湖南省六校联考高考数学模拟试卷理(含解析)

2024年高考仿真模拟数试题（一） 试卷+答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （ ）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若789101120a a a a a ++++=，则17S =（ ） A ．150B ．120C ．75D ．68A ．672B ．864C ．936D ．1056说法正确的是（ ）（ ）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．10．已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（ ）11．已知函数()f x 满足：①对任意,x y ∈R ，()()()()()2f x y f x f y f x f y +++=⋅+；②若x y ≠，则A ．()0f 的值为2B ．()()4f x f x +−≥C ．若()13f =，则()39f =D ．若()410f =，则()24f −=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．2024年高考仿真模拟数试题（一）带答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7A ．150B ．120C ．75D ．68此时α与β可能平行或相交，故C 错误；对D 选项：若//l β，则必存在直线p β⊂，使//l p ， 又l α⊥，则p α⊥，又p β⊂，则αβ⊥，故D 正确.故选D.5．有7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式． A ．672 B ．864 C ．936 D ．1056A ．P 的轨迹为圆B ．P 到原点最短距离为1C ．P 点轨迹是一个菱形D ．点P 的轨迹所围成的图形面积为4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．A ．()0f 的值为2B ．()()4f x f x +−≥C ．若()13f =，则()39f =D ．若()410f =，则()24f −=答案 ABC解析 对于A ，令0x y ==，得()()23002f f =+ ，解得()01f =或()02f =， 若()01f =，令0y =，得()()212f x f x +=+，即()1f x ≡，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．O O 当外接球的球心O在线段12 =OO h四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）。

2019年湖南省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x=2n，n∈Z}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，P={x|x=4n，n ∈Z}，则（）A．M=P B．P≠M C．N∩P≠∅D．M∩N≠∅2．复数（2+i）i的共轭复数的虚部是（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．若点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣2）的距离大1，则点P 的轨迹方程为（）A．y2=8x B．y2=﹣8x C．x2=8y D．x2=﹣8y4．已知数列{a n}满足：对于∀m，n∈N*，都有a n•a m=a n+m，且，那么a5=（）A． B． C．D．5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x=3，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A ．8B ．17C ．29D ．836．若，则=（ ）A ．B ．C ．D ． 7．为响应“精确扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3000元/箱的A 、B 两种药品捐献给贫困地区某医院，其中A 药品至少100箱，B 药品箱数不少于A 药品箱数．则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为（ ） A ．200 B ．350 C ．400 D ．5008．圆O 的半径为3，一条弦AB=4，P 为圆O 上任意一点，则•的取值范围为（ ）A ．[﹣16，0]B ．[0，16]C ．[﹣4，20]D ．[﹣20，4]9．设函数，则关于函数f （x ）有以下四个命题（ ）①∀x ∈R ，f （f （x ））=1；②∃x 0，y 0∈R ，f （x 0+y 0）=f （x 0）+f （y 0）；③函数f （x ）是偶函数；④函数f（x）是周期函数．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．110．若函数f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是，函数f'（x）的图象的一个对称中心是，则f（x）的最小正周期是（）A． B． C．πD．2π11．点P为棱长是的正方体ABCD﹣AB1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（）A．πB．2πC．4πD．12．已知函数与g（x）=|x|+log2（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为5：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数为．14．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为．15．设F是双曲线的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线的对称点P恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为．16．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若，其中m为给定的正整数，则d的所有可能取值的和为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路（不考虑宽度）.，．（1）求道路BE的长度；（2）求生活区△ABE面积的最大值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，AC=BC=CC1=2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，G是棱BB1上的动点．（1）当为何值时，平面CDG⊥平面A1DE？（2）求平面AB1F与平面AD1E所成的锐二面角的余弦值．19．随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p（0＜p＜1），需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A．若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．（1）若，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；（2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由．20．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点（不同于点A），直线AB，AD的斜率分别为k1，k2．（1）求椭圆C的方程；（2）当r变化时，①求k1•k2的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=xe x﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2e x＞（x+2）lnx+2sinx．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．若曲线C的左焦点F在直线l上，且直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求m的值并写出曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=2x﹣a，g（x）=x+2．（1）当a=1时，求不等式f（x）+f（﹣x）≤g（x）的解集；（2）求证：中至少有一个不小于．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x=2n，n∈Z}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，P={x|x=4n，n ∈Z}，则（）A．M=P B．P≠M C．N∩P≠∅D．M∩N≠∅【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】利用交集定义、集合相等的定义直接求解．【解答】解：∵集合M={x|x=2n，n∈Z}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，P={x|x=4n，n∈Z}，∴M≠P，N∩P=∅，M∩N=∅，故选：B．2．复数（2+i）i的共轭复数的虚部是（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再求出其共轭复数得答案．【解答】解：∵（2+i）i=﹣1+2i，∴复数（2+i）i的共轭复数为﹣1﹣2i，其虚部为﹣2．故选：B．3．若点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣2）的距离大1，则点P 的轨迹方程为（）A．y2=8x B．y2=﹣8x C．x2=8y D．x2=﹣8y【考点】轨迹方程．【分析】由题意得，点P到直线y=1的距离和它到点（0，﹣1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，﹣1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，可得轨迹方程．【解答】解：∵点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣1）的距离大2，∴点P到直线y=1的距离和它到点（0，﹣1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，﹣1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，方程为x2=﹣4y．故选：D．4．已知数列{a n}满足：对于∀m，n∈N*，都有a n•a m=a n+m，且，那么a5=（）A． B． C．D．【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}对任意的m，n∈N*满足a n•a m=a n+m，且，可得a2，a3，a4，a5．即可．【解答】解：∵数列{a n}满足：对于∀m，n∈N*，都有a n•a m=a n+m，且，∴a2=a1a1=，a3=a1•a2=．那么a4=a2•a2=．a5=a3•a2=．故选：A．5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x=3，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．8 B．17 C．29 D．83【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=3，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=8，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=29，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为29，故选：C6．若，则=（）A．B．C． D．【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用诱导公式可求cos（α+）=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵=cos（α+），∴=cos[2（α+）]=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．7．为响应“精确扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3000元/箱的A、B两种药品捐献给贫困地区某医院，其中A药品至少100箱，B药品箱数不少于A药品箱数．则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为（）A．200 B．350 C．400 D．500【考点】简单线性规划的应用．【分析】设A药品为x箱，B药品为y箱，该企业捐献给医院的两种药品总箱数为z=x+y，则x，y满足的关系式为，根据约束条件对目标函数的范围进行验证即可【解答】解：设A药品为x箱，B药品为y箱，该企业捐献给医院的两种药品总箱数为z=x+y，则x，y满足的关系式为，若x+y=500，又因为≥x，∴y≥250，则0.15x+0.3y=0.15+0.3y=75+0.15y＞100，不合题意．若x+y=400，又因为y≥x，∴y≥200，则0.15x+0.3y=0.15+0.3y=60+0.15y≥90，合题意．故选：C8．圆O的半径为3，一条弦AB=4，P为圆O上任意一点，则•的取值范围为（）A．[﹣16，0]B．[0，16]C．[﹣4，20]D．[﹣20，4]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，连接OA，OB．