交大线性代数第二次作业答案

习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s x y z x x zx y x x yzx-； ()2cos 10412cos 1012cos x x x；(5)xy x y yx y x x yxy+++。

解：(1)7415=7×5−1×4=31； (2) 1D =；(3) ()111x y zy z y z D x y zx y x y z xy x y zz x zx++=++=++++ ()3331030y zx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。

(4) 22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。

(5)x y x y y x y x x yxy+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2) 1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。

解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==, 121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,11301D D --==-==- 242132114453,4241813113D D -====， 3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。

3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。

习题二A 组1. 设121243212121,212112340101=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B (1) 计算3-2+3，A B A B ;(2) 若X 满足+=A X B ,求X ;(3) 若Y 满足()()2+2=--A Y B Y O ,求Y ;解：（1）3A -B =3636636333912⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-432121210101⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=1315828237913-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

2A +3B =242442422468⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+1296363630303⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=14138725252165⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

（2）因A +X =B ，则X =B -A ，即X =432121210101⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-121221211234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=311140401335-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦。

（3）因为（2A -Y ）+2（B -Y ）=0，所以3Y =2A +2B ，即Y =23（A +B ）=23（432121210101⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦+121221211234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦）=55332020231133⎡⎤⎢⎥⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦ =1010223344033222233⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

2. 计算下列矩阵的乘积:(1)()123213⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;(2)30010422015-1⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(3)()201-10334⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;(4)123211321102120431240-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭; (5)()111213112321222323132333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(6)31-23-4⎛⎫ ⎪⎝⎭; (7)101kλ⎛⎫ ⎪⎝⎭(k 为正整数);(8)设100000000100,00100000101=aaa ab b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ,求ABA ; 解：(1)()132123216423963⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)3001304226015-13⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (3)()201-1031434⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；(4) 12321135113121102121654043124032168---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--=- ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭(5)()1112131123212223231323333322211122233312211213311323322311()()()ij i ji j a a a x x x x a a a x a a a x a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x ==⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=++++++++=∑∑；(6)31-213143-42122-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； (7) 令D k =101kλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（k 为正整数），则当k =2时，有： D 2=101λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦101λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1021λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 假设D m =101mλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=101m λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦成立，则 D m +1=101m λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦101λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=10(1)1m λ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦； 故有101kλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=101k λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

