2011年—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.立体几何

母题十八立体几何综合

【母题原题1】【2018新课标1，文18】

如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；

（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．

【母题原题2】【2017新课标1，文18】

如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.

(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.

【母题原题3】【2016新课标1，文18】

如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.

(Ⅰ)证明:G是AB的中点;

(Ⅱ)在答题卡第(18)题图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.

【命题意图剖析】从近几年的高考试题来看,线线垂直的判定、线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、几何体的体积,表面积,几何体的高等是高考的热点,题型既有选择题、填空题又有解答题,难度中等偏高,客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质,考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容,同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．今后的高考方向可能以斜棱柱为几何背景,第一问以线面垂直或平行为主要考查点,第二问以求体积或表面积为主,也可能利用等积法求距离,突出考查空间想象能力和逻辑推理能力,以及分析问题、解决问题的能力．【应试经验与技巧】

1．在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误．2．在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直定义,判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．

3．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可．【基础知识整合】

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题21立体几何解答题

一、解答题

1．(2022高考北京卷·第17题)如图，在三棱柱

111ABCABC

中，侧面

11BCCB

为正方形，

平面

11BCCB平面

11ABBA

，2ABBC

，M，N分别为

11AB

，AC的中点．

(1)求证：MN∥

平面

11BCCB

；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成

角的正弦值．

条件①：ABMN

；

条件②：BMMN．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第18题)在四棱锥PABCD中，PD底面

,,1,2,3ABCDCDABADDCCBABDP∥．

(1)证明：BDPA；

(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．3．(2022年浙江省高考数学试题·第19题)如图，已知ABCD

和CDEF都是直角梯形，

//ABDC

，//DCEF

，5AB

，3DC

，1EF，60BADCDE，二

面角FDCB的平面角为60

．设M，N分别为,AEBC的中点．

(1)证明：FNAD；

(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

4．(2022新高考全国II卷·第20题)如图，PO

是三棱锥PABC

的高，PAPB，

ABAC

，E是PB的中点．

(1)证明：//OE

平面PAC

；

(2)若30ABOCBO

，3PO

，5PA

，求二面角CAEB的正弦值．5．(2022新高考全国I卷·第19题)如图，直三棱柱

111ABCABC

的体积为4，

1ABC

的

面积为22．

(1)求A到平面

1ABC

的距离；

(2)设D为

1AC

的中点，

1AAAB

，平面

1ABC

平面

11ABBA

，求二面角ABDC

的正弦值．

6．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第18题)如图，四面体ABCD

中，

,,ADCDADCDADBBDC

，E为AC的中点．

2012~2018高考立体

几何真题

目录

2018高考真题

一．选择题（共7小题）

1．（2018•新课标Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）

A．2 B．2 C．3 D．2

2．（2018•新课标Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）

A． B．

C． D． 3．（2018•新课标Ⅲ）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9 ，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ）

A．12 B．18 C．24 D．54

4．（2018•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

5．（2018•浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（ ）

A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1 6．（2018•北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．（2018•全国）若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为（ ）

A．

B．

C．

D．

二．填空题（共4小题）

8．（2018•江苏）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．

立体几何(小题)专题-历年高考真题模拟题汇总(原卷版)

1 / 4 立体几何

一、年考试大纲

二、新课标全国卷命题分析

三、典型高考试题讲评

2011—年新课标全国（1卷、2卷、3卷）理科数学分类汇编——11．立体几何

一、考试大纲

1．空间几何体

(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.

(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.

(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).

(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

2．点、直线、平面之间的位置关系

(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.

公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.

(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.

理解以下判定定理.

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.

如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.