山东省聊城市2020-2021学年高二上学期期中数学试题

山东省聊城市2020-2021学年高二上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．椭圆2212425xy的一个焦点坐标为（ ）

A．7,0 B．0,7 C．1,0 D．0,1

2．数列na为等差数列，nS为其前n项和，若4920aa则12S（ ）

A．120 B．60 C．80 D．240

3．在各项均为正数的等比数列na中，52a，则37aa（ ）

A．有最小值3 B．有最小值4 C．有最大值3 D．有最大值4

4．从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为60，那么此椭圆的离心率（ ）

A．12 B．63 C．33 D．22

5．已知命题p：存在xR，240xaxa.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）

A．160a B．40a

C．04a D．016a

6．na是等比数列，若“,,,mnpqmnpqN”是“mnpqaaaa”成立的充分必要条件，则数列na可以是（ ）

①递增数列；②递减数列；③常值数列；④摆动数列

A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④

7．设函数21fxxx，若关于x的不等式554fx在区间2,m上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

A．2,3 B．2,3 C．0,3 D．2,3

8．椭圆22198xy的左右焦点为1F，2F，P为椭圆上第一象限内任意一点，1F关于P的对称点为M，关于2F的对称点为N，则1MFN的周长为（ ）

A．8 B．10 C．16 D．22

9．已知数列na的通项公式21235nann，其前n项和为nS，若mn，则mnSS的最大值是（ ）

A．1 B．3 C．5 D．7

10．设1F，2F是椭圆22:116xyCm的两个焦点，若C上存在点P满足1290FPF，则m的取值范围是（ ）

A．0,832, B．0,432,

C．0,48, D．0,416,

二、填空题

11．已知104x，则函数14fxxx的最大值为__________．

12．已知等比数列na中41a，若135711116aaaa，则1357aaaa__________．

13．下列命题中正确的序号是__________．

①“ab”是“22ab”的充要条件；

②命题“对任意xR，使得20x”的否定是“存在0xR，使得200x”；

③若:5px，:15qx，则p是q成立的必要不充分条件.

14．1F,2F分别是椭圆22:1649xyC的左、右焦点，点P在椭圆C上，110PF，过1F作12FPF的角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为__________．

三、解答题

15．设m是实数，已知命题0:pxR，使函数22()233fxxxmm满足00fx；已知命题q：方程221512xymm表示焦点在x轴上的椭圆．

（1）若命题p为真命题，求m的取值范围；

（2）若命题p，q均为假命题，求实数m的取值范围.

16．已知函数2()2fxxaxb.

（1）若28ba，求不等式0fx的解集； （2）若0a，0b，且2()fbbba，求ab的最小值.

17．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴两端点为1A，2A，离心率为32，1F，2F分别是椭圆C的左，右焦点，且11211AFAF.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设A，B是椭圆C上两个不同的点，若直线AB在y轴上的截距为4，且OA，OB的斜率之和等于4，求直线AB的方程.

18．若各项均不为零的数列na的前n项和为nS，数列2na的前n项和为nT，且243nnnSST，*nN.

（1）证明数列na是等比数列，并求na的通项公式；

（2）设21lognnbna，是否存在正整数k，使得12111nkbbb对于*nN恒成立.若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由.

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

根据椭圆方程可得2225,24ab以及焦点位置,根据222cab计算出1c,从而可得答案.

【详解】

由椭圆2212425xy可知2225,24ab,所以22225241cab,所以1c,

又椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆的一个焦点坐标为(0,1).

故选:D

【点睛】

本题考查了求椭圆的焦点坐标,属于基础题.

2．A

【分析】

根据等差数列的性质以及前n项和的公式计算可得.

【详解】

因为na为等差数列,

所以1121212()2aaS496()620120aa.

故选:A

【点睛】

本题考查了等差数列的性质以及求前n项和,属于基础题.

3．B

【分析】

根据等比数列的性质以及基本不等式计算可得答案.

【详解】

在各项均为正数的等比数列na中, 由基本不等式得223737522224aaaaa,当且仅当352aa时,等号成立.

故选:B

【点睛】

本题考查了等比数列的性质以及基本不等式,属于基础题.

