和子空间的概念
5.3 向量空间的线性组合和生成子空间
5.4 基和维数
第六章 矩阵的特征值和特征向量
6.1 特征值和对角化
6.2 特征多项式和特征方程
6.3 相似矩阵和相似对角矩阵
6.4 实对称矩阵的对角化
第七章 线性变换
7.1 线性变换的概念和性质
7.2 线性变换的矩阵表示
7.3 线性变换的特征值和特征向量 7.4 线性变换的相似、迹和行列式
第八章 内积空间
8.1 内积的定义和性质
8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间
8.3 向量的正交性和正交子空间
8.4 施密特正交化方法
第九章 广义特征值问题
9.1 广义特征值问题的引入
9.2 广义特征值的计算
9.3 广义特征值与相似变换
9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化
Hermite矩阵
第5章Hermite矩阵与正定矩阵5.1Hermite矩阵与Hermite⼆次型
5.4Hermite矩阵的特征值
5.3矩阵不等式
5.2Hermite正定（⾮负定）矩阵
Hermite矩阵的性质：
(1)如果A是Hermite矩阵，则对正整数k，A
k
也是Hermite矩阵；
(2)如果A是可逆Hermite矩阵，则A
-1
也是Hermite
矩阵；(3)如果A,B是Hermite矩阵，则对任意实数k,l,
kA+lB也是Hermite矩阵；
5.1Hermite矩阵与Hermite⼆次型
(4)若A,B是Hermite矩阵，则AB也是Hermite矩阵
的充分必要条件是AB=BA；(5)A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意⽅阵
S，S
H
AS是Hermite矩阵。
定理5.1.2设A为n阶Hermite矩阵，则
定理5.1.1设，则A是Hermite矩阵的充
分必要条件是对任意，是实数。Axx
H
nnCA
×
∈n
Cx∈
(1)A的所有特征值全是实数；
(2)A的属于不同特征值的特征向量互相正交。
定理5.1.3设，则A是Hermite矩阵的充分
必要条件是存在⾣矩阵U使得nn
CA
×
∈),,,(
21n
H
diagAUUλλλL=Λ=
均为实数。其中n
λλλ,,,21
L
定理5.1.4设，则A是实对称矩阵的充分必
要条件是存在正交矩阵Q使得nn
RA
×
∈),,,(
21n
TdiagAQQλλλL=Λ=
均为实数。其中n
λλλ,,,21
L
定理5.1.5设A是n阶Hermite矩阵，则A与矩阵?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?=
?
?
rn
sr
s
O
I
I
D
00
00
00
0相合，其中r=rank(A)，s是A的正特征值的个数。
设A是n阶Hermite矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P,
使得
则称D0
为A的相合标准形；s称为A的正惯性指数；r-s称
为A的负惯性指数。0
00
00
00
D
O
I
I
APP
rn
sr
s
H
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??=
?
?
定理5.1.6Hermite矩阵的相合标准形是唯⼀的。
