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2011-2017年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编——10.立体几何

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2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编

10．立体几何

一、选择题

（2017·4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）

A．90 B．63 C．42 D．36

（2017·10）已知直三棱柱111CC中，C120，2，

1CCC1，则异面直线1与1C所成角的余弦值为（ ）

A．32 B．155 C．105 D．33

（2016·6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A．20π B．24π C．28π D．32π

（2015·6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）

A．81 B．71 C．61 D．51

（2015·9）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90º，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）

A．36π B．64π C．144π D．256π

（2014·6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）

A．1727 B．59 C．1027 D．13

（2014·11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90º，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

A．110 B．25 C．3010 D．22

（2013·4）已知,mn为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，4423 ·

2016，6 2015，6 2014，6

l，则（ ）

A.α // β且l // α B.且l

C.与相交，且交线垂直于l D.与相交，且交线平行于l

（2013·7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）

（2012·7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

A. 6 B. 9 C. 12 D. 18

（2012·11）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）

A.62 B. 63 C. 32 D. 22

（2011·6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）

A. B. C. D.

二、填空题

（2016·14）α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.

（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有

. (填写所有正确命题的编号.)

（2011·15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23ABBC，则棱锥O-ABCD的体积为 .

三、解答题

（2017·19）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，12ABBCAD，o90BADABC， A. B.

C.

D.

E是PD的中点.

（1）证明：直线//CE 平面PAB；

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为o45 ，求二面角M-AB-D的余弦值

（2016·19）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=54，EF交BD于点H. 将△DEF沿EF折到△D´EF的位置，10OD.

（Ⅰ）证明：DH平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角BDAC的正弦值.

（2015·19）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；

（Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值.

（2014·18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

（Ⅰ）证明：PB // 平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60º，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.

（2013·18）如图，直三棱柱111ABCABC中，D，E分别是AB，

1BB的中点，122AAACCBAB.

（Ⅰ）证明：1BC//平面1ACD；

（Ⅱ）求二面角1DACE的正弦值. 1A

D 1B 1C

A C E

B OBACFDHED

（2012·19）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，121AABCAC，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.

（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的大小.

（2011·18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

（Ⅰ）证明：PA⊥BD；

（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值. C B

A D C1

A1 B1

2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编

10．立体几何（逐题解析版）

一、选择题

（2017·4）B【解析】从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，

剩下的体积分上下两部分阴影的体积，下面阴影的体积为VSh，3r，4h，∴ 136V；上面阴影的体积2V是上面部分体积3V的一半，即2312VV，3V与1V的比为高的比（同底），即3132VV，213274VV，故总体积02163VVV.

方法2：354VSh，其余同上，故总体积02163VVV.

（2017·10）B【解析】解法一：在边1BB﹑11BC﹑11AB﹑AB上分别取中点E﹑F﹑G﹑H，并相互连接.

由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线1AB和1BC所成的夹角为FEG或其补角，

通过几何关系求得22EF，52FG，112FH，利用余弦定理可求得异面直线

1AB和1BC所成的夹角余弦值为105.

解法二：补形通过补形之后可知：1BCD或其补角为异面直线1AB和1BC所成的角，通过几何关系可知：

12BC，15CD，3BD，由勾股定理或余弦定理可得异面直线1AB和1BC所成的夹角余弦值为105.

解法三：建系建立如左图的空间直角坐标系，0,2,1A，10,0,0B，0,0,1B，131,,022C，

∴ 131,,122BC，10,2,1BA，∴ 1111210cos552BABCBABC

（2016·6）C解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h．由图得2r， 2π4πcr，由勾股定理得：222234l，

21π4π16π8π28π2Srchcl表，故选C．

（2015·6）D解析：由三视图得，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去四面体A-A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为a，则11133111326AABDVaa，故剩余几何体体积为3331566aaa，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D.

（2015·9）C解析：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时2311136326OABCCAOBVVRRR，故R=6，则球O的表面积为24144SR，故选C．

（2014·6）C解析：原来毛坯体积为π·32·6=54π (cm2)，由三视图得，该零件由左侧底面半径为2cm，高为4cm的圆柱和右侧底面半径为3cm，高为2cm的圆柱构成，所以该零件的体积为：π·32·2+π·22·4=34π (cm2)，则切削掉部分的体积为54π-34π =20π(cm2)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427.

（2014·11）C解析：取BC的中点P，连结NP、AP， ∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，∴四边形NMBP为平行四边形，∴BM//PN，∴所求角的余弦值等于∠ANP的余弦值，不妨令BC=CA=CC1=2，则AN=AP=5，NP=MB=6，

∴222222||||||(5)(6)(5)cos2||||256ANNPAPANPANNP 3010. CBADD1C1B1A1BOACA C B

1A 1C

1B N M P

【另解】如图建立坐标系，令AC=BC=C1C=2，则A(0, 2, 2)，B(2, 0, 2)，M(1, 1, 0)，N(0, 1,

0)， (1,1,2)(0,1,2),BMAN，01430cos.10||||65BMANθBMAN

（2013·4）D解析：因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α. 同理可得l∥β. 又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.