过点O作OC⊥AB，垂足为C．利用垂径定理可得BC=AB=2．可得cos∠OBA．利用向量的三角形法则，可得•==，代入数量积即可得出•的取值范围．【解答】解：如图所示，连接OA，OB．过点O作OC⊥AB，垂足为C．则BC=AB=2．∴cos∠OBA=．∴•===．==．∵cos∈[﹣1，1]，∴12cos﹣8∈[﹣20，4]．故选：D．9．设函数，则关于函数f（x）有以下四个命题（）①∀x∈R，f（f（x））=1；②∃x0，y0∈R，f（x0+y0）=f（x0）+f（y0）；③函数f（x）是偶函数；④函数f（x）是周期函数．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由函数的值的求法、函数的性质逐一核对四个命题得答案．【解答】解：由，可得f（x）=0或1，则∀x∈R，f（f（x））=1，故①正确；当时，f（x0+y0）=f（x0）+f（y0），故②正确；∵x为有理数，则﹣x为有理数，x为无理数，则﹣x为无理数，∴函数f（x）是偶函数，故③正确；任何一个非0的有理数都是函数的周期，∴函数f（x）是周期函数，故④正确．∴真命题的个数是4个．故选：A．10．若函数f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是，函数f'（x）的图象的一个对称中心是，则f（x）的最小正周期是（）A． B． C．πD．2π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意可得f（0）=f（），由此得到a=b，再根据函数f′（x）的图象的一个对称中心是，求得ω的值，可得f（x）的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是，∴f（0）=f（），即b=asin（ω•）+bcos（ω•）=a，∴f（x）=asinωx+acosωx=a•sin（ωx+）．又函数f'′（x）=a•ω•cos（ωx+）的图象的一个对称中心是，∴a•ωcos（ω•+）=0，∴ω•+=kπ+，k∈Z，即ω=8k+2，故取ω=2，则f（x）的最小正周期是=π，故选：C．B1C1D1的内切球O球面上的11．点P为棱长是的正方体ABCD﹣A动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（）A．πB．2πC．4πD．【考点】轨迹方程．【分析】首先，求解其内切球的半径，然后，结合球面的性质求解点O到平面DCN的距离，然后，确定其周长．【解答】解：根据题意，该正方体的内切球半径为r=，由题意，取BB1的中点N，连接CN，则CN⊥BM，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴CN为DP在平面B1C1CB中的射影，∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，B1C1D1的棱长为2，∵正方体ABCD﹣A∴O到过D，C，N的平面的距离为1，∴截面圆的半径为：=2，∴点P的轨迹周长为：2π×2=4π．故选：C．12．已知函数与g（x）=|x|+log2（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】令f（﹣x）=g（x）在（0，+∞）上有解，根据函数图象得出a的范围．【解答】解：f（x）关于y轴对称的函数为h（x）=f（﹣x）=x+2﹣x﹣（x＞0），令h（x）=g（x）得2﹣x﹣=log2（x+a）（x＞0），则方程2﹣x﹣=log2（x+a）在（0，+∞）上有解，作出y=2﹣x﹣与y=log2（x+a）的函数图象如图所示：当a≤0时，函数y=2﹣x﹣与y=log2（x+a）的函数图象在（0，+∞）上必有交点，符合题意；若a＞0，若两图象在（0，+∞）上有交点，则log2a，解得0，综上，a．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为5：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数为48．【考点】分层抽样方法．【分析】设出B层中的个体数，根据条件中所给的B层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n 的值，由已知A和B之间的比值，得到总体中的个体数．【解答】解：设B层中有n个个体，∵B层中甲、乙都被抽到的概率为，∴=，∴n2﹣n﹣56=0，∴n=﹣7（舍去），n=8，∵总体分为A，B两层，其个体数之比为5：1，∴共有个体（5+1）×8=48，故答案为：48．14．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由此构造关于x的方程，解得答案．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：（5.4﹣1.6）•x×1+π•（）2×1.6=12.6，∵π=3．解得x=3，故答案为：3．15．设F是双曲线的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线的对称点P恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且•n=•，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故答案为：16．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若，其中m为给定的正整数，则d的所有可能取值的和为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由公差d是的约数，得到d=2i•3j，（i，j=0，1，2，…，m），由此能求出d的所有可能取值之和．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项，∴公差d是的约数，∴d=2i•3j，（i，j=0，1，2，…，m），∴d的所有可能取值之和为：=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路（不考虑宽度）.，．（1）求道路BE的长度；（2）求生活区△ABE面积的最大值．【考点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接BD，在△BCD中，由余弦定理得：BD，在Rt△BDE 中，求解BE即可．（2）设∠ABE=α，在△ABE中，由正弦定理，求解AB，AE，表示S△，然后求解最大值．ABE【解答】解：（1）如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理得：，∴．∵BC=CD，∴，又，∴．在Rt△BDE中，所以．（2）设∠ABE=α，∵，∴．在△ABE中，由正弦定理，得，∴．∴=．∵，∴．∴当，即时，S△ABE取得最大值为，即生活区△ABE面积的最大值为．注：第（2）问也可用余弦定理和均值不等式求解．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，AC=BC=CC1=2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，G是棱BB1上的动点．（1）当为何值时，平面CDG⊥平面A1DE？（2）求平面AB1F与平面AD1E所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）当G为BB1中点（即）时，平面CDG⊥平面A1DE．证明D，E，C1，A1四点共面．连接C1E交GC于H．证明CG⊥C1E．DE⊥CG，推出CG⊥平面A1DE，即可证明平面CDG⊥平面A1DE．（2）以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面A1DE的法向量，平面A1BF的法向量，设平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角为θ，利用数量积求解即可．【解答】解：（1）当G为BB1中点（即）时，平面CDG⊥平面A1DE．证明如下：由于DE∥AC且，∴，故D，E，C1，A1四点共面．连接C1E交GC于H．在正方形CBB1C1中，，故∠CHE=90°，即CG⊥C1E．又A1C1⊥平面CBB1C1，CG⊂平面CBB1C1，所以DE⊥CG，又因为C1E∩DE=E，故CG⊥平面A1DE，从而平面CDG ⊥平面A1DE．（2）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，于是可以以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为AC=BC=CC1=2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，所以A1（2，0，2），D（1，1，0），E（0，1，0），B（0，2，0），F （0，1，2），G（0，2.1），=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，1，0）．由（1）知平面A1DE的法向量为=（0，2，1），设平面A1BF的法向量为=（x，y，z），则，即：，令x=1得，设平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角为θ，则cosθ===．19．随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p（0＜p＜1），需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A．若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．（1）若，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；（2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）设X为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，利用相互对立事件的概率计算公式可得所求的概率为P（X≥1）=1﹣P（X=0）．（2）设q=1﹣p，则0＜q＜1．方案一：设所需化验的次数为Y，则Y的所有可能取值为2，4，6次，利用二项分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出．方案二：设所需化验的次数为Z，则Z的所有可能取值为1，5次，P （Z=1）=q4，P（Z=5）=1﹣q4，E（Z）=1×q4+5×（1﹣q4）．进而得出数学期望．【解答】解：（1）设X为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，所求的概率为，所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为．（2）设q=1﹣p，则0＜q＜1．方案一：设所需化验的次数为Y，则Y的所有可能取值为2，4，6次，，．方案二：设所需化验的次数为Z，则Z的所有可能取值为1，5次，P （Z=1）=q4，P（Z=5）=1﹣q4，E（Z）=1×q4+5×（1﹣q4）=5﹣4q4．因为E（Y）﹣E（Z）=6﹣4q2﹣（5﹣4q4）=（2q2﹣1）2≥0，即E（Y）≥E（Z），所以方案二更适合．20．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点（不同于点A），直线AB，AD的斜率分别为k1，k2．（1）求椭圆C的方程；（2）当r变化时，①求k1•k2的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出a，b即可求解椭圆C的方程．（2）AB：y=k1x+1，则有，化简得，直线AD：y=k2x+1，同理有，推出k1，k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的两实根，故k1•k2=1．考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想定点在y轴上．联立直线与椭圆方程，求出相关点的坐标，求出直线BD的方程，推出直线BD过定点．【解答】解：（1）由题设知，，，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1．故所求椭圆C的方程是．（2）AB：y=k1x+1，则有，化简得，对于直线AD：y=k2x+1，同理有，于是k1，k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的两实根，故k1•k2=1．考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD 若过定点，则猜想定点在y轴上．由，得，于是有．直线BD的斜率为，直线BD的方程为，令x=0，得，故直线BD过定点．21．已知函数f（x）=xe x﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2e x＞（x+2）lnx+2sinx．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；不等式的证明．【分析】（1）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论，当a ≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，舍去．当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0，此时，求出极值，进而得出答案．（2）①当a≤0时，不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，min利用导数研究其单调性极值即可得出．②由①可知x2e x﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：∀x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sinx．