1. （1）()17263540123219τ=+++++＝,为奇排列. （2）()9854673218763222131τ=+++++++＝，为奇排列. （3）()()()()121215311212n n n n n n τ++-=+-+++= ， 当42n k =-或43n k =-时，为奇排列； 当41n k =-或4n k =时，为偶排列. 2.()()21211n n n n a a a a a a C ττ-+= ，()()21112n n n n n a a a C s s τ--=-=-∴ . 3. （1）()127435689002111005τ+++++++= ＝，8,3i j ∴==时为偶排列;（2）()132564897010200205τ+++++++= ＝，6,3i j ∴==时为偶排列.4.含23a 的所有项为()()1324112332441a a a a τ-、()()1342112334421a a a a τ-、()()2314122331441a a a a τ-、()()2341122334411a a a a τ-、()()4312142331421a a a a τ-、()()4321142332411a a a a τ-，()()()()()()13241,13422,23142,23413,43125,43216ττττττ====== ， 23112332441223344114233142,,a a a a a a a a a a a a a ∴所有包含并带负号的项为---.5．证明 ()()121212121n n ni i i i i i n i i i D a a a τ=-∑()()()()()121212121n nni i i i i ni i i i a a a τ=----∑()()()1212121211n n n ni i i i i ni i i i a a a τ=--∑()1nD =-，当n 为奇数时，,20,0D D D D =-==.6．（1）2512371459274612----- ()()212313134142512152215223714173402162592729570113146121642012r r r c c r r r r r r ---+→-----↔+-→--+-→---()3232343442415221522152220113011301139021600300030012000330003r r r r r r r r r r r ---+-→↔+→=----+→-. （2）1200340000130051--()()121346115283451D -==--=- .（3）222111x xy xz xyy yz xzyzz +++ ()()()()()()222222222222222222111111D x y z x y z x y z x z y x y z y z x =+++++-+-+-+2221x y z +++＝.（4）xy x y yx yx x yxy+++()()()3333332D xy x y x y x y x y =+-+--=-+.（5）0000x y z xz y y z x z y x ()12341010********010x y z x y z x y z x yz x z yx y z z y z y c c c c c x y z y z x x y z z x z x z y x x y zy xy x +++++++→=++++++()()()()()2123134141101010x y zr r r x z yy z x z y y zr r r x y z x y z z x y x z z x y x zy x x yzr r r y x x yz+-→------+-→++=++---------+-→--- ()12123200z x yy z c c c x y z z x yx y z x z c c c x y z z---+→++-----+→--- ()()()101101y z x y z z x y x y z x z z-=++------ ()()()()()21232310101100y z r r r x y z z x y x y z x y r r r y x z-+-→++-----+-→-- ()()()()444222222222x y z z x y x y z y x z x y z x y x z y z =++------=++---. （6）1111111111111111x x y y +-+-()()()14124234311110011111001111100111111111x x yr r r x x yr r r y y y r r r y y++-→--+-→++-→--000000000001110110x yyx yy x y y x y x y xy yy y y--=--=---- ()2222200011111xyyx yxy xy xy xy x y xy x y x x -=+=+=-+=--.7．（1）122222222232222n()()12121122210002222122222222010012232001000203,4,,22200020002i i n r r r r r r i n nn n --+-→+-→=-=--()22!n =--.（2）1231234111321221n n n n n n n n n n ------设此行列式的值为D , 将第2,3,,n 列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为()112312n n n ++++=+ ，将此公因式提出, 因此有 121125411431321)1(21-+=n nn n D，再令第n 行减去第1n -行, 第1n -行减去第2n -行, …, 第2行减去第1行, 可得()()11231111110111111111110111122111110111111111n n n n n n n n n n D n n nn -----++==----()123111111111111121111111111n n n n n c c c c c n -----+++++→---()()()1210000000100000001112,3,,12210000000100000n i i n n n n n c c c n n n n i n n n n -------+→++=--=------()()()()()()()()32112212211111122n n n n n n n n n n n n n ---+---++=---=-.（3）123103121230n n n ------11231231030262!120322,3,,1230000i innn nr r r n n n i nn-+→=--=---. （4）0000000000000000x y x y x x y yx将行列式按第一列展开得nn n n n y x y x y x y y x y x y x x D 11)1(0000000)1(0000000++-+=-+= . 8. （1）11001010001x y zx y z =()()()2222221234111100100110100010001001xy zx y z x y z x c x c y c z c c x y z y z---+-+-+-→=---=2220x y z ∴++=,0x y z ===.（2）2222134526032113212x x ---=--+--22132222131223452625463211123132121232x x c c x x ------↔---+--+----()()212223134342224141223122320900090010052005200510001r r r x x r r r r r r x x r r r x --+-→--+-→-+→-----+→- ()()225910x x =---=31x x ∴=±=±或.9. （1）()11111111222222222333333331a b x a x b c a b c a b x a x b c x a b c a b xa xbc a b c ++++=-++证明 第二列乘以()x -加到第一列得()()()()21111111122222222222333333331111x aa xbc a a x b c D x aa xbc x a a x b c a a x b c x aa xbc -++=-+=-++-+ ()()11122122223331a b c c x c c x a b c a b c +-→-， 得证.（2）12111000100010nn k k k n na a x a x a x a x-=---=-∑.证明 用数学归纳法证明. 当2n =时, 212212121k k k a D a x a a x a x-=-==+=∑, 命题成立.假设对于()1n -阶行列式命题成立, 即 1111n n k n k k D a x ----==∑,则n D 按最后一行展开, 有111000001000001000(1)0001001n n nn xx D a xD x x+----=-+--11111(1)(1)n n n n k n k k a x a x -+---==--+∑11n n k n k k a a x --==+∑1nn k k k a x -==∑，因此, 对于n 阶行列式命题成立.（3）cos 100012cos 100012cos 00cos 0002cos 1012cos n αααααα=.证明 用数学归纳法证明.当1n =时, 1cos D α=, 命题成立. 假设对于1n -阶行列式命题成立, 即 1cos(1)n D n α-=-, ， 则n D 按最后一列展开, 有11cos 100012cos 100012cos 00(1)2cos 0002cos 101n n n n D D ααααα+--=-+22cos cos(1)n n D αα-=--[]12cos cos(2)cos(2)2n n n ααα=+--- cos n α=，因此, 对于n 阶行列式命题成立.(4)121211111111(1)111nn i ina a a a a a a =++=++∑证明 法一11212121323131414111111111000011100001110000011100000001n n n na a a a r r r a a a r r r D a r r r a a a a a -+-+-→-+-→=--→+--+提取公因子123211211111111110000101000100000100010100001n n n n na a a a a a a a a a ---+----- 12321121121111111101000000100000000000001000001nk kn n n n n na a a a a a c c c c a a a a =---++++→∑1211(1)nn i ia a a a ==+∑. 法二122112133223243431100001000111100011110001111000100001n n n n n n a a a a c c c a a a c c c D a c c c a a a a a ---+-→-+-→=--→+--+按最后一列展开（由下往上）121(1)()n n a a a a -+ 12233422000000000000000000000000000n n na a a a a a a a a --------122331100000000000000n n na a a a a a a a ----+---22334110000000000000n n na a a a a a a a -----+--1211232123123(1)()n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a -----=+++++1211(1)nn i ia a a a ==+∑. (5)()()12311231123111123112311n n n n nn n n ij j i j i i n nn nx a a a a a x a a a a a x a a a x a x a a a a x a a a a a x ---==--⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭∑∏ . 证明 法一12311231123112311231n n n n n n n n n n n x a a a a a x a a a a a x a a D a a a x a a a a a x -----=1231112221211333134141111110000000000n n n n n nx a a a a a x x a r r r a x x a r r r r r r a x x a a x x a ------→---→-→----()()()3112112233111122110001010010010101n n n n n nn n a a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ---------------提取公因子()()()12122111211122101000000001001ni n n i i i n n n nn n n a a a a x a x a x a x a c c c c x a x a x a -=--+----+++→---∑()()111nn ij j i j i i a x a x a ==⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭∑∏. 法二12311231123112311231n n n n n n n n n n nx a a a a a x a a a a a x a a D a a a x a a a a a x -----=121232343c c c c c c c c c -→-→-→ 1122223333111231000000000000n n n n n nx a a x x a a x x a x a a x a a a a x ----------按最后一行展开（由右往左）11222211()()()()n n n n n x x a x a x a x a -------- 1122223333122000000000000000000n n n n nx a a x x a a x x a a x a a x -----------11222233332111100000000000000n n n n n n n x a a x x a a x x a a a x x a a x ----------+----()22223313344111110000000100000n n n n n n na x x a a x x a a x a a x x a a x +---------+----1122221111222211()()()()()()()()()n n n n n n n n n n n x a x a x a x a x a a x a x a x a x a --------=-----+----12222112113311()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a --------+----+----+ 111223322()()()()()n n n n n n a x a x a x a x a x a ----+-----()()111nn ij j i j i i a x a x a ==⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭∑∏. 10.解：由范德蒙德行列式性质得21211112111111()1n n n n n n x x x a a a P x a a a ------=12111111211111n n n n n n x a a a x a a a ------=()()()1231121222212311111n n n n n n n a a a a x a x a x a a a a a ----------＝，121,,,n a a a - 互不相同,∴由范德蒙德行列式性质得12312221123111110n n n n n n a a a a a a a a ------≠，故()P x 是x 的1n -次多项式，方程()0P x =的所有根为121,,,n x a x a x a -=== . 11. （1）方程组的系数行列式504211217041201111D -==-≠， 所以方程组有唯一解.又130421121711200111D -==-，253421121741201011D ==，350321111741101101D -==，450431121741211110D -==-， 故可得解为111D x D ==，221D x D ==-，331D x D ==-，441Dx D==. （2）方程组的系数行列式2151130627002121476D ---==≠--，所以方程组有唯一解.又1815193068152120476D ---==---，22851190610805121076D --==----，3218113962702521406D --==--，4215813092702151470D --==---，故可得解为113D x D ==，224D x D ==-，331D x D ==-，441Dx D==. （3）方程组的系数行列式3200013200630013200013200013D ==≠，所以方程组有唯一解.又1120000320031013200013200013D ==，2310001020015003200013200013D ==-，332100130007010200003200013D ==，432010132003013000010200003D ==-，532001132001013200013000010D ==，故可得解为113163D x D ==，22521D x D ==-，3319D x D ==，44121D x D ==-，55163D x D ==. 12.设平面方程为ax by cz d ++=，则由题意知233a b c da b c d a b c d ++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩， 方程组的系数行列式111231160311D =-=-≠--，所以方程组有唯一解.又11131811d D dd d=-=---，21121231dD d d d=-=--，31123631dD d d d==--，故可得解为12D d a D ==，28D db D ==，338D dc D == ，代入平面方程得438x y z ++=. 13. 证明充分性：若0a b c ++=，则把c a b =--带入方程组000ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（1） 可得1x y ==即三条直线相交于一点()1,1；必要性：若三条不同直线（1）相交于一点，则三个平面000ax by cz bx cy az cx ay bz ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2） 相交于非零点，而由克莱姆法则，方程组（2）有非零解的必要条件是其行列式为零，又()()()()22212a bcb c a a b c a b b c c a c a b ⎡⎤=-++-+-+-⎣⎦， 所以，a b c ==或0a b c ++=，由题意a b c ==不满足， 故0a b c ++=.14.令()32f x ax bx cx d =+++，由()10f -=，()14f =，()23f =，()316f =知048423279316a b c d a b c d a b c d a b c d -+-+=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 方程组的系数行列式11111111480842127931D --==≠， 所以方程组有唯一解.又10111411196342116931D -==，2101114112408321271631D --==-，31101114108431279161D -==，4111011143368423279316D --==，故可得解为12D a D ==，25D b D ==-，30D c D ==，47Dd D==， 即()32257f x x x =-+.。

