函数的有关概念

第1页共11页 高三数学知识点总结

第一章：集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性如：世界上的山

（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

（3）元素的无序性：如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集：N-或N+

整数集：Z

有理数集：Q

实数集：R

1）列举法：{a,b,c……}

3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）Venn图：

4、集合的分类：

（1）有限集含有有限个元素的集合

（2）无限集含有无限个元素的集合

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集 第2页共11页 注意：有两种可能

（1）A是B的一部分，;

（2）A与B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2.“相等”关系：A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）实

即：

①任何一个集合是它本身的子集。AíA

②真子集：如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

③如果AíB,BíC,那么AíC

④如果AíB同时BíA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4.子集个数：

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集

三、集合的运算

运算类型交集并集补集

第二章：基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot），其中>1，且∈-. 第3页共11页 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radicalexponent），叫做被开方数（radicand）.

函数的定义与性质

函数是数学中一个非常重要的概念，它在不同的数学分支和实际问题中都起着至关重要的作用。本文将探讨函数的定义和性质，并从不同角度解释函数的本质。

一、函数的定义

函数是一种数学关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。通常用字母表示函数，例如f(x)或g(x)。函数的定义通常包含以下几个要素：

1. 定义域（Domain）：函数的定义域是指输入变量的取值范围。例如，对于函数f(x) = √x，定义域为非负实数集合[0, +∞)。

2. 值域（Range）：函数的值域是指函数在定义域中能够取到的所有值的集合。例如，函数f(x) = x²的值域为非负实数集合[0, +∞)。

3. 映射规则（Mapping Rule）：函数的映射规则描述了输入变量和输出变量之间的关系。例如，函数f(x) = 2x + 1表示将输入变量x乘以2并加1得出输出变量f(x)。

二、函数的性质

函数具有多种性质，包括连续性、单调性、奇偶性等。下面将介绍其中一些常见的性质。 1. 连续性（Continuity）：函数在定义域内的每个点都是连续的。具体来说，函数在某一点x=a处连续，意味着当x趋近于a时，函数值f(x)趋近于f(a)。例如，函数f(x) = sinx在其定义域内是连续的。

2. 单调性（Monotonicity）：函数在定义域内的每个点都具有单调性。单调递增意味着对于任意的x₁和x₂，若x₁

3. 奇偶性（Parity）：奇函数具有f(-x) = -f(x)的性质，即关于原点对称；偶函数具有f(-x) = f(x)的性质，即关于y轴对称。例如，函数f(x) = x³是奇函数，而函数g(x) = x²是偶函数。

4. 周期性（Periodicity）：函数在一定范围内重复出现相同的模式。例如，三角函数sin(x)和cos(x)都是周期函数，周期为2π。

5. 反函数（Inverse Function）：对于函数f(x)，如果存在一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x对于定义域内的每个x都成立，则函数g(x)是函数f(x)的反函数。反函数可以通过交换自变量和因变量得到。例如，函数f(x) = 2x的反函数是g(x) = x/2。

1 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ

第一节 函数及其表示

一、基础知识

1．函数与映射的概念

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

求函数定义域的策略

(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．

(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．

(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.

两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．

(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

关于分段函数的3个注意

(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

(3)各段函数的定义域不可以相交．

考点一 函数的定义域

[典例] (1)(2019·长春质检)函数y＝ln1－xx＋1＋1x的定义域是( )

A．[－1,0)∪(0,1) B．[－1,0)∪(0,1] 2 C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1)

(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )

A．(－1,1) B.－1，－12

C．(－1,0) D.12，1

[解析] (1)由题意得 1－x>0，x＋1>0，x≠0，解得－1

所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．

高考数学函数的定义和性质

函数是高中数学中的重要概念之一。它在高考数学中占有重要的地位，理解和掌握函数的定义和性质对于解题至关重要。本文将从函数的定义、基本性质以及一些常见函数的性质等方面来进行阐述。

1. 函数的定义

函数是一种特殊的关系，可以将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相关联。用数学语言描述就是，对于集合A和B，如果存在一种规律，使得对于A中的每个元素a，都能找到B中唯一一个元素b与之对应，那么我们就可以说集合A和B之间存在一个函数f。

2. 函数的基本性质

函数有一些基本的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性等。

2.1 定义域和值域

定义域是指函数能够取值的所有实数的集合，常用符号表示为D；值域是指函数所有可能取得的值的集合，常用符号表示为R。

2.2 单调性

单调性指函数在定义域上的增减性质。如果在定义域内任取两个实数a和b，并且a小于b，那么函数f(x)在a处的函数值f(a)和在b处的函数值f(b)之间的大小关系可以判断函数的单调性。 2.3 奇偶性

函数的奇偶性是指函数关于原点(0,0)的对称性。如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = -f(x)成立，则称函数是奇函数；如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = f(x)成立，则称函数是偶函数。

2.4 周期性

周期性指函数在一定区间上具有重复性质。如果存在一个正数T，使得对于定义域上的任何实数x，有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性。

3. 常见函数的性质

在高考数学中，有许多常见的函数，其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。每个函数都有其独特的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。

3.1 一次函数

一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。

3.2 二次函数

二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为零。二次函数的图像是一个抛物线，其特点是开口方向、顶点坐标以及轴对称性等。