上海市杨浦区2018届高三4月质量调研(二模)理科数学试题及答案模板

杨浦区2018届高三年级二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 函数lg 1y x =-的零点是 2. 计算：2lim41n nn →∞=+3. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是，则4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为5. 若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为6. 若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形， 则该圆锥的体积是8. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =9. 若3sin()cos cos()sin 5x y x x y x ---=，则tan 2y 的值为10. 若为等比数列，0n a >，且20182a =，则2017201912a a +的最小值为 11. 在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =.若B 为钝角，1cos 24C =-，则ABC ∆的面积为12. 已知非零向量OP uu u r 、OQ uuu r 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++uuu r uu u r uuur ，定义点集 {|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==uu r uuu r uu u r uuu ruu r uu u r . 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤u u u u r u u u r恒成立，则实数k 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A. 4πB. 2π54n ={}n aC. 2π-D. 3π-14. 设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈U 且}x A B ∉I .已知{|A x y ==，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ）A.[0,1](2,)+∞UB. [0,1)(2,+∞U C.[0,1] D. [0,2] 15. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要16. 已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大 值为（ ）A. 1arccos 3 B. C. D.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用， 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位：元）与营运天数x ()x ∈*N 满足函数关系 式21608002y x x =-+-.（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大？18. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.19. 已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n ≥，n ∈*N ，λ，μ∈R .（1）若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和； （2）若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.20. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围； （2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．21. 记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满 足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x =-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2x g x t =+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数；（3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论.上海市杨浦区2018届高三年级二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 函数lg 1y x =-的零点是 【解析】lg 1010x x -=⇒=2. 计算：2lim41n nn →∞=+【解析】123. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是，则【解析】223544n C n =⇒=4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 【解析】125. 若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为【解析】三个交点为(1,1)、(0,0)、(2,0)，所以最大值为3 6. 若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是【解析】结合几何意义，单位圆上的点到(0,1)的距离，最大值为7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2则该圆锥的体积是 【解析】13V π=⋅⋅= 8. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =【解析】2234164p p p +=⇒= 9. 若3sin()cos cos()sin 5x y x x y x ---=，则tan 2y 的值为 【解析】3sin 5y =-，3tan 4y =±，24tan 27y =±54n =20172019的最小值为 【解析】2019201720182220172019201820182124a a a a a a ++=≥= 11. 在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =.若B 为钝角，1cos 24C =-，则ABC ∆的面积为【解析】2a =，4c =，21cos212sin sinC C C =-=-⇒=，cos C =，sin A =，cos A =sin sin()B A C =+=，1242S =⨯⨯=12. 已知非零向量OP uu u r 、OQ uuu r 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++uuu r uu u r uuur ，定义点集 {|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==uu r uuu r uu u r uuu ruu r uu u r . 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤u u u u r u u u r恒成立，则实数k 的最小值为【解析】建系，不妨设(1,0)P -，(1,0)Q ，∴1(,0)1m M m -+，3m ≥，11[,1)12m m -∈+， ∴3FP MP FQ MQ =≥，设(,)F x y ，∴2222(1)9(1)x y x y ++≥-+，即2259()416x y -+≤，点F 在此圆内， ∴12max 33||242F F =⨯=uuu u r ，33224k k ≤⇒≥二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A. 4πB. 2πC. 2π-D. 3π-【解析】T π=，2ω=，()122f ππϕ=⇒=-，选C14. 设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈U 且}x A B ∉I .已知{|A x y ==，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ）A.[0,1](2,)+∞UB. [0,1)(2,+∞U C.[0,1] D. [0,2]【解析】[0,2]A =，[0,)A B =+∞U ，(1,2]A B =I ，选A15. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 【解析】11220a b a b =推出直线平行或重合，选B 16. 已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大 值为（ ）A. 1arccos 3 B. C. D. 【解析】设三条棱a b c ≤≤，∴454ab ac bc ++=，6a b c ++=，222272a b c ++=，222224522[(6)]4a b c a bc a a a ++≥+=+--，整理得2430a a -+≤，∴12a ≤≤，∴最短棱长为1cos θ==，选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用， 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位：元）与营运天数x ()x ∈*N 满足函数关系式21608002y x x =-+-.（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大？ 【解析】（1）要使营运累计收入高于800元，令80080060212>-+-x x ， ……2分 解得8040<<x . ………………………………………5分所以营运天数的取值范围为40到80天之间 .………………………………7分（2）6080021+--=x x x y 6020≤-= …………………………………9分 当且仅当18002x x=时等号成立，解得400x = …………………………12分所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天 .…14分18. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，请你确定点E 的位置，并证明你的结论. 【解析】以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，C (0,1,0) ，D (0,1,2) ，A (1,0,1)，设(1,,0)E m (01)m ≤≤（1）证明：1(1,0,1)DA =，1(1,,1)ED m =--………2分 111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=………4分 所以DA 1⊥ED 1. ……………6分另解：1ADA AE 平面⊥，所以D A AE 1⊥. ……………2分 又11AD D A ⊥，所以AE D D A 11平面⊥. ……………………………4分 所以11DA ED ⊥……………………………6分（2）以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴、AA 1为z 轴建立空间直角坐标系…………7分 所以)1,0,0(1A 、)0,1,0(D 、)0,1,1(C 、)1,1,0(1D ，设t AE =，则)0,0,(t E ………8分 设平面CED 1的法向量为),,(z y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CE n CD 可得⎩⎨⎧=--=+-0)1(0y x t z x ， 所以⎩⎨⎧-==xt y x z )1(，因此平面CED 1的一个法向量为)1,1,1(-t ………10分由直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，可得45sin 11=︒ ……11分可得1)1(12|11|222+-+⋅+-=t t ，解得21=t ………13分 由于AB =1，所以直线1DA 与平面1CED 所成的角是45时，点E 在线段AB 中点处. …14分19. 已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n ≥，n ∈*N ，λ，μ∈R .（1）若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和； （2）若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列. 【解析】（1）14-=n n a S ，所以n n a S 41=+.两式相减得1144-+-=-n n n n a a S S .即1144-+-=n n n a a a………2分所以)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，即12-=n n b b ，………3分又8412==a S ，所以6122=-=a S a ，得22121=-=a a b ………4分 因此数列{}n b 为以2为首项，2为公比的等比数列.nn b 2=，前n 项和为221-+n …7分 （2）当n = 2时，1222a a S μλ+=，所以μλ2623+=+. 又32λμ+=，可以解得12λ=，1μ= ………9分所以12-+=n n n a a n S ，n n n a a n S ++=++1121，两式相减得111221-++-+-+=n n n n n a a a n a n a即112221-++-=-n n n a a n a n . 猜想1+=n a n ，下面用数学归纳法证明： ………10分 ① 当n = 1或2时，1121+==a ，1232+==a ，猜想成立； ② 假设当k n ≤（2,*≥∈k N k ）时，1k a k =+ 成立 则当1+=k n 时，2))1(22(12)22(1211+=++--=+--=-+k k k k k a a k k a k k k 猜想成立. 由①、②可知，对任意正整数n ，1+=n a n .………13分 所以11=-+n n a a 为常数，所以数列{}n a 是等差数列.………14分另解：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ，又32+=λμ，解得112==，λμ． ………9分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-，即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----=所以 21(1)20n n n na n a a ++---= ………11分 相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-， 因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………14分20. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围； （2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．【解析】（1）椭圆99:22=+Ωy x ，两个焦点)22,0(1F 、)22,0(2-F ，设),(y x K 所以8)22,()22,(2221-+=---⋅--=⋅y x y x y x KF KF由椭圆性质可知11≤≤-x ，所以]1,7[21-∈⋅KF KF……………5分（2）设直线b kx y l +=:（0,0≠≠k b ），),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x M ， 所以21x x 、为方程222)(9m b kx x =++的两根，化简得02)9(2222=-+++m b kbx x k ，所以922210+-=+=k kb x x x ，99922200+=++-=+=k bb k b k b kx y . ……………8分 kx y k OM 900-==，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积等于9-为定值. …………10分（3）∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 设),(p p y x P 设直线m m x k y l +-=)3(:（0,0≠≠k m ），即m mkkx y +-=3.由（2）的结论可知x k y OM 9:-=，代入椭圆方程2229m y x =+得8192222+=k k m x p …12分由（2）的过程得中点)9)3(9,9)3((22+-+--k km m k k mk m M ， ……………14分 若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以p x x =02，得819)93(4222222+=+-k k m k mk mk ，解得74±=k 所以当l的斜率为44OAPB 为平行四边形． ……………16分21. 记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满 足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x =-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2x g x t =+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数；（3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论. 【解析】（1）1()1f x x=-是ψ函数 . ……1分 理由如下：1()1f x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 只需证明存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.由()()f a x f a x b -++=，得112b a x a x +-=-+，即2()()a x a xb a x a x ++-+=-+. 所以22(2)()2b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立. 即2,0.b a =-= 从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.2018年4月上海市杨浦区高考二模数学试题及解析11 所以1()1f x x =-是ψ函数. …………4分（2）记()g x 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，使得当且时， 恒成立，即恒成立.所以， ……5分 化简得，.所以10bt -=,22(2)20a b t t +-=. 因为0t ≠，可得1b t =，2log ||a t =,即存在实数a ，b 满足条件，从而是ψ函数. …………10分（3）函数的图象关于直线（为常数）对称，所以 （1）， ……………12分 又因为 （2），所以当时，)]2([)22(a m x m h a m x h -++=-+由（1） )]([)2()]2([x a a h x a h a m x m h -+=-=-+-=由（2） )()]([x h b x a a h b -=---= （3）所以)22(]22)22[()44(a m x h b a m a m x h a m x h -+-=-+-+=-+（取a m x t 22-+=由（3）得）再利用（3）式，)()]([)44(x h x h b b a m x h =--=-+.所以()f x 为周期函数，其一个周期为a m 44-. ……………15分 当a m =时，即)()(x a h x a h +=-，又)()(x a h b x a h +-=-， 所以2)(bx a h =+为常数. 所以函数)(x h 为常数函数，2)()1(bx h x h ==+，)(x h 是一个周期函数. ……………17分综上，函数)(x h 为周期函数 ……………18分b a x D -∈a x D +∈()()g a x g a x b -++=)(x h x m =m )()(x m h x m h +=-b x a h x a h =++-)()(a m ≠。