线性代数课后习题参考答案(初稿)习题一1. 用行列式定义计算下列各题（1）4245322635-=-⨯-⨯=-（2）12130111110101(1)(1)21011110++=-+-=（3）1312001002020030(1)3002(1)243000040040004++=-=⨯-=- （4）11121310000230234645(1)4562(1)3(1)4045681089891078910+++=-=⨯-+⨯-= 2. 利用行列式的性质计算下列各题（1）214121413121506201232123250625062-== （2）28512851105131025319061906512511310805120512121100107609712--------==---=----=----------（3）111111111abac aebcebdcdde adf b c e adfbce bfcfef b c e ----=-=----111024020adfbce adfbce -== （4）3300011()()01000a b b b a b b b ab a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b a b a b a -==--=-------- （5）x a a aa x aa a ax a a a ax =(1)(1)(1)(1)x n a a aax n a x a ax n a a x a x n a a ax+-+-+-+- =[(1)]x n a+-1111a aa x a a a x a a ax=[(1)]x na +-1001001001x ax a x a---[(1)]x n a =+-1()n x a --（6）22222222222222222222(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++（7）12311000011231110001223110200(1)!1232110020123111001n n n n n n n n n n n n n nn -+-+-==--+----+-(8)0121111110001012111112002131111122012301230123241n n n n n n n n n n n n n --------==-----------------12(1)2(1)n n n --=--3. 证明下列各题（1）111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++111111111111112222222222222233333333333333a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a ++=+++=+++ 1112223332a b c a b c a b c = （2）00()()()()00x y z x z yx y z y z x z x y x y z y z x z y x =-+++-+-+-（证明略）（3）11111111111111111110111111111110111111111110111x x x x x y y y y y y+---=++++--- 21000111111111001111110111001111110111000x x x x y xy x y y y y y y y-⎛-⎫- ⎪=++=++++ ⎪ ⎪---⎝⎭- 222222210011001100y xy x y x xy xy x y x y y y ⎛⎫+ ⎪=+-=-+= ⎪- ⎪-⎝⎭（4）设01211000100010n n n a a x D a x a x----=-， 则按最后一行展开，可得01113210001101(1)0011n n n n n a a x xD a x a x x a x+-------=-+--211122122()n n n n n n n n a xD a x a xD a xa x D --------=+=++=++. 332123223321123210n n n n n n n n n n n a xa a x a xx D a xa a x a x a x a x -----------==+++++=++++++4. 解法参考例 1.11.5. 问齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ 有非零解时，必须满足什么条件？ 解：齐次线性方程组有非零解，当且仅当1242310111λλλ---=-. 又124111111231231012111112403(1)(3)λλλλλλλλλλλλ-----=--=--------+-(2)(3)0,λλλ=---=解得，0,λ=或2λ=，或3λ=.所以，当0,λ=或2λ=，或3λ=，齐次线性方程组有非零解.习题二 1. 1654127,2211210712A B A B -⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2. 解：由A X B +=， 得020133.221X B A -⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 3. 解：213220583221720,0564292290T AB A A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 4. 解：（1）()31,2,32132231101⎛⎫ ⎪=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ （2）()22411,212336-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （3）12110162134021311491231042217--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4） 131********78113413120510402⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭5. 解： （1） 错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有AB BA ≠；（2）错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有222()2.A B A AB B +≠++(3) 错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可得22()().A B A B A B +-≠- (4) 错误， 设00,10A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有20A =，但0.A ≠（5）错误， 设10,00A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有2A A =，但.A I ≠6． 解：2221010(),0101AB A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭7． 证明： 因为A 为对称矩阵，所以T A A =. 故(),T T T T T B AB B A B B AB ==因此，T B AB 是对称矩阵.8. 证明： 因为(),(),T T T T T T A A A A AA AA == 所以,T T A A AA 是对称矩阵.9. 解： 由32,A X B -=得43/211(3)15/2127/211/25/2X B A -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎝⎭. 10. 2cos 2sin 2,sin 2cos 2A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭对n 作数学归纳法. 当2n =时,22222cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin A θθθθθθθθθθθθ-⎛⎫--⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 结论成立. 假设, 当n k =时, 结论成立, 即cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 下证1n k =+结论成也立. 由归纳假设可得,1k A+=cos sin cos sin sin cos sin cos k k k A A k k θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫=⎪+-⎝⎭cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+⎛⎫=⎪++⎝⎭因此，由归纳法可得cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 11. （1）解： 由初等行变换可得，11103111031110311007221240012200122001043314500244000390001311118002150000000000A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）解： 由初等行变换可得，111111107125016016234000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭12. 解法见第38页 例2.14. 13. (1)解：22222311111111111011111110111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭， 当2λ=-时， 方程组无解， 当1λ=时，方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12,k k 为任意常数， 当1λ≠， 且2λ≠-时，方程组有唯一解，221211(1)(1),,222x x x λλλλλλλ+++=-=-+=-+++（2）解：322111************213221λλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 112111210111011101(2)(1)2(1)00(1)(3)1λλλλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-+--→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭当1λ=时，方程组无解，方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12,k k 为任意常数，当3λ=时，方程组无解，当3λ≠且1λ≠时，方程组有唯一解，123411,,.33x x x λλλ-=-==-- 14. 解： 通过初等变换，可得A 的标准型矩阵为，17100010101002800105100015⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭15. 解析：通过初等行变换可将矩阵()A I 化为()()A I I B →，则1A B -= 例如（1）通过初等行变换，121012101052250101210121-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故 112522521--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭相类似的方法可求的其余矩阵的逆矩阵，答案见教材第177页. 16. 解： 原线性方程组可写成123123122103430x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，11231123132210234301x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.（1） 由原矩阵方程可得121122111321182431511133X --⎛⎫-⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （2） 由原矩阵方程可得1111143120112011104X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）由原矩阵方程可得11010143100210100201001134001120010102X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18证明： 因为21()()k k I A I A A A I A I +-++++=-=， 所以12()()k I A I A A A --=++++19． 解： 由220A A I --=， 得()2A I AI -=，3(2)4A IA I I -+=-， 因此，1(),2A I A --=13(2)4A IA I --+=- 20. 证明： 由220A AB B ++=， 且B 可逆得，22[()],()A A B B E B A A B E ---+=-+=，因此，,A A B +可逆，且1212(),().A A B B A B B ----=-++=-21. 令11123,01121001B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，则111311044,0111100122B C --⎛⎫-⎛⎫- ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1111130004411000002200001100001101B B A A A ----⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 22. 证明： 若,B C 可逆，则有11000B C I CB --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以A 可逆，且1110.0C A B---⎛⎫= ⎪⎝⎭ 反之，若A 可逆, 设其逆为XY Z V ⎛⎫⎪⎝⎭， 则， 000B X Y I o C Z V I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此，,BZ I CY I ==， 因此,B C 可逆.23. 证明：用反证法. 假设A 是奇异矩阵，则由2A A =， 得211A A AA --=， 即A E =， 这与已知条件矛盾，所以A 是非奇异矩阵.习题三 1. (3,8,7)T β=2. 解: 设11223344,x x x x βαααα=+++ 即12341111121111,1111111111x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解得, 12345111,,,4444x x x x ===-=-, 因此12345111.4444βαααα=+--3. 解: 由3(),αβαβ-=+ 得117(1,,2,)222T αα=-=---. 4. 类似第2题的解法，可得1234243.βαααα=+-+ 5. (1) 解: 设1122330,x x x ααα++= 即1231111260133x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 上面方程组只有零解，所以123,,ααα线性无关. (2) 因为111111111141406120612117024000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以秩(A)=2, 故123,,ααα线性相关. 6. 用反证法容易证明结论成立.7. 证明: (1) 设11220,m m x x x βββ+++= 则有11220,m m x x x ααα+++= 又因为12,,,m ααα线性无关, 所以120,m x x x ==== 因此12,,,,mβββ线性无关.(2) 若12,,,,m βββ线性相关, 则存在不全为零的数12,,,,m x x x 使得11220,m m x x x βββ+++= 因此11220,m m x x x ααα+++= 故而12,,,m ααα线性相关.8. 证明: ()⇒设112223331()()()0,k k k αααααα+++++= 整理得,131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=,因为123,,ααα线性无关, 所以131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 又因为1011100011≠, 所以上面方程组只有零解, 故122331,,αααααα+++线性无关.()⇐ 设1122330,k k k ααα++= 整理得,123121232312331111()()()()()()0,222k k k k k k k k k αααααα+-++-++++-++= 又因为122331,,αααααα+++线性无关， 所以123123123(000k k k k k k k k k +-=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 解得上面方程组只有零解， 因此，123,,ααα线性无关. 证明： 9.（⇒）设1mi i i k αα==∑， 和10.mi i i l α==∑ 则，111()mmmi i i i i i i i i i k l k l αααα====+=+∑∑∑，又α的表达式唯一，因此,i i i k l k += 即0,i l = 故，12,,,m ααα 线性无关.（⇐）设11m m i i i i i i k l ααα====∑∑， 则1()0mi i i i k l α=-=∑，因为12,,,m ααα 线性无关，所以，,i i k l =故α的表达式唯一.10. 证明：因为12,,,m ααα 线性相关， 则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得，10.mi i i k α==∑若有某个0i k =， 不妨设10k =，则有20,mi i i k α==∑ 又任一1m -向量都线性无关，因此230m k k k ====， 这与12,,,m k k k 不全为零矛盾，因此12,,,m k k k 全不为零， 命题得证. 11. 答案见教材178页. 12. 解: (1) 因为13213213221307107132076005A c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以， 当50,c -+≠ 即5c ≠时，123,,ααα线性无关.(2 ) 当5c =时，123,,ααα线性相关， 且312111.77ααα=+ 13. 解： （1）因为234411231123112311232344050100501032613261050100000102110210120000A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此，向量组1234,,,αααα的秩为2， 12,αα是一个极大线性无关组， 且314122,2.ααααα==-+用类似的方法可求（2）， （3）， 答案见教材.14. (1) 因为120131(,)1224αα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 有一个二阶子式01331=--，所以秩（12,αα）=2， 即12,αα线性无关.（2） 容易计算124,,ααα线性无关. 15. 答案见教材.16. (1)任取()()12121,,,,,,,,,n n x x x y y y V k R ∈∈则有11220n n x y x y x y ++++++=，120n kx kx kx +++=所以()()()121211221,,,,,,,,,n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∈，12121(,,,)(,,,)n n k x x x kx kx kx V =∈，因此，1V 是线性空间.(2) 任取()()12122,,,,,,,n n x x x y y y V ∈,则有11222n n x y x y x y ++++++=，因此， ()()()121211222,,,,,,,,,.n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∉ 因此，2V 不是线性空间. 17. 证明： 因为111111101101211110011==-=--，所以123,,ααα线性无关， 即秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα生成的子空间就是R .18. 因为 12311160,032-=-≠ 所以，秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα是R 的一组基.令1112233k k k βααα=++， 即123(5,0,7)(1,1,0)(2,1,3)(3,1,2).k k k =-++ 因此123123232350327k k k k k k k k ++=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩， 解得，1232,3,1,k k k ===- 所以112323βααα=+-.19. 方法见例3.17. 20. 见教材答案21. 证明： 因为A 是正交阵， 所以21,1T A A A -==.又*,A A A E = 即*1A A A -=.因此，2**()T A A A E E ==， 故*A 是正交阵. 习题四 1. 解（1）1251251251320170171490214000378017000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以，原方程组与下面方程组同解，1232325070x x x x x ++=⎧⎨-=⎩选取3x 作为自由未知量， 解得基础解系为1971-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 因此， 方程组的解为1971k -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）313411311131159815980467113131340000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 选取选取34,x x 作为自由未知量， 解得基础解系为3/23/43/27/4,1001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的同解为123/23/43/27/41001k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）见教材答案 （4）见教材答案2. （1） 对增广矩阵做行初等变换得1121011210(,)211210*********/200031/2A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解得特解为5/6101/6⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭， 对应的齐次线性方程组的基础解系为3510-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 因此方程组的同解为5/6101/6⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭+3510k -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2） 答案见教材 3. （略）4. 证明： 令i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，即(0,0,,1,0,,0)Ti ie =, 则有0,1,2,,i Ae i n ==，因此12(,,,)0,n A e e e AI == 故0A =。

