奥赛培训讲义---第三部分---《曲线运动 万有引力》

高二物理奥赛辅导曲线运动部分抛体运动与圆周运动是高中阶段学习的两种重要的运动形式，是历年高考重点考查的内容之一。

平抛运动、匀速圆周运动的规律及物体做曲线运动的条件是考查的重点和难点，同学们复习时要在扎实掌握在部分内容的基础上注意与其他部分的渗透以及与实际生活相结合，与电场和磁场相联系的综合问题（如电场中带电粒子的类平抛运动、匀强磁场中带电粒子的匀速圆周运动）更要引起重视。

■考点一、曲线运动1、定义：运动轨迹为曲线的运动。

2、物体做曲线运动的方向：速度方向始终在轨迹的切线方向上3、曲线运动的性质：曲线运动一定是变速运动。

做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。

4、物体做曲线运动的条件（1）物体做一般曲线运动的条件物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。

（2）物体做平抛运动的条件物体只受重力，初速度方向为水平方向。

可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。

（3）物体做圆周运动的条件物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内）总之，做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的凹侧。

5、分类⑴匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。

⑵非匀变速曲线运动：物体在变力(大小变、方向变或两者均变)作用下所做的曲线运动，如圆周运动。

■考点二、运动的合成与分解1、运动的合成和分解：包括位移、速度和加速度的合成，遵循平行四边形定则（判断合运动和分运动，一般地，物体的实际运动就是合运动）。

运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。

2、合运动与分运动的关系：⑴等效性：（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；⑵等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等⑶独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。

2①当合力方向与速度方向的夹角为 锐角时，物体的速率将 ②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将 减小。

③当合力方向与速度方向 平抛运动基本规律垂直时, 物体的速率不变。

（举例：匀速圆周运动）1. 速度:V x =V0i V y = gt合速度:V= J V , + Vy2方向:tanSV xv oX =V 0t 2.位移彳 1 2i^1gt合位移：* = v x ^y2方向:tana =2X gt 2 V o1 2 3.时间由：y = —得t =J 2，（由下落的高度y 决定）曲线运动一定是变速运动 。

（3）由于曲线运动的 速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中 速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。

（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速 直线运动。

）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。

2 .物体做曲线运动的条件（1） 从动力学角度看：物体所受 合外力方向跟它的速度方向 不在同一条直线上。

（2） 从运动学角度看：物体的 加速度方向跟它的速度方向 不在同一条直线上。

3 .匀变速运动： 加速度（大小和方向）不变的运动。

也可以说是：合外力不变的运动。

『匀变速运动轨迹•（F*不充且年为辜I1.曲线运动的特征（1） 曲线运动的轨迹是 曲线。

（2） 由于运动的 速度方向总沿轨迹的 切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线, 方向时刻变化。

即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动所以曲线运动的速度 变加速运动4匀去建运却抱务变加速直銭运动 塾加速呦线运动4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1 ）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。

（2）合力的效果：合力沿 切线方向的分力F 2改变速度的大小，沿径向的分力F i 改变速度的 方向。

增小船渡河例1: 一艘小船在200m 宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是3m/s ，小船在静水中的速度是 5m/s ，求：（1）欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大?（2）欲使航行位移最短，船应该怎样渡河？最短位移是多少？渡河时间多长?船渡河时间：主要看小船垂直于河岸的分速度，如果小船垂直于河岸没有分速度，则不能渡河。

