1 特殊三角形
我们一起回顾
1、 等腰三角形
2、 等边三角形
3、 直角三角形
重难点易错点解析
等腰三角形
题一：如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C．
等边三角形
题二：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．
求证：DB=DE．
直角三角形
题三：如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF．
请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．
2 金题精讲
题一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC交BC于D．
求证：BD=2CD．
题二：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长．
题三：如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．
思维拓展
题一：已知：在同一平面内，直线m⊥l，直线n与l相交但不垂直，求证：直线m、n相交．
学习提醒
重点： 等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一 等腰三角形的判定——等角对等边
等边三角形的性质——三边相等，3个60° 等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形
30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半
直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理
直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理
3 三角形的中位线
重难点易错点辨析
三角形的中位线
题一：一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是( )
A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm
金题精讲
题一：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是对角线BD、AC的中点．若AD=6cm，BC=18cm，求EF的长．
题二：如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为 ．
全等三角形中的动点问题
1、 如图，已知△ABC中，∠BAC=90゜，AB=AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．
（1）求证：EF=CF-BE．
（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．
2、在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= 度；
（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系
3、在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：
（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？
（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；
（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确？
图1 图2 图3
4、如图，已知△ABC，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点。
①如果点p在线段BC上以3厘米|秒的速度由B点向c点运动，同时，点Q在线段CA上由c点A点运动
圆中角平分线
首先，回顾角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。于是，看到角平分线，就要意识到，过角平分线上的点，作角两边的垂线。 基本图形 条件 结论
AD平分∠CAB DF⊥AC DE⊥AB DE=DE
我们给它起个高端洋气的名字：角平分线双垂模型 下面利用角平分线双垂模型解决这道中考改编题： 例1：如图1, C是∠MON角平分线上一点，A、B分别为OM、ON上的点（OA≠OB），且AC=BC，过C作CH⊥OM于H，求证: OA+OB=2OH.
图1 图2 其简要证明过程如下： 证明： 如图2，过C作CG⊥ON交ON于G， 则由角平分线的性质，有：CH=CG. 在RTAHC与RTBGC中，CHCGCACB∴RTAHC≌RTBGC（HL）∴AH=BG ∴OA+OB=OH+HA+OB=OH+（BG+OB）=2OH ∴OA+OB=2 OH
升华：学过锐角三角函数，则可以得到 OH=OCcosCOH= OC1cos2MON，
上面的结论即为：OA+OB=2 OC1cos2MONF
EBAC
D
HA
BONCMHA
BGONCM我们从角平分线双垂模型出发，推证出以下结论 基本图形 条件 结论
OC平分∠MON OA≠OB且CA=CB OA+OB=2 OC1cos2MON
若OC长度一定，则OA+OB为定值
本次专题分享的是圆中角平分线，那这样的图形和圆有什么关系呢？
回到例1，细心的同学们会发现，∠OAC+∠OBC=180°，也就是对角互补，这不就有OACB四点共圆了吗？ 下面给出∠OAC+∠OBC=180°的简要证明： ∵RTAHC≌RTBGC∴HACGBC ∴∠OAC+∠OBC=180° 也就是说，角平分线+边等，就有对角互补，即四点共圆.
那么反过来，已知OACB四点共圆和角平分线，能否推出上述OA+OB=2 OC1cos2MON呢？
我们把这个问题具体成以下例题： 例2：如图，已知点O在⊙P上，∠MON交⊙P于 A、B，OC平分∠AOB交⊙O于C点， OA、OB、OC是否存在OA+OB=2 OC1cos2MON的关系？
1圆中的重要模型--圆中的内切圆和外接圆模型
模型1、内切圆模型
【模型解读】
内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这个多
边形为圆外切多边形。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。
三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相
等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。
【常见模型及结论】
1)三角形的内切圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆(即O为三角形
ABC的内心)，⊙O
的半径为r。结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②
∠BOC=90°+1
2∠BAC；③r=2S
ΔABC
C
ΔABC。
图1图2图3
2)直角三角形的内切圆模型
条件：如图2，⊙O为
Rt
ΔABC的内切圆(即O为三角形ABC的内心)，⊙
O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②
∠BOC=90°+1
2∠BAC；③r=AC+BC-AB
2；
3)四边形的内切圆模型
条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。
结论：
AB+CD=AD+BC。
1(2023·黑龙江鸡西·校考三模)如图，在△ABC
中，∠A=80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连
接OB,OC，分别交⊙O于D，E两点，则DE
的长为．(结果用含π的式子表示)
2(2022秋·安徽·九年级统考期末)如图，在△ABC中，AB=BC，过点B作BD⊥AC于点D，P是
△ABC内一点，且∠BPC=108°，连接CP交BD于点E，若点P恰好为△ABE内心，则∠PEB的度数为
()
2A.36°B.48°C.60°D.72°
3(2023秋·河南漯河·
九年级统考期末)如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，且∠A=90°，
BC=5，CA=4，则⊙O的半径是．
4(2023秋·
辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图，点O是△ABC的内心，∠A=60°，OB=3，OC=6，BC=