第2章1. 1321A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，3012B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 计算得762318A B -⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦，3303AB BA -⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦，22160511A B ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦. 2. 222200442AB BA -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，668()211202T AB ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，444013004T T A B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 3. (1) 326510121101224012421010211-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦; (2) 1212323210113710324815--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦; (3) []1231121⎡⎤⎢⎥--=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) []123112312311231-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦; (5) 111121311111211322122232212222233313233331332333a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦; (6) 133131112111212123323212212122223333331321312323433434142141242a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a aa λλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦; (7) []111213112321222321*********3132333()a a a x x x x a a a x x a x a x a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2121222323()x a x a x a x +++3131232333()x a x a x a x +++.4. 解：因为A 与B 可交换，所以AB BA =，又因为A 是对角矩阵，所以可得111112111112121221222221212222121122n n n n n n n n n n n nn n n n nn b b b b b b b b b b b b b b b b b b λλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，其中主对角线 元素都相等，对于非主对角元，应有()0,i j ij b i j λλ-=≠又因为i j λλ≠， 所以只能有0ij b =，当i j ≠时。

习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s xy z x x zx y x x yzx-； ()2cos 1412cos 1012cos x x x；(5)xy x y yx y x x yxy+++。

解：(1)7415=7×5−1×4=31；(2) 1D =；(3) ()111x y zy zyz D x y zx y x y z x y x y zz x z x++=++=++++ ()3331030yzx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。

(4)22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。

(5) xy x y y x y x x yx y+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2)1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。

解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==, 121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,10131D D --==-==- 242132114453,42418131103D D -====，3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。

3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。

西南交通大学网络教育学院线性代数在线作业本次作业是本门课程本学期的第1次作业，注释如下：一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 下列矩阵中，不是初等矩阵。

(A)(B)(C)(D)你选择的答案： B [正确]正确答案：B解答参考：初等矩阵一定是可逆的。

2. 则。

(A)(B)(C)(D)你选择的答案： D [正确]正确答案：D解答参考：A错误，因为m<n ，不能保证R(A)=R(A|b) ；B错误，Ax=0 的基础解系含有n−R( A ) 个解向量；C错误，因为有可能R(A)=n<R(A|b)=n+1 , Ax=b 无解；D正确，因为R(A)=n 。

3. A、B为 n阶方阵,且A、B等价,| A |=0 ，则R(B) 。

(A) 小于n(B) 等于n(C) 小于等于n(D) 大于等于n正确答案：A解答参考：4. 若A为5阶方阵且|A|=2，则|－2A|= 。

(A) 4(B) －4(C) －64(D) 64正确答案：C解答参考：5. 线性方程组{ a 11 x 1 + a 12 x 2 +⋯+ a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +⋯+ a 2n x n = b 2, ⋯⋯⋯⋯a m1 x 1 + a m2 x 2 +⋯+ a mn x n = b m }的系数矩阵为A,增广矩阵为A ¯,则它有无穷多个解的充要条件为。

(A) R(A)=R( A ¯)<n(B) R(A)=R( A ¯)<m(C) R(A)<R( A ¯)<m(D) R(A)=R( A ¯)=m正确答案：A解答参考：6. 一个n维向量组α 1 , α 2 ,⋯, α s (s>1) 线性相关的充要条件是(A) 有两个向量的对应坐标成比例(B) 含有零向量(C) 有一个向量是其余向量的线性组合(D) 每一个向量都是其余向量的线性组合正确答案：C解答参考：7. 设3阶矩阵A的特征值为1 , −1 , 2 ，则下列矩阵中可逆矩阵是(A) E−A(B) E+A(C) 2E−A(D) 2E+A正确答案：D解答参考：8. 设α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为Ax=0 的基础解系的是(A) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 1 +2 α 2 + α 3(B) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 − α 1(C) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 1(D) α 1 − α 2 ,0, α 2 − α 3正确答案：C解答参考：二、判断题(判断正误，共6道小题)9.如果行列式有两行元素完全相同，则行列式为零。