对x分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】解：（1）f（x）=xe x﹣alnx﹣ax，x＞0，则．当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0，此时，则．注意到，因此．（2）①当a＜0时，f（x）单调递增，f（x）的值域为R，不符合题意；当a=0时，则，也不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，设h（t）=lnt﹣t+1，则，因此h（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）max=h（1）=0，所以lnt≤t﹣1．因此，lnt=t﹣1⇒t=1，从而有．故满足条件的实数为a=1．②证明：由①可知x2e x﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：∀x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sinx．当x＞1时，恒有2sinx≤2＜x2﹣x+2，且等号不能同时成立；当0＜x≤1时，设g（x）=x2﹣x+2﹣2sinx，则g'（x）=2x﹣1﹣2cosx，当x∈（0，1]时，g'（x）是单调递增函数，且，因而x∈（0，1]时恒有g'（x）＜0；从而x∈（0，1]时，g（x）单调递减，从而g（x）≥g（1）=2﹣2sin1＞0，即x2﹣x+2＞2sinx．故x2e x＞（x+2）lnx+2sinx．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．若曲线C的左焦点F在直线l上，且直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求m的值并写出曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程，可得其左焦点，即可得出m．（2）直线l的参数方程为，与曲线C的方程联立，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y=m．曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．可得曲线C的直角坐标方程：2（x2+y2）﹣（x2﹣y2）=12，∴曲线C的标准方程为，则其左焦点为，故，曲线C的方程．（2）直线l的参数方程为，与曲线C的方程联立，得t'2﹣2t'﹣2=0，则|FA|•|FB|=|t'1t'2|=2，第31页（共31页），故．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=2x ﹣a ，g （x ）=x +2．（1）当a=1时，求不等式f （x ）+f （﹣x ）≤g （x ）的解集； （2）求证：中至少有一个不小于． 【考点】反证法的应用；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式f （x ）+f （﹣x ）≤g （x ）的解集；（2）利用反证法证明即可．【解答】（1）解：当a=1时，|2x ﹣1|+|2x +1|≤x +2，无解；，解得；，解得．综上，不等式的解集为． （2）证明：若都小于， 则，前两式相加得与第三式矛盾．故中至少有一个不小于．。

高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。

2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，请只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。

2023-2024学年湖南省高三高考数学押题模拟试题（二模）一、单选题1．设集合{}1234,,,A a a a a =，若A 的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1,3,5,8B =-，则集合A =（）A ．{}1,3,5,8-B ．{}3,0,2,6-C ．{}4,8,10,13D ．{}7,10,12,16【正确答案】B【分析】不妨设1234a a a a <<<，由题意可得1231241342341358a a a a a a a a a a a a ++=-⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，即可得解.【详解】不妨设1234a a a a <<<，则A 的所有三元子集为{}{}{}{}123124134234,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a ，由题意可得1231241342341358a a a a a a a a a a a a ++=-⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，解得12343026a a a a =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，因此集合{}3,0,2,6A =-.故选：B.2．已知ABC ，若对任意R t ∈，BA tBC AC -≥，则ABC 一定为（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形【正确答案】D【分析】利用向量的模化简不等式，得出AD 和AC 的关系，即可得出ABC 的形状.【详解】由题意，在ABC 中，令ABC α∠=，过A 作AD BC ⊥于D.∵对任意R t ∈，BA tBC AC -≥，∴22222BA tBA BC t BC AC -⋅+≥ ，令2BA BC t BC⋅= ，代入上式，得2222222cos cos BA BA BA AC αα-+≥ ，即222sin BA AC α≥ ，也即sin BA AC α≥ .从而有AD AC ≥ .∴π2ACB ∠=.∴ABC 为直角三角形，故选：D.3．过双曲线2212y x -=的左焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若实数λ使得AB λ=的直线l 恰有3条，则λ=（）A ．2B ．3C ．4D ．6【正确答案】C【分析】根据双曲线对称性可知：满足题意的直线，其中一条与实轴垂直，另两条关于x 轴对称，即可得到答案.【详解】左支内最短的焦点弦224b a==，又22a =，所以与左、右两支相交的焦点弦长22a ≥=，因为实数λ使得AB λ=的直线l 恰有3条，根据双曲线对称性可知：其中一条与实轴垂直，另两条关于x 轴对称.如图所示：所以当4λ=时，有3条直线满足题意.故选：C4．设a ，b 为正实数，11a b+≤()()234a b ab -=，则log a b =（）A B ．12C ．1D ．1-【正确答案】D【分析】首先由()()234a b ab -=得出()()2344a b ab ab +=+，由11a b+≤22()8()a b ab +≤，代入得出12ab ab +≤，而12ab ab +≥，即12ab ab+=，由基本不等式等号成立条件得出1ab =，即可得出答案．【详解】因为()()234a b ab -=，所以()()()223444a b ab a b ab ab+=+-=+，又因为11a b +≤所以a bab+≤，所以22()8()a b ab +≤，所以()328(4)4a a b b b a +≤，即12ab ab+≤，又12ab ab ≥=+，当且仅当1ab =时，等号成立，所以12ab ab+=，此时1ab =，所以1log log 1a a b a==-，故选：D ．5．已知()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)0,2θ∈π，则θ的取值范围是（）A ．π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π5π,44⎛⎫ ⎝⎭C ．3π7π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5π,2π4⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-转化为353511sin sin cos cos 77θθθθ+>+，利用增函数性质可得()3517f x x x =+是(),-∞+∞上的增函数，故而sin cos θθ>，进而得出答案即可.【详解】不等式()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-等价于353511sin sin cos cos 77θθθθ+>+，又()3517f x x x =+是(),-∞+∞上的增函数，所以sin cos θθ>，故()5π2π2πZ 44πk k k θ+<<+∈.因为[)0,2θ∈π，所以θ的取值范围是π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 6．已知200200Cnnn n a -=⋅⋅（1n =，2，⋯，95），则数列{}n a 中整数项的个数为（）A ．13B ．14C ．15D ．16【正确答案】C【分析】整理n a 得200400536200C 32n nn n a --=⋅⋅，当80n ≤时，只要2003n -，40056n-均为整数即可，但当80n >，400562n -会出现小数，应考虑200C n中因子2的个数问题.【详解】因为20020020020033322200200200C C 62C32nnn n nn nnn n n a ------=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅200400536200C32n n n--=⋅⋅，要使()195n a n ≤≤为整数，必有2003n -，40056n-均为整数，当2n =，8，14，20，26，32，38，44，50，56，62，68，74，80时，2003n -和40056n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个.当86n =时，8638586200C 32a -=⋅⋅，在86200200!C 86!114!=中，200!中因数2的个数为2345672002002002002002002001972222222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，同理可计算得86!中因数2的个数为82，114!中因数2的个数为110，所以86200C 中因数2的个数为197821105--=，故86a 是整数.当92n =时，92361092200C 32a -=⋅⋅，在92200200!C 92!108!=中，同样可求得92!中因数2的个数为88，108!中因数2的个数为105，故86200C 中因数2的个数为197881054--=，故92a 不是整数.因此，整数项的个数为14115+=.故选：C.7．在直三棱柱111A B C ABC -中，1,12BAC AB AC AA π∠====，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）.若GD EF ⊥，则线段DF 长度的取值范围为A ．⎡⎣B ．1,25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎫⎪⎭D ．【正确答案】C【详解】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决．建立如图所示的空间直角坐标系，设出F 、D 的坐标，利用GD EF ⊥求得关系式，写出DF 的表达式，然后利用二次函数求最值即可．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，(0E ，1，1)2，1(2G ，0，1)，(F x ，0，0)，(0D ，y ，0)由于GD EF ⊥，所以210x y +-=，(0,1)x ∈，11(0,)22x y -+=∈，DF =当25y =时，线段DF 当0y =时，线段DF 长度的最大值是1而不包括端点，故1y =不能取；故选C ．8．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（）A ．24181B ．26681C ．27481D ．670243【正确答案】B【分析】设每两局比赛为一轮，若该轮结束比赛停止则某一方连赢两局，概率为22215()()339+=；若比赛继续，则甲、乙各得一分，概率为49，且对下一轮比赛是否停止无影响.由此可计算ξ为2，4的概率，ξ为6时，可能被迫中止，只需计算前两轮比赛不停止的概率即可.【详解】解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮24(6)916()81P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选：B二、多选题9．已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据()1,2,,i x i m = 的平均数为x ，方差为2x s ；第二部分样本数据()1,2,,i y i n = 的平均数为y ，方差为2y s ，设22,x y x y s s ≤≤，则以下命题正确的是（）A ．设总样本的平均数为z ，则x z y ≤≤B ．设总样本的平均数为z ，则2z x y≥⋅C ．设总样本的方差为2s ，则222x ys s s ≤≤D ．若,m n x y ==，则2222x ys s s +=【正确答案】AD【分析】对于A 选项，因为x y ≤，由x y m nz m n m n=+++放缩可得x z y ≤≤；对于B 选项，举例说明B 不正确；对于C 选项，举例说明C 不正确；对于D 选项，若,m n x y ==，代入总体方差计算公式，可得2222x ys s s +=.【详解】对于A 选项，因为x y ≤，所以y m n m nz nx m n m y y y m n n m =+≤+=++++x m n m nz nx m n m y x x m n n m =+≥+=++++，即x z y ≤≤，A 正确；对于B 选项，取第一部分数据为1,1,1,1,1，则1x =，20x s =，取第二部分数据为3,9-，则3y =，236y s =，则2252121(13)37749x y z =⨯+⨯<=⋅=，B 不正确；对于C 选项，取第一部分数据为2,1,0,1,2--，则0x =，22x s =，取第二部分数据为1,2,3,4,5，则3y =，22y s =，则5530310102m z y m n n m n x ==⨯+⨯+=++，222222595917(2(2)21041()()044y x y m n s x z y z s s s m n m n ⎡⎤⎡⎤=+=+++=>=⎣-⎦⎣⎦++-++，C 不正确；对于D 选项，若,m n x y ==，则z x y ==22222222(()x y x y s s m n s y s s z m n m n x z +⎡⎤⎡⎤=+++-+-=⎣⎦⎣⎦+，D 正确.故选：AD.10．如图，ABCD A B C D -''''为正方体.任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l .则（）A ．S 为定值B ．S 不为定值C ．l 为定值D ．l 不为定值【正确答案】BC【分析】作出辅助线，得到平面α，从而得到截面的周长为定值，举出例子得到面积不是定值.【详解】将正方体切去两个正三棱锥A A BD '-与C D B C '-''后，得到一个以平行平面A BD '与D B C ''为上、下底面的几何体V ，在A B ''上取一点E '，作//B D E T '''，//A E S B ''，再作//TM A D '，//MR CD '，//QS B C '，则六边形E TMRQS '即为平面α，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱A B ''剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形11A B B A ''，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A '平行的线段（如图中1E E '），显然11E E A A =''，故l 为定值.当E '位于A B ''中点时，多边形W 为正六边形，而当E '移至A '处时，W 为正三角形，易知周长为定值l 22，故S 不为定值.故选：BC11．已知函数()()lg 1f x x =+，实数a ，()b a b <满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg2f a b ++=，则（）A ．12+=+a bB ．()()121a b ++=C ．25a =-D ．1b =-【正确答案】BC【分析】根据题目给出的等式()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，代入函数解析式得到a 、b 的关系，从而判断出()10621f a b ++的符号，再把()106214lg2f a b ++=，转化为含有一个字母的式子即可求解．【详解】∵()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∴()()11lg 1lg 1lg lg 222b a b b b +⎛⎫⎛⎫+=-+==+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，∴12+=+a b 或()()121a b ++=，又∵a b <，∴12a b +≠+，∴()()121a b ++=，故A 不正确，B 正确；又由()()lg 1f a a =+有意义知01a <+，从而0112a b b <+<+<+，于是0112a b <+<<+.所以()()()()10106211101626212a b a b b b +++=+++=++>+.从而()()()101010621lg 62lg 6222f a b b b b b ⎡⎤⎡⎤++=++=++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦.又()106214lg2f a b ++=，所以()10lg 624lg22b b ⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦，故()1062162b b ++=+.解得13b =-或1b =-（舍去）.把13b =-代入()()121a b ++=解得25a =-.所以25a =-，13b =-，故C 正确，D 不正确.故选：BC.12．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为()0n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论正确的是（）A ．数列{}n x 的通项公式为1n nx n =+B ．若数列42n y n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则222(1)n n nT n +=+C ．当*n ∈N时，2462n x x x x ⋅⋅⋅⋅< D ．当*n ∈N 时，()2ln ln n n n n n nx y x y x y -->+【正确答案】ABC【分析】设直线:(1)n n l y k x =+，方程联立由Δ0=，可得1n n x n =+，1n n n y n =+，从而可判断A ，B ；由2244441n n n n +<++，得221nn <+C ；举例即可判断D ，如4n =.【详解】设直线:(1)n n l y k x =+，联立2220x nx y -+=，得()()22221220n n n k x k n x k ++-+=，则由Δ0=，即()()222222410n n n k n k k ∆=--+=，得n k =所以可得211n n n n k n x k n -==++，()11n n n y k x n =+=+，故A 正确；()()()()22244222221111111nn n nn y n n n n n n +===-++++，所以()()2222222221111111112(1)22311n n nT n n n n =-+-++-=-++=++ ，故B 正确；对于C ，由1n nx n =+，得2221n n x n =+，因为2244441n n n n +<++，所以()()222221n n n +<+，所以()2212221nn n <++，所以()()222222121n n n n n n <=+++，所以221nn <+则24622423521n x x x x n n ⋅=⨯⨯⨯<⋅⋅⋅=+= 故C 正确；对于D，1n n nx n y =，因为*n ∈N ，所以213n +≥≥，所以03<≤，令()2ln ln n n n n n n x y x y x y ---+，即21ln 1n n n n nnx y xx y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+，令()()214ln ln 2,113x g x x x x x x ⎛-=-=+-∈ ++⎝⎦，则()()()()2221140,0,311x g x x x x x x ⎛-'=-=>∈ ++⎝⎦，所以函数()g x在⎛ ⎝⎦上单调递增，由114ln 21013313g ⎛⎫=+-=-< ⎪⎝⎭+，得44444421ln 01x y xx y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+，所以当4n =时，()2ln ln n n n n n nx y x y x y --<+，故D 错误.故选：ABC.关键点睛：本题考查圆的切线问题和数列不等式的证明问题，解答本题的关键是设出切线方程，方程联立由Δ0=，得出1n n x n =+，211n n n y n =+，证明得到212n n -<比较2452n x x x x ⋅⋅⋅⋅.三、填空题13．直线210x y --=与抛物线24y x =交于A 、B 两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒.则点C 的坐标为______.【正确答案】()1,2-或()9,6-【详解】设()11,A x y 、()22,B x y 、()2,2C t t 由2210,4,x y y x --=⎧⎨=⎩得2840y y --=.则12128,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩①又1121x y =+，2221x y =+，则121218,1.x x x x +=⎧⎨=⎩②因为90ACB ∠=︒，所以，0CA CB ⋅= .故()()()()221212220t x t x t y t y --+--=.将方程组①、②代入上式并整理得42141630t t t ---=()()()213410t t t t ⇒++--=.显然，2410t t --≠.否则，22210t t -⨯-=.于是，点C 在直线210x y --=上，即点C 与A 或B 重合.所以，11t =-，23t =-.故所求点()1,2C -或()9,6C -.故答案为()1,2-或()9,6-14．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f =，且对任意x ∈R ，满足(2)()f x f x +-≤32x ⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则(2008)f =________【正确答案】200822007+由(2)()32x f x f x +-≤⋅可得(6)()632x f x f x +-≤⋅，从而可得(2)()32x f x f x +-=⋅.从而可求(2008)f 的值.【详解】因为(2)()32x f x f x +-≤⋅，故2(4)(2)32122x x f x f x ++-+≤⋅=⋅，+4(6)(4)32482x x f x f x +-+≤⋅=⋅，故(6)()(6)(4)(4)(2)(2)()f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-32122482632x x x x ≤⋅+⋅+⋅=⋅，而(6)()632xf x f x +-≥⋅，所以(6)()632x f x f x +-=⋅，所以(2)()32x f x f x +-=⋅，故()()()(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)200f f f f f f f f =-+-++-+L 2006200403232322008=⋅+⋅++⨯+L 1004200814320082200714-=⨯+=+-，故答案为.200822007+本题考查不等式的性质、等比数列的前n 和，注意利用夹逼的方法把不等关系转化为相等关系，本题属于较难题.15．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．【正确答案】【详解】试题分析：如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C 面⊥，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD ==，从而43PO PD OD =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP，则2211PP PO OP =-==．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如图乙．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ．因16MPP π∠=，有113cos 262PM PP MPP =⋅==1226PE PA PM a =-=-小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为1PAB P EF S S ∆∆-223(26))4a a =--3263a =-又46a =124363183PAB P EFS S ∆∆-=-=由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用．16．如图，在78⨯的长方形棋盘的每个小方格中各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，则称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.则最少取出______个棋子才可能满足要求.【正确答案】11【分析】通过反证法证明任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，然后构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠，最后得到答案.【详解】如果一个方格在第i 行第j 列，则记这个方格为(),i j .第一步通过反证法证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠.如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子.这样10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分.同理由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分.第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在()1,4、()1,5、()2,4、()2,5这些方格.同理()6,4、()6,5、()7,4、()75,这些方格上至少要取出2个棋子.