第４卷第２期 Ｖｏ１．４ Ｎｏ．２ 吕梁学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｔｌｌｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ２０１４年４月 Ａｐｒ．２０１４
·数学研究·
探讨正定二次型的应用
潘伟云
（吕梁学院离石师范分校数学系，山西离石０３３０００）
摘要：在二次型中，正定矩阵是比较重要的一类矩阵。它不仅在数学上有广泛的应用，在实际生活中也有很 广泛的应用，如在二次曲线和二次曲面方面，证明平面上１３个点共线及有关不等式的证明． 关键词：正定二次型；二次型；应用 中图分类号：０１５１．２１ 文献标识码：Ａ 文章编号：２０９５—１８５Ｘ（２０１４）０２—００１６—０２
１ 定义 实二次型ｆ（ ， ：，…， ），若对于任意一组不
全为零的实数ｋ。，ｋ ，…，ｋ 都有ｆ（ｋ ，ｋ：，…，ｋ ）＞ ０，就称这个实二次型是正定的。
１， ２，…， ）＝ ｌ ＋ｄ２ ＋…＋ｄｎｘ 是正定的充要条件是
ｄｉ＞０，ｉ＝１，２，…，／７，． 实对称矩阵Ａ正定的充要条件是Ａ的所有顺
序主子式都大于０。 ２正定二次型在实际问题中的应用 ２．１ 二次曲线或二次曲面的化简 －２
例１：运用直角坐标变换化简下面二次曲面的
方程。 ３ ＋２ｖ ＋２ｚ ＋２ｘｙ一８ｘ一６ｙ＋２ ＋３＝０
其中Ｘ ＝（ ，Ｙ， ），Ｂ ＝（一４，一３，一１）
ｆ３ １ ０］ Ａ＝Ｉ １ ２ ０ Ｉ． １
０ ｏ ２Ｊ
解：作平移变换：
Ｘ＝Ｙ— ， ＝（ １，Ｏｔ２， ３）． 则有
（Ｙ—ＯＺ） Ａ（ｙ— ）＋２Ｂ （ｙ一 ）＋３＝０，
即Ｙ ＡＹ—Ｙ Ａｏｌ—Ｏｌ ＡＹ＋Ｏｄ Ａａ＋２Ｂ Ｙ一２Ｂ Ｏｔ＋３＝０ 令 ＝ＯＬ Ａｏｔ一２Ｂ’Ｏ／＋３．
１６ 。＝ ：＝－ ＝丢
由Ａ， ，Ｂ 可得 ＝一Ｓ －，又因为Ａ是可逆实对称矩
阵，所以存在正交阵 ，使得 Ａ ＝［ Ａ，］
且得 ２， 学， 学
２Ｚ，２ ＋学 ２＋半 ２．
２．２平面上ｎ点共线的证明 。 埘
正定二次型的应用
专业：数学与应用数学 学好：201102014010
姓名：张文洪 指导教师：武慧虹
摘要
在高等代数中，正定二次型占很重要的地位。本文主要探讨了正定二次型的性质及正定二次型的延伸应用。如正定二次在重积分中的应用、在解决极值问题的应用、在分块矩阵中的应用、在线性方程组中的应用、在欧式空间中的应用、在物理力学中的应用等，而且它在理论研究中也有很大的实用价值，它不仅正数学学科中用到，在其他数学延伸学科中物理和工程学中也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式一一解答。
关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵
二次型
2007-029-8
设mnA是实矩阵，E为n级单位矩阵。已知矩阵.BEAA 证明：当0时，矩阵B为正定矩阵。
2007-029-9
已知二次曲面方程为2221231213232554481.xxxxxxxxx（1）求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？
2007-008-8
已知矩阵8111181111811118A
(1)求二次型432143214321),,,(),,,(xxxxAxxxxxxxxf;
(2)用正交线性替换化二次型),,,(4321xxxxf为标准型;
(3)证明AT),(定义了4R上的内积,其中,是4R的列向量,T是的转置,并求在该内积下4R的一组标准正交基.
(4)求实对称矩阵B使得ABk,其中k为正整数(只要写出B的表达式,不必计算其中的矩阵乘积)
2007-021-7
121234212(,,...,)...nnnfxxxxxxxxx求二项式的秩和正负惯性指数之差.
2007-012-2
求实二次型 3241312143212422),,,(xxxxxxxxxxxxf的规范形及符号差。
2007-001（A）-1
化二次型123122313,,222fxxxxxxxxx为标准型,并给出所用的非退化线性替换. 2007-030-2（3）（填空题）
已知实二次型313221232221321222),,(xaxxxxxxaxxxxxf的正负惯性指数都是1，则a= .
2007-030-3（6）（计算与证明题）
设A是n级实对称矩阵，ABABT是正定矩阵，证明A是可逆矩阵。
2007-031-6
设A为n阶正定矩阵，n,,,21为实n维非零列向量，当ji时有0'jiA，证明： n,,,21线性无关.
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正定二次型的习题课设计
作者：安彤
来源：《新校园·中旬刊》2014年第02期
摘 要：本文给出一个教学实践效果良好的习题课设计。首先复习了正定二次型的相关概念和性质，然后列出了正定二次型的判定方法，并辅以例题加以说明。
关键词：正定二次型；正定矩阵；顺序主子式
在实二次型理论中, 正定二次型占有特别重要的位置。为了帮助学生总结、巩固和提升所学知识，本文给出一个经过课堂教学实践，具有良好教学效果的习题课设计。
一、正定二次型相关概念和性质复习
首先，在较短时间内，带领学生梳理正定二次型的基本概念和相关性质、了解重点和难点，并澄清一些常犯的错误与疑惑。
1.定义
设实二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX,对于任意一组不全为零的实数c1,c2,…,cn有f(c1,c2,…,cn)>0，则称f为正定二次型，并称正定二次型的矩阵A为正定矩阵。
注：判断正定矩阵的前提是该矩阵必须为对称矩阵。
2.结论和性质
结论1.非退化线性替换不改变二次型的正定性。
性质1.若A为正定矩阵，则|A|>0，A可逆。
性质2.与正定矩阵合同的实对称阵也是正定矩阵。
性质3.正定矩阵的主对角线上元素必全大于零。
性质4.正定矩阵的元素的绝对值最大者一定是主对角线上的元素。
性质5.若A为正定矩阵，则|A|≤a11…ann，当且仅当A为对角阵时等号成立。
正定矩阵的这些性质可以用来判定某些实对称矩阵不是正定阵。例如：主对角元有非正数的对称阵必不是正定阵；只要有一个非对角元的绝对值不小于主对角元的最大者，则这个矩阵必不是正定阵；若对于n阶矩阵A有，|A|>a11…ann，则A必不是正定阵。 龙源期刊网