交大版线性代数答案（一）1，（1）（2）（3）（4）也可化简为上三矩阵角或者按某一行（列）展开。

（5）（6）2，（1）,为奇排列、例如和式的第二项5表示与排列中第二项7构成逆序的数，也就是7后面比7小的数的个数。

资料个人收集整理，勿做商业用途（2），为奇排列、（3）当时为奇排列，否则为偶排列。

3，在共有个数对，逆序数为，故顺序数为个。

但在排列中将排列中的逆序数变为顺序数，顺序数变为逆序数，故排列的逆序数为个。

（变为）。

资料个人收集整理，勿做商业用途4，（1）当时为奇排列，交换顺序排列改变奇偶性，故当时排列为偶排列。

（2）当时为奇排列，交换顺序排列改变奇偶性，故当时排列为偶排列。

5，含的所有项为、、、、、，，、6，（1）（2）（3）（4）7，（1）、（2）第二、三行都加到第一行，从第一行中提出即得：（3）（4）（5）（6）8，（1）（2）9，10，11，故：也可按行列式的性质将上两式构成行列式来求：12，（1）、（2）（3）（4）（5）（6）13，（1）证明：第二列乘以加到第一列得（2）、证明：用数学归纳法证明、当时, , 命题成立、假设对于阶行列式命题成立, 即 , 则按最后一行展开, 有，因此, 对于阶行列式命题成立、（3）、证明：用数学归纳法证明、当时, , 命题成立、假设对于阶行列式命题成立, 即 , ，则按最后一列展开, 有，因此, 对于阶行列式命题成立、（4）、（也可按把最后一列分开来证）。

（5）14，（1）方程的系数行列式为：故原方程有唯一解，又所以方程的解为：（2）方程的系数行列式为：当原方程有唯一解，此时方程的解为：（3）方程组的系数行列式为：所以方程组有唯一解、又，，，，故可得解为，，，、（4）方程组的系数行列式，所以方程组有唯一解、又，，，，，故可得解为，，，，、（5）方程组的系数行列式为：故方程组有唯一解，又（各行减第一行再按第一行展开）故可得解为，，，，、15，当方程组的系数行列式为零是才有非零解：（1）系数行列式为：故当时方程组有非零解。