在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，分布在()3,1、()3,2、()3,3、()4,1、()4,2、()4,3、()5,1、()5,2、()5,3所在区域，同理()3,6、()3,7、()3,8、()4,6、()4,7、()4,8、()5,6、()5,7、()5,8所在区域内至少取出3个棋子.这样在这些区域内至少已取出了10个棋子.因此在中心阴影区域内不能取出棋子.由于①、②、③、④这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了.矛盾，故假设不成立，则若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠.如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠.综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠.关键点睛：本题的关键是通过反证法证明任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，然偶利用图形分析出取出固定标号的棋子，则无法五子连珠.四、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列.(1)若3cos 5B =，ABC 的面积为2，求ABC 的周长；(2)求sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围.【正确答案】(2)1122⎫-+⎪⎪⎝⎭【分析】（1）利用等比中项公式与三角形面积公式求得b =再利用余弦定理与完全平方公式求得a c +，从而得解；（2）结合题意，先化简所求得求公式q 的取值范围即可，利用三角形两边之和大于第三边得到关于q 的不等式组，从而得解.【详解】（1）因为a ，b ，c 成等比数列，则2b ac =，又3cos 5B =，0πB <<，所以4sin 5B ==，所以ABC 的面积为2114sin 2225ABC S ac B b ⨯===△，故b =25ac b ==，由余弦定理2222222632cos 255b ac ac B a c a c =+-=+⨯⨯=+--，即22265611a c b +=+=+=，则()2222112521a c a ac c +=++=+⨯=，所以a c +=，故ABC的周长为a b c ++（2）设a ，b ，c 的公比为q ，则b aq =，2c aq =，而sin cos tan sin cos cos sin sin cos tan sin cos cos sin A A C A C A C B B C B C B C ++=++()()()()sin sin πsin sin sin πsin A C B B bq B C A A a+-=====+-，因此，只需求q 的取值范围即可.因a ，b ，c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此a ，b ，c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>.故有不等式组22a aq aq aq aq a ⎧+>⎨+>⎩，即221010q q q q ⎧--<⎨+->⎩，解得q q q <<⎨⎪><-⎪⎩，从而1122q <<，因此所求范围为⎫⎪⎪⎝⎭.18．已知数列{}n a 满足：()123R,1a t t t =-∈≠±，()()()1123211N 21n n n n nn t a t t a n a t +++-+--=∈+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0t >，试比较1n a +与n a 的大小.【正确答案】（1）()211n n t a n-=-，Nn +∈且1t ≠±；（2）1n n a a +>．【分析】（1）由已知可得()1121111121n n n n n n a a t a t t ++++-=+-+-，令11n nn a b t +=-求数列{}n b 的通项公式，即可求数列{}n a 的通项公式；（2）通过（1）作差()()1121(1)()...()1nn n n n n t a a t t t t t n n -+-⎡⎤-=-+-++-⎣⎦+，讨论01t <<、1t >判断1(1)()...()n n n n t t t t t --+-++-、1t -的符号，即可得结论．【详解】（1）原式可变形得：()()11211121n n n nn t a a a t ++-+=--+-，则()()11212111112121n n n n n n n n n a a a t a t a t t +++++-==+-+-+-，记11n n na b t +=-，则122n n nb b b +=+，整理得1221n n b b +-=，又122(1)122t b t -==-，所以2{}n b 是首项、公比均为1的等差数列，则2n n b =，故2n b n=.所以()211n n t a n-=-，Nn +∈且1t ≠±．（2）由（1），作差可得：()()()2112111n n n n t a a nt t t t n n -+-⎡⎤-=-++++⎣⎦+，又()2111(1)()...()n n n n n n nt t t tt t t t t ---++++=-+-++- ，当01t <<时，1(1)()...()0n n n n t t t t t --+-++-<且10t -<；当1t >时，1(1)()...()0n n n n t t t t t --+-++->且10t ->综上，当0t >且1t ≠时，1t -与()211n n nt t t t -⎡⎤-++++⎣⎦同号，即1n n a a +>．19．类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA ，PB ，PC 构成的三面角-P ABC ，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A PC B --的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（1）当α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=︒，45BAC ∠=︒，①求1A AB ∠的余弦值；②在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）证明见解析；（2）①4；②当点P 在1C C 的延长线上，且使1CP C C =时，//BP 平面11DA C .【分析】（1）过射线PC 上一点H 作HM PC ⊥交PA 于M 点，作HN PC ⊥交PB 于N 点，连接，MN ，可得MHN ∠是二面角A PC B --的平面角．在MNP △中和MNH △中分别用余弦定理，两式相减变形可证结论；（2）①直接利用三面角定理（（1）的结论）计算；②连结1B C ，延长1C C 至P ，使1CP C C =，连结BP ，由线面平行的判定定理证明//BP 平面11DA C ．【详解】（1）证明：如图，过射线PC 上一点H 作HM PC ⊥交PA 于M 点，作HN PC ⊥交PB 于N 点，连接，MN则MHN ∠是二面角A PC B --的平面角．在MNP △中和MNH △中分别用余弦定理，得2222cos MN MP NP MP NP γ=+-⋅⋅，2222cos MN MH NH MH NH θ=+-⋅⋅，两式相减得22222cos 2cos 0MP MH NP NH MP NP MH NH γθ-+--⋅⋅+⋅⋅=，∴22cos 22cos MP NP PH MH NH γθ⋅⋅=+⋅⋅，两边同除以2MP NP ⋅，得cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（2）①由平面11AA C C ⊥平面ABCD ，知90θ=︒，∴由（1）得11cos cos cos A AB A AC CAB ∠=∠⋅∠，∵1cos 60A AC ∠=︒，cos 45BAC ∠=︒，∴1122cos 224A AB ∠=⨯=．②在直线1CC 上存在点P ，使//BP 平面11DA C ．连结1B C ，延长1C C 至P ，使1CP C C =，连结BP ，在棱柱1111ABCD A B C D -中，11//A B AB ，//AB CD ，∴11//A B ，∴四边形11A B CD 为平行四边形，∴11//A D B C ．在四边形1B BPC 中，1//B B CP ，∴四边形1B BPC 为平行四边形，∴1//B C BP ，∴1//A D BP ，又1A D ⊂平面11DA C ，BP ⊄平面11DA C ，∴//BP 平面11DA C ．∴当点P 在1C C 的延长线上，且使1CP C C =时，//BP 平面11DA C ．20．公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫()Demere 向另一位著名的数学家帕斯卡(.)B Pascal 提请了一个问题，帕斯卡和费马()Fermat 讨论了这个问题，后来惠更斯(.)C Huygens 也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢()*1,k k k N >∈局，谁便赢得全部赌注a 元.每局甲赢的概率为(01)p p <<，乙赢的概率为1p -，且每局赌钱相互独立.在甲赢了()m m k <局，乙赢了()n n k <局时，赌钱意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k 局则赌钱意外终止的情况，甲、乙便按照赌钱再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比:P P 甲乙分配赌注.（1）甲、乙赌钱意外终止，若2243,4,2,1,3a k m n p =====，则甲应分得多少赌注？（2）记事件A 为“赌钱继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当4,2,1k m n ===时赌钱继续进行下去甲赢得全部赌注的概率()f p ，并判断当45p ≥时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.【正确答案】（1）216元；（2）3()1(13)(1)f p p p =-+-，是，理由见解析.【分析】(1)设赌钱再进行X 局甲赢得全部赌注，甲必赢最后一局，最多再进行4局，甲、乙必有人赢得全部赌注，由此利用概率计算公式即可得解；(2)设赌钱再进行Y 局乙赢得全部赌注，同(1)的方法求出乙赢得全部赌注的概率，由对立事件可得()f p ，再利用导数求出()f p 的最小值作答.【详解】（1）设赌钱再继续进行X 局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，当2X =时，甲以4:1赢，所以224(2)39P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，当3X =时，甲以4:2赢，所以122228(3)133327P X C ⎛⎫==⋅⨯-⨯= ⎪⎝⎭，当4X =时，甲以4:3赢，所以2132224(4)133327P X C ⎛⎫==⋅⨯-⨯= ⎪⎝⎭，于是得甲赢得全部赌注的概率为48424892727279++==，所以，甲应分得的赌注为82432169⨯=元.（2）设赌钱继续进行Y 局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当3Y =时，乙以4:2赢，3(3)(1)P Y p ==-，当4Y =时，乙以4:3赢，1333(4)(1)3(1)P Y C p p p p ==-=-，从而得乙赢得全部赌注的概率为333()(1)3(1)(13)(1)P A p p p p p =-+-=+-，于是甲赢得全部赌注的概率3()1()1(13)(1)f p P A p p =-=-+-，对()f p 求导得322()3(1)(13)3(1)(1)12(1)f p p p p p p '=---+⋅--=-，因415p ≤<，即()0f p '>，从而有()f p 在4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，于是得min 4608()5625f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，乙赢的概率()P A 最大值为6081710.02720.05625625-==<，所以事件A 是小概率事件.21．作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于A 、B 两点（如图），且(P 在直线l 的左上方.（1）证明：PAB ∆的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若60APB ∠=︒，求PAB ∆的面积.【正确答案】（1）见解析；（2）49【详解】（1）设()11,A x y 、()22,B x y ，直线1:3l y x m =+.①将式①代入椭圆C 的方程，并化简整理得22269360x mx m ++-=.则123x x m +=-，2129362m x x -=，PA k =PB k =故12213PAPByx y x k k-+--+=上式分子((12211133x m x x m x ⎛⎛=+--++- ⎝⎝(()121223x x m x x m =+-+-(()22936332m m m m -=⋅+----22312312m m =--+-+0=.从而，0PA PB k k +=.又点P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线.所以，PAB ∆的内切圆的圆心在直线x =.（2）若60APB ∠=︒，结合1的结论知PA k =PB k =将直线:PA l y x =-，代入椭圆C 的方程并消去y得(2141181330x x +-+-=.因为上式两根分别是1x、11314x -=.则)117PA x=-=.同理，)17PB =.故1sin602PABSPA PB ∆=︒=22．