中考数学二轮复习专题角平分线问题(2)(师)

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【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘 之角平分线问题

一、证明题(共3道，每道40分)

1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.

答案：∵BF是∠CBD的平分线 ∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线 ∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上

解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可

试题难度：三颗星 知识点：三角形角平分线

2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.

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答案：∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中 AB=AE ∠BAD=∠EAD

AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS） ∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD

解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可

试题难度：三颗星 知识点：三角形角平分线

3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.

答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一） ∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD为△ACF的外角 ∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C

解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可

试题难度：三颗星 知识点：三角形角平分线

2025年中考数学二轮复习专题初中数学常用二级结论汇总

一、公式及其变式

1、2)1(321nnn

2、2)12(7531nn

3、knnknnk11)(

4、ababba11

5、均值不等式：若0,0ba，则abba2，当且仅当ba时，”“成立。

二、常见几何图形基本结论

1、CDBD,分别平分ACBABC,，则ABDC2190

2、CDBD,分别平分CBBCF,E，则ABDC2190

3、CDBD,分别平分ACEABC,，则ABDC21

4、直角三角形斜边中线及其相关结论：在ABCRt中，

①若∠ACB=90°，AM=BM，则CM=AM=BM；

②若∠ACB=90°，CM=BM，则AM=BM；（此结论要证明）

③若AM=BM，CM=BM，则∠ACB=90°.（此结论要证明）

5、在ABCRt中，DACAB,为斜边BC的中点，90EDF

则：①CFAEAFBE,

②DFDE

③ABCAEDFSS21四边形

6、在ABCRt中，45,90,DAEBACACAB.则222DECEBD

7、正方形ABCD中，45EAF，

则：①DFBEEF；

②222RHHDBR；

③AHE为等腰直角三角形；

④RHEF2

8、四边形ABCD中，BDAC，则2222BCADCDAB

（特别地，当四边形ABCD为圆内接四边形时有222224RBCADCDAB）

9、矩形ABCD及任意一点P，都有2222PDPBPCPA

10、已知，△ABB'和△ACC'都是等腰三角形，AB=AB'，AC=AC'，且∠BAB'=∠CAC'。

则：① BC=B'C'；

②∠BOB'=∠BAB'

③AO平分∠BOC'

11、EACDAB,都是等腰直角三角形，①BCMN，则M为DE的中点.

借助角平分线构造全等三角形

一 、填空题

1.如图，ABC△中，AD平分BAC，ABBDAC，则:BC ．

二 、解答题

2.如图，在ABC△中，ACBC，90ACB，D是AC上一点，AEBD交BD的延长线于E，且12AEBD．求证：BD是ABC的角平分线．

3.在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．

求证：ABACPBPC．

4.如图，P是ABC的外角EAC的平分线AD上的点（不与A重合）

求证：PBPCABAC ABCDDCBAEDECBAFABCEDDPCBAEDPCBAEDPCBAFEDPCBA5.如图，在ABC△中，2BC，AD为BAC的平分线．求证：ACABBD．

6.如图，已知ABC△中，90BAC，ABAC，BE平分ABC，CEBD 求证：2BDCE.

7.如图，AC平分BAD，CEAB，且180BD，求证：AEADBE.

8.如图，ABC△中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F.

（1）说明BECF的理由；（2）如果ABa，ACb，求AEBE、的长.

9.如图，BCBA，BD平分ABC，且ADCD，求证：180AC. DCBAEABCDDCBAFEDCBAFEDCBAEDCBAFEDCBAGFEDCBAGFEDCBA CDABEDCBA借助角平分线构造全等三角形答案解析

一 、填空题

1.2:1;【解析】根据角平分线的对称性，将ABD翻折，如图，则ACAEECABEC，BDDE,结合已知条件“ABBDAC”，可得BDDEEC，∴DEC为等腰三角形

思路二，可将ADC进行翻折，分析略

二 、解答题

2.延长BC、AE交于F点，先证明AFCBDC≌△△()SAS，得2AFBDAE，则AEFE，再证ABEFBE≌△△．

1.7 角平分线问题（2）

四、角平分线作对称→全等三角形

思考4 如图,若P是∠MON平分线上一点,点A是边OM上任意一点,在边ON上截取OB=OA,连接PB,你可以得到什么结论？

例4 如图,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,求证:AB=AC+CD.（限时训练第3题）

【变式练习4】如图，双曲线02xxy经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴．将△ABC沿AC翻折后得△AB′C，点B′落在OA上，则四边形OABC的面积是___________ .

五、角平分线+角平分线→三角形内心

思考5 如图，三角形任意两条角平分线交于点P，则点P为三角形的内心，你可以想到哪些结论？

例5 如图所示,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=___________ .（限时训练第1题）

【变式练习5】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E,过点E作EF∥BC交AC于点F,则EF的长为___________ .

【拓展提升】

如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若CF=2，DF=4

①求⊙O直径的长；

②试求△CEF的外心与内心之间的距离.

ABCDEF1.7 角平分线问题（2）限时训练

班级：______ 学号：____ 姓名：__________

1.如图所示,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=___________ .