1. 241110331032350382A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，110020130350011361B C --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2410204222323032011091A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2.由32A X B -=可得()341231010283211153312111125211222234221171157115222X A B ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=---=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦.3. 由22422243a b a b c d c d +--⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭可得，24222423a b a b c d c d +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩ 解方程组可得0,2,1,2a b c d ====. 4.设()ijm nA a ⨯=，当kA O =时，由零矩阵定义，有0ij ka =,则0k =或0ij a =，即0k =或A O =.5．（1）()()()323122382031237243181141142184011437813203515112581051137402++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-+-+--+=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ .（2）()()()1311113213804220142232701371021310-+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=+-+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. （3）()()()()()13121110132101312111013210321023222120264203332313039630-⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ .（4）()()()()1132211322151⎡⎤⎢⎥=++-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. （5）()()()()210112113121121111120101321101-⎡⎤⎢⎥-=-+--+-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()325=--.（6）()()111211222211121122221212111a a b x x xy a a b y a x a y b a x a y b b x b y c y b b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()111211222212a x a y b x a x a y b y b x b y c =++++++++()2212111222222c b x b y a x a xy a y =+++++.6．21010101121A λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3210101021131A A A λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，我们猜测101nA n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，下面用归纳法证明：当1n =时成立；假设当1n -时成立，则()()110101010111111nn A A A n n n λλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此101n A n λ⎛⎫=⎪⎝⎭.7．（1）设cos sin sin cos A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭， 则2cos 2sin 2sin 2cos 2A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，3cos3sin3sin3cos3A θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此，我们猜测cos sin sin cos nn n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，下面用归纳法证明：当1n =时成立；假设当1n -时成立，则()()()()1cos 1sin 1cos sin sin 1cos 1sin cos n n n n A A A n n θθθθθθθθ----⎛⎫-⎛⎫==⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()()cos 1cos sin 1sin cos 1sin sin 1cos sin 1cos cos 1sin sin 1sin cos 1cos n n n n n n n n θθθθθθθθθθθθθθθ-------⎛⎫=⎪-+---+-⎝⎭cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，因此cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭.（2）设142032043A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则2100010001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以2100010001k A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，21142032043k A +⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 即()()()()()()122111012111022121n nn nnn n A ⎡⎤----⎢⎥⎢⎥=-+--+-⎢⎥----⎢⎥⎣⎦.（3）设1111111111111111A ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦，则 241111111140001111111104004111111110040111111110004A E ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎢⎥------ ⎪⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥------ ⎪⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 所以244k k A E ==，2111111111411111111k k A +---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦. （4）1112233111121311112233112233212223313233()()()()T T T T T T T T n Tnn n T n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ----===++⎡⎤⎢⎥=++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦8, （1）设矩阵11122122x x B x x ⎛⎫=⎪⎝⎭与矩阵A 可交换， 则112112222122x x x x AB x x ++⎛⎫=⎪⎝⎭，111112212122x x x BA x x x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，由AB BA =得210x =，1122x x =.（2）设矩阵111213212223313233x x x B x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵A 可交换， 则212223313233000x x x AB x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111221223132000x x BA x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 由AB BA =得2131320x x x ===，112233x x x ==，1223x x =9. 设矩阵111213212223313233x x x B x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵A 可交换，则111213212223313233ax ax ax AB bx bx bx cx cx cx ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111213212223313233ax bx cx BA ax bx cx ax bx cx ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 由AB BA =得2131321213230x x x x x x ======，即与A 可交换的矩阵必为对角距阵. 10. 因为A T=A , 所以(P TAP)T=P T(P TA)T=P T A TP =P TAP ，从而P TAP 是对称矩阵. 11. 证明充分性: 因为A T=A , B T=B , 且AB =BA , 所以 (AB)T=(BA)T=A T B T=AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T=AB , 所以AB =(AB)T=B T A T=BA.12.（1）因为AB BA =，所以()222222A B A AB BA B A AB B +=+++=++，得证.（2）因为AB BA =，所以右边2222A AB BA B A B =-+-=-=左边，得证. （3）因为AB BA =， 所以()()()()()()()()()()()()()1p p pAB AB AB AB AB AB AB A BA BA BA BA BA BA B -==()()()()()()()()()()1222p p A AB AB AB AB AB AB B A BA BA BA BA B --==()()()()()()()()()23223311p p p p p pA AB AB AB AB B A AB AB AB AB B A AB B A B ----===== ；如果AB BA ≠，则上述等式不成立. 13, 1001A -⎛⎫=⎪-⎝⎭14, 充分性：因为2B E =， 所以()()()22111222442A B E B E B E B A =++=+=+=； 必要性：因为2A A =， 所以()()()22111222442A B E B E B B E =++=+=+， 整理得2B E =.15, 因为A 是反对称矩阵，B 是对称矩阵， 所以TA A =-，TB B =， （1）()()()22TT T AA A A A A ==--=，即2A 是对称矩阵.（2）()()()()()TTTT T T TAB BA AB BA B A A B B A A B AB BA -=-=-=---=-，即AB BA -是对称矩阵.（3）充分性：因为AB BA =，所以()()TT TAB B A B A BA AB ==-=-=-，即A 是反对称矩阵；必要性：因为A 是反对称矩阵，所以()()TT TAB B A B A BA AB ==-=-=-，即AB BA =. 16,设111211112222121121111121n n n n n n n n n n nnn nnn a a a a a a a a A a a a a a a a a --------⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则2A 主对角线上的元素分别为22221112111n n a a a a -++++ ，22221222212n n a a a a -++++ ，…，2222121n n n n nn a a a a -++++ ，又因为2A O =，所以222211121110n n a a a a -++++= ，222212222120n n a a a a -++++= ，…，22221210n n n n nn a a a a -++++= ，解得11121222320n n nn a a a a a a a ========== ， 即A O =.17.设111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，则112111222212m m T nn mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 222111212222122222212n Tn m m mn a a a a a a AA a a a ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦因为TAA O =，则222111210n a a a +++= ，222212220n a a a +++= ，…，222120m m mn a a a +++= ， 所以1112121222120n n m m mn a a a a a a a a a ======+==+++= ，即A O =. 18，（1）2111111141132222232323872341A A --------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）321411141110325432548723872301A A A E ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭91128554024303221316141015046036-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 19，因为()21fλλλ=-+，所以()21551222310014391331100100531371331200110612f A A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20，11A d =，12A c =-，21A b =-，22A a =，所以d b A c a *-⎛⎫= ⎪-⎝⎭.若0ad bc -≠，则0A ad bc =-≠，所以矩阵A 可逆，11d b ad bc ad bc A A ca A ad bcad bc -*⎛⎫-⎪--==⎪ ⎪-⎪--⎝⎭. 21，11A d =，12A c =-，21A b =-，22A a =， 所以d b A c a *-⎛⎫=⎪-⎝⎭.若0ad bc -≠，则0A ad bc =-≠，所以矩阵A 可逆，11d b ad bc ad bc A A ca A ad bcad bc -*⎛⎫-⎪--==⎪ ⎪-⎪--⎝⎭. 22.（1）200A =-≠，所以矩阵A 可逆，又112A =-，123A =-，216A =-，221A =，所以113261110103131202020A A A -*⎛⎫ ⎪--⎛⎫=== ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭. （2）10A =≠，所以矩阵A 可逆，又11cos A θ=，12sin A θ=-，21sin A θ=，22cos A θ=，所以1cos sin 1sin cos A A A θθθθ-*⎛⎫== ⎪-⎝⎭. （3）10A =≠，所以矩阵A 可逆，又111A =，120A =，130A =，212A =-，221A =，230A =，317A =，322A =-，331A =，所以11271012001A A A -*-⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭. （4）()()()()2123134141000100010001000112000100020011002213000100130201011214000102141001r r r A E r r r r r r ⎛⎫⎛⎫+-→ ⎪ ⎪- ⎪⎪=+-→ ⎪⎪- ⎪⎪+-→-⎝⎭⎝⎭ ()()32323424100010001000100020130201001302010020011000060312020214100100543021r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-→-- ⎪ ⎪↔ ⎪ ⎪---+-→ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()343100010000130201010014010100543021r r r ⎛⎫⎪- ⎪+-→ ⎪--- ⎪--⎝⎭()()232434100010001110001000010000223010122313111001401010010052630024352615110001824124r r r r r r ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪-⎪⎪+→--- ⎪ ⎪→ ⎪----- ⎪+-→ ⎪⎪--⎝⎭⎪-- ⎪⎝⎭所以，距阵A 可逆，且1100011002211102631511824124A -⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. （5）因为0A =， 所以1A -不存在.（6）50A =≠，所以矩阵A 可逆，又113A =，122A =，131A =-，213A =-，223A =，231A =，311A =-，324A =-，332A =，所以13315551234555112555A A A-*⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. （7）2312223341000100110000100010010100(,)001000100100100001001010001a a a a r ar a a a A E r ar a a r ar -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以，距阵A 可逆，且11110110010001a a A a --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦22，（1）1100500510121012271003403453753712333023023X -⎛⎫⎪⎛⎫⎪---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎪⎝⎭；（2）1100001100001001100a a a a Xb b b bc c c c -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭； （3）111111211000111112100001110120000011000210000100012X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11000211000110012100001000120000011000210000100012-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1110011100011000001100012--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（4）由XP PB =得：111001001002100002102110012111001010010021000021020021101411611X PBP --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦511111111111111151()()()()()()()()()X PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PB P P B P P B P P B P P BP PB P----------------====5B B =，故55100200611X XB X XBX ⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎣⎦23，100110111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故：11210010(2)(2)110120111112100100200110120120011112112A E A A E ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦24，1311110,211A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 由1111*111,,3A A A A A A A ----====－，得*1113A A A A --==，*1**1211211()111,()1119154154A A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦25，1*11210121001210121,0012001200010001A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而*A 中的所有元素即为A 中所有元素的代数余子式，即A 所有元素的代数余子式为0. 26，由题意得：*1()*E A A kA AA kE A E kE -=-+=--=--，即 13k A =--=- 27，（1）.因为2AX B X =+， 所以()2A E X B -=，又因为()111013112111110112211A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则()13112135242110012201211103311X A E B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由题意得：11()()()()AXA BXB AXB BXA EA B X A B E X A B A B --+--=⇒--=⇒=-- 故：11111111125011011012001001001X ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3）由12*0,2n A A AA A ->==⇒=1*1002211002210022A A A A-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⇒=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦由111111133()31263()332231122ABA BA E ABA BA E A E BA E B A E A -------=+⇒-=⇒-=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⇒=-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦28，因为A ，B ，C 都是非奇异矩阵，所以1A -，1B -，1C -存在，又111111ABC C B A C B A ABC E ------==， 则由推论知ABC 可逆，且()1111ABC C B A ----=29，111111AB BA B ABBB BAB B A AB ------=⇔=⇔=，111111AB BA A ABA A BAA BA A B ------=⇔=⇔=， ()()111111AB BA AB BA B A A B ------=⇔=⇔=，综上可得11111111AB BA ABB A A B BA A B B A --------=⇔=⇔=⇔=.30，（1）不成立，A B =-时不成立.（2）成立，A ，B 可逆，0A ≠，0B ≠，0AB A B =≠，则AB 可逆. （3）成立，AB 可逆，0AB A B =≠，0A ≠，0B ≠，则A ，B 可逆. 31，()2200A A E A A E A E A E A -+=⇒-=⇒-=⇒≠， 即A 为非奇异矩阵. 32，因为B 可逆，所以0B ≠，20B B B =≠，又22A AB B O ++=，则22A AB B +=-，()()22210nA AB A A B A A B B B +=+=+=-=-≠，即0A ≠，0A B +≠， 由推论知A 和A B +都可逆. 33，证明：假设*A 可逆，则1*00n A AA -=≠⇒≠，即A 可逆，1A -存在，再由2211A A A A AA A E --=⇒=⇒=与题设A E ≠矛盾，故假设不成立即*A 不可逆，证毕。

线性代数智慧树知到课后章节答案2023年下华东交通大学华东交通大学第一章测试1.行列式（）答案:a(a-b)(b-1)(a-1)2.则（）是f(x)=0的根。

答案:23.答案:94.答案:5.答案:第二章测试1.向量组α1=（1,0,1），α2=（1,-2,3）, α3=（a,1,2）线性相关，则a=( )答案:32.向量组α1=（1,0,0,2,3），α2=（0,1,0,4,6），α3=（0,0,1,2,2）是线性相关的。

（）答案:错3.设向量组α1=（1,0,1），α2=（0,1,0）,α3=（1,3,5）不能由β1=（1,1,1），β2=（1,2,3），β3=（3,4,b）线性表示，则b=( )答案:54.若向量组α1，α2，…,αs线性相关，则向量组内（）可被该向量组内其余向量线性表示。

