2012年各省高中数学竞赛预赛试题汇编[1]

2012年全国高中数学联赛河北省预赛高二年级组试题一、填空题(每小题8分，共64分)1．已知集合{|50,}A x x a a N =-≤∈，若5AZ ∈，则a 的最小值为 ．2．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且1,10,()1,01,x f x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩则((3.5))f f = ．3．ABC ∆中，AB 与BC 的夹角为150，||2AC =，则||AB 的取值范围是 ． 4．已知点,M N 的坐标都满足不等式组0,0,26,312,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩ (1,1)=-a ，则MN a 的取值范围是 ．5．函数32(0x y a a +=->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10x ym n++=上，且 ,0m n >，则3m n +的最小值为 ．6．已知点P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆C ：2220x y y +-=的 两条切线，,A B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k = ． 7．在三棱锥A BCD -中，侧棱,,AB AC AD 两两垂直，,,ABC ACD ADB ∆∆∆的面积分别为，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为 ． 8．已知数列{}n a 满足：1a m =(m 为正整数)，11,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时，若47a =，则m 的所有可能取值为 ．二、解答题(9、10、11、12小题各14分，l3、14小题各15分，共86分)9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的外接圆半径R2sin tan tan cos AB C C+=． (Ⅰ)求角B 和边b 的大小； (Ⅱ)求ABC ∆面积的最大值．10．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，三角形ABC 是边长为2的等边三角形，M 是1AA 上的一 点，14AA =，11A M =．P 是棱BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱1CC 到点M 的最短路线长为，设这条最短 路线与1CC 的交点为N ． (Ⅰ)求证：1A B ∥平面MNP ；(Ⅱ)求平面MNP 和平面ABC 所成二面角(锐角)的正切值．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：23S =，*2()n n S n na n N =+∈． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)求数列11,,321,,n n n a a n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数为偶数 的前2n 项和2n T ．12．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为(1,3)．(Ⅰ)若函数()6y f x a =+有且只有一个零点，求()f x 的解析式； (Ⅱ)记()f x 的最大值为()h a ，求()h a 的最小值．13．如图，在平面直角坐标系中，方程为220x y Dx Ey F ++++=的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 互相垂直，且AC 和BD 分别在x 轴和y 轴上．(Ⅰ)求证：0F <；(Ⅱ)若四边形ABCD 的面积为8，对角线AC 的长为2， 且0AB AD =，求224D E F +-的值．14．已知正实数,x y ，设a x y =+，b =．(Ⅰ)当1y =时，求ba的取值范围； (Ⅱ)若2c k xy =⋅，且对于任意的正数,x y ，以,,a b c 为长度的线段恒能构成三角形， 求k 的取值范围．高三年级组试题一、填空题(每小题8分，共64分)1．若关于x 的不等式21202x x mx -+<的解集为{|02}x x <<，则m = ．2．1=⎰．3．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，22()S a b c ∆=--，则tan2A= ．4．有红、黄、蓝三套卡片，每套五张，分别标有字母,,,,A B C D E ，若从这15张卡片中， 抽取5张，要求字母各不相同且三色齐全，则不同的取法有 种． 5．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a14a =，则14m n+ 的最小值为 ．6．已知函数3221()(1)3f x x a x b x =--+，其中{1,2,3,4}a ∈，{1,2,3}b ∈，则函数()f x 在R 上是增函数的概率为 ．7．设椭圆1C ：2211612x y +=与抛物线2C ：28y x =的一个交点为00(,)P x y ，定义：()f x =000,,x x x x ⎧<<> 若直线y a =与()f x 交于,A B 两点，且已知定点(2,0)N ，则ABN ∆的周长的取值范围是 ．8．已知动点(,)P x y满足22,0,(1,x y x x y ⎧+≤⎪⎪≥⎨⎪++≥⎪⎩则动点(,)P x y 构成图形的面积为．二、解答题(9、10、11、12小题各14分，l3、14小题各15分，共86分)9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ，已知222,,a b c 成等差数列． (Ⅰ)求B 的取值范围；(Ⅱ)若关于Bsin B B m +=恰有一解，求实数m 的值．10．已知数列{}n a 满足：114a =，234a =，112(2)n n n a a a n +-=-≥，数列{}nb 满足： 114b ≠，13(2)n n b b n n --=≥，数列{}n b 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)证明：数列{}n n b a -为等比数列；(Ⅱ)若11112b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．11．如图，设S ABCD -是一个高为3的四棱锥，底面ABCD 是边长为2的正方形，顶点S 在底面上的射影是正方形ABCD 的中心．K 是棱SC 的中点，过AK 作平面与线段,SB SD 分别交于,M N ．(,M N 可以是线段的端点) (Ⅰ)求直线AK 与平面SBC 所成角的正弦值；(Ⅱ)求证：S MKN S BCD V SM SK SNV SB SC SD--=，并求当M是SB 中点时四棱锥S AMKN -的体积．12．已知函数()ln f x x ax =-，其中0a >，()()()g x f x f x '=+．(Ⅰ)若当1x e ≤≤，函数()f x 的最大值为4-，求函数()f x 的表达式； (Ⅱ)求a 的取值范围，使函数()g x 在区间(0,)+∞上是单调函数．13．已知焦点在x 轴上的椭圆E ：22218x y b+=内含圆C ：2283x y +=．圆C 的切线l 与椭圆E 交于,A B 两点，满足(OA OB O ⊥为坐标原点)．(Ⅰ)求2b 的值；(Ⅱ)求||AB 的取值范围．14．对正整数n ，记()f n 为数231n n ++的十进制表示的数码和．(Ⅰ)求()f n 的最小值；(Ⅱ)当2101(k n k =⋅-是正整数)时，求()f n ； (Ⅲ)是否存在一个正整数n ，使得()2012?f n =。

2012年全国高中数学联赛预赛试题及答案«Skip Record If...»2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、设集合«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=（）A、«Skip Record If...»B、«Skip Record If...»C、«Skip Record If...»D 、«Skip Record If...»2、正方体«Skip Record If...»中«Skip Record If...»与截面«Skip Record If...»所成的角是（）A、«Skip Record If...»B、«Skip Record If...»C、«Skip Record If...»D、«Skip Record If...»3、已知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则“«Skip Record If...»”是“«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上恒成立”的（）A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、设正三角形«Skip Record If...»的面积为«Skip Record If...»，作«Skip Record If...»的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为«Skip Record If...»，面积为«Skip Record If...»，如此下去作一系列的正三角形«Skip Record If...»，其面积相应为«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»,«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=（）A 、«Skip Record If...»B 、«Skip Record If...» C、«Skip Record If...» D 、25、设抛物线«Skip Record If...»的焦点为«Skip Record If...»，顶点为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是抛物线上的动点，则«Skip Record If...»的最大值为（）A 、«Skip Record If...»B 、«Skip Record If...» C、«Skip Record If...»D 、«Skip Record If...»6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为«Skip Record If...»的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（）A、«Skip Record If...»B、«Skip Record If...»C、«Skip Record If...»D、«Skip Record If...»二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、如图，正方形«Skip Record If...»的边长为3，«SkipRecord If...»为«Skip Record If...»的中点，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»相交于«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值是．8、«Skip Record If...»的展开式中的常数项是．（用具体数字作答）9、设等比数列«Skip Record If...»的前«Skip Record If...»项和为«Skip Record If...»，满足«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值为．10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为．11、已知锐角«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的最大值是．12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数«Skip Record If...»，满足条件“«Skip Record If...»”的概率是．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设函数«Skip Record If...»，（I）求函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的最大值与最小值；（II）若实数«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»对任意«Skip Record If...»恒成立，求«Skip Record If...»的值．14、已知«Skip Record If...»，满足«Skip Record If...»，（I）求«Skip Record If...»的最小值；（II）当«Skip Record If...»取最小值时，求«Skip Record If...»的最大值．15、直线«Skip Record If...»与双曲线«Skip Record If...»的左支交于«Skip Record If...»、«Skip Record If...»两点，直线«Skip Record If...»经过点«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的中点，求直线«Skip Record If...»在«Skip Record If...»轴的截距«Skip Record If...»的取值范围．16、设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的最大值为«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）．（I）求数列«Skip Record If...»的通项公式；（II）求证：对任何正整数«Skip Record If...»，都有«Skip Record If...»成立；（III）设数列«Skip Record If...»的前«Skip Record If...»项和为«Skip Record If...»，求证：对任意正整数«Skip Record If...»，都有«Skip Record If...»成立．2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、C2、A3、A4、B5、B6、D二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、«Skip Record If...» 8、«Skip Record If...» 9、0 10、14 11、«Skip Record If...» 12、«Skip Record If...»三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、解：（I）由条件知«Skip Record If...»，（5分）由«Skip Record If...»知，«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»有最小值«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»有最大值«Skip Record If...»．（10分）（II）由条件可知«Skip Record If...»对任意的«Skip Record If...»恒成立，∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...», （15分）由«Skip Record If...»知«Skip Record If...»或«Skip Record If...»。

2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上1. 已知()02014201320112010201222>=⨯⨯⨯+k k ，则=k .答案： 220122-（或4048142）解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)n n n n n n n n +--++=+--2. 函数()sin()sin()cos 366f x x x x ππ=++--+的最小值等于 . 答案：1解：因为所以)(x f 的最小值为1. 3. 已知 1()2bx f x x a +=+，其中,a b 为常数，且2ab ≠. 若 1()()f x f k x⋅=为常数，则k 的值为 . 答案：1.4解：由于 是常数，故2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+. 将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得2(41)(1)0k ka --=. 若410k -≠，则210ka -=，因此222ab ka ==，与条件相矛盾. 故410k -=，即14k =. 4. 已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是 . 答案：9(,2).4-- 解法一：令3x t =，则原方程化为230t t p --=.根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根.令2()3f t t t p =--，则22(3)40,9(1)1310, 2.43 1.2p f p p ⎧∆=-+>⎪⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪⎪>⎩解法二：令3x y =，则原方程化为230y y p --=. 注意到这个关于y 的方程最多有两个解，而由3x y =严格单调递增知每个y 最多对应一个x ，因此所求的p 应当使230y y p --=有两个相异的实数解12,y y ，且满足12123,3x x y y ==的两个实数12,x x 都是正的. 由于12,x x 都是正的，故12,y y 都应大于1. 由于123y y +=，故213y y =-，因此1y 必须满足11y >，131y ->及113y y ≠-. 因此1y 的取值范围为33(1,)(,2)22U . 因此1211(3)p y y y y =-=--的取值范围为9(,2)4--. 5. 将25个数排成五行五列：已知第一行11a ,12a ,13a ,14a ,15a 成等差数列，而每一列1j a ，2j a ，3j a ，4j a ，5j a （15j ≤≤）都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ⨯的值为______.答案：11-解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等. 由412a =-,4310a =知4210(2)42a +-==且公差为6，故4416a =,4522a =. 由244a =,4416a =知公比2±=q .若2=q ，则113214a s -==-,55222411a =⨯=⨯，故115511a a ⨯=-； 若2-=q ，则113214a s -==,5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，故115511a a ⨯=-. 6.设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为______.ln 2)-. 函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称. 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =.设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=. 由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =-.7.将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .答案：3960解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有272种.其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有121691672C A =⨯种. 所以，符合条件的填法共有2727216723960--⨯=种.8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156π，则该梯形的周长为 .答案：16+解：设梯形的上底长为a ，下底长为b ，高为h ，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33h b h a b h a b πππ+-=+，因此21(2)1123h a b ππ+=，即2(2)336h a b +=. 同理有2(2)240h a b +=，两式相除得2336722405a b a b +==+，去分母化简得3b a =，代入2(2)336h a b +=得248ah =.注意到直角腰长等于高h ，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563h a ab b ++=. 将3b a =代入化简得236a h =. 结合248ah =可解得3,4a h ==，因此9b =，由勾股定理知另一条腰的长度为=39416+++=+二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）设椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. 若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k 满足||k >.解法一：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<,(,0)A a -. 由||||AP OA =，有a =， 即22222cos 2cos sin 0a a b θθθ++=. ……4分从而 22222221cos 0,cos 2cos sin sin .a a b a θθθθθ-<<⎧⎨--=<⎩所以，1cos 02θ-<<，且2222sin 213cos cos b a θθθ=-->.所以，sin ||cos b k a θθ==> ……16分 解法二：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<.则线段OP 的中点(cos ,sin )22a b Q θθ. ||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=-. sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+. ……8分||||AQ k k ⇔<⇔> ……16分 2．（本小题满分20分） 设非负实数a ，b ，c 满足3=++c b a . 求 的最大值.解：不妨设c b a ≥≥.显然有222b bc c b -+≤，222c ca a a -+≤.……………5分根据AM-GM 不等式可得……………15分所以S 的最大值为12，这时()()0,1,2,,=c b a .……………20分3．（本小题满分20分）求出所有的函数**:f N N →使得对于所有x ，y *N ∈，2(())f x y +都能被2()f y x +整除. 解：根据题目的条件，令1==y x ，则2((1))1f +能被(1)1f +整除. 因此2((1))(1)f f -能被(1)1f +整除，也就是(1)((1)1)f f -能被(1)1f +整除. 因为(1)f 与(1)1f +互素，所以(1)1f -能被(1)1f +整除，且(1)1(1)1f f +>-，所以(1)10f -=，(1)1f =.……………10分令1=y ，则2(())1f x +能被21x +整除，因此22(())f x x ≥.从而()f x x ≥，对所有x *N ∈.令1=x ，则1y +能被()1f y +整除.从而()y f y ≥，对所有y *N ∈. 综上所述，()f x x =，对所有x *N ∈.……………20分。

