第2章
复习与思考题
1、什么是拉格朗日插值基函数？他们是如何构造的？有何重要性质
答：形如
01()n
i
n
iiiikxx
lx
xx的基函数称为n节点的拉格朗日插值基函数。
主要性质有
1）,0,
()
1,nkkik
lx
ik
2）()1
nlx
2、什么是牛顿基函数？它与单项式基2{1,x,x,...,x}n有何不同
答：牛顿差值基函数为00101{1,(xx),(xx)(xx),...,(xx)(xx)...(xx)}
n
牛顿差值基函数中带有常数项01,,...
nxxx，这有单项式基不同。
3、什么是函数的n阶均差？它有何重要性质
答：形如01n2n01n2n-1
01n
1[,,...,,][,,...,,]
[,,...]
nnfxxxxfxxxx
fxxx
xx
称为()fx的k阶均差
具有以下的基本性质
1）均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性（拉格朗日插值函数的应用）
K阶均差可以表示为函数值0()fx，1()fx，…n()fx的线性组合，即
kj
01kj0j0jj-1jj+1j()
[,,...]
-
kfx
fxxx
xxxxxxxx（）...()()...()
2）由性质1和k阶均差的性质
0101k-1
01
0[,,...,][,,...,]
[,,...]k
k
kfxxxfxxx
fxxx
xx（分子前项多xk）
3）若(x)f在[a,b]上存在n阶导数，且节点01n2n,,...,,[a,b]xxxx，则n阶均差与导数的
关系为
1
01()
[,,...]
!n
nf
fxxx
n 4、写出n+1个点的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，他们有何异同
答：
n+1个点的拉格朗日插值多项式
000()()nnni
nkkk
kkiikikxx
Lxylxy
xx，(j1,2,....,n)
n+1个点的牛顿插值多项式
01[,,...,]
kkafxxx,(k1,2,....,n)
两者的主要差异是未知数不一致。
拉格朗日插值多项式是系数知道，但基函数不知道。
本章习题中有几道题不会做，待再复习时完善。
第3章
复习与思考题
1、设f C [a , b]，写出三种常用范数
12||||,|||,|||.fff
答：
1|||||()|b
affxdx
2
2||||()b
affxdx
||||max|()|
axbffx
2、f , g C [a , b]，它们的内积是什么？如何判断函数族{
0,
1, …,
n}C [a , b]在[a ,b]上线
性无关？
解：f , g C [a , b]，其内积为
(,)()()b
afgfxgxdx
函数族{
0,
1, …,
n}C [a , b]在[a ,b]上线性无关，必须满足矩阵G的行列式不等于0
11121
21222
12(,)(,)...(,)
(,)(,)...(,)
............
(,)(,)...(,)n
n
nnnnG
，det0G
。
3、什么是函数f C [a , b]在区[a , b]上的n 次最佳一致逼近多项式？
解：
设()
npx
为最佳逼近函数，则f C [a , b]在区[a , b]上的n 次最佳一致逼近多项式
*
||()()||min||()()||
nfxpxfxpx
取∞-范数，则
*
||()()||min{max|()()|}
n
axbfxpxfxpx
4、什么是f 在[a , b] 上的n次最佳平方逼近多项式？什么是数据
m
if
0的最小二乘曲线拟
合？
解：
设()
npx
为最佳逼近函数，则f C [a , b]在区[a , b]上的n 次最佳平方逼近多项式
*22
||()()||min||()()||
nfxpxfxpx
取2-范数，则
*22
||()()||min{()()}b
n
afxpxfxpxdx
问题：为什么选择不同的范数求解？
由于各种范数的收敛性保持一致，因此可以选择最有利于求解的范数进行求解。
第1章
复习与思考题
1、什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？
答：数值分析是研究数值问题的算法，概况起来有四点：
第一， 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法，即算法只能包括计算
机能直接处理的加、减、乘、除运算和逻辑运算。
第二， 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值
稳定性，还要对误差进行分析，这些都是建立在相应数学理论基础上
第三， 要有好的计算复杂性，时间复杂性是指能节省计算时间，空间复杂性是指能节省计
算存储空间，这也是算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。
要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三个条件外，还要通过数值试验证
明是行之有效的。
2、何谓算法？如何判断数值算法的优劣？
答：将连续问题离散化，使得输出数据是原函数在求解区间上的离散点的近似值，就是“数
值问题”，求解“数值问题”的各种数值方法就是算法。
判断数值算法的指标是计算复杂性，分为时间复杂性和空间复杂性。
3、列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差和舍入误差的区别？
答：科学计算中的误差的三个来源是：截断误差、舍入误差和模型误差
截断误差是数值计算方法的近似解与模型精确解之间产生误差。
舍入误差是计算机由于字长限制，原始数据在计算机上表示时产生的误差。
4、什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何
关系
答：绝对误差是计算机计算的近似值与模型精确值之间的差值的绝对值
相对误差是绝对误差除以精确值的绝对值，通常使用绝对误差除以计算机计算的近似值
的绝对值表示
近似数的有效数字：若近似数第m位有效，而第m+1为无效，则从第m位向前数到X*
的第一位非零数字共有n位。就说近似数具有n位有效数字。
此时的近似数的绝对误差不大于第m位的半个单位。即有效数字越多，绝对误差限越小
5、什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定的算法不能使用
第一章 绪论
1．设,的相对误差为，求的误差。0xx
lnx
解：近似值的相对误差为*
x***
**rexx
e
xx
=
而的误差为lnx
1
ln*ln*ln*
*exxxe
x
进而有(ln*)x
2．设的相对误差为2%，求的相对误差。xn
x
解：设，则函数的条件数为()n
fxx
'()
||
()pxfx
C
fx
又, 1
'()n
fxnx
1
||n
pxnx
Cn
n
又((*))(*)
rprxnCx
且为2(*)
rex
((*))0.02n
rxn
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指
出它们是几位有效数字：,, , ,*
11.1021x*
20.031x*
3385.6x*
456.430x*
571.0.x
解：是五位有效数字；*
11.1021x
是二位有效数字；*
20.031x
是四位有效数字；*
3385.6x
是五位有效数字；*
456.430x
是二位有效数字。*
571.0.x
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ,(2) ,(3) .***
124xxx***
123xxx**
24/xx
其中均为第3题所给的数。****
1234,,,xxxx
解：*4
1
*3
2
*1
3
*3
4
*1
51
()10
2
1
()10
2
1
()10
2
1
()10
2
1
()10
2x
x
x
x
x
***
124
***
124
433
3(1)()
()()()
111
101010
222
1.0510xxx
xxx
***
123
*********
123231132
143(2)()
()()()
111
1.10210.031100.031385.6101.1021385.610
222
0.215xxx
xxxxxxxxx
**
24
****
2442
2
*
4
33
5(3)(/)