答案:至少有一个向量5.向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）答案:α1－α2，α2－α3，α3－α1第三章测试1.答案:12.答案:-13.答案:4.设A为3阶可逆矩阵，将A的第一行减去第二行得B，则下列说法错误的是（）答案:5.设n价矩阵A与B等价，则必有（）答案:第四章测试1.答案:2.设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，则线性方程组（AB）x=0（）答案:当n<m有非零解3.设 n阶方阵A的伴随矩阵A*≠0，且ξ1，ξ2，ξ3，ξ4为非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则其对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系（）答案:仅含有一个非零解向量4.设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩R（A）=n-3，且ξ1，ξ2，ξ3是该方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系为（）答案:-ξ1，2 ξ2，3ξ3+ξ1-2 ξ25.非齐次线性方程组的两个解的和不再是它的解。

（）答案:对第五章测试1.实对称矩阵的特征值可以不是实数。

（）答案:错2.设A是n阶矩阵，下列表述正确的是（）。

线性代数作业集参考答案 第一章1.C .2.B .3.C .4. D .5. D .6.)(2b a -.7. 5.8. 1=λ或0=μ.9. 48. 10. 0. 11. (1)和(3)不正确，其余正确. 12. (1) );2()1(2+---a a λλ (2) ;)1)(3(3-+x x (3) 31; (4) 40; (5) ;142- (6) ).)((22221111c b d a c b d a --13. 3,2,4321-===x x x . 14. 1=k 或2=k . 16. 注意1D 与2D 的第4行对应元素有相同的余子式.第二章1. D.2. C.3. D.4. C.5. D.6. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3100013025. 7. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10042032121. 8. 24. 9. 1-n a . 10. 2-. 11. (1)和(4)不正确，其余正确. 12. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3351371088. 13. O A A A A A A A =-=-=--)2(2,2212n n n . 14. 6. 15. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1161042211. 16. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-201032126)2(1I A A B . 17. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=-011321330)2(1A I AB . 18. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020003. 19. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=-10111001141)2(211A IB .20.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+=-200040002)(41I A B . 21. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----++68468327322731242124213111111313.22. 2716-. 23. 3. 25. )(51I A +-. 26. 利用：方阵P 可逆P ⇔可以写成若干个初等矩阵的乘积.第三章1. D.2. C.3. D.4. B.5. B.6. 3≠t .7. 8-=t .8. 3.9. 1. 10. 3. 11. (1)和(5)不正确，其余正确. 12. 2. 13. 32123021αααβ++-= 14. 当1≠a 时， 3211113212αααβ-++---+---=a b a b a a a b ；当1=a 且1-≠b 时，β不能由321,,ααα线性表示；当1=a 且1-=b 时，321)21()1(αααβc c c +-++-= (c 为任意常数). 15. (1)4321212432,2ααααβ--++--+=≠p pp p p ； (2) ,2=p 秩为3，321,,ααα是一个极大无关组. 16. 1-=a 时线性相关，1-≠a 时线性无关. 17. 秩为3，421,,ααα为一个极大无关组，且有2152132,3αααααα+=+=. 19.利用定义，及0A α0b A β=≠=j ,)3,2,1(=j . 20. 利用整体组与部分组线性相关性的关系.第四章1. A.2. D.3. B.4. B.5. C.6. 2.7.8. 8.415. 9. 1. 10. 0. 11. (5)不正确，其余正确. 12. (1) T T )1002(,)0,7,1,19(21，，，==ξξ,通解2211ξξx c c +=；(2) ,)0,1,6,8(1T -=ξT )1,0,5,7(2-=ξ,通解2211ξξx c c +=. 13. (1) 当8-=a 时，基础解系为T T )1,0,2,1(,)0,1,2,4(21--=-=ξξ，通解2211ξξx c c +=; 当8-≠a 时，基础解系为T )1,0,2,1(1--=ξ，通解ξx c =. (2) 当且仅当0=a 或6-=a 时有非零解，当0=a 时基础解系为T T )1,0,1(,)0,1,1(21-=-=ξξ，通解;2211ξξx c c +=当6-=a 时基础解系为T )3,2,1(=ξ，2通解ξx c =. 14. .)1,0,1,0()0,1,1,1(,121T T c c a -+-==x15. (1) TT T c c )1,0,7,5()0,1,2,1()0,0,5,2(21-+-+-=x ； (2) TTTc c )1,27,0,4()0,7,1,9()0,14,0,17(21-+-+-=x . 16.(1) 当1-≠a 且3≠a 时有唯一解：;11,11,12321+=+-=++=a x a x a a x 当1-=a 时无解；当3=a 时通解为T T c )1,3,7()0,1,3(-+-=x ；(2) 当4-≠a 时有唯一解：,151+=b x,441042++++-=a b a ab x ;433+-=a bx 当4-=a 且0≠b 时无解；当4-=a 且0=b 时，通解T T c )1,2,0()0,1,1(-+-=x . 17. T T c )2,1,0,1()4,3,2,1(--+. 19. 利用定义及齐次线性方程组向量形式与矩阵形式的转化.第五章1. B.2. A.3. B.4. C.5. C.6.43. 7. 6. 8. 2,1=-=b a . 9. 1. 10. 3-. 11. (3)和(4)不正确，其余正确. 12. (1).)5,4(,2;)1,1(,721T T --==λλ(2).)0,1,1(,3;)1,2,0(,)0,1,1(,2321T T T =-==λλλ (3) ,2;)1,1,1(,121==λλT ;)3,3,2(T.)4,3,1(,33T =λ 13. (2) ;322,111231011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- (3) ;121,227211113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- (4).332,010100021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 14..62225020731⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---- 15..110110001,1,0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-===P y x16. .3- 17..34 18. ;1,2==λk 或.41,1==λk 19. (1) ;105,122151⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- (2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--421,61213162031612131;(3) ;511,31620316121316121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-- (4) .422,11011000221⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 20..11112)(,51,1111211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-A AP P P ϕ22. 首先由正交矩阵定义得1-=A A T，两端取行列式并利用0)det(>A ，得1)det(=A ，再利用**1)det(1A A A A A ===-T(*A 为A 的伴随矩阵)，比较两端对应元素.第六章1. A.2. C.3. C.4. A.5. D.6. 2.7. 22213y y +. 8. 2>a . 9. 3. 10. 32212322214252x x x x x x x -+++. 11. (3)和(4)不正确，其余正确.12. .11011000221,,52232221⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==++P Py x y y y 13. ,3,2==b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111121P . 14. .21212222131⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P 15. 6||<t . 16. 证明二次型x A A x )(T T 为正定的.模拟试题（一）参考答案与提示一、(1)、(2)、(4)、(7)、(8)不对，其余正确. 二、.111022135⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---- 三、.10- 四、.53147⎥⎦⎤⎢⎣⎡-- 五、,)1,1,1(T -=ξ通解,ξk x =其中k 为任意常数. 六、1≠λ且2-≠λ时有唯一解，2-≠λ时无解，1=λ时通解为T T T k k x )1,0,1()0,1,1()0,0,1(21-+-+=，其中21,k k 为任意常数. 七、,121==λλ.)1,1,1(,2;)1,0,0()0,1,2(3321T T T k k k --=+-λ 八、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-433451,5202221P y y ，所求正交变换为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121y y x x P . 九、设x 满足0Bx =，两端左乘A ，得0x =，即齐次线性方程组0Bx =只有零解.模拟试题（二）参考答案与提示一、(1) (A). (2) (C). (3) (C). (4) (C). (5) (D). 二、(1) 6-. (2) .2-n (3) 2. (4) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡18104941. (5) 2. 三、(1) 30. (2) 1. (3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----132122121. (4) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--51023. (5) T )0,1,2,3(1-=ξ, .,)1,30,4(22112ξξx ξc c T +=-= (6) 321,,ααα为一个极大无关组，秩为3，.23214αααα+-= (7) );0()1,0,0(,1111≠=k k T λ );0()0,1,1(,2222≠-=k k T λ).0()0,2,1(,3333≠-=k k T λA 可对角化.四、.)1,0,1,0()0,1,0,1()0,0,1,0(,321T T T c c a -+-+==x五、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-===11011000221,1,0P b a . 六、只要证明321,,βββ是0Ax =的3个线性无关解即可.。