2012年福建省高中数学竞赛(考试时间：150min)一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）1.已知集合A={x||x−1|<2},B={x|log2x>log3x}，则A∩B=___________.2.已知函数f(x)=√3sin2x+2cos2x+a，若f(x)在区间�0,π2�上的最小值为−1，则a的值为____________.3.若关于x的方程x3−3x2−9x=a在区间[−2,3]上恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为___________.4.已知点O在△ABA内部，且3AB�����⃗+2BA�����⃗+AA�����⃗=4AO�����⃗，记△ABA的面积为S1，△OBA的面积为S2，则S1S2的值为____________.5.已知正三棱锥P−ABA底面正三角形的边长为2√3，内切球半径为√2−1，则三棱锥的体积为______________.6.已知数列{a n}中，a1=1,a n+1=(n+1)a n2n(n∈N∗),则数列{a n}的前n项和为_________.7.有14个大小、形状相同的小球，其中7个红球，7个白球。

它们分别装在甲乙两个盒子内，其中甲盒子内装有4个红球、3个白球，乙盒子内装有3个红球、4个白球。

现从甲盒子内随机摸出1个小球放入乙盒子内，再从乙盒子内随机摸出1个小球放回甲盒子内，记此时乙盒子内红球的个数为ξ，则ξ的数学期望Eξ=_______________。

8.不等式x2+ln x>x的解集为____________。

（用区间表示）9.函数f(x)=2√x−3+√5−x的最大值为_____________.10.对正整数x，记m=�x2�+�x22�+�x23�+⋯+�x2k�，其中k为满足2k≥x的最小整数，符号[x]表示不超过x的最大整数。

