八年级数学上册第1章分式湘教版

八年级数学上册第1章分式（湘教版）

第1章 分式 分式

第1课时 分式

1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式.

2.能写出分式存在的条件，会求分式的值为0时字母的取值范围.(重难点)

3.能根据字母的取值求分式的值.(重点)

4.能用分式表示现实情境中的数量关系.(重点)

自学指导：阅读教材P2～3，完成下列问题.

(一)知识探究

1.一般地，如果一个整式f除以一个非零整式g(g中含有字母)，所得商fg叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.

2.(1)分式fg存在的条件是g≠0；(2)分式fg不存在的条件是g＝0；(3)分式fg的值为0的条件是f＝0，g≠0.

(二)自学反馈

1.下列各式中，哪些是分式？

①2b－s；②3 000300－a；③27；④vs；⑤s32；⑥2x2＋15；⑦45b＋c；⑧－5；⑨3x2－1；⑩x2－xy＋y22x－1；⑪5x－7.

解：分式有①②④⑦⑩.

判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.

2.当x取何值时，下列分式的值不存在？当x取何值时，下列分式的值等于0?

(1)3－xx＋2；(2)x＋53－2x.

解：(1)当x＋2＝0时，即x＝－2时，分式3－xx＋2的值不存在.当x＝3时，分式3－xx＋2的值等于0.

(2)当3－2x＝0时，即x＝32时，分式x＋53－2x的值不存在.当x＝－5时，分式x＋53－2x的值等于0.

分母是否为0决定分式的值是否存在.

活动1 小组讨论

例1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？

(1)甲每小时做x个零件，他做80个零件需多少小时；

(2)轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是多少千米/时，轮船的逆流速度是多少千米/时；

(3)x与y的差除以4的商是多少.

解：(1)80x；分式.(2)a＋b，a－b；整式.(3)x－y4；整式. 例2 当x取何值时，分式2x－5x2－4的值存在？当x取何值时，分式2x－5x2－4的值为零？

解：当2x－5x2－4的值存在时，x2－4≠0，即x≠±2；

当2x－5x2－4的值为0时，有2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝52.

分式的值存在的条件：分式的分母不能为0.分式的值不存在的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.

活动2 跟踪训练

1.下列各式中，哪些是分式？

①4x；②a4；③1x－y；④3x4；⑤12x2.

解：①③是分式.

2.当x取何值时，分式x2＋13x－2的值存在？

解：3x－2≠0，即x≠23时，x2＋13x－2存在求下列条件下分式x－2x＋3的值.

(1)x＝1；(2)x＝－1.

解：(1)当x＝1时，x－2x＋3＝－(2)当x＝－1时，x－2x＋3＝－32.

活动3 课堂小结

1.分式的定义及根据条件列分式. 2.分式的值存在的条件，以及分式值为0的条件.

第2课时 分式的基本性质

1.理解并掌握分式的基本性质.(重点)

2.能运用分式的基本性质约分，并进行简单的求值运算.(重难点)

自学指导：阅读教材P4～6，完成下列问题.

(一)知识探究

1.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为fg＝（fh）gh(h≠0).

2.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.

(二)自学反馈

1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？

(1)a2b＝ac2bc(c≠0)；(2)x3xy＝x2y.

解：(1)由c≠0，知a2b＝ac2bc＝ac2bc.

(2)由x≠0，知x3xy＝x3÷xxy÷x＝x2y.

应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.

2.填空，使等式成立： (1)34y＝3（x＋y）4y（x＋y）(其中x＋y≠0)；(2)y＋2y2－4＝1（y－2）.

在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的值不变，给分式变形.

3.约分：

(1)a2bcab；(2)－32a3b2c24a2b3d.

解：(1)公因式为ab，所以a2bcab＝ac.

(2)公因式为8a2b2，所以－32a3b2c24a2b3d＝－4ac3bd.

活动1 小组讨论

例1 约分：

(1)－3a3a4；(2)12a3（y－x）227a（x－y）；(3)x2－1x2－2x＋1.

解：(1)－3a3a4＝－3a.

(2)12a3（y－x）227a（x－y）＝4a2（x－y）9.

(3)x2－1x2－2x＋1＝（x＋1）（x－1）（x－1）2＝x＋1x－1.

约分的过程中注意完全平方式(a－b)2＝(b－a)2的应用.像(3)这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分.