第2讲曲线运动与万有引力[四年考情分析]考点一运动的合成与分解、平抛运动1．关联速度问题物体的实际运动即合运动，对于用绳、杆相牵连的物体，在运动过程中，两物体的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等(原因是绳和杆的长度不发生变化)2．熟悉斜面上的平抛运动问题的几个二级结论(1)若平抛的物体垂直打在斜面上，此时水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值．(2)对于在斜面上平抛又落到斜面上的物体，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值；速度偏角的正切值一定为位移偏角(斜面倾角)的正切值的2倍.1．(2018·高考全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v 和v 2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )A ．2倍B ．4倍C ．6倍D ．8倍解析：选A.甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A 正确．2．(多选)(2019·高考全国卷Ⅱ)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离．某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v 表示他在竖直方向的速度，其v ­t 图象如图(b)所示，t 1和t 2是他落在倾斜雪道上的时刻．则( )A ．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小B ．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大C ．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大D ．竖直方向速度大小为v 1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大解析：选BD.v ­t 图象中图线与t 轴包围的面积表示位移大小，第二次滑翔过程中所围面积大表示在竖直方向上位移大，A 错．比较身体姿态对下落速率的影响，应控制两次水平速度相同，运动员在水平方向上的运动可看成匀速直线运动，由x ＝v t 知运动时间长的水平位移大，B 对．从起跳到落到雪道上，第一次速度变化大，时间短，由a ＝Δv Δt，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上平均加速度小于第一次，C 错．v ­t 图象的斜率表示加速度，速率为v 1时，第二次加速度小，设阻力为f ，由mg －f ＝ma ，可得第二次受到的阻力大，D 对．3．(2015·高考全国卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )A.L 12g 6h <v <L 1 g 6h B.L 14 g h <v < (4L 21＋L 22)g 6h C.L 12g 6h <v <12 (4L 21＋L 22)g 6h D.L 14 g h <v <12 (4L 21＋L 22)g 6h解析：选D.设以速率v 1发射乒乓球，经过时间t 1刚好落到球网正中间．则竖直方向上有3h －h ＝12gt 21① 水平方向上有L 12＝v 1t 1② 由①②两式可得v 1＝L 14 g h. 设以速率v 2发射乒乓球，经过时间t 2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h ＝12gt 22③ 在水平方向有 ⎝⎛⎭⎫L 222＋L 21＝v 2t 2④ 由③④两式可得v 2＝12 ()4L 21＋L 22g 6h .则v 的最大取值范围为v 1＜v ＜v 2.故选项D 正确．处理平抛运动问题的四点注意：(1)处理平抛运动(或类平抛运动)问题时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成法则求合运动．(2)做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同．(3)抓住两个三角形，有关速度的三角形和有关位移的三角形，结合题目呈现的角度或函数方程找到解决问题的突破口．(4)对斜抛运动问题，可以将斜抛运动在对称轴(最高点)处分开，然后对两部分都可按平抛运动来处理．视角1：运动的合成与分解1．(2019·淮北模拟)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成θ角的斜面向右上以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，橡皮的速度方向与水平方向的夹角为α，则()A．若θ＝0，则α随钉尖的速度v的增大而增大B．若θ＝0，则α随钉尖的速度v的增大而减小C．若θ＝45°，钉尖的速度为v，则橡皮速度为22vD．若θ＝45°，钉尖的速度为v，则橡皮速度为2＋2v解析：选D.若θ＝0，则橡皮的运动可视为水平方向随钉尖一起匀速，竖直方向细线的缩短长度等于水平方向细线增加的长度，即竖直方向也做与钉尖运动速率相同的匀速运动，所以橡皮的速度方向与水平方向的夹角α＝45°，与钉尖的速度v无关，选项A、B错；若θ＝45°，钉尖的速度为v，则橡皮在水平方向的分速度为22v，而在t时间内沿竖直方向向上运动的距离为y＝v t＋22v t，即竖直方向的分速度为⎝⎛⎭⎫1＋22v，所以橡皮速度为2＋2v，C错、D对．2．