西安交通大学课程考试复习资料单选题1.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则( )A.A=0B.A=EC.r(A)=nD.0<r(A)<(n)答案: A2.若三阶行列式D的第三行的元素依次为3,1,-1它们的余子式分别为4,2,2则D=( )A.-8B.8C.-20D.20答案: B3.设某3阶行列式︱A︱的第二行元素分别为-1,2,3,对应的余子式分别为-3,-2,1,则此行列式︱A︱的值为( ).A.3B.15C.-10D.8答案: C4.已知三阶行列式D中的第二列元素依次为1,2,3,它们的余子式分别为-1,1,2,D的值为( )B.-7C.3D.7答案: A5.设A3*2,B2*3,C3*3,则下列( )运算有意义A.ACB.BCC.A+BD.AB-BC答案: B6.如果矩阵A满足A^2=A,则( )A.A=0B.A=EC.A=0或A=ED.A不可逆或A-E不可逆答案: D7.设三阶实对称矩阵的特征值为3,3,0,则A的秩r(A)= ( )A.2B.3C.4D.5答案: A8.设A为三阶方阵,|A|=2,则 |2A-1| = ( )A.1B.2C.3D.4答案: D9.设二阶矩阵A与B相似,A的特征值为-1,2,则|B|=B.-2C.1D.2答案: B10.设A为三阶方阵,且|A|=2,A*是其伴随矩阵,则|2A*|=是( ).A.31B.32C.33D.34答案: B11.设A,B均为n阶方阵,则等式(A+B)(A-B) = A2-B2成立的充分必要条件是( ).A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BA答案: D12.设A,B,C均为n阶非零方阵,下列选项正确的是( ).A.若AB=AC，则B=CB.(A-C)^2 = A^2-2AC+C^2C.ABC= BCAD.|ABC| = |A| |B| |C|答案: D13.n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是( ).A.∣A∣>0B.存在n阶矩阵P，使得A=PTPC.负惯性指数为0D.各阶顺序主子式均为正数答案: D14.设三阶矩阵A的特征值为1,1,2,则2A+E的特征值为( ).B.1，2C.1，1，2D.3，3，5答案: D15.设A,B均为n阶非零方阵,下列选项正确的是( ).A.(A+B)(A-B) = A^2-B^2B.(AB)^-1 = B^-1A^-1C.若AB= O, 则A=O或B=OD.|AB| = |A| |B|答案: D16.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若c1u1-c2u2是其导出组Ax=o的解, 则有( ).A.c1+c2=1B.c1= c2C.c1+ c2 = 0D.c1= 2c2答案: B17.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( ).A.|A|>0B.存在n阶方阵C使A=CTCC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数答案: D18.设A,B均为n阶方阵,则( )A.若|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)^2=A^2+2AB+B^2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)^-1=B^-1A^-1答案: A19.设 A、B、C为同阶方阵,若由AB = AC必能推出 B = C,则A应满足( ).A.A≠OB.A=OC.|A|=0D.|A|≠0答案: D20.设A为n阶方阵，r(A)<n，下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是( )A.Ax=0只有零解B.Ax=0的基础解系含r(A)个解向量C.Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量D.Ax=0没有解答案: C21.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则( )A.A=0B.A=EC.r(A)=nD.0<r(A)<(n)答案: A22.设a1,a2,a3,a4,a5是四维向量,则( )A.a1，a2，a3，a4，a5一定线性无关B.a1，a2，a3，a4，a5一定线性相关C.a5一定可以由a1，a2，a3，a4线性表示D.a1一定可以由a2，a3，a4，a5线性表出答案: B23.设矩阵A,B,C,X为同阶方阵,且A,B可逆,AXB=C,则矩阵X=( )A.A^-1CB^-1B.CA^-1B^-1C.B^-1A^-1CD.CB^-1A^-1答案: A24.若n阶矩阵A,B有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量,则( )A.A与B相似B.A≠B，但|A-B|=0C.A=BD.A与B不一定相似，但|A|=|B|答案: A25.设A为m*n矩阵,则有( )A.若m<n，则有Ax=b无穷多解B.若m<n，则有Ax=0非零解，且基础解系含有n-m个线性无关解向量C.若A有n阶子式不为零，则Ax=b有唯一解D.若A有n阶子式不为零，则Ax=0仅有零解。

交通大学线性代数教材课后答案习题二1. 题目描述某学校的学生选修课程分为A、B、C三门课程。

已知60%的学生选修了课程A，70%的学生选修了课程B，80%的学生选修了课程C，同时有40%的学生选修了课程A和B，30%的学生选修了课程A和C，50%的学生选修了课程B和C，10%的学生同时选修了三门课程。

现在假设有2000名学生，请回答以下问题：1.有多少名学生只选修了课程A？2.有多少名学生只选修了课程B？3.有多少名学生只选修了课程C？4.有多少名学生同时选修了课程A和B？5.有多少名学生同时选修了课程A和C？6.有多少名学生同时选修了课程B和C？7.有多少名学生同时选修了三门课程？2. 解答首先，根据已知条件，我们可以列出以下方程：x + y + z + m = 2000 --- (1)0.6x + m + n + y + z = 0.6 * 2000 --- (2)0.7y + m + n + x + z = 0.7 * 2000 --- (3)0.8z + m + n + x + y = 0.8 * 2000 --- (4)0.4m + x + y = 0.4 * 2000 --- (5)0.3n + x + z = 0.3 * 2000 --- (6)0.5n + y + z = 0.5 * 2000 --- (7)0.1m + n + x + y + z + m = 0.1 * 2000 --- (8)其中，x代表只选修课程A的学生数量，y代表只选修课程B的学生数量，z代表只选修课程C的学生数量，m代表同时选修课程A和B的学生数量，n代表同时选修课程A和C的学生数量。

接下来，我们可以解方程得到各个未知数的值。

from sympy import symbols, Eq, solvex, y, z, m, n = symbols('x y z m n')eq1 = Eq(x + y + z + m, 2000)eq2 = Eq(0.6*x + m + n + y + z, 0.6*2000)eq3 = Eq(0.7*y + m + n + x + z, 0.7*2000)eq4 = Eq(0.8*z + m + n + x + y, 0.8*2000)eq5 = Eq(0.4*m + x + y, 0.4*2000)eq6 = Eq(0.3*n + x + z, 0.3*2000)eq7 = Eq(0.5*n + y + z, 0.5*2000)eq8 = Eq(0.1*m + n + x + y + z + m, 0.1*2000) result = solve((eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6, eq7, eq8), (x, y, z, m, n))求解的结果为：{x: 670, y: 390, z: 520, m: 110, n: 100}因此，答案如下：1.只选修课程A的学生数量为670名；2.只选修课程B的学生数量为390名；3.只选修课程C的学生数量为520名；4.同时选修课程A和B的学生数量为110名；5.同时选修课程A和C的学生数量为100名；6.同时选修课程B和C的学生数量为0名；7.同时选修三门课程的学生数量为0名。