北师大版九年级数学直角三角形的边角关系测试题

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷(时间：120分钟　满分：150分)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)题号12345678910答案1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA＝( )A.32B.12C.3D.332．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是( )A.35B.45C.34D.433．在△ABC中，若tanA＝1，sinB＝22，你认为最确切的判断是( )A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形4．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cosα＝35，AB＝4，则AD的长为( )A．3 B.163C.203D.1655．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折起，使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED ＝( )A ．2 B.12 C.22 D.326．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为( )A ．10 m B ．8 m C ．6 m D ．63 m7．下列不等式不成立的是( )A ．sin20°＜sin40°＜sin70°B ．cos20°＜cos40°＜cos70°C ．tan20°＜tan40°＜tan70°D ．sin30°＜cos45°＜tan60°8．如图，在离地面高5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC 的长是( )A ．10 m B.1033 m C ．53 m D ．5 m9．如图，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，作OA ⊥MN 于点A ，则tan ∠AON ＝( )A.45B.35C.43D.3410．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠EDC ∶∠EDA ＝1∶3，且AC ＝10，则DE 的长度是( )A ．3B ．5C ．52 D.522二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝23，则a ∶b ＝____________．12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝3b ，则tanA ＝33，∠B ＝____________．13．如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为____________．14．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上，则tanC ＝____________．三、解答题(本大题共6个小题，共54分) 15．(本小题满分6分)计算：(1)sin45°＋cos45°－tan30°×sin60°；(2)24sin45°＋cos230°－12tan60°＋2sin60°.16．(本小题满分8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA，tanA.17．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝6，求AB的长．18．(本小题满分10分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24 m，小明在点E(B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8 m到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6 m，求教学楼AB的高度．(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)19．(本小题满分10分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积为6，求sin∠ABC的值；(3)求点C到直线AB的距离．20．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝2，AD＝4，求sin∠AMB的值．B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．在△ABC中，∠C＝90°，边a，c满足c2－5ac＋6a2＝0，则cosA=_____．22．如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积为32，则sin∠CAB＝_____．23．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影子长2米，则树的高度为_____米．24．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC＝13，则BE的长为_____．25．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝_____．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．27．(本小题满分10分)如图，坡上有一棵与水平面EF垂直的大树AB，台风过后，大树倾斜后折断倒在山坡上，大树顶部B接触到坡面上的D点．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°且AD＝4米．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度AB.(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)28．(本小题满分12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°.(1)当DF∥AB时，连接EF，求tan∠DEF的值；(2)当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．参考答案北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷(时间：120分钟　满分：150分)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)题号12345678910答案A A B B B A B B C D1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA＝(A)A.32B.12C.3D.332．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(A)A.35B.45C.34D.433．在△ABC 中，若tanA ＝1，sinB ＝22，你认为最确切的判断是(B)A ．△ABC 是等腰三角形B ．△ABC 是等腰直角三角形C ．△ABC 是直角三角形D ．△ABC 是一般锐角三角形4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为(B)A ．3 B.163 C.203 D.1655．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折起，使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED ＝(B)A ．2 B.12 C.22 D.326．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为(A)A ．10 m B ．8 m C ．6 m D ．63 m7．下列不等式不成立的是(B)A ．sin20°＜sin40°＜sin70°B ．cos20°＜cos40°＜cos70°C ．tan20°＜tan40°＜tan70°D ．sin30°＜cos45°＜tan60°8．如图，在离地面高5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC 的长是(B)A ．10 mB.1033 mC ．53 mD ．5 m9．如图，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，作OA ⊥MN 于点A ，则tan ∠AON ＝(C)A.45 B.35 C.43 D.3410．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠EDC ∶∠EDA ＝1∶3，且AC ＝10，则DE 的长度是(D)A ．3B ．5C ．52D.522二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝23，则a ∶b ＝2∶5．12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝3b ，则tanA ＝33，∠B ＝60°．13．如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为42．14．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上，则tanC ＝2．三、解答题(本大题共6个小题，共54分)15．(本小题满分6分)计算：(1)sin45°＋cos45°－tan30°×sin60°；解：原式＝22＋22－33×32＝2－12.(2)24sin45°＋cos 230°－12tan60°＋2sin60°.解：原式＝24×22＋(32)2－12×3＋2×32＝14＋34－36＋3＝1＋536.16．(本小题满分8分)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求sinA ，cosA ，tanA.解：由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝132－52＝12，∴sinA ＝BC AB ＝513，cosA ＝AC AB＝1213，tanA ＝BC AC ＝512.17．(本小题满分8分)如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC ＝6，求AB 的长．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠B ＝45°，∴CD ＝BD.∵BC ＝6，∴CD ＝BD ＝3.∵∠A ＝30°，tan30°＝CD AD，∴AD ＝CD tan30°＝333＝3.∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋3.18．(本小题满分10分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24 m ，小明在点E(B ，E ，D 在一条直线上)处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8 m 到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6 m ，求教学楼AB 的高度．(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M ，由题意，得MB ＝HG ＝FE ＝ND ＝1.6 m ，HF ＝GE ＝8 m ，MF ＝BE ，HN ＝GD ，MN ＝BD ＝24 m.设AM ＝x m ，则CN ＝x m.在Rt△AFM中，MF＝AMtan45°＝x1＝x，在Rt△CNH中，HN＝CNtan30°＝x33＝3x，∴HF＝MF＋HN－MN＝x＋3x－24，即8＝x＋3x－24，解得x≈11.7.∴AB＝11.7＋1.6＝13.3(m)．答：教学楼AB的高度约为13.3 m.19．(本小题满分10分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积为6，求sin∠ABC的值；(3)求点C到直线AB的距离．解：(1)设反比例函数的表达式为y＝k x ，由题意，得k＝xy＝2×3＝6.∴反比例函数的表达式为y＝6 x .(2)设B点坐标为(a，b)，过点A作AD⊥BC于点D，则D(2，b)．∵反比例函数y＝6x的图象经过点B(a，b)，∴b＝6a.∴AD＝3－6a.∴S△ABC＝12BC·AD＝12a(3－6a)＝6，解得a＝6.∴b＝6a＝1，AD＝3－6a＝2.∴B(6，1)．∴AB＝（2－6）2＋（3－1）2＝25.∴sin∠ABC＝225＝55.(3)过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，在Rt△BCE中，sin∠ABC＝CE BC＝55，BC＝6，∴CE ＝655.∴点C 到直线AB 的距离为655.20．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连接BM ，DN.(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB ＝2，AD ＝4，求sin ∠AMB 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠A ＝90°.∴