线性代数期中练习 一、单项选择题。 1．
1202
1
k k -≠-的充分必要条件是( )。
(A) 1k ≠- (B) 3k ≠ (C) 1k ≠- 且3k ≠ (D) 1k ≠-或3k ≠ 2．若AB ＝AC ，当（ ）时，有B ＝C 。
(A) A 为n 阶方阵 (B) A 为可逆矩阵 (C) A 为任意矩阵 (D) A 为对称矩阵
3．若三阶行列式M a a a a a a a a a =33
32
31232221
131211
，则=---------33
32
31
232221
13
1211222222222a a a a a a a a a （ ）
。 (A) －6M (B) 6M (C) 8M (D) －8M
4．齐次线性方程组123123123
000ax x x x ax x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有非零解，则a 应满足（ ）。
(A) 0a ≠； (B) 0a =； (C) 1a ≠； (D) 1a =．
5．设12,ββ是Ax b =的两个不同的解，12,αα是0=Ax 的基础解系，则Ax b = 的通解是（ ）。 (A) 11212121()()2c c αααββ+-+
+ (B) 11212121
()()2c c αααββ+++- (C) 11212121()()2c c αββββ+++- (D) 11212121
()()2
c c αββββ+-++ 二．填空题。
6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A ·B T =
。
7．已知A 、B 为4阶方阵，且A ＝－2，B ＝3，则| 5AB | =
。
| ( AB )-1 |=
。
8. 在分块矩阵A=B O O C ⎛⎫ ⎪⎝⎭中，已知1
-B 、1-C 存在，而O 是零矩阵，则
=-1A
。
9．设D =
7
345
3
27254321111
-,则=+++44434241A A A A 。
10．设矩阵A=123235471⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
，则A 的秩R(A)= 。
三．计算题（要求写清计算过程）
11. 设111111111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪
-⎝⎭
，123124051B ⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求32AB A -。
12．计算行列式 12
12
12123
x n x n D x
n x
=。
13．解齐次线性方程组123412341
234 5 0 2303 8 0
x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪
+-+=⎨⎪-++=⎩。
14．解矩阵方程AX B X +=，其中01011111,2010153A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
。
15．a 取何值时，线性方程组12312312
311
x x x a ax x x x x ax ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有解, 并求其解。
四．证明题（每题5分，共10分）
16. 设向量组321,,ααα线性无关，证明以下向量组线性无关： 112βαα=+ ，322ααβ+=，313βαα=+。
17．设n 阶矩阵A 满足224A A I O --=.证明：A 可逆并求1-A 。
线性代数参考答案
一、单项选择题。 1．
1202
1
k k -≠-的充分必要条件是( C )。
(A) 1k ≠- (B) 3k ≠ (C) 1k ≠- 且3k ≠ (D) 1k ≠-或3k ≠ 2．若AB ＝AC ，当（ B ）时，有B ＝C 。
(A) A 为n 阶方阵 (B) A 为可逆矩阵 (C) A 为任意矩阵 (D) A 为对称矩阵
3．若三阶行列式M a a a a a a a a a =33
32
31232221
131211
，则=---------33
32
31
232221
13
1211222222222a a a a a a a a a （ D ）
。 (A) －6M (B) 6M (C) 8M (D) －8M
4．齐次线性方程组123123123
000ax x x x ax x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有非零解，则a 应满足（ D ）。
(A) 0a ≠； (B) 0a =； (C) 1a ≠； (D) 1a =．
5．设12,ββ是Ax b =的两个不同的解，12,αα是0=Ax 的基础解系，则Ax b =的通解是（ A ）。
(A) 11212121()()2c c αααββ+-++ (B) 11212
121
()()2
c c αααββ+++- (C) 11212121()()2c c αββββ+++- (D) 11212121
()()2
c c αββββ+-++ 二．填空题。
6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A ·B T =
28 。
7．已知A 、B 为4阶方阵，且A ＝－2，B ＝3，则| 5AB | = -3750 。
| ( AB )-1 |= -1/6
。(答对其中一空给2分)
8. 在分块矩阵A=B O O C ⎛⎫ ⎪⎝⎭中，已知1
-B 、1-C 存在，而O 是零矩阵，则
=-1
A 11
B O O
C --⎛⎫
⎪⎝⎭
。