一、单选题1. 已知集合，且，则集合可以是A．B．C．D．2. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别为（）A．B．C．D．3. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯(T .R .Malthus ，1766—1834)提出的模型：，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r 表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港､澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港､澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年末(不包括香港､澳门和台湾地区)的全国总人口数约为（ ）(，)A ．14.30亿B ．15.20亿C ．14.62亿D ．15.72亿4. 用短语“maths test”中所有的重复字母重新排列，能组成不同排列的个数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．405. “实数”是“方程”表示圆的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D ．7. 某种机器使用三年后即被淘汰，该机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元；在机器使用期间，如上海市杨浦区2024届高三上学期模拟质量调研数学试题 (2)上海市杨浦区2024届高三上学期模拟质量调研数学试题 (2)二、多选题三、填空题四、解答题果备件不足再购买，则每个元.某人在购买该机器前，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.若以频率为概率，估计此人购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率A．B．C．D．8.已知集合，，则（ ）.A．B．C．D．9. 已知椭圆的离心率为，G为其上的一个动点，和为其左、右焦点；双曲线的两条渐近线与椭圆C 有四个交点，按逆时针方向顺次连接这四个交点得到的四边形的面积为16，则下列结论正确的为（ ）A ．椭圆C的方程为：B ．面积的最大值为C．的最大值为D ．若，则的最大值为10. 若实数a ，b 满足，则下列结论中正确的是（ ）A．B．C．D．11.已知向量满足，且，则（ ）A．B．C．D．12. 双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（ ）A ．外心的轨迹是一条直线B ．当变化时，外心的轨迹方程为C ．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上D ．若分别是中点，则的外接圆过定点13. 从甲、乙、丙名同学中选出名同学参加活动，则甲、乙两人中恰有一人被选中的概率为________．14. 函数在上的最小值是________.15.已知圆，直线与圆C 相交于M ，N两点，则______．16. 在中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若．（1）求内角B 的大小；（2）若，求面积的最大值．17. 设集合，、是的两个非空子集，且满足集合中的最大数不大于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为.（1）求的值；（2）求的表达式.18. 已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．19. 已知函数.（1）当时，求的单调性；（2）若，且方程有两个不相等的实数根，求证：.20. 已知正项数列满足:,且.(1)证明数列是等差数列;(2)若,求数列的前项和.21. 某学习APP的注册用户分散在A，B，C三个不同的学习群里，分别有24000人，24000人，36000人，该APP设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A，B，C三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏．(1)每局“七人赛”游戏中，应从A，B，C三个学习群分别匹配多少人？(2)现需要从匹配的7名学员中随机抽取3人进入互动环节，并用X表示进入互动环节的C群人数，求X的分布列与数学期望．。

2018高三理科二模数学试卷（杨浦等区附答案）
5 c 高三年级静安、杨浦、青浦、宝区高考模拟考试
数学试卷（理科） 201804
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知全集，集合，则
2．若复数满足（是虚数单位），则
3．已知直线的倾斜角大小是，则
4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是
5．已知函数和函数的图像关于直线对称，
则函数的解析式为
6．已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为7．函数的最小正周期
8．若展开式中含项的系数等于含项系数的8倍，则正整数9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，
那么这个圆锥的母线长为．
11．某中学在高一年级开设了门选修，每名学生必须参加这门选修中的一门，对于该年级的
甲、乙、丙名学生，这名学生选择的选修互不相同的概率是 (结果用最简分数表示)．
12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其比的取值范围是
13．已知两个不相等的平面向量， ( )满足| |＝2，且与－的夹角为120°，。

2018届上海市杨浦区高三二模考试语文试题(解析版)上海市杨浦区2018年高三年级第二学期模拟质量调研语文学科试卷（二模）积累应用1.按要求填空（1）____________，长安不见使人愁。

（XXX《登金陵凤凰台》）（2）____________，尽西风,XXX归未。

（XXX《水龙吟·____________》）（3）XXX在《师说》中客观地指出弟子不一定不及老师,老师也不一定比弟子贤能,其原因在于“____________，____________”。

【答案】(1).总为浮云能蔽日(2).休说鲈鱼堪脍(3).登建康赏心亭(4).闻道有先后(5).术业有专攻【解析】试题分析：名句默写分为两大类，一是给出语境的理解性默写，二是给出上句写下句的直接默写。

默写要注意字形，而字形与字义分不开，学生应借助字义来识记字形。

注意重点字的写法。

如“蔽”“脍”“攻”要理解字义去记忆。

学生记忆的时候应该结合诗句的意思。

2.同学们在毕业二十年之后聚会,各自事业有成,班主任想要用一句古诗词来表达此刻的喜悦激动心情,恰当的一句是A.芳林新叶催XXX,流水前波让后波。

B.XXX会有时,直挂云帆济沧海。

C.江山代有才人出,各领风骚数百年。

D.XXX从磨砺出,梅花香自苦寒来。

【答案】A【解析】试题分析：本题主要考查情境理解，需要注意结合诗句内容和题干要求。

班主任想要用一句古诗词来表达此刻的喜悦激动心情，A项，抓住“新叶”“XXX”“前波”“后波”分析。

郁郁葱葱的树林里，老的叶子掉落了，新的叶子马上就长出来了；甚至老叶子只是枯黄着还留在枝头，新叶子就迫不及待地长了出来。

缠绵不断的流水中，前面的波浪流走了，后面的波浪就补了上来；有时候，前面的波浪还没消失，后面的波浪就涌了过来。

B项，重在强调奋斗的过程中不畏艰险；C项，“各领风骚”将自己与学生同列，且不谦虚说自己“领风骚”；D 项，强调“磨砺”的重要性。

3.填入上面语段空白处的语句,最恰当的是这在很多人看来是一个不可理喻甚至有点蠢的问题,但却是我们必须弄明白的问题。

杨浦区2018学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2019.4.考生注意： 1. 答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.2. 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 函数2()12sin f x x =-的最小正周期是▲________．2. 方程组310,2540x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的增广矩阵为▲________．3. 若幂函数()kf x x =的图像过点（4，2），则(9)f =▲________．4. 若的二项展开式中项的系数是，则▲________．5. 若复数z 满足()234i a bi +=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则22a b +=▲________．6. 函数()1log 3a y x =-++(0a >且1a ≠)的反函数为()1f x -，则()11f --=▲________. 7. 函数arcsin 211x x y =-的值域是▲________.8. 哥德巴赫猜想是“每个大于的2偶数可以表示为两个素数的和”，如835=+．在不超过13的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是▲________（用分数表示）.9. 若定义域为(,0)(0,)-∞+∞U 的函数⎪⎩⎪⎨⎧<+>-=-0,2,0,21)(x m x x f x x是奇函数，则实数m的值为▲________.10. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何()13nx +2x 54n =问题：在平面上给定两点)0,(),0,(a B a A -，动点P 满足||||PA PB λ=（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”. 该圆的半径为 ▲________．11. 若ABC ∆的内角C B A ,,，其中G 为ABC ∆的重心，且0GA GB ⋅=u u u r u u u r，则Ccos 的最小值为▲________．12. 定义域为集合{1,2,3,,12}L 上的函数)(x f 满足：① 1)1(=f ； ②|(1)()|1(1,2,,11)f x f x x +-==L ； ③)12(),6(),1(f f f 成等比数列. 这样的不同函数)(x f 的个数为▲________．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 若x 、y 满足0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 则目标函数2f x y =+的最大值为……………………( ))(A 1 )(B 2 )(C 3 )(D 414. 已知命题:α “双曲线的方程为()2220x y a a -=>”和命题β：“双曲线的两条渐近线夹角为2π”，则α是β的 ……………………（ ）)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件)(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件 15. 对于正三角形T ，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作”. 设T 是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作. 设n A 是第n 次挖去的小三角形面积之和（如1A 是第1次挖去的中间小三角形面积，2A 是第2次挖去的三个小三角形面积之和），n S 是前n 次挖去的所有三角形的面积之和，则=∞→n n S lim ……………………（ ）)(A 43 )(B 33 )(C 23 )(D 2116. 已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为,,a b c , 且87cos =A . I 为ABC ∆内部的一点，且0a IA b IB c IC ++=u u r u u r u u r r ，若AI x AB y AC =+u u r u u u r u u u r，则y x +的最大值为………( ))(A 45 )(B 21 )(C 65 )(D 54三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()(1tan )sin 2f x x x =+⋅． （1）求()f x 的定义域；（2）求函数()()2F x f x =-在区间(0,π)内的零点．18.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利. 已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足：220t ≤≤，t ∈N . 经测算，地铁载客量)(t p 与发车时间间隔t 满足：()212001010,210()1200,1020t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，， 其中t ∈N .（1）请你说明()5p 的实际意义； （2）若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的的三棱柱.（1）某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；（2）在堑堵111C B A ABC -中，如图2，BC AC ⊥，若21==AB A A ，当阳马C C AA B 11-的体积最大时，求二面角11C B A C --的大小.图1 图220.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）已知椭圆134:22=+Ωy x 的左右两焦点分别为12,F F .（1）若矩形ABCD 的边AB 在y 轴上，点D C ,均在Ω上，求该矩形绕y 轴旋转一周所得圆柱侧面积S 的取值范围；（2）设斜率为k 的直线l 与Ω交于Q P ,两点，线段PQ 的中点为)0)(,1(>m m M ，求证：21-<k ；（3）过Ω上一动点()00,E x y 作直线134:00=+yy x x l ，其中00y ≠，过E 作直线l的垂线交x 轴于点R . 问是否存在实数λ，使得1221EF RF EF RF λ⋅=⋅恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分）已知数列}{n a 满足：21111,8n n a a a m +==+，其中R N ∈∈m n ,*.（1）若21,,a m a 成等差数列，求m 的值； （2）若0=m ，求数列}{n a 的通项n a ；（3）若对任意正整数n ，都有4<n a ，求m 的最大值.杨浦区2018学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准 2019.4.考生注意： 1. 答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.2. 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. π2.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--452131 3. 3 4. 4 5. 5 6. 2- 7. ]22,221[ππ+-8. 32 9. 1- 10.|1|22λλ-a 11. 5412. 155 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.C 14.A 15.A 16.D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）因为函数tan y x =的定义域为},2|{Z k k x x ∈+≠ππ ……2分所以函数()f x 的定义域为},2|{Z k k x x ∈+≠ππ ……6分（2）x x xxx f cos sin 2)cos sin 1()(⋅+= x x x 2sin 2cos sin 2+= x x 2cos 12sin -+= )42sin(21π-+=x ， ……10分令2)(=x f ，即22)42sin(=-πx 由),0(π∈x 得，)47,4(42πππ-∈-x ， ……12分 故442ππ=-x 或π43，即4π=x 或2π（舍）. ……14分 18.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）95025101200)5(=⨯-=p ， ……3分)5(p 的实际意义是：当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量为950； ……7分（2）当102<≤t 时，840)36(603603360)10(6072002++-=----=tt t t Q ，1208401260=+⨯≤-等号成立当且仅当6=t ； ……10分 当2010≤≤t 时，3603840360336012006-=--⨯=tt Q24360103840=≤- 等号成立当且仅当10=t ……13分故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元. ……14分19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）由已知，该“堑堵”的底面是等腰直角三角形，且斜边长为2，相应的高为1 棱柱的侧棱长为2 ……4分故该堑堵的体积为221221=⨯⨯⨯； ……6分（2）12132221111AA BC AC V V V ABC A C AA B C C AA B ⨯⨯⨯===--- 3431)(31222==+≤AB BC AC等号成立的充要条件是2==BC AC ； ……8分以C 为原点，1,,CC CA CB 为坐标轴建系， 则)2,2,0(),2,0,0(),0,0,2(11A C B ，则)2,2,0(),0,0,2(1==CA ，设面BC A 1的法向量为),,(1c b a n =，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=,022,02c b a 令1=c ，得)1,2,0(1-=n ， 同理可得，面11BC A 的法向量为)1,0,2(2=n ， ……12分 故1n 与2n 的夹角θ满足：31cos =θ， 由图可知，所求二面角为锐角，故所求为31arccos ……14分20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分） 解：（1）解法一：不妨假设C 在第一象限，令)20)(sin 3,cos 2(πααα<<C ，则)2sin(34sin 32cos 22απααπ=⋅⋅=S ，……2分 由)0(2πα，∈，得]34,0(π∈S ； ……4分解法二：不妨假设()00,C x y 在第一象限，则2200143x y += ……1分有1≥ 所以00x y ≤3分004S x y π=≤ 得]34,0(π∈S ； ……4分（2）解法一：直线l 的方程为)1(-=-x k m y ，代入0124322=-+y x ，012)(4)(8)34(222=--+-++k m x k m k x k ，……6分0]3)(4[48]12)(4)[34(4)(64222222>+--=--+--=∆k m k k m k k m k ，即03)(422>+--k m k ， ……7分 又M 为中点，故134)(42=+--k k m k ，得km 43-=，0<k ， ……8分 代入03)(422>+--k m k 得，0)34)(12)(12(2>++-k k k ， 而0)34)(12(2<+-k k ，故012<+k ，即21-<k ……9分 解法二：设()()1122,,,P x y Q x y ，则，222211221,14343x y x y +=+=两式相减整理得1212121234y y x x x x y y -+=--+ 即121234x x k y y +=-+由题意得121,2x x +=12,2y y m += 于是34k m=- ……6分 中点()1,M m 在椭圆内部，则221143m +< 解得302m <<（要说明理由，否则扣2分） 故12k <-……9分 （3）当00x =时， 1221EF RF EF RF ⋅=⋅，所以，存在实数满足条件，则1λ=； ……10分 直线ER 的方程为0)(4)(30000=---y y xx x y ， 则)0,4(x R ， ……12分 故20202020*********2212)411()411()1()1(||||||||x x y x y x RF EF RF EF +-⨯+-++=⋅⋅=λ ……14分 1)4()4()4()4()4()4(433)1(433)1(2020202020202020220=+-⨯-+=+-⨯-+--++=x x x x x x x x x x 所以，1=λ。

上海市杨浦区2023届高三下学期高考模拟（二模）数学试题一、单选题1．（2023·上海杨浦·统考二模）已知a 、b ∈R ，则“a b >”是“33a b >”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．（2023·上海杨浦·统考二模）对成对数据()11,x y 、()22,x y 、…、(),n n x y 用最小二乘法求回归方程是为了使（ ）A ．()10ni i y y =-=∑B ．µ()10ni i i y y =-=∑C ．µ()1n i i i y y =-∑最小D ．µ()21ni i i y y =-∑最小3．（2023·上海杨浦·统考二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间(),0∞-上严格递减的是（ ）A ．2xy =B ．()ln y x =-C ．23y x-=D．y =4．（2023·上海杨浦·统考二模）如图，一个由四根细铁杆PA 、PB 、PC 、PD 组成的支架（PA 、PB 、PC 、PD 按照逆时针排布），若π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心O 到点P 的距离是（ ）ABC ．2D ．32二、填空题5．（2023·上海杨浦·统考二模）集合{}2230A x x x =--=，{}24,B x x x =≤≤∈R ，则A B =I______6．（2023·上海杨浦·统考二模）复数34i34i+-的虚部是______7．（2023·上海杨浦·统考二模）已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则数列{}n a 的通项公式是___________.8．（2023·上海杨浦·统考二模）设()55435431021x a x a x a x a x a +=+++++L ，则3a =______9．（2023·上海杨浦·统考二模）函数()ln 23y x =-的导数是y '=______10．（2023·上海杨浦·统考二模）若圆锥的侧面积为15π，高为4，则圆锥的体积为______11．（2023·上海杨浦·统考二模）由函数的观点，不等式3lg 3x x +≤的解集是______12．（2023·上海杨浦·统考二模）某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为______分13．（2023·上海杨浦·统考二模）ABC V 内角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，若3a =，b ，π3A ∠=，则B ∠=______14．（2023·上海杨浦·统考二模）若1F ､2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点.若2ABF △为等边三角形，则双曲线的离心率为________.15．（2023·上海杨浦·统考二模）若存在实数ϕ，使函数()()()1cos 02f x x ωϕω=+->在[]π,3πx ∈上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为______16．（2023·上海杨浦·统考二模）已知非零平面向量a r 、b r 、c r满足5a =r ，2b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则b r的最小值是______三、解答题17．（2023·上海杨浦·统考二模）已知一个随机变量X 的分布为：6789100.10.20.3a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)已知()435E X =，求a 、b 的值；(2)记事件A ：X 为偶数；事件B ：8X ≤.已知()12P A =，求()P B ，()P A B ⋂，并判断A 、B 是否相互独立？18．（2023·上海杨浦·统考二模）四边形ABCD 是边长为1的正方形，AC 与BD 交于O 点，PA ⊥平面ABCD ，且二面角P BC A --的大小为45︒.(1)求点A 到平面PBD 的距离；(2)求直线AC 与平面PCD 所成的角.19．（2023·上海杨浦·统考二模）如图，某国家森林公园的一区域OAB 为人工湖，其中射线OA 、OB 为公园边界.已知OA OB ⊥，以点O 为坐标原点，以OB 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）.曲线AB 的轨迹方程为：()2402y x x =-+≤≤.计划修一条与湖边AB 相切于点P 的直路l （宽度不计），直路l 与公园边界交于点C 、D 两点，把人工湖围成一片景区OCD V .(1)若P 点坐标为()1,3，计算直路CD 的长度；（精确到0.1千米）(2)若P 为曲线AB （不含端点）上的任意一点，求景区OCD V 面积的最小值.（精确到0.1平方千米）20．（2023·上海杨浦·统考二模）已知椭圆()2222:1043x y C a a a +=>的右焦点为F ，直线:40l x y +-=.(1)若F 到直线l 的距离为a ；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且ABO V 的面积为487，求a ；(3)若椭圆C 上存在点P ，过P 作直线l 的垂线1l ，垂足为H ，满足直线1l 和直线FH 的夹角为π4，求a 的取值范围.21．（2023·上海杨浦·统考二模）已知数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，满足13a =，27a =，12n n n a a a ++=-，*n ∈N .(1)写出数列{}n a 前4项的所有可能取法；(2)判断：是否存在正整数k ，满足1k a =，并说明理由；(3)n c 为数列{}n a 的前n 项中不同取值的个数，求100c 的最小值.参考答案：1．C【分析】利用函数3()f x x =在R 上单调递增即可判断出结论.【详解】()3,f x x x =∈R Q 是奇函数且为递增函数，所以a b >，则()()f a f b >，即33a b >，同理，33a b >，则()()f a f b >，函数单调递增，得a b >；∴ “a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.2．D【分析】由最小二乘法的求解即可知.【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小，故选：D 3．A【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性，再由指对幂函数的性质判断区间单调性，即可得答案.【详解】由22x x -=且x ∈R ，故2x y =为偶函数，在(),0∞-上2xy -=递减，A 符合；由()ln y x =-的定义域为(),0∞-，故为非奇非偶函数，B 不符合；由23y x -==(,0)(0,)-∞+∞U ，=，故23y x -=为偶函数，在(),0∞-上递增，C 不符合；由y =R ，=，故为偶函数，在(),0∞-上递增，D 不符合.故选：A 4．B【分析】将支架看作一个正四棱锥，根据已知及相切关系得到三角形相似，利用相似比求球心O 到点P 的距离.【详解】如上图正四棱锥P ABCD -，H 为底面中心，O 为球心，E 为球体与PD 的切点，又π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，故P ABCD -各侧面均为等边三角形，若侧面三角形边长为a，则HD =，PD a =，1OE =，显然Rt △PHD ~Rt △PEO，故HD OE PD OP ==OP =.故选：B.5．{}3【分析】根据一元二次方程化简集合A ,由集合的交运算即可求解.【详解】由{}2230A x x x =--=得{}3,1A =-，所以{}3A B ⋂=，故答案为：{}36．2425##0.96【分析】根据复数除法法则化简即得结果.【详解】因为()()()()34i 34i 34i 34i 34i 347+24i 25i -==+++--+，所以虚部为2425.故答案为：24257．10n a n =-##10n a n =-+【分析】设公差为d ，由基本量代换列方程组，解出1a d 、，即可得到通项公式.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：31712763a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：191a d =⎧⎨=-⎩，所以()1110n a a n d n =+-=-.故答案为：10n a n =-.8．80【分析】先写出()521x +的二项展开式的通项，再求出3a 即可.【详解】()521x +的二项展开式的通项：()()555155C 22C 0,1,2,3,,145rr rr r rr T x x r ---+===，故33522C 81080a ==⨯=．故答案为：80.9．