(2019·聊城质检)如图所示，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4 m/s，则船从A点开出的最小速度为()A．2 m/s B．2.4 m/sC ．3 m/sD ．3.5 m/s解析：选B.设水流速度为v 1，船的静水速为v 2，船沿AB 方向航行时，运动的分解如图所示，当v 2与AB 垂直时，v 2最小，v 2min ＝v 1sin 37°＝4×0.6 m/s ＝2.4 m/s ，故B 正确．视角2：平抛运动基本规律3．(2019·湖南永州模拟)在军事演习时，红军轰炸机要去轰炸蓝军地面上的一个目标，通过计算，轰炸机在某一高度以一定的速度飞行，在离目标水平距离x 时释放一颗炸弹，可以准确命中目标．现为了增加隐蔽性和安全性，轰炸机飞行的高度和速度均减半，若仍能准确命中目标，则轰炸机释放炸弹时离目标的水平距离应为(不计空气阻力)( ) A.24x B ．22x C.14x D ．12x 解析：选A.炸弹被投下后做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据h ＝12gt 2，得t ＝ 2h g ，炸弹平抛运动的水平距离为：x ＝v 0t ＝v 0 2h g，由此可知，当轰炸机飞行的高度和飞行速度都要减半时，炸弹的水平位移变为原来的24，所以轰炸机投弹时离目标的水平距离应为24x ，故A 正确． 视角3：被空间约束的平抛运动4．(多选)(2019·唐山二模)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M 、N 与球心等高且在同一竖直面内．现甲、乙两位同学(可视为质点)分别站在M 、N 两点，同时将两个小球以v 1、v 2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q ，已知∠MOQ ＝60°，忽略空气阻力．则下列说法正确的是( )A ．甲、乙两同学抛出球的速率之比为1∶3B ．若仅增大v 1，则两球将在落入坑中之前相撞C ．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变D ．若仅从M 点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中解析：选AB.两球刚好落在坑中同一点，说明两球在竖直方向的位移相同，由y ＝12gt 2可知，两球在空中飞行的时间相同．设半球形的半径为R ，则甲同学抛出的球的水平位移为x 甲＝R －R cos 60°＝R 2，乙同学抛出的球的水平位移为x 乙＝R ＋R cos 60°＝3R 2，由x ＝v t 可知，甲、乙两同学抛出球的速率之比为v 1∶v 2＝x 甲∶x 乙＝1∶3，选项A 正确；若仅增大v 1，则两球将在落入坑中之前相撞，选项B 正确；由x ＝v t 可知，只要落入坑中的同一点，则x 甲＋x 乙＝2R ，两球抛出的速率之和v 1＋v 2＝x 甲t ＋x 乙t ＝x 甲＋x 乙t与小球在空中飞行时间有关，即与小球落入坑中的同一点的位置有关，选项C 错误；根据平抛运动规律的推论，小球落入坑中时速度方向的反向延长线与水平直径的交点在水平位移的12处，即若仅从M 点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中，选项D 错误．考点二 圆周运动1．解决圆周运动问题的关键(1)正确进行受力分析，明确向心力的来源，确定圆心以及半径．(2)列出正确的动力学方程F ＝m v 2r ＝mrω2＝mωv ＝mr 4π2T 2.结合v ＝ωr 、T ＝2πω＝2πr v 等基本公式进行求解．2．抓住“两类模型”是解决问题的突破点(1)模型1——水平面内的圆周运动，一般由牛顿运动定律列方程求解．(2)模型2——竖直面内的圆周运动(绳球模型和杆球模型)，通过最高点和最低点的速度常利用动能定理(或机械能守恒)来建立联系，然后结合牛顿第二定律进行动力学分析求解．3．竖直平面内圆周运动的两种临界问题(1)绳球模型：小球能通过最高点的条件是v ≥gR .(2)杆球模型：小球能通过最高点的条件是v ≥0.1．(2016·高考全国卷Ⅱ)小球P 和Q 用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P 球的质量大于Q 球的质量，悬挂P 球的绳比悬挂Q 球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点．( )A ．P 球的速度一定大于Q 球的速度B ．P 球的动能一定小于Q 球的动能C ．P 球所受绳的拉力一定大于Q 球所受绳的拉力D ．P 球的向心加速度一定小于Q 球的向心加速度解析：选C.两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功，机械能守恒，取轨迹的最低点为零势能点，则由机械能守恒定律得mgL ＝12m v 2，v ＝2gL ，因L P <L Q ，则v P <v Q ，又m P >m Q ，则两球的动能无法比较，选项A 、B 错误；在最低点绳的拉力为F ，则F－mg ＝m v 2L ，则F ＝3mg ，因m P >m Q ，则F P >F Q ，选项C 正确；向心加速度a ＝F －mg m＝2g ，选项D 错误．2．(多选)(2019·高考江苏卷)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m ，运动半径为R ，角速度大小为ω，重力加速度为g ，则座舱( )A ．运动周期为2πR ωB ．线速度的大小为ωRC ．受摩天轮作用力的大小始终为mgD ．所受合力的大小始终为mω2R解析：选BD.座舱的周期T ＝2πR v ＝2πω，A 错．