例2 先约分，再求值：x2y＋xy22xy，其中x＝3，y＝1. 解：x2y＋xy22xy＝xy（x＋y）2xy＝x＋y2.

当x＝3，y＝1时，x＋y2＝3＋12.

活动2 跟踪训练

1.约分：

(1)－15（a＋b）2－25（a＋b）；(2)m2－3m9－m2.

解：(1)－15（a＋b）2－25（a＋b）＝3（a＋b）5.

(2)m2－3m9－m2＝m（m－3）（3＋m）（3－m）＝－mm＋3.

2.先约分，再求值：

(1)3m＋n9m2－n2，其中m＝1，n＝2；

(2)x2－4y2x2－4xy＋4y2，其中x＝2，y＝4.

解：(1)3m＋n9m2－n2＝13m－n＝13×1－2＝1.

(2)x2－4y2x2－4xy＋4y2＝（x＋2y）（x－2y）（x－2y）2＝x＋2yx－2y＝2＋2×42－2×4＝－活动3 课堂小结

1.分数的基本性质.

2.约分、化简求值2 分式的乘法和除法

第1课时 分式的乘法和除法

1.理解分式的乘、除法的法则.(重点)

2.会进行分式的乘除运算.(重难点)

自学指导：阅读教材P8～9，完成下列问题.

(一)知识探究 分式的乘、除法运算法则：

(1)分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.用式子表示为fguv＝fugv.

(2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：如果u≠0，则规定fg÷uv＝fgvu＝fvgu.

(二)自学反馈

1.计算xyy2x的结果是12.

2.化简m－1m÷m－1m2的结果是下列计算对吗？若不对，要怎样改正？

(1)baab＝1；(2)ba÷a＝b；

(3)－x2b6bx2＝3bx；(4)4x3a÷a2x＝23.

解：(1)对.(2)错.正确的是ba2.(3)错.正确的是－3x.(4)错.正确的是8x23a2.

活动1 小组讨论

例1 计算：

(1)4x3yy2x3；(2)ab22c2÷－3a2b24cd.

解：(1)原式＝4xy3y2x3＝4xy6x3y＝23x2.

(2)原式＝ab22c24cd－3a2b2＝－ab24cd2c23a2b2＝－2d3ac.

例2 计算：

(1)a2－4a＋4a2－2a＋1a－1a2－4；(2)149－m2÷1m2－解：(1)原式＝（a－2）2（a－1）2a－1（a＋2）（a－2）＝（a－2）2（a－1）（a－1）2（a－2）（a＋2）＝a－2（a－1）（a＋2）.

(2)原式＝149－m2m2－7m1＝1（7＋m）（7－m）m（m－7）1＝m（m－7）（7＋m）（7－m）＝－m7＋m.

整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式.注意变换过程中的符号.

活动2 跟踪训练

1.计算：

(1)3a4b16b9a2；(2)12xy5a÷8x2y；(3)－3xy÷2y23x.

解：(1)原式＝3a16b4b9a2＝43a.

(2)原式＝12xy5a18x2y＝12xy5a8x2y＝310ax.

(3)原式＝－3xy3x2y2＝－3xy3x2y2＝－9x22y.

(2)和(3)要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式.

2.计算：

(1)x2－4x2－4x＋3÷x2＋3x＋2x2－x；

(2)2x＋64－4x＋x2÷(x＋3)x2＋x－63－x.

解：(1)原式＝x2－4x2－4x＋3x2－xx2＋3x＋2＝（x＋2）（x－2）（x－3）（x－1）x（x－1）（x＋1）（x＋2）＝x（x－2）（x－3）（x＋1）＝x2－2xx2－2x－3. (2)原式＝2x＋64－4x＋x21x＋3x2＋x－63－x＝2（x＋3）（x－2）21x＋3（x＋3）（x－2）－（x－3）＝－2（x＋3）（x－2）（x－3）.

分式的乘除要严格按着法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式.运算过程一定要注意符号.

活动3 课堂小结

1.分式的乘、除运算法则.

2.分式的乘、除法法则的运用.

第2课时 分式的乘方

1.理解分式乘方的运算法则.(重点)

2.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.(重难点)

自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题.

(一)知识探究

分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.用式子表示为(fg)n＝fngn.(其中n为正整数)

(二)自学反馈

1.计算：

(1)(2ab)2；(2)(－b2a)3.

解：(1)(2ab)2＝4a2b2.