8、中垂线和角平分线

1 三角形的角平分线和中垂线

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【教学目标】

1．要求学生掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这四个定理解决一些简单问题。

2．理解角平分线和中垂线的性质定理和判定定理的证明

3．能够作已知角的角平分线，和已知线段的中垂线，并会熟练地写出已知、求作和作法.

【教学重点】

角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理。

【教学难点】

掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理并进行证明。

【本节知识点】

1、垂直平分线性质及判定定理

判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

定 理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

2、角平分线性质及判定定理

判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

定 理：三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边距离相等.

3、用尺规作图画线段垂直平分线，已知角的平分线.

【经典练习】

三角形的角平分线的性质及定理

一、判断题

1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等

2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上

3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合

4.角平分线是角的对称轴

二、填空题

1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.

2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.

2 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.

第九讲：角平分线的性质（二）

知识点：

角平分线的性质：

角平分线的判定：

例题讲解：

例1、（1）如图1，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC=PD，则∠1_____∠2；

（2）如图2，AB⊥BC于B，AD⊥DC于D，若CB=CD，且∠1=30°，则∠BCD=______；

（3）在R⊿tABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若DC=7，则D到AB 的距离是_______；

（4）如图3，在⊿ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则

⊿DEB的周长为________

（5）如图4，到三条直线a、b、c的距离相等的点共有______个。

例2、如图5，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上另一点，连接DF、EF。

求证：DF=EF

例3、如图6，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N。

求证：PM=PN

例4、如图7，已知AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：DE=DF

例5、如图8，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2。

（1）图中共有______对全等三角形；

（2）选择其中一对给予证明。

巩固：

1、如图，⊿ABC中，AD是它的角平分线，若23ACAB，求ACDABDSS的值。

2、PA、PB分别是⊿ABC外角∠MAC、∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BC于F，则BP是∠MBN的平分线吗？说明理由。

3、如图，在三角形ABC中，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．

求证：点P必在∠A的平分线上．

4、如图，在数学活动课上，小林提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CDM=35°，请你求出∠MAB的度数。

5、如图，在⊿ABC中，∠ABC=100°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°。

第1页 共2页 三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线

• 三角形的中线：

在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

角平分线：

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。

高线：

从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

线段的垂直平分线：

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明

巧计方法：点到线段两端距离相等。

• 三角形中线性质定理：

1、三角形的三条中线都在三角形内。

2、三角形的三条中线长：

ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ；

mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2 ；

mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2 。

(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）

3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.

第2页 共2页 定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

垂直平分线的性质：

1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形的中位线角平分线和垂线

三角形的中位线、角平分线和垂线

三角形是初中数学中一个重要的图形，它由三条边和三个顶点组成。在三角形中，中位线、角平分线和垂线是三条与三角形内部相关的特殊线段。本文将介绍中位线、角平分线和垂线在三角形中的性质和应用。

一、中位线

中位线是连接一个三角形的两个顶点和对边中点的线段。对于三角形ABC，三条中位线分别为AD，BE和CF（D、E和F分别为边BC、AC和AB的中点）。

中位线具有以下性质：

性质1：三角形中的三条中位线互相平分。

性质2：三角形中的三条中位线交于一个点，该点被称为中心。

性质3：中心到各顶点的距离等于中心到对边中点的距离，而且中心是中位线的重心。

应用：中位线的应用较多，最常见的是利用中位线求三角形重心。重心是以三角形三条中位线的交点为顶点的新三角形的重心。我们可以根据中位线的性质计算重心的坐标。

二、角平分线 角平分线是从一个角的顶点出发，平分这个角的角度的线段。对于三角形ABC，角BAC的角平分线为AD（D在BC上）。

角平分线具有以下性质：

性质1：角平分线把原来的角分成两个相等的角。

性质2：三角形的三条角平分线交于一点，该点被称为内角平分点。

性质3：内角平分点到三个顶点的距离相等。

应用：角平分线的应用较多，最常见的是利用角平分线求三角形内心。内心是以三角形的三条角平分线的交点为顶点的新三角形的内心。我们可以根据角平分线的性质计算内心的坐标。

三、垂线

垂线是从一个顶点引出，与对边垂直相交的线段。对于三角形ABC，从顶点A引出的垂线为AD（D在BC上）。

垂线具有以下性质：

性质1：垂线与对边垂直相交，交点为垂足。

性质2：三角形的三条垂线交于一点，该点被称为垂心。

应用：垂线的应用较多，可以用于求解三角形的垂心。垂心是以三角形的三条垂线的交点为顶点的新三角形的垂心。我们可以根据垂线的性质计算垂心的坐标。 综上所述，三角形的中位线、角平分线和垂线在几何学中具有重要的地位和应用。通过研究和应用这些线段的性质，可以深入理解三角形的性质和特点，进而拓展到更广阔的数学领域。