x与m的差，即x−m称为正整数x的“亏损数”。

2012年全国数学竞赛（四川初赛）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1、设集合{}2|560S x xx =--<，{}|2|3T x x =+≤，则S T⋂=（ ）A 、{|51}x x -≤<-B 、{|55}x x -≤<C 、{|11}x x -<≤D 、{|15}x x ≤<2、正方体1111ABC D A B C D -中1BC 与截面11BB D D 所成的角是（ ） A 、6πB 、4π C 、3πD 、2π3、已知2()23f x xx =-+，()1g x kx =-，则“||2k ≤”是“()()f xg x ≥在R 上恒成立”的（ ）A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、设正三角形1∆的面积为1S ，作1∆的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为2∆，面积为2S ，如此下去作一系列的正三角形34,,∆∆，其面积相应为34,,SS， 设11S=,12n n T S S S =+++ ，则lim n n T →+∞=（）A 、65B 、43C 、32D 、25、设抛物线24yx=的焦点为F ，顶点为O ，M 是抛物线上的动点，则||||M O M F 的最大值为（ ）A 、3B 、3C 、43D6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ）A 、rB 、r 2C 、r312 D 、r315二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、如图，正方形A B C D 的边长为3E为D C的中点，A E 与B D 相交于F ，则FD DE ⋅的值是．8、261()xx x+-的展开式中的常数项是 ．（用具体数字作答）9、设等比数列{}na 的前n 项和为nS ，满足2(1)4n na S+=，则20S 的值为 ．10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ．11、已知锐角,A B满足t a n ()2t a n A B A +=，则t a n B 的最大值是 ．12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde ，满足条件“a b c d e<><>”的概率是 ．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 13、设函数()sin 1f x x x =++，（I ）求函数()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值；（II ）若实数c b a ,,使得1)()(=-+c x bf x af 对任意R x ∈恒成立，求ac b cos 的值．14、已知,,a b c R +∈，满足()1abc a b c ++=，（I ）求()()S a c b c =++的最小值； （II ）当S 取最小值时，求c 的最大值．15、直线1y kx =+与双曲线221x y -=的左支交于A、B 两点，直线l经过点(2,0)-和A B的中点，求直线l 在y 轴的截距b 的取值范围．16、设函数2()(1)nnfx x x =-在1[,1]2上的最大值为na （1,2,3,n = ）．（I ）求数列{}na 的通项公式；（II ）求证：对任何正整数(2)n n ≥，都有21(2)nan ≤+成立；（III ）设数列{}na 的前n 项和为nS ，求证：对任意正整数n ，都有716nS <成参考解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7、32- 8、5- 9、0 10、14 11、412、215三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 13、解：（I ）由条件知()2sin()13f x x π=++，（5分）由02x π≤≤知，5336x πππ≤+≤，于是1sin()123x π≤+≤所以2x π=时，()f x 有最小值12122⨯+=； 当6x π=时，()f x 有最大值21⨯+=． （10分）（II ）由条件可知2sin()2sin()133a xb xc a b ππ+++-++=对任意的x R ∈恒成立，∴2sin()2sin()cos 2cos()sin (1)0333a xb xc b x c a b πππ+++⋅-+⋅++-=∴2(cos )sin()2sin cos()(1)033a b c x b c x a b ππ+⋅+-⋅+++-=∴cos 0sin 010a b c b c a b +=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩,（15分）由sin 0b c =知0b =或sin 0c =。

2012各省数学竞赛汇集目录1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页2. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页3. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页4. 2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页5. 2012年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页6. 2012年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页7. 2012年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页8. 2012年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页9. 2012年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页10. 2012年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页11. 2012年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页12. 2012年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页13. 2012年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页14. 2012年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页15. 2012年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____22___.5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为83，则直线的斜率为___12____. 6、已知a 是正实数，lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为_____53_______.8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n-+___.（*n N ∈）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：（1）cos cos b C c B a +=（2）22sin cos cos 2CA B a b c+=+12、已知,a b为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

2012年全国高中数学联赛试题考试时间：2012年10月14日上午8:00-9:20一． 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

把答案填在试卷相应题号的横上。

1. 设P 是函数y =x +2x (x >0)的图像上任意一点，过点P 分别向直线y =x 和y 轴作垂线，垂足分别为A ,B ，则PA �����⃗⋅PB �����⃗的值是______________。

2. 设△ABA 的内角A ,B ,A 的对边分别为a ,b ,c ，且满足a cos B −b cos A =35c ，则tan A tan B 的值是_________________。

3. 设x ,y ,z ∈[0,1]，则M =�|x −y |+�|y −z |+�|z −x |的最大值是____________。

4. 抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ,B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =π3，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MM ||AB |的最大值是___________。

5. 设同底的两个正三棱锥P −ABA 和Q −ABA 内接于同一个球。

若正三棱锥P −ABA 的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥Q −ABA 的侧面与底面所成角的正切值是_____________。

6. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=x 2。

若对任意的x ∈[a ,a +2]，不等式f (x +a )≥2f (x )恒成立，则实数a 的取值范围是_______________。

7. 满足14<sin πn <13的所有正整数n 的和是________________。

8. 某情报站有A ,B ,A ,D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。

设第1周使用A 种密码，那么第7周也使用A 种密码的概率是______________。