湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024年高三第二次五校联考数学试题

湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024年高三第二次五校联考数学试题

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若变量,xy，满足22390xyxyx，则22xy的最大值为（ ）

A．3 B．2 C．8113

D．10

2．已知函数()xfxeb的一条切线为(1)yax，则ab的最小值为（ ）

A．12e B．14e C．1e D．2e

3．将函数2()3sin22cosfxxx图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ）

A．3,08 B．3,18 C．3,08 D．3,18

4．函数sinxyx（,0x或0,x）的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

5．等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中，90C，6BD，现将ABD△沿BD折起，则当直线AD与平面BCD所成角为45时，直线AC与平面ABD所成角的正弦值为（ ）

A．33

B．22 C．32 D．233

6．设12,FF分别是双线2221(0)xyaa的左、右焦点，O为坐标原点，以12FF为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,AB两点（,AB位于y轴右侧），且四边形2OAFB为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A．0xy B．30xy C．30xy D．30xy

7．若复数12()()zmmimR是纯虚数，则63iz( )

A．3 B．5 C．5 D．35

8．下列四个图象可能是函数35log|1|1xyx图象的是（ ）

A． B． C． D．

9．正方体1111ABCDABCD，1,2,,12iPi是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11ACB平行的直线有几条（ ）

A．36 B．21 C．12 D．6

10．已知l为抛物线24xy的准线，抛物线上的点M到l的距离为d，点P的坐标为4,1，则MPd的最小值是（ ）

A．17 B．4 C．2 D．117 11．设，则"是""的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

12．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）

A．5?i B．5?i C．4?i D．4?i

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有ABC满足“勾3股4弦5”，其中“股”4AB，D为“弦”BC上一点（不含端点），且ABD满足勾股定理，则CBCAAD______.

14．若23log3,log2ab,则ab=______,lglgab=______.

15．已知πtan34，则tan______，cos24______.

16．直线l是圆1C：22(1)1xy与圆2C：22(4)4xy的公切线，并且l分别与x轴正半轴，y轴正半轴相交于A，B两点，则AOB的面积为_________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从,,,,ABCDE五所高校中任选2所．

（1）求甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率；

（2）若已知甲同学特别喜欢A高校，他必选A校，另在,,,BCDE四校中再随机选1所；而同学乙和丙对五所高校没有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选2所．

（i）求甲同学选D高校且乙、丙都未选D高校的概率； （ii）记X为甲、乙、丙三名同学中选D高校的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．

18．（12分）已知函数2ln(1)(0)1axxfxxax，且曲线yfx在1x处的切线方程为12yxb.

（1）求fx的极值点与极值.

（2）当12k，0,x时，证明：2fxkx.

19．（12分）已知230123(1)(1)(1)(1)(1)nnnxaaxaxaxax，（其中nN）

123nnSaaaa.

(1)求nS；

(2)求证：当4n时，2(2)22nnSnn．

20．（12分）已知函数2xaxfxe，直线1yxe为曲线yfx的切线（e为自然对数的底数）．

（1）求实数a的值；

（2）用min,mn表示,mn中的最小值，设函数1min,0gxfxxxx，若函数

2hxgxcx为增函数，求实数c的取值范围．

21．（12分）已知等腰梯形ABCD中（如图1），4AB，2BCCDDA，F为线段CD的中点，E、M为线段AB上的点，1AEEM，现将四边形AEFD沿EF折起（如图2）

（1）求证：//AM平面BCD；

（2）在图2中，若6BD，求直线CD与平面BCFE所成角的正弦值.

22．（10分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A的研发费用x（百万元）和销量y（万盒）的统计数据如下：

研发费用x（百万元） 2 3 6 10 13 15 18

21

销量y（万盒） 1

1 2 2.5 3.5

3.5 4.5

6

（1）求y与x的相关系数r精确到0.01，并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r时，可用线性回归方程模型拟合）；

（2）该药企准备生产药品A的三类不同的剂型1A，2A，3A，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A，2A，3A合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A，2A，3A合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A，2A，3A三类剂型合格的种类数为X，求X的数学期望．

附：（1）相关系数1222211niiinniiiixynxyrxnxyny

（2）81347iiixy，8211308iix，82193iiy，178542.25．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．

【题目详解】

解：画出满足条件22390xyxyx的平面区域，如图示：

如图点坐标分别为0,3,3,1,0,2ABC， 目标函数22xy的几何意义为，可行域内点,xy与坐标原点0,0的距离的平方，由图可知3,1B到原点的距离最大，故x2222ma0311xy.

故选：D

【题目点拨】

本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．

2、A

【解题分析】

求导得到'()xfxe，根据切线方程得到lnbaa，故2lnabaa，设2lngxxx，求导得到函数在120,e上单调递减，在12e,上单调递增，故12mingxge，计算得到答案.

【题目详解】

()xfxeb，则'()xfxe，取0xea，0a，故0lnxa，0fxab.

故(ln1)abaa，故lnbaa，2lnabaa.

设2lngxxx，'2ln2ln1gxxxxxx，取'0gx，解得12xe.

故函数在120,e上单调递减，在12e,上单调递增，故12min12gxgee. 故选：A.

【题目点拨】

本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

3、D

【解题分析】

先化简函数解析式,再根据函数yAsinx的图象变换规律,可得所求函数的解析式为22sin134yx,再由正弦函数的对称性得解.

【题目详解】

23sin22cosyxx

3sin21cos2xx2sin216x,

将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为

22sin136yx,

再向右平移8个单位长度,所得函数的解析式为

22sin1386yx

22sin134x,

233,3428xkxkkZ，

0k可得函数图象的一个对称中心为3,18，故选D.

【题目点拨】

三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．

4、A