根据线速度与角速度的关系，v ＝ωR ，B 对．座舱做匀速圆周运动，摩天轮对座舱的作用力与重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小为F 合＝mω2R ，C 错，D 对．3．(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g )( )A.v 216gB ．v 28g C.v 24g D ．v 22g解析：选B.物块由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得12m v 2＝2mgr ＋12m v 21，物块做平抛运动时，落地点到轨道下端的距离x ＝v 1t ，t ＝4r g ，联立解得，x ＝4v 2gr －16r 2，由数学知识可知，当4r ＝v 22g 时，x 最大，即r ＝v 28g，故选项B 正确．1．水平面内圆周运动临界问题的分析方法(1)水平面内做圆周运动的物体，其向心力可能由弹力、摩擦力等力提供，常涉及绳的张紧与松弛、接触面分离等临界状态．(2)常见临界条件：绳的临界：张力F T＝0；接触面滑动的临界：F＝f；接触面分离的临界：F N＝0.2．竖直平面内圆周运动的分析方法(1)对于竖直平面内的圆周运动，要注意区分“轻绳模型”和“轻杆模型”，明确两种模型过最高点时的临界条件．(2)解决竖直平面内的圆周运动的基本思路是“两点一过程”．“两点”即最高点和最低点，在最高点和最低点对物体进行受力分析，确定向心力，根据牛顿第二定律列方程；“一过程”即从最高点到最低点，往往由动能定理将这两点联系起来．视角1：水平面内的圆周运动问题1．(多选)(2019·江西红色七校二模)如图所示，三个物块a、b和c(可视为质点)，其中a、b质量为m，放在水平圆盘上并用轻杆相连，c的质量为2m，a、c与转轴OO′间的距离为r，b与转轴间的距离为2r，物块与圆盘间的最大静摩擦力为物块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是() A．a、b一定比c先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等C．ω＝kgr是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝2kg3r时，a所受摩擦力的大小为kmg解析：选AD.当ω较小时，a、b相对圆盘静止，a、b各自静摩擦力提供各自的向心力，由向心力大小F n＝mω2r知，f∝r，B错误；先对c受力分析，2kmg＝2mω2c r，可得c的临界角速度为ωc＝kgr，同理对a、b受力分析有kmg－F＝mω2a r，kmg＋F＝2mω2b r，可得a、b的临界角速度为ωa ＝ωb ＝ 2kg 3r，综上，C 错误，A 、D 正确． 视角2：竖直面内的圆周运动问题2．(多选)(2019·福建四校联考)如图所示，一长为L 的轻质细杆一端与质量为m 的小球(可视为质点)相连，另一端可绕O 点转动，现使轻杆在同一竖直面内做匀速转动，测得小球的向心加速度大小为g (g 为当地的重力加速度)，下列说法正确的是( )A ．小球的线速度大小为gLB ．小球运动到最高点时杆对小球的作用力竖直向上C ．当轻杆转到水平位置时，轻杆对小球的作用力方向不可能指向圆心OD ．轻杆在匀速转动过程中，轻杆对小球作用力的最大值为2mg解析：选ACD.根据向心加速度a ＝v 2r，代入得小球的线速度v ＝gL ，所以A 正确；需要的向心力F ＝ma ＝mg ，所以在最高点杆对小球的作用力为零，故B 错误；小球做匀速圆周运动，合外力提供向心力，故合外力指向圆心，当轻杆转到水平位置时，轻杆对小球的作用力F ＝(mg )2＋(ma )2，方向不指向圆心O ，所以C 正确；轻杆在匀速转动过程中，当转至最低点时，杆对小球的作用力最大，根据牛顿第二定律：F －mg ＝m v 2r，得轻杆对小球作用力的最大值为F ＝2mg ，所以D 正确．视角3：圆周运动和平抛运动的综合问题3．(多选)(2019·河北石家庄模拟)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B 点脱离后做平抛运动，经过0.3 s 后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰．已知半圆形管道的半径为R ＝1 m ，小球可看作质点且其质量为m ＝1 kg ，g 取10 m/s 2.则( )A ．小球在斜面上的相碰点C 与B 点的水平距离是0.9 mB ．小球在斜面上的相碰点C 与B 点的水平距离是1.9 mC ．小球经过管道的B 点时，受到管道的作用力F N B 的大小是1 ND ．小球经过管道的B 点时，受到管道的作用力F N B 的大小是2 N解析：选AC.根据平抛运动的规律，小球在C 点的竖直分速度v y ＝gt ＝3 m/s ，水平分速度v x ＝v y tan 45°＝3 m/s ，则B 点与C 点的水平距离为x ＝v x t ＝0.9 m ，选项A 正确，B 错误；在B 点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有F N B ＋mg ＝m v 2BR ，v B ＝v x ＝3 m/s ，解得F N B ＝－1 N ，负号表示管道对小球的作用力方向向上，选项C 正确，D 错误．考点三 万有引力定律及其应用1．计算天体质量和密度的两条基本思路(1)利用中心天体自身的半径R 和表面的重力加速度g ：由G MmR 2 ＝mg 求出M ，进而求得ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR.(2)利用环绕天体的轨道半径r 、周期T ：由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得出M ＝4π2r 3GT 2，若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r ＝R ，则ρ＝M 43πR 3＝3πGT 2.2．涉及“g ”问题的两点提醒(1)不考虑自转问题时，有G MmR 2＝mg ，其中g 为星球表面的重力加速度，若考虑自转问题，则在两极上才有：G Mm R 2＝mg ，而赤道上则有：G Mm R 2－mg ＝m 4π2T2R .(2)根据自由落体、竖直上抛、平抛运动等知识计算出星球表面的重力加速度g ，再由mg ＝G MmR 2＝m v 2R ，去估算星球的质量、密度、第一宇宙速度等，是天体运动问题中常出现的一类综合题．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描述F 随h 变化关系的图象是( )解析：选D.由万有引力公式F ＝G Mm (R ＋h )2可知，探测器与地球表面距离h 越大，F 越小，排除B 、C ；而F 与h 不是一次函数关系，排除A.故D 正确．2．(2018·高考全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( )A ．2∶1B ．4∶1C ．8∶1D ．16∶1解析：选C.由开普勒第三定律得r 3T 2＝k ，故T PT Q ＝⎝⎛⎭⎫R P R Q 3＝⎝⎛⎭⎫1643＝81，C 正确． 3．(2018·高考全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3解析：选C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G Mm R 2＝m 4π2R T 2，M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3πGT2，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m 3，C 正确．4．(多选)(2018·高考全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度解析：选BC.由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112 s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT ，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有：G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、Gm 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误．估算天体质量和密度时要注意三点(1)如果天体的运行轨迹为椭圆，只能应用开普勒行星运动定律进行分析，向心力不等于万有引力．(2)利用G Mm r 2＝m 4π2T 2r 只能计算中心天体的质量，不能计算绕行天体的质量．(3)注意区分轨道半径r 和中心天体的半径R ，计算中心天体密度时应用ρ＝M43πR 3而不是ρ＝M43πr 3.视角1：开普勒行星运动定律1．(2019·历城模拟)如图所示，卫星携带一探测器在半径为3R (R 为地球半径)的圆轨道上绕地球飞行．在a 点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出(设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略)．之后卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b 距地心的距离为nR (n 略小于3)，已知地球质量为M ，引力常量为G ，则卫星在椭圆轨道上运行的周期为( )A ．π(3＋n )R (3＋n )RGMB ．π(3＋n )R(3＋n )R2GMC ．6πR3R GMD ．πR(3＋n )R2GM解析：选B.卫星在圆轨道上运行时的周期为T 1，根据万有引力提供向心力：G mM (3R )2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 12 (3R )，在椭圆轨道上运行的周期T 2，根据开普勒第三定律：(3R )3T 21＝⎝⎛⎭⎫nR ＋3R 23T 22，由以上两式联立解得：T 2＝π(3＋n )R(3＋n )R2GM，故B 正确． 视角2：天体质量和密度的估算2．(多选)(2019·肇庆二模)如图所示，Gliese581g 行星距离地球约20亿光年(189.21万亿公里)，公转周期约为37年，该行星位于天秤座星群，它的半径大约是地球的2倍，重力加速度与地球相近．则下列说法正确的是( )A ．飞船在Gliese581g 表面附近运行时的速度小于9 km/sB ．该行星的平均密度约是地球平均密度的12C ．该行星的质量约为地球质量的2倍D ．在地球上发射航天器到达该星球，航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度 解析：选BD.