332x -【分析】根据复合函数求导法则进行求导即可.【详解】因为()ln 23y x =-，所以()()113233232332y x x x x ''=⨯-=⨯-=---.故答案为：332x -.10．12π【分析】圆锥的半径为r ，母线长为l ，高为h ，则侧面积为12ππ15π2S r l rl =⨯⨯==，再结合2216l r =+，可得r 的值.然后根据椎体体积公式13V Sh =计算即可.【详解】设圆锥的半径为r ，母线长为l ，高为h ，有22π15π16rl l r =⎧⎨=+⎩，解得：35r l =⎧⎨=⎩.211π12π,33V Sh r h ==⨯⨯=故答案为： 12π.11．(]0,1【分析】构造()3lg 3xf x x =+-可得()f x 为单调递增函数，有()10f =即可求解.【详解】令()3lg 3xf x x =+-，由于3,lg x y y x ==均为单调递增函数，因此()f x 为()0,∞+上的单调递增函数，又()10f =，故()0f x ≤的解为(]0,1，故答案为：(]0,112．107【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可.【详解】由直方图知：平均成绩为(950.031050.041150.0151250.011350.005)10107⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分.故答案为：10713．π4##45o 【分析】利用正弦定理及大边对大角即可求解.【详解】因为3a =，b π3A ∠=，由正弦定理得sin sin b AB a∠∠===所以π4B ∠=或3π4B ∠=.由b a <，得B A ∠<∠,所以0π3B <∠<，所以π4B ∠=.故答案为：π4.14【分析】根据双曲线的定义算出△AF 1F 2中，|AF1|=2a ，|AF2|=4a ，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C 的离心率.【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知22||||||AB BF AF ==，A 为双曲线上一点，21||||2AF AF a ∴-=，B 为双曲线上一点，则 12||||2BF BF a -=，即11||||||2BF AB AF a -==，∴21||||24,AF AF a a =+=由0260ABF ∠=，则12120F AF ︒∠=，已知12||2F F c =，在△F 1AF 2中应用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a ︒=+-⋅⋅⋅，得c 2=7a 2，则e 2＝7⇒e【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a ，c 的值，这时可将ca或b a 视为一个整体，把关系式转化为关于c a 或ba的方程，从而得到离心率的值.15．15,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用cos y x =的图像与性质，直接求出函数()f x 的零点，再利用题设条件建立不等关系ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+--+-≤且11ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+-+->，从而求出结果.【详解】因为()()()1cos 02f x x ωϕω=+->，由()0f x =，得到()1cos 2x ωϕ+=，所以π2π(Z)3x k k ωϕ+=+∈或π2π(Z)3x k k ωϕ+=-+∈，所以π2π3(Z)k x k ϕω-+=∈或π2π3(Z)k x k ϕω--+=∈，又因为存在实数ϕ，使函数()f x 在[]π,3πx ∈上有且仅有2个零点，所以7π5π2π2π332πk k ϕϕωω-+-+-≤且11ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+-+->，即2π32πω≤且10π32πω>，解得1533ω≤<.故答案为：1533ω≤<16【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.【详解】解：如图AC a =u u u r r ，AD b u u u r r =，AB c =u u u r r ，则b a CD -=u u u r r r ，c a CB -=u u rr r ，已知()()0b a c a -⋅-=r r r r ，即0CD CB ⋅=u u u r u u r，所以CD CB ⊥，取BD 的中点O ，则有1122OC BD b c ==-r r，而12OA b c =+r r，根据三角形的三边关系可知OA OC AC+≥则11522b c b c a ++-≥=r r r rr ，所以10b c b c ++-≥r r r r ，当A ，O ，C 三点共线时取等号，记,b c r r向量的夹角为θ，则b +=r ，同理b -r ，由10b c b c ++-≥r r r r10≥，则225b ≥==r ，当cos 0θ=，即b c ⊥r r时取等号，，即b r的最小值是【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式10b c b c ++-≥r r r r，进而利用数量积求模长.17．(1)0.1a =，0.3b =；(2)()0.5P B =，()0.3P A B ⋂=，事件A 与B 不相互独立.【分析】（1）根据分布的性质及数学期望列方程直接求解即可；（2）由()12P A =及分布列的性质求出a 、b ，进一步求出()P B ，()P A B ⋂，利用两个事件相互独立的定义判断即可.【详解】（1）由随机变量的分布的性质有0.10.20.31a b ++++=，得0.4a b +=，又()60.1780.290.310E X a b=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯60.17(0.4)80.290.310b b =⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯437.738.65b =+==，解得0.3b =，所以0.40.1a b =-=，即0.1a =，0.3b =；（2）由题意，()10P X b ==，又事件A ：X 为偶数，所以()()()()168100.10.22P A P X P X P X b ===+=+==++，所以0.2b =，由随机变量的分布的性质有0.10.20.31a b ++++=，得0.2a =，又事件B 为8X ≤，所以()()()()6780.10.20.20.5P B P X P X P X ==+=+==++=，所以()()()680.10.20.3P A B P X P X ⋂==+==+=，因为()()()P A B P A P B ⋂≠，所以A 与B 不相互独立.18．(2)π6【分析】（1）建立空间直角坐标系，设PA a =，利用空间向量法及二面角P BC A --的大小求出a 的值，再求平面PBD 的法向量n r ，根据点A 到平面PBD 的距离AP n d n⋅=u u u r r r 求解即可；（2）先求出平面PCD 的法向量，利用空间向量法求解即可.【详解】（1）因为四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,,AP AB AD 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系，设PA a =，0a >，则()0,0,P a ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,0,0A ，()0,1,0D ，所以()1,0,PB a =-u u u r ，()0,1,0BC =u u u r ，()1,0,0AB =u u u r ，设平面PBC 的法向量()1111,,n x y z =u r ，则1111100n PB x az n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，取()1,0,1n a =u r ，取平面BCA 的法向量()20,0,1n =u u r ，因为二面角P BC A --的大小为45︒，所以12cos ,n n =u r u u r ，解得1a =，即()0,0,1P ，所以()1,0,1PB =-u u u r ，()0,1,1PD =-u u u r ，()0,0,1AP =u u u r ，设平面PBD 的法向量()000,,n x y z =r ，则000000n PB x z n PD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取()1,1,1n =r ，所以点A 到平面PBD的距离d =（2）由（1）得()()()1,1,1,0,1,1,1,1,0PC PD AC =-=-=u u u r u u u r u u u r ，设平面PCD 的法向量(),,m x y z =u r ，则00m PC x y z m PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取()0,1,1m =u r ，设直线AC 与平面PCD 所成的角为θ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin cos ,2m AC m AC m ACθ⋅====u r u u u r u r u u u r u r u u u r ，所以直线AC 与平面PCD 所成的角为π6.19．