已知α，β是方程()24410R x tx t --=∈的两个不等实根，函数()221x tf x x -=+的定义域为[],αβ.(1)求()()()max min g t f x f x =-；(2)证明：对于()π0,1,2,32i u i ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，若123sin sin sin 1u u u ++=，则()()()123111tan tan tan g u gu g u ++<.【正确答案】(1))22251625++t t (2)证明见解析【分析】（1）由韦达定理得t αβ+=，14αβ=-，利用导数确定函数在区间[],αβ上的单调性．从而求得函数()f x 的最大值与最小值，最后写出()g t ；（2）先证：()2tan ,1,2,3169cos i ig u i u ≥=+，从而利用不等式证明结论即可．【详解】（1）已知α，β是方程()24410R x tx t --=∈的两个不等实根，∴t αβ+=，14αβ=-.故0α<，0β>.当1x ，[]2,x αβ∈时，∴()()()()()()()()()()22222222222211444441212221221111x xt x xt x x x t x xt f x x x x x ------+-----===<+'+++而当[],x αβ∈时，24410x tx --≤，于是()0f x ¢>，即()f x 在[],αβ上单调增.∴()()()()()()()()()()()22222222222121222211111t t t t t g t f f βααββααβαββαβαβααβαβαβ-+--+⎡⎤-+-+--⎣⎦=-==+++++++)2222525225162516t t t t ⎫+⎪+⎝⎭==++（2）()2228216324cos cos cos cos tan 1,2,316169cos 9cos iii ii i i i iu u u u g u u u ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==≥=++当且仅当1624cos cos i i u u =，即cos 3i u =时，等号成立；∴()()()()22212312311111639cos cos cos tan tan tan 166u u u g u g u g u ⎡⎤++≤⨯+++⎣⎦()222123759sin sin sin u u u ⎤=-++⎦而()22221231231sin sin sin sin sin sin 33u u u u u u ++⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，即()2221239sin sin sin 3u u u ++≥，当且仅当1231sin sin sin 3u u u ===时等号成立，∴()()())123111753tan tan tan g u g u g u ++-由于等号不能同时成立，故得证，所以()()()1231113tan tan tan 4g u g u g u ++.易错点睛：本题主要考查函数与不等式的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)求导确定函数单调性时，注意结合一元二次方程的根与不等式关系；(2)多次利用基本不等式时，注意去等条件是否均成立.。

2016年某某省高考数学模拟试卷（理科）（三）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4） B．（﹣3，4）C．（0，3） D．（3，4）3．“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5 B．91，92 C．91.5，91.5 D．91.5，925．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当S n取得最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A．5 B．3 C．4 D．27．函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或 B．C．D．8．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．10．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π12．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是（用数字作答）14．已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．16．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积．（Ⅰ）求sinA与cosA的值；（Ⅱ）设，若tanC=2，求λ的值．18．为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作标本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为X，求X 的分布列和数学期望E（X）19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．20．已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．21．已知椭圆C1： +x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．选修4-1几何证明选讲22．如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB 的大小．选修4-4坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值X围．2016年某某省高考数学模拟试卷（理科）（三）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等的条件列式求得a值．【解答】解：由（2+ai）（a﹣2i）=8，得4a+（a2﹣4）i=8，∴，解得a=2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4） B．（﹣3，4）C．（0，3） D．（3，4）【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】利用并集的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣3＜x＜4}=（﹣3，4）．故选：B．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．3．“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，即可判断出结论．【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，∴“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5 B．91，92 C．91.5，91.5 D．91.5，92【考点】茎叶图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数与平均数即可．【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；∴这组数据的中位数为=91.5，平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5．故选：C．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题，是基础题目．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当S n取得最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式，可求得公差d=2，从而可得其前n项和为S n的表达式，配方即可求得答案．【解答】解：等差数列{a n}中，a1=﹣9，a2+a8=2a1+8d=﹣18+8d=﹣2，解得d=2，所以，S n=﹣9n+=n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25，故当n=5时，S n取得最小值，故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质，考查其通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A．5 B．3 C．4 D．2【考点】循环结构．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环k的值，当k=5时，大于4，计算输出S的值为，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为：k=2，k=3，k=4，k=5，大于4，可得S=sin=，输出S的值为．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结果的程序框图，模拟执行程序正确得到k的值是解题的关键，属于基础题．7．函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或 B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由已知中函数的图象，通过坐标（，0）代入解析式，结合φ求出φ值，得到答案．【解答】解：由已知中函数y=sin（2x+φ）（φ）的图象过（，0）点代入解析式，结合五点法作图，sin（+φ）=0，+φ=π+2kπ，k∈Z，∵φ，∴k=0，∴φ=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，特殊点是解答本题的关键．8．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，分别计算正方体和四棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的体积为1，四棱锥的体积为：×1×1×=，故组合体的体积V=1﹣=，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°【考点】余弦定理；平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据三角形重心的性质得到，可得．由已知向量等式移项化简，可得=，根据平面向量基本定理得到，从而可得a=b=c，最后根据余弦定理加以计算，可得角A的大小．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴，可得．又∵，∴移项化简，得．由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，设c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA===，∵A为三角形的内角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．故选：D【点评】本题给出三角形中的向量等式，求角A的大小，着重考查了三角形重心的性质、平面向量基本定理和利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．12．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，过点M作MN⊥x轴，得到Rt△BNM，通过求解直角三角形得到M 坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合隐含条件求得双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|=|BM|，∠AMB=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，在Rt△BMN中，∵BM=AB=2a，∠MBN=60°，∴|BN|=a，，故点M的坐标为M（2a，），代入双曲线方程得a2=b2，即c2=2a2，∴．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是10 （用数字作答）【考点】二项式定理．【专题】计算题；转化思想；二项式定理．【分析】由展开式的通项公式T r+1==2﹣r，令=8，解得r即可得出．【解答】解：展开式的通项公式T r+1==2﹣r，令=8，解得r=2，∴（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）= ﹣．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；方程思想；分类法．【分析】由函数f（x）=且f（a）=﹣3，求出a值，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴当a≤1时，2a﹣2﹣2=﹣3，无解；当a＞1时，﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，∴f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣2﹣2=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，方程思想，难度中档．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为 1 ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣x数形结合可得结论．