湖北省荆、荆、襄、宜四地七校2020-2021学年高二期中联考数学试题及答案

1 2021年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试”

高二期中联考

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知三条直线,,abc,下列三个命题:

①若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;

②若//ab,a和c相交,则b和c也相交;

③若//ab，//bc,则//ac；其中正确命题的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

2. 已知复数满足 （i为虚数单位），则z（）

A. 2i B. 2i C. 2i D. 2i

3.ABC中，abc，，分别是角,,ABC的对边，则ab“”是“”成立的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件

4. 设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（ ）

A．63 B．45 C．36 D．27

5.已知函数2()2cos6fxx,则关于该函数性质的说法中，正确的是（）

A．最小正周期为2 B．将其图象向右平移6个单位，所得图象关于y轴对称

C．对称中心为,0122kkZD．在0,2上单调递减

6. 正方体1111ABCDABCD中，点E、F分别是棱1DD和BC的中点，则直线AE与DF所成角的余弦值为（）

A．25 B．35 C．12 D．306

7. 设双曲线E：22221(0,0)xyabab的右顶点为A，右焦点为FB，为双曲线E在第二象限上的点，直线BO交双曲线E于另一个点C（O为坐标原点），若直线BA平分线段FC，则双曲线E的离心率为（）

A.3 B.2 C.3 D. 2

8．若函数()()yfxxR满足：对,,abcD，(),(),()fafbfc均可作为一个三角形的边长，就称函数()yfx是区间D上的“W函数”．则下列四个函数：①lnyxx，22,xe；②lnyx，23,xee；③lnxyx，2,xee；④xxye，1,22x中，“W函数”有（）个

A．4 B．3 C．2 D．1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 2 目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9已知数列是等比数列，公比为q，前n项和为nS，下列判断正确的有（）

A.为等比数列 B．na2log为等差数列

C．为等比数列 D．若nSrn13，则31r．

10.．给出下列命题，其中正确的选项有（）

A．非零向量a、b满足abab，则a与ab的夹角为30

B．若0)(BCACAB，则ABC为等腰三角形.

C．等边ABC的边长为2，则2BCAB

D．若3,4OA，6,3OB，5,3OCmm，ABC为锐角，则实数m的取值范围是34m

11．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则（）

A．以线段AB为直径的圆与直线23y相切 B．以线段BM为直径的圆与y轴相切

C．当2AFFB时，437AB D．AB的最小值为6

12．已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是( )

A．ae B．122xx

C．121xx D．()fx有极小值点0x，且1202xxx

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13斜率为2的直线过抛物线C：的焦点，且与C交于A，B两点，则________．

14已知函数，则曲线在点处的切线方程是________

15二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧．古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若小暑、立秋、白露的日影子长的和为18尺，霜降的日影子长为尺，则秋分的日影子长为________尺．

16已知半径为的球面上有三点，，球心为O，二面角的大小为，当直线OC与平面OAB所成角最大时，三棱锥的体积为____．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17（10分）已知，，且．

Ⅰ求在上的值域； 3 Ⅱ已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C对应的边长，若，且，，求的面积．

18（12分）在，，，.

这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．

设等差数列的前n项和为，数列为等比数列，_____，求数列的前n项和．

19（12分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为22的正方形，平面PAC底面ABCD，22PAPC.

（1）求证：PBPD；

（2）点M，N分别在棱PA，PC，PMAM，PNCN，求平面PCD与平面DMN所成角的正弦值.

4 20.（12分）下图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）.过O作，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：）

（1）按下列要求建立函数关系式：

（i）设，将S表示成的函数；

（ii）设，将S表示成的函数；

（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？

21.（12分）在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（1，0），设△ABC的内切圆分别与边AC，BC，AB相切于点P，Q，R，已知|CP|＝1，记动点C的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）过点B（1，0）作直线l交曲线E于M,N两点，且点M位于x轴上方，已知)0,2(),0,2(21AA记直线NANAMA121,,的斜率分别为.

①证明：，为定值；

②设点N关于x轴的对称点为1N，求1BMN面积的最大值．

22（12分）．已知函数

（1）求函数fx在0,内的单调递增区间；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围 .

5 数学答案

1-4BBCB 5-8BAAB 9AD 10AB 11 ACD 12ABD

填空题

13.【答案】5

解：抛物线的方程为，

抛物线的焦点F坐标为，

又直线AB过焦点F且斜率为2，

直线AB的方程为：．

代入抛物线方程消去y并化简得，

所以

14.【答案】

解：由题意得，

将与分别代入，

得，，

，，

，

故切线方程是．

故答案为

15【答案】4

解：由题意可得小暑、立秋、白露的日影子长的和为18尺，霜降的日影子长为尺， 6 即，，

可得，解得故

故秋分的日影子长为尺，

故答案为．

16解：设A，B，C所在球小圆为圆，取AB中点E，连接OE，，则即为二面角的平面角，为，，，则，

当直线OC与平面OAB所成角最大时，则C到平面OAB距离最大，则C到AB的距离最大，

此时，此时E，，C三点共线，由余弦定理可知：

，

故三棱锥的体积为，

故答案为．

17解：Ⅰ

，- - - - - - -2分

因为，所以52,666x,1sin2,162x

所以的值域为．- - - - - - -- - - - - - -5分

Ⅱ因为，所以，

因为，所以．- - - - - - -7分

由余弦定理得：，即

，因为，所以 7 - - - - - - -10分

18当时，，当时，，又满足，所以- - - - - - 4分

选：

设公差为d，由，解得

所以- - - - - - 4分

选：

由，所以，

所以．- - - - - - 4分

设的公比为q，又因为，

得，，所以；- - - - - - 6分

又可知，

数列的前n项和为

+- - - - - -8分

数列nnba

的前n项和为nP，132n32n3)12(.....353333)12(....373533nnnPnP

132n3)12()3......33(292P-nnn 8 1n3nPn)2n11n1(21433nT1nn- - - - - -12分

19【解答】（1）证明：连接BD，设ACBDO，连接PO，

底面ABCD为正方形，2OAOCOBOD∴

PAPC，POAC，平面PAC底面ABCDAC，PO平面PAC，

PO底面ABCD，BD底面ABCD，POBD，PBPD∴- - - - - - 4分

（2）以O为坐标原点，射线,,OBOCOP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，

由（1）可知2OP，可得(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,0),PABCD

(0,1,1),(0,1,1),(2,1,1),(0,2,0)MNDMMN，)0,2,2(CD，)2,0,2(PD设平面DMN的法向量(,,)nxyz，00DMnMNn

200xyzy，今1x，可得(1,0,2)n，- - - - - - 7分

(2,0,2)PB，设平面PCD的法向量),,(mcba，0m•CD,0m•PD

02202a2cbb,令a=1可得)1,1,1(m- - - - - - 10分

1515351,c•nmnmnmos，15210,sinnm- - - - - - 12分

20.试题解析：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．

（i）在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．

在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，

故S＝EF×FG＝20sinθ（10cosθ－3.5）＝10sinθ（20cosθ－7）．

即所求函数关系是S＝10sinθ（20cosθ－7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝． - - - - -4分

（ii）因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．

在Rt△ONF中，NF＝＝＝．