(1)5.6km(2)26.2km 【分析】（1）根据导数与切线的关系求解即可；（2）利用切线方程与导数的关系求出点P 处的切线方程，从而表示出OCD V 的面积，再利用导数与单调性和最值的关系即可求解.【详解】（1）因为()2402y x x =-+≤≤，所以2y x '=-，所以1|2x y ='=-，所以由点斜式可得32(1)y x -=--，即25y x =-+，令0x =，解得5y =，令0y =，解得52x =，所以5(0,5),(,0)2C D5.6km =≈.（2）设2(,4),02P t t t -+<<，则由（1）可知|2x t y t ='=-，所以CD 的直线方程为242()y t t x t +-=--，整理得224y tx t =-++，令0x =，解得24y t =+，令0y =，解得242t x t +=，所以22314116(4)(8224OCD t S t t t t t+=⨯+⨯=++△，设3116()(8),024f t t t t t=++<<，4222222211613816(34)(4)()(38)444t t t t f t t t t t+--+'=+-=⨯=，令()0f t '>，即2340t ->2t <<，令()0f t '<，即2340t -<，解得0t <<所以函数()f t在⎛ ⎝单调递减，2⎫⎪⎪⎭单调递增，所以32min1()8 6.2km4f t f⎡⎤⎢==+=≈⎢⎢⎢⎣.所以景区OCDV面积的最小值为26.2km.20．(1)8a=(2)2a=(3)a≥4a≠【分析】（1）由椭圆方程得右焦点为(,0)F a，再根据已知条件及点到直线的距离公式求解即可；（2）联立直线与椭圆方程，先由韦达定理及弦长公式求AB，点到直线的距离公式求O到直线l的距离h，再根据三角形面积公式求解即可；（3）分4a=和4a≠两种情况讨论，易知4a=不合题意，当4a≠时，根据题意可得直线FH 的方程为0y=或x a=，代入l方程可求H点坐标，从而可求直线1l的方程，联立1l与椭圆方程，利用0∆≥即可求出a的取值范围．【详解】（1）因为()2222:1043x yC aa a+=>，所以右焦点为(,0)F a，又因为:40l x y+-=，所以F到直线l的距离d8a=；（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，由22221434x ya ax y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2273264120x x a-+-=，所以223228(6412)0a∆=-->，即2167a>，且1221232764127x xax x⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅=⎪⎩，==，又因为O 到直线l 的距离为h 所以ABO V 的面积为118482277ABO S AB h =⋅=⨯==V ，解得2a =满足2167a >，所以2a =；（3）若4a =，则直线l 经过点F ，此时直线1l 和直线FH 的夹角为π2（舍去），若4a ≠，由直线1l 和直线FH 的夹角为π4，且11l k =得，直线FH 的方程为0y =或x a =代入:40l x y +-=得(4,0)H 或(,4)H a a -，所以直线1l 的方程为4y x =-或(4)y a x a --=-代入椭圆方程得2273264120x x a -+-=或()()2273216464640x a x a a +-+-+=，由2148(716)0a ∆=-≥或2248(3+1616)0a a ∆=-≥解得a ≥a ≥，综上得的取值范围为a ≥4a ≠．21．(1)答案见解析；(2)不存在，理由见解析；(3)51【分析】（1）根据题意得21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再直接求解即可；（2）根据21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再证明3n n a a +≥，*n ∈N 即可证明结论‘；（3）根据21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②得对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，②不能连续使用，进而记记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=可得1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，进而得10051c ≥，再根据特例说明10051c =即可得答案.【详解】（1）解：由12n n n a a a ++=-得12n n n a a a ++-=-或12n n n a a a ++=-，所以21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，因为足13a =，27a =，所以310a =或34a =，所以，当310a =时，417a =或43a =；当34a =时，411a =或43a =-因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以43a =-舍，所以，数列{}n a 前4项的所有可能取法有13a =，27a =，310a =，417a =或13a =，27a =，310a =，43a =或13a =，27a =，34a =，411a =.（2）解：不存在，下面证明：因为12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，当21n n n a a a ++=+时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以32121n n n n n n n a a a a a a a +++++=+>=+>，即3n n a a +>或321n n n n a a a a +++=-=，所以3n n a a +≥；当21n n n a a a ++=-时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以210n n n a a a ++=->，即1n na a +>所以3211n n n n n a a a a a ++++=+>>或3210n n n n a a a a +++=-=-<（舍），综上，3n n a a +≥，*n ∈N 所以3213k a a -≥=，3127k a a -≥=，334k a a ≥=.综上，不存在正整数k ，满足1k a =.（3）解：由12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②，对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，只有满足1n n a a +>时，才可以使用②递推；若21n n n a a a ++=-，显然21n n a a ++<，下次只能用①递推，即321n n n a a a +++=+所以，②不能连续使用.记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=若21221k k k a a a +-=+，则1k k b b +>；若21221k k k a a a +-=-，则22212221k k k k k a a a a a ++-=+>>，所以1k k b b +>，所以1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，所以，12100,,,a a a L 中至少有122350,,,,,a a b b b L 共51项，即10051c ≥.举例如下：1212,(,(n n n n n a a n a a a n ----+⎧=⎨-⎩为奇数）为偶数）所以{}:3,7,10,3,13,10,23,13,36,23n a L L ，此时10051c =，所以，100c 的最小值为51.【点睛】关键的点睛：本题第三问解题的关键在于构造{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=推理得到1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，10051c ≥，进而结合题意说明最小值可以取到51即可.。