（2013·7）A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为右图，则它在平面zOx上的投影即正视图为右图，故选A.

（2012·7）B解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形（俯视图），高为3的三棱锥，故其体积为1132323932V.

（2012·11）A解析：易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然O-ABC是棱长为1的正四面体，其高为63，故136234312OABCV，226SABCOABCVV.

（2011·6）D解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的. 故选D.

二、填空题

（2016·14）【答案：②③④】

（2011·15）83解析：设ABCD所在的截面圆的圆心为M，则AM=221(23)6232，

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2017全国2卷理科数学与答案

2017全国2卷理科数学与答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（Ⅱ卷）逐题解析

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【题目1】(2017·新课标全国Ⅱ卷理1)1.31ii（ ）

A．12i B．12i C．2i D．2i

【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，意在考查学生的运算能力.

【解析】解法一：常规解法

3134221112iiiiiiii

解法二：对十法

31ii可以拆成两组分式数3111，运算的结果应为abi形式，223111211a（分子十字相乘，

分母为底层数字平方和），221131111b（分子对位之积差，分母为底层数字平方和）.

解法三：分离常数法

1132121121111iiiiiiiii

解法四：参数法

3331311abiabiiabiiiababiabi，解得21ab

故 321iii

【知识拓展】复数属于新课标必考点，考复数的四则运算的年份较多，复数考点有五：1.复数的

几何意义（2016年）；2.复数的四则运算；3.复数的相等的充要条件；4.复数的分类及共轭复数；

5.复数的模

【题目2】(2017·新课标全国Ⅱ卷理2)2.设集合1,2,4，240xxxm．若1I，则（ ）

A．1,3 B．1,0 C．1,3 D．1,5

【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算，以考查考生的运算能力为目

2011年高考全国各地数学卷·文科解答题分类汇编03：立体几何

2011年高考全国各地数学卷·文科解答题分类汇编03：立体几何

概率与统计

1．（天津文）15．（本小题满分13分）

编号为1216,,,AAA的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

运动员编号

1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A

得分 15 35 21 28

25 36 18

34

运动员编号

9A 10A 11A 12A 13A 14A 15A

16A

得分

17 26 25 33 22 12 31 38

（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；

区间 10,20 20,30 30,40

人数

（Ⅱ）从得分在区间20,30内的运动员中随机抽取2人，

（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．

2. （北京文）16．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.

（注：方差],)()()[(1222212xxxxxxnsn其中x为nxxx,,,21的平均数）

3. （全国新文）19．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 频数 8 20 42 22 8

B配方的频数分布表

指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]

频数 4 12 42 32 10

（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

第1页（共37页） 2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）

A．A∩B={x|x＜0}

B．A∪B=R

C．A∪B={x|x＞1}

D．A∩B=∅

2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆

中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取

一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A．

B．

C．

D．

3．（5分）设有下面四个命题

p

1：若复数z满足∈R，则z∈R；

p

2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p

3：若复数z

1，z

2满足z

1z

2∈R，则z

1=；

p

4：若复数z∈R，则∈R．

其中的真命题为（ ）

A．p

1，p

3 B．p

1，p

4 C．p

2，p

3 D．p

2，p

4

4．（5分）记S

n为等差数列{a

n}的前n项和．若a

4+a

5=24，S

6=48，则{a

n}的公

差为（ ）

A．1

B．2

C．4

D．8

5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1

，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）

A．[﹣2，2]

B．[﹣1，1]

C．[0，4]

D．[1，3] 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟

书山有路勤为径，学海无涯苦作舟第2页（共37页） 6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）

A．15

B．20

C．30

D．35

7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等

腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体

的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）

A．10

B．12

C．14

D．16

8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n

﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在

和两个空白框中，可以分别填入（ ）

三年高考(2016-2018)数学(理)真题分项专题25 立体几何中综合问题(含解析)

三年高考(2016-2018)数学(理)真题分项专题25 立体几何中综合问题(含解析)

专题25 立体几何中综合问题

考纲解读明方向

考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度

空间向量及其应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量;

②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系;

③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);

④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 掌握 2017浙江,9;

2017课标全国Ⅱ,19;

2017天津,17;2017江苏,22;

2017北京,16;2017浙江,19;

2017山东,17;

2016课标全国Ⅲ,19;

2016山东,17;2016浙江,17;

2015课标Ⅱ,19;2014陕西,17;

2013课标全国Ⅱ,18 解答题 ★★★

分析解读 1.能运用共线向量、共面向量、空间向量基本定理及有关结论证明点共线、点共面、线共面及线线、线面的平行与垂直问题;会求线线角、线面角;会求点点距、点面距等距离问题,从而培养用向量法思考问题和解决问题的能力.2.会利用空间向量的坐标运算、两点间距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角、距离等问题,从而培养准确无误的运算能力.3.本节内容在高考中延续解答题的形式,以多面体为载体,求空间角的命题趋势较强,分值约为12分,属中档题.

2018年高考全景展示

1．【2018年理数天津卷】如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2

（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；

（II）求二面角的正弦值；

（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

详解：依题意，可以建立以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），