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x可知，当直线经过点A（4，﹣1）时，目标函数取最大值，代值计算可得z的最大值为：2×4﹣3=1，故答案为：1．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．16．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为（0，+∞）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件构造函数令g（x）=，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，再由奇函数的结论：f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集．【解答】解：由题意令g（x）=，则=，∵f（x）＞f′（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上是单调递减函数，∵y=f（x）﹣1为奇函数，∴f（0）﹣1=0，即f（0）=1，g（0）=1，则不等式f（x）＜e x等价为＜1=g（0），即g（x）＜g（0），解得x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．【点评】本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积．（Ⅰ）求sinA与cosA的值；（Ⅱ）设，若tanC=2，求λ的值．【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角形面积公式及余弦定理化简已知等式可得，解得：sinA+2cosA=2，又sin2A+cos2A=1，从而解方程组即可得解．（Ⅱ）由tanC=2，可得sinC，cosC的值，可得，从而由正弦定理即可解得．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由题意可得：，…所以解得：sinA+2cosA=2，又因为sin2A+cos2A=1，解方程组可得．…（Ⅱ）∵tanC=2，C为三角形的内角，∴易得，…∴…∴．…【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，同角三角函数关系式的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．18．为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作标本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为X，求X 的分布列和数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（1）甲班抽取的5名学生的成绩为102，112，117，124，136，从中有放回地抽取两个数据，基本事件总数n=52=25，其中只有一个优秀成绩，包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，由此利用等可能事件概率计算公式能求出其中只有一个优秀成绩的概率．（2）由茎叶图知甲班抽取的5名学生中有2名学生成绩优秀，乙班抽取的5名学生中有1名学生成绩优秀，由此得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望E（X）．【解答】解：（1）甲班抽取的5名学生的成绩为102，112，117，124，136，从中有放回地抽取两个数据，基本事件总数n=52=25，其中只有一个优秀成绩，包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，∴其中只有一个优秀成绩的概率p==．（2）由茎叶图知甲班抽取的5名学生中有2名学生成绩优秀，乙班抽取的5名学生中有1名学生成绩优秀，由此得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）=+=，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）①由已知得AD⊥平面APB，从而PB⊥AD，由此能证明平面PAD⊥平面PBC．②取PB中点M，连结RM，SM，由已知推导出平面PAD∥平面SMR，由此能证明RS∥平面PAD．（Ⅱ）由已知得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）①证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥平面APB，又PB⊂平面APB，∴PB⊥AD，∵PD⊥PB，AD∩PD=D，∴PB⊥平面PAD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC．②证明：取PB中点M，连结RM，SM，∵R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，∴SM∥CB∥AD，RM∥AP，又AD∩AP=A，∴平面PAD∥平面SMR，∵RS⊂平面SMR，∴RS∥平面PAD．（Ⅱ）解：由已知得，解得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q（0，0，0），P（），D（0，﹣，1），C（0，，2），∴，， =（0，，2），设平面PDQ的法向量，则，取y=2，得，设平面PCQ的法向量，则，取b=4，得=（0，4，﹣3），设二面角C﹣PQ﹣D的平面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴二面角C﹣PQ﹣D的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论即可得出其单调性；（II）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．利用此结论即可证明．【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=，x＞0．若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．若a＞2，当x∈（，1）时，f（x）递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若0＜a＜2，当x∈（1，）时，f（x）递增，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，f（x）≤f（1）=0，合题意．故a=2，且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．当0＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）=2ln﹣2（x2﹣x1）＜2（﹣1）﹣2（x2﹣x1）=2（﹣1）（x2﹣x1），∴＜2（﹣1）．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、等价转化、分类讨论的思想方法等是解题的关键．21．已知椭圆C1： +x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出抛物线的F1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程．（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线x2=4y的焦点为F1（0，1），∴c=1，又b2=1，∴∴椭圆方程为： +x2=1．…（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，设直线l1：y=kx﹣1由消去y并化简得x2﹣4kx+4=0∵直线l1与抛物线C2相切于点A．∴△=（﹣4k）2﹣4×4=0，得k=±1．…∵切点A在第一象限．∴k=1…∵l∥l1∴设直线l的方程为y=x+m由，消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0，…△=（2m）2﹣12（m2﹣2）＞0，解得．设B（x1，y1），C（x2，y2），则，．…又直线l交y轴于D（0，m）∴…=当，即时，．…所以，所求直线l的方程为．…【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．选修4-1几何证明选讲22．如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB 的大小．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）连接OD，由弦AD∥OC，易证得∠COB=∠COD，继而证得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC与⊙O相切于点B，可得∠ODC=90°，即可证得CD是⊙O的切线．（Ⅱ）利用射影定理，求出AD，即可求∠AEB 的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（Ⅱ）解：设OA=1，AD=x，则AB=2，AE=x+3，由AB2=AD•AE得x（x+3）=4，∴x=1，∴∠OAD=60°，∠AEB=30°．【点评】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及射影定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．选修4-4坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的X围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m ＜5，故m的取值X围是（﹣∞，5）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．。

2025届湖南省五市十校教研教改共同体高考数学全真模拟密押卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，则 PQ PF ⋅的最小值为（ ） A ．-14B ．-12C ．-lD ．12．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．723．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-4．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．85．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．,2e⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭B ．(,)e +∞C ．[,)e +∞D ．,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113 B ．4 C ．133D ．59．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45-C ．35D ．3510．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ） A 17B ．4C ．2D ．11711．已知(2sin,cos),(3cos,2cos)2222xxxxa b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]412．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届湖南省祁阳县高考数学一模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．若2n x⎛ ⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．43．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥C ．m n m ,⊥∥,n α∥βD ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥4．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( )A ．−8B ．−6C ．6D ．85．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种6．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）A ．118B ．54C ．14D ．187．已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅的取值范围为（ ）A ．9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]4,13 C ．[]4,12 D ．7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．19．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲10．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A ．13± B ．223± C ．±1 D ． 3±11．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．20B ．27C ．54D ．6412．设i 是虚数单位，若复数5i 2i ()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．1 D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【组卷说明】本卷以各地名市级模拟考试和各校的联合考试为主题、以课标卷为模板、以“湖南高考考试大纲”为指导进行组卷，是高考复习必备的重组试卷.根据2013年湖南试题进行组合，试题总体难度适中，新题题目较多，个别试题需要耐心思考。