杨浦区2018学年度第二学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（理科）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 1.函数()f x =的定义域是 .2.若集合()(){}22,1,,,2x A x y y B x y x Z y Z ⎧⎫⎪⎪=+<=∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则AB的元素个数为 . 3.若42321xx=，则x 的值是 .4.62x ⎛ ⎝的展开式中的常数项的值是 .5.某射击选手连续射击5枪命中环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为.6.对数不等式()()331log log 0x a x +->的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a 的值为 . 7.极坐标方程sin 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭所表示的曲线围成的图形面积为 .8.如图，根据该程序框图，若输出的y 为2，则输入的x 的值为 .9.若正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是 .10.已知12,e e 是不平行的向量，设1212,a e ke b ke e =+=+，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 . 11.已知方程()210x px p R -+=∈的两根为12x x 、，若121x x-=，则实数p 的值为 .12.已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为 .13.已知*N n ∈，在坐标平面中有斜率为n 的直线nl 与圆222xy n +=相切，且nl 交y 轴的正半轴于点nP ，交x 轴于点nQ ，则2lim2n n x P Q n →∞的值为 .14.对于自然数*N 的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替ACB∙∙∙地加减各数，例如{}1,2,4,6,9的交替和是964216-+-+=；则集合{}1,2,3,4,5,6,7的所有非空子集的交替和的总和为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15.“2a ≤-”是“函数()()21R f x xax x =++∈只有一个零点”的 （ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.在复平面中，满足等式112z z +--=的z 所对应点的轨迹是（ ）A.双曲线B.双曲线的一支C.一条射线D.两条射线17.设反比例函数()1f x x=与二次函数()2g x axbx =+的图像有且仅有两个不同的公共点()()1122,,,A x y B x y ，且12xx <，则12y y =A.2或12B.2-或12- C.2或12-18.如图，设店A在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图像大致是（ ）A. B. C.D.三 .解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.ABC19.（本题满分12分）如图，一条东西走向的大江，其河岸A 处有人要渡江到对岸B 处，江面上有一座大桥AC ，已知B 在A 的西南方向，C 在A 的南偏西15︒，10BC =公里.现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥AC 渡江到C 处，然后再到B 处； 方案二：直接坐船从A 处渡江到对岸B 处.若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B 处，应选择哪个方案？说明理由.20.（本题满分14分，其中第一小题7分，第二小题7分） 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD上的动点.（1）试确定点F 的位置，使得1D E ⊥平面1AB F ; （2）当1D E ⊥平面1AB F 时，求二面角1CEF A --的大小（结果用反三角函数表示）.A 1C21.（本题满分14分，其中第一小题4分，第二小题5分，第三小题5分） 已知函数()()31R 31x x t f x t ⋅-=∈+是奇函数. （1）求t 的值；（2）求()f x 的反函数()1f x -；（3）对于任意的0m >，解不等式：()131logxf x m-+>.22.（本题满分16分，其中第一小题5分，第二小题5分，第三小题6分） 数列{}na 满足11a=，2a r =（0r >），令1n n n b a a +=⋅，{}n b 是公比为()0,1q q q ≠≠-的等比数列，设212nn n ca a -=+.（1）求证：()11n nc r q -=+⋅；（2）设{}nc 的前n 项和为nS ，求1lim n nS →∞的值；（3）设{}nc 前n 项积为nT ，当12q =-时，nT 的最大值在8n =和9n =的时候取到，求n 为何值时，nT 取到最小值.23.（本题满分18分，其中第一小题6分，第二小题6分，第三小题6分） 已知抛物线()2:20C ypx p =>的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦.（1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值； （2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MPMQ +为定值；（3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-，求N 点坐标.。