正定二次型

正定二次型的判别方法

正定二次型是向量空间内的重要概念，它在许多数学领域中都有应用，如优化、概率论和统计学。本文将介绍正定二次型的定义，性质和判别方法。

定义：

设$f(x_1,x_2,...,x_n)$是$x_1,x_2,...,x_n$的二次多项式，即：

$$f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{1\leq i,j\leq n} a_{ij}x_ix_j$$

其中$a_{ij}$为实数，且$a_{ij}=a_{ji}$。则称$f(x_1,x_2,...,x_n)$为$n$元实二次型，它的矩阵表示为

$$A=(a_{ij})_{n\times n}$$

称为二次型的矩阵。

也就是说，二次型和它的矩阵$A$是一一对应的关系。

性质：

1.对于任意的实数$k$，$kx^T Ax$都是一个二次型。

2.二次型可以表示为两部分之和，即$f(x)=g(x)+h$，其中$g(x)$是只与$x$有关的部分，$h$是只与$x$无关的常数项。

3.设$A=(a_{ij})$是一个$n$阶实对称矩阵，则$A$的主对角线元素必为实数，有$a_{ii}\in\mathbb{R}$。且$\forall i,j\in[1,n]$，有$a_{ij}=a_{ji}$。

4.对于任意非零实向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)^T$，有$x^T Ax>0$，则称$f(x)$是正定二次型；有$x^T Ax<0$，则称$f(x)$是负定二次型；有$x^T Ax=0$，则称$f(x)$是半定二次型。

判别方法：

1.矩阵的特征值法：

对于实对称矩阵$A$，先求出它的所有特征值$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，然后判断它们的符号。如果$\lambda_i>0(1\leq i\leq n)$，则$f(x)$为正定二次型；如果$\lambda_i<0(1\leq i\leq n)$，则$f(x)$为负定二次型；如果$\lambda_i=0(1\leq

正定二次型的判别方法

正定二次型是指一个实数域上的二次齐次多项式，并且其对任意非零向量都有正的二次型值。判断一个二次型是否为正定二次型，可以使用以下方法。

二次型可以表示为矩阵形式，即二次型矩阵。设二次型为

\[ q(x) = x^T A x \]

x为n维列向量，A为对称矩阵。A称为二次型矩阵。

判断一个二次型是否为正定，可以使用以下方法：

1. 判断A的特征值是否全为正数。A的特征值全为正数时，二次型为正定二次型。

证明：设A的特征值分别为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。则对于任意非零向量x，有

\[ x^T A x = x^T Q \Lambda Q^T x = (Q^T x)^T \Lambda (Q^T x) \]

Q为特征向量构成的正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为特征值λ1, λ2, ...,

λn。

令y=Q^T x，则有

\[ x^T A x = y^T \Lambda y = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 \]

由于A的特征值全为正数，因此对于任意非零向量y，都有

\[ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 > 0 \]

所以x^T A x > 0，即二次型为正定二次型。

定义：A的顺序主子式是指A的各个阶数（1到n）的主子式。

证明：设A的顺序主子式分别为detA1, detA2, ..., detAn，其中1<=i<=n。若A的顺序主子式全为正数，则A为正定矩阵。

由于A为对称矩阵，所以A的特征值全为实数，且A可以分解为正交矩阵和对角矩阵的乘积，即

\[ A = Q \Lambda Q^T \]

Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为A的特征值。 以上就是判断正定二次型的方法，通常直接使用特征值或顺序主子式来判断即可。需要注意的是，当A为实对称矩阵时，其特征值都是实数，所以可以直接判断特征值是否为正数来判断正定性。而当A不是实对称矩阵时，需要使用顺序主子式来判断正定性。

第４卷第２期　Ｖｏ１．４　Ｎｏ．２　吕梁学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌｔｌｌｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　２０１４年４月　Ａｐｒ．２０１４　

·数学研究·　

探讨正定二次型的应用　

潘伟云　

（吕梁学院离石师范分校数学系，山西离石０３３０００）　

摘要：在二次型中，正定矩阵是比较重要的一类矩阵。它不仅在数学上有广泛的应用，在实际生活中也有很　广泛的应用，如在二次曲线和二次曲面方面，证明平面上１３个点共线及有关不等式的证明．　关键词：正定二次型；二次型；应用　中图分类号：０１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：２０９５—１８５Ｘ（２０１４）０２—００１６—０２　

１　定义　实二次型ｆ（　，　：，…，　），若对于任意一组不　

全为零的实数ｋ。，ｋ　，…，ｋ　都有ｆ（ｋ　，ｋ：，…，ｋ　）＞　０，就称这个实二次型是正定的。　

１，　２，…，　）＝　ｌ　＋ｄ２　＋…＋ｄｎｘ　是正定的充要条件是　

ｄｉ＞０，ｉ＝１，２，…，／７，．　实对称矩阵Ａ正定的充要条件是Ａ的所有顺　

序主子式都大于０。　２正定二次型在实际问题中的应用　２．１　二次曲线或二次曲面的化简　－２　

例１：运用直角坐标变换化简下面二次曲面的　

方程。　３　＋２ｖ　＋２ｚ　＋２ｘｙ一８ｘ一６ｙ＋２　＋３＝０　

其中Ｘ　＝（　，Ｙ，　），Ｂ　＝（一４，一３，一１）　

ｆ３　１　０］　Ａ＝Ｉ　１　２　０　Ｉ．　１

０　ｏ　２Ｊ　

解：作平移变换：　

Ｘ＝Ｙ—　，　＝（　１，Ｏｔ２，　３）．　则有　

（Ｙ—ＯＺ）　Ａ（ｙ—　）＋２Ｂ　（ｙ一　）＋３＝０，　

即Ｙ　ＡＹ—Ｙ　Ａｏｌ—Ｏｌ　ＡＹ＋Ｏｄ　Ａａ＋２Ｂ　Ｙ一２Ｂ　Ｏｔ＋３＝０　令　＝ＯＬ　Ａｏｔ一２Ｂ’Ｏ／＋３．　

１６　。＝　：＝－　＝丢　

由Ａ，　，Ｂ　可得　＝一Ｓ　－，又因为Ａ是可逆实对称矩　

阵，所以存在正交阵　，使得　Ａ　＝［　Ａ，］　

且得　２，　学，　学　

２Ｚ，２　＋学　２＋半　２．　

２．２平面上ｎ点共线的证明　。　埘　

正定二次型的应用

专业：数学与应用数学 学好：201102014010

姓名：张文洪 指导教师：武慧虹

摘要

在高等代数中，正定二次型占很重要的地位。本文主要探讨了正定二次型的性质及正定二次型的延伸应用。如正定二次在重积分中的应用、在解决极值问题的应用、在分块矩阵中的应用、在线性方程组中的应用、在欧式空间中的应用、在物理力学中的应用等，而且它在理论研究中也有很大的实用价值，它不仅正数学学科中用到，在其他数学延伸学科中物理和工程学中也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式一一解答。

关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