4．B

【分析】

根据椭圆的几何性质可得tan30ba,再根据222cab以及cea计算可得答案.

【详解】

设椭圆的长半轴长为a.短半轴长为b,半焦距为c,

则依题意可得tan30ba,即33ba,

所以椭圆的离心率2222221()ccabbeaaaa2361()33.

故选:B

【点睛】

本题考查了求椭圆的离心率以及椭圆中222abc,属于基础题.

5．D

【分析】

根据命题p为假命题,得到p为真命题,再利用判别式小于0,可得到答案.

【详解】

因为命题p：存在xR，240xaxa是假命题,

所以:p对xR,都有240xaxa恒成立是真命题

所以△2160aa,解得016a.

故选:D

【点睛】

本题考查了由命题的真假求参数的范围,一元二次不等式恒成立,属于基础题. 6．C

【分析】

设公比为(0)tt,将mnpqaaaa等价转化为[()()]1mnpqt,然后讨论t可得答案.

【详解】

因为na是等比数列,设其公比为(0)tt,

所以mnpqaaaa等价于11111111mnpqatatatat等价于22mnpqtt等价于[()()]1mnpqt,

当1t时,推不出()mnpq0,

当1t时,()mnpq为偶数,不一定为0,

当1,0tt时,()0mnpq,即mnpq,

因为“,,,mnpqmnpqN”是“mnpqaaaa”成立的充分必要条件,

所以1,0tt,

当{}na是常值等比数列时,1t不符合题意,

当{}na是摆动等比数列且1t时,不符合题意, 当{}na是摆动等比数列且1t时,符合题意,

当{}na是递增等比数列或递减等比数列时,符合题意.

故选:C

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式,递增数列,递减数列,常值数列,摆动数列的概念,充分必要条件的概念,属于中档题.

7．A

【分析】

先解不等式554fx得23x,再根据题意可得2,m[2,3],列式可得答案.

【详解】 由不等式554fx得25154xx,

所以2104xx≥且260xx,

解得xR且23x,

所以[2,3]x,

因为关于x的不等式554fx在区间2,m上恒成立,

所以2,m[2,3],

所以23m.

故选:A

【点睛】

本题考查了一元二次不等式在指定区间上恒成立问题,属于基础题.

8．C

【分析】

根据对称关系可知2PF为△1FMN的中位线,再利用椭圆定义可得26,22ac,从而可得1MFN的周长.

【详解】

因为1F关于P的对称点为M，关于2F的对称点为N,

所以2PF为△1FMN的中位线,

所以11212222()2212MFMNPFPFPFPFa,

11224498FNFFc4,

所以1MFN的周长为12+4=16.

故选:C.

【点睛】

本题考查了点与点的对称性,椭圆的定义,属于基础题.

9．A

【分析】 根据数列na的通项公式21235nann,可得数列各项的符号及大小关系,然后可得当5n时,45SS取得最小值;当57n时,67SS为最大值, 所以当mn时,mSnS的最大值是mS的最大值减去nS的最小值,据此可得答案.

【详解】

因为21235(5)(7)nannnn,

所以123456789010aaaaaaaaa,

所以当5n时,45SS取得最小值;当57n时,67SS为最大值,

所以当mn时,mSnS的最大值是mS的最大值减去nS的最小值,

mnSS的最大值为7567SSaa(367235)(498435)1.

故选:A.

【点睛】

本题考查了利用数列的单调性求数列前n项和的最大最小值,属于中档题.

10．A

【分析】

先证明当点P为短轴端点时,12FPF取得最大值,再按照焦点位置分两种情况讨论,把C上存在点P满足1290FPF转化为P为短轴端点时,1290FPF,由此列式可求得答案.

【详解】

设椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距分别为,,abc,1122||,||PFrPFr,12FPF,则122rra,

因为222222212121212121212(2)()24442cos222rrcrrrrcacrrrrrrrr212412brr

2212412()2brr2221ba,当且仅当12rr,即点P为短轴端点时,等号成立,

因为余弦函数在[0,180]上为递减函数,所以当点P为短轴端点时, 12FPF取得最大