经典例题透析
类型一：求二元一次方程的解
1．写出二元一次方程4x＋y＝20的所有正整数解.
思路点拨：要把4x＋y＝20变形，再根据代数式的特点求解.
解析：由原方程得y＝20－4x.因为x、y都是正整数，
所以当x＝1,2，3,4时，y＝16,12,8，4.
所以方程4x＋y＝20的所有正整数解为：， ， ， .
总结升华：(1)可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，然后两个未知数取正整数值即可.(2)对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏. 两个未知数的取值均为正整数才符合题意的解.
举一反三：
【变式1】在方程3x＋4y－2＝0中，若y分别取2、、0、－1、－4，求相应的的值.
【答案】将3x＋4y－2＝0变形得.
把已知y值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：
2 0 －1 －4
－2 2 6
【变式2】求二元一次方程2x＋y＝9在自然数范围内的解。
思路点拨：首先明确自然数的概念，自然数是指0,1，2, 3，…，也就是非负整数，最小的自然数是0。再把二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可变为y＝9－2x，这样再让未知数x按顺序0,1，2，3，…取值，即可获得所求的自然数范围内的解。
解析：原方程变形为y＝9－2x
当x＝0时，y＝9，当x＝1时，y＝7，当x＝2时，y＝5
当x＝3时，y＝3，当x＝4时，y＝1，当x＝5时，y＝－1
所以方程在自然数范围内的解为，，，，。
类型二：确定方程的待定系数
2．若是关于的二元一次方程，求的值.
思路点拨：根据二元一次方程的定义，a－3≠0，即a≠3；|a|－2＝1，即a＝±3，所以a＝－3.
解析：由题意得|a|－2＝1，所以a＝±3.
而a－3≠0，即a≠3，所以a＝－3.
导学案
8．2二元一次方程组的解法（二）
【学习目标】
1. 使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用
2体会列方程组比列一元一次方程容易。
【教学重点和难点】
重点：能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系。
难点：正确找出问题中的两个等量关系。
【使用说明与学法指导】
1. 先利用10分钟时间阅读教材，用红色笔进行勾画重点，再针对预习案二次阅读教材，解答预习案中的问题，疑惑随时记录在我的疑惑栏内，准备课上讨论质疑。
2. 利用25分钟独立完成探究案，找出自己的质疑和需要讨论的问题，用红笔做好标记。
预习后，A层同学结合探究案进行探究、尝试应用；B层同学力争完成探究点的探究；C层同学力争完成探究点，保持卷面整洁，独立完成，不能讨论。
预 习 案
【预习自学】
1．列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的（ ）
2．一般来说，有几个未知量就必须列几个方程，所列方程必须满足：
（1）方程两边表示的是（ ）量
（2）同类量的单位要（ ）
（3）方程两边的数值要相符。
3．列方程组解应用题要注意检验和作答，检验不仅要求所得的解是否（ ），更重要的是要检验所求得的结果是否（ ）
4．一个笼中装有鸡兔若干只，从上面看共42个头，从下面看共有132只脚，则鸡有（ ），兔有（ ）
通过上述练习你得出什么结论？
【我的疑惑】
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探 究 案 探究点：借助二元一次方程组解决简单的实际问题。
【例1】根据市场调查，某种消毒液的大瓶（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5，某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