本套试题有如下的鲜明特点：1.注重基础知识的考查：选择题的1-7题，重在基础知识的把握和基本方法的考查；填空中的9-14，强调基础运算能力，也是高考中必要的得分点.2.注重新颖试题的筛选和组合：如选择题的5,6,7,15，试题设计新颖，但是难度不大；再如选择题的8题，填空题16题，体现在知识的交汇点出题的原则，有一定的难度，可以锻炼学生的解题能力.3.大题难度和新课标高考基本一致，其中21和22体现拔高功能，锻炼学习解题能力：第17题——求解三角函数的基本性质以及解三角形的相关问题，考查公式应用能力以及运算能力；第18题——概率和期望，以新颖的背景为依托，考查学生转化分析能力和阅读能力；第19题——立体几何问题，考查学生空间想象能力和计算分析能力；第20题——数列综合问题，以等比数列为背景，考查学生的探索性思维能力；第20题——以抛物线为背景考查直线与曲线相交问题，考查逻辑思维能力；第21题——函数与导数，着重考查导数基础知识、函数不等式以及数列不等式问题.【名校、考点一览表】第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【四川省德阳中学2014届高三零诊考试】设1z i =-（是虚数单），则2z z+=（ ）A.2i -B.22i + C .2i +D.22.【天津市河西区2013届高三下学期总复习质量调查二】“22log log a b>”是“22a b>”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.【2013年高考新课标2卷理】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a=（）A.13 B.13-C.19D.1 9 -4.【山西省四校2014届高三第一次联考】如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A.9B.10C.12D. 185.【湖北省荆州中学2014届高三第一次质量检测】在区间[],ππ-内随机取两个数分别记为a、b，则使得函数()222f x x ax bπ=+-+有零点的概率为（）A .78 B.34 C.12D.1 46.【云南省昆明一中2014届高三开学考试】已知a是实数，则函数()cosf x a ax=可能是（）7.【2013年高考全国卷理】椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.【安徽省正阳中学2014届高三摸底考试】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为正数的点称为整点.如果函数()f x的图象恰好通过()n n N*∈个整点，则称函数()f x为n阶整点函数，有下列函数：①()cos3f x x=；②()3g x x=；③()13xh x⎛⎫= ⎪⎝⎭；④()lnx xϕ=.其中是一阶整点函数的是（）A. ①②③④B.①③④C. ④D.①④第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.（不等式选讲选做题）【陕西省西工大附中2013届高三第二次高考适应性训练】若存在实数x使12x m x-++≤成立，则实数m的取值范围是.10.（极坐标与参数方程选做题）【陕西省乾县一中2014届高三第一次月考】极坐标系中，曲线4sinρθ=-和cos1ρθ=相交于点,A B，则,A B之间的距离AB＝．11.（几何证明选讲选做题）【广东省珠海一中等六校2014届高三第一次联考】如下图，AB 是圆O的直径，过A、B的两条弦AD和BE相交于点C，若圆O的半径是3，那么AC AD BC BE ⋅+⋅的值等于 .二、必做题（12~16题）12.【浙江省苍南县树人中学2014届高三9月第一次阶段性测试】已知向量(3,1)a =，(1,3)b = ，(,7)c k = ，若()a c - ∥b，则k = .14.【广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试】执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是 .15.【广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试】已知实数,x y满足143x y+≤，则z x y=-的最大值是.l:z=x-yyxO-4-33416.【湖南省怀化市三中2013届高三上学期期中考试】设集合{}1,2,3...,M n = (n N *∈),对M 的任意非空子集A ，定义()f A 为A 中的最大元素，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()f A 的和为n S ，则有①3S = ； ②n S= .三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【浙江省富阳场口中学2014届高三8月教学质量检测】已知函数()12f x x =22cos x +.（1）求f （x ）的最大值及取得最大值的x 集合；（2）设△ABC 的角A,B,C 的对边分别为，a,b,c ，c b A f a +==求且,0)(,1的取值范围.（2）18.【浙江省嘉兴市一中2014届高三上学期摸底考试】一个口袋中有红球3个，白球4个．（1）从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸2次恰好第2次中奖的概率；（2）每次同时摸2个，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X的数学期望() E X．19.【2013年高考重庆卷理】如下图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2BC CD ==，4AC =，3ACB ACD π∠=∠=，,F 为PC 的中点，AF PB ⊥.（1）求PA 的长；（2）求二面角B AF D --的正弦值.20.【广东省广州市2013年普通高中毕业班综合测试一】已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，且12323(1)2(n n a a a na n S n n +++⋅⋅⋅+=-+∈N *).（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p q r ,,是三个互不相等的正整数，且p q r ,,成等差数列，试判断111p q r a a a ,,---是否成等比数列？并说明理由.【答案】（1）2nn a =；（2）详见解析.【解析】（1）12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ ，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++ , ② ……………2分② - ①得:11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分以下提供两种方法： 法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ………6分当2n ≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=， ………7分21.【2013年高考湖南卷理】过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l E 与相交于点C ，D.以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l .（1）若120,0k k >>，证明；22FM FN p ⋅< ；（2）若点M 到直线l的距离的最小值为，求抛物线E 的方程.22.【山东省泰安市2013届高三第三次模拟考试】已知函数()2,.xf x e kx x R=-∈（1）若()() 10,1 2k f x=∈+∞，求证：当x时，＞；（2）若()()f x+∞在区间，上单调递增，试求k的取值范围；（3）求证：()4* 444422221111123e n Nn⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+∈⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜.列表如下：。

2020考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，少年！高数学试题（理）说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义集合A﹡B=｛x︱x∈A且x∉B｝若A=｛1、2、3、4、5｝B=｛2、4、5｝则A﹡B的子集个数为（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.已知a为正实数，奇函数f(x)与直线y=a有两个交点，则方程f(x)=a的实数根的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个3.若存在实数x、y，使得对于∆ABC所在平面外一点O，有OP=x AB+y AC，则有（）（A）OP⊥平面ABC；（B）OP//平面ABC；（C）OP在平面ABC内；（D）点P在直线BC上．4.对于函数f(x)=ax2+b x+c(a≠0)作x=h(t)的代换，则总不改变函数f(x)的值域的代换是（）（A）h(t)=3t（B）h(t)=|t|（C）h(t)=cos t（D）h(t)=log t22 ) n 1 m5.已知 p ：不等式| x | + | x - 1 |> m 的解集为 R ，q ： f ( x ) = -(5 - 2m ) x 是减函数，则 p 是 q 的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6.若（ + 2 x )(1 + 4 x )(1 + 6 x ) … (1 + 2004 x ) 的展开式中 x 的一次项系数为n ，则 ( 1 + i 的值等于（）（A ） i（B ） - i（C ）1（D ） - 17. 在正三棱锥 P —ABC 中，M 、N 分别是 PB 、PC 的中点，若截面 AMN ⊥面 PBC ，此棱锥侧面积与底面积的比为（ ）（A ）1/ 2（B ） 2 / 3 (C) 3 / 2 (D) 6 /18.某体育彩票规定：从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注，每注 2 元；某人想选定吉利号 18，然后再从 01 至 17 号选 3 个连续的号；从 19 至 29 号选 2 个连续的号；从 30 至 36 号中选一个号组 成一注，则这个人把这种要求的号买全，至少要花（）(A) 1050 元(B) 1052 元 (C) 2100 元(D) 2102元9. 已知有相同的两焦点F 1、 F 的椭圆 x 2+ y 2 = 1 (m > 1) 和双曲线2x 2n- y 2 = 1 (n > 0) ， P 是它们的一个交点，则 PF ⋅ PF = （ ）1 2（A ） 1 （B ） 1 （C ） 0 （D ）随 m 、 n 的变化2n →∞而变化10.函数 y = a (a + 1) x 2 - (2a + 1) x + 1, 当 a = 1,2,Λ , n ,Λ 时，其抛物线在 x轴上截得的线段的长度依次为 d , d ,Λ , d ,Λ , 则 lim(d + d + Λ + d ) 的值 1 2n12n是（）（A ）1（B ）2（C ）3 （D ）411. 向量 a = (2cos α,2sin α ), b = (3cos β ,3sin β ), a 与 b 的夹角为 60︒ ,则直线 x cos α - y sin α + 1 = 0 与 圆 ( x - cos β ) 2 + ( y + sin β ) 2 = 1 的 位 置 关 系 是22（ ）（A ）相切（B ）相交 （C ）相离 （D ）随 α , β 的位置而定12.下列各组复合命题中，满足“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，“非 p”为真的是（）（A ） p ： 0 = Φ, q : 0 ∈ Φ（B ） p ：过空间一点有且仅有一条直线与两异面直线 a ，b 都相交；q ：在 ∆ ABC 中，若 cos2A=cos2B ，则 A=B（C ）p ：不等式 | x |> x 的解集为 (-∞,0) ，q ： y = sin x 在第一象限在第一象限内是增函数（D ）p ：sin1 - cos1 > 0, q ：椭圆 x 2 + y 2 = 1 的一条准线方程是 x = 4 4 3第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中的横线上.13.若二项式(3x-1)n展开式的第四项是常数项，则正整数n的值x为.14.容量为100的样本数据，按从大到小的顺序分为10个组，如下表组号12345678910频数5810121514131175则第三组的频率和累积频率分别是.15.函数y=a sin x+2b cos x的一条对称轴方程是x=π，则分别4以a,b的绝对值为椭圆的长半轴和短半轴的椭圆的离心率为.16.已知m、n是直线，α,β,γ是平面，给出下列命题①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若n⊥α,n⊥β,则α∥β③若α内不共线三点A，B，C到β的距离都相等，则α∥β④若n⊂α,m⊂α,且n∥β,m∥β,则α∥β⑤若m,n为异面直线，且n⊂α,n∥β,m⊂β,m∥α,则α∥β则其中正确的是.三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）在∆ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边长，已知a,b,c成等比数列，a2-c2=ac-bc，求∠A的大小及b sin B的值。