飞船在Gliese581g 表面附近运行时，万有引力提供向心力，则mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ，该星球半径大约是地球的2倍，重力加速度与地球相近，所以在该星球表面运行速度约为地球表面运行速度的2倍，在地球表面附近运行时的速度为7.9 km/s ，所以在该星球表面运行速度约为11.17 km/s ，故A 错误；根据密度的定义式ρ＝M V ＝gR 2G 43πR 3＝3g4πGR，故该行星的平均密度与地球平均密度之比等于半径的反比，即该行星的平均密度约是地球平均密度的12，故B 正确；忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力，则有mg ＝G MmR 2，g＝GMR 2，这颗行星的重力加速度与地球相近，它的半径大约是地球的2倍，所以它的质量是地球的4倍，故C 错误；由于这颗行星在太阳系外，所以航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度，故D 正确．视角3：双星及多星问题3．(多选)(2019·河北石家庄一模)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示．设两种系统中三个星体的质量均为m ，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G ，则下列说法中正确的是( )A ．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为Gm LB ．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4πL 35GmC ．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2L 33Gm D ．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为3GmL 2解析：选BD.在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G m 2L 2＋G m 2(2L )2＝m v 2L ，解得v ＝125GmL，A 项错误；由周期T ＝2πrv 知，直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T ＝4πL 35Gm，B 项正确；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2G m 2L 2cos 30°＝mω2·L2cos 30°，解得ω＝3Gm L 3，C 项错误；由2G m 2L 2cos 30°＝ma 得a ＝3GmL2，D 项正确．考点四 人造卫星和宇宙航行1．卫星的绕行速度v 、角速度ω、周期T 与轨道半径r 的关系 (1)由G Mmr 2＝m v 2r ，得v ＝GMr，则r 越大，v 越小． (2)由G Mmr 2＝mω2r ，得ω＝GMr 3，则r 越大，ω越小． (3)由G Mm r 2＝m 4π2T2r ，得T ＝2πr 3GM，则r 越大，T 越大． 2．第一宇宙速度是指发射人造地球卫星的最小发射速度，也是人造卫星环绕地球运动的最大环绕速度．其求解方法是：G MmR 2＝m v 2R.3．同步卫星的周期与地球的自转周期相同，是24 h ，同步卫星只能定点于赤道上空，其离地高度是一定的，速度大小是确定的．1．(2019·高考全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为v 金、v 地、v 火．已知它们的轨道半径R 金<R 地<R 火，由此可以判定( )A ．a 金>a 地>a 火B ．a 火>a 地>a 金C ．v 地>v 火>v 金D ．v 火>v 地>v 金解析：选A.行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识：由G mMR 2＝ma得向心加速度a ＝GM R 2，由G mMR 2＝m v 2R得速度v ＝GMR，由于R 金＜R 地＜R 火，所以a 金＞a 地＞a 火，v 金＞v 地＞v 火，选项A 正确．2．(2017·高考全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与“天宫二号”单独运行时相比，组合体运行的( )A ．周期变大B ．速率变大C ．动能变大D ．向心加速度变大解析：选 C.“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道运行，根据G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mr 4π2T 2可知，组合体运行的向心加速度、速率、周期不变，质量变大，则动能变大，选项C 正确．3．(2016·高考全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A ．1 hB ．4 hC ．8 hD ．16 h解析：选B.万有引力提供向心力，对同步卫星有：GMm r 2＝mr 4π2T 2，整理得GM ＝4π2r 3T 2，当r ＝6.6R 地时，T ＝24 h ，若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R 地，三颗同步卫星A 、B 、C 如图所示分布，则有4π2(6.6R 地)3T 2＝4π2(2R 地)3T ′2，解得T ′≈T 6＝4 h ，选项B 正确．1．卫星变轨的两种常见情况较低圆轨道近地点向后喷气近地点向前喷气椭圆轨道远地点向后喷气远地点向前喷气较高圆轨道2．航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v ＝GMr判断． (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．(3)航天器经过不同轨道相切的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．视角1：人造卫星的发射和运行。