二、整体代入法 例２解方程组： （计ｙ）＝１， ① ３ ＋吾（ ＋ ）＝５．② 解：由①，得 ＋ｙ： ③， ： 将③代入②，得寻 ＋吾× ＝５． ： 解得ｘ＝４． ： 将ｘ＝４代入③，得ｙ：一 １０． ： ＝４， ： 所以原方程组的解为｛ １０ ： 一一了‘ 点评：将方程组中相同的部分看做一个整 体（如本例题中的 ＋ｙ）代入进行消元，往往有 意想不到的效果． ． 三、消常数项法 例３解方程组：｛２ ５ｘ＋４６２ｙ：＝ １７６．，富 解：由①一②．得 一４ｙ＝０， ．・． ＝ ｙ．③ ． 把③代入①． ’ 得 ｙ＋４２ｙ＝１７６． 解得ｙ＝３． 把ｙ＝３代入③，得ｘ＝２． ： 所以原方程组的解为｛ ＝＝＝ｚ， ／ｙ＝３． ， 点评：方程组中两个方程的常数项相等或 互为相反数时，都可以采用消去常数项的方法 来解，我们把这种方法称为“消常数项法”．若消 赣去常数项后，得到一个较为简单的二元一次方 程，则将其变形后用一个未知数表示出另一个 帮未知数，从而转化为一般的代入法． 四、整体加减法 例４解方程组：ｆ７ ＋ ＝２３， Ｉ８ｘ＋７ｙ＝２２． 解：由①＋②，得 ＋ｙ＝３，③ 由②一①，可得 —ｙ＝一１，④ 再将③④联立方程组。易解得原方程组的 解为｛ 一 Ｌｙ＝２． 点评：当方程组中的两个方程的相同未知 数的系数的和或差的绝对值相等，或差的绝对 值较小时。可考虑用此方法来解． 五、换元法 例５解方程组： ｛翠３：ｘ＋ ２ｙ＿￣ 则原方程组可化为 ① ② ＋旦＝２，③ ２。５ 一’ 一 ３ｍ： 一３．④ ，） 。一 再把詈，号看成一个整体，易解得｛ ’ 所以｛２ｘｔ３ｙ：：＝２， 【ｊ 十２ｙ＝５． ： ， 易解得原方程组的解为｛ ． Ｉｙ＝＝＝一 ・ 点评：从形式上看这个方程组比较复杂，应 该先将每一个方程都进行化简，化成二元一次 方程组的一般形式，然后再选择代入法或加减 法求解．但是通过观察可以发现。两个未知数出 现的形式只有（ ＋３ｙ）和（３ ＋２ｙ）两种，所以可 以把它们分别看成一个整体，利用换元法解． 。。 ｏ。④。 。 ④ 。。。ｏ。Ｏ ０ ０ ｏ ０ ０ ０ ④ ０ ①
第一部分：知识点详解
详解点一：代入消元法
（1）定义：将方程组中的一个方程的某一个未知数，用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后将它代入另一个方程中，实现消元，化为一元一次方程，进而求得这个一元一次方程的解，这种方法叫代入消元法。
（2）代入消元法的依据是等量代换，即等式中的一个量用与它相等的量代替，等式仍然成立。
（3）用代入消元法解方程的一般步骤：
①变形：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，即变成=+yaxb（或=+xayb）的形式；
②代入：将=+yaxb（或=+xayb）代入另一个方程（不能代入原方程）中，消去y（或x），得到一个关于y（或x）的一元一次方程，解这个一元一次方程，求出x（或y）；
③会代求解：把x（或y）的值代入=+yaxb（或=+xayb）中，求出y（或x）的值，从而得到原方程组的解。
详解点二：加减消元法
（1）定义：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数，转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法。加减消元法的依据是等式的基本性质。
（2）加减消元法解方程的一般步骤：
（1）方程组的两个方程中，若同一个未知数的两个系数的绝对值相等，可直接相加或相减进行消元；若果同一个未知数的系数既不想等又不互为相反数，就可用适当的数去乘一个方程或两个方程的两边，使两个方程中的某一个未知数的系数互为相反数或相等。
（2）把两个方程的两边分别相加减（系数相同时两方程相减，系数互为相反数时两方程相加），消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
（3）解这个一元一次方程，求的其中一个未知数的值。 课题 二元一次方程组的解法和三元一次方程组的解法
教学目标 1、会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；
1、 了解二元一次方程组的“消元”思想方法，初步体会数学中“化未知为已知”的化归思想；
3、用“代入”或“加减”合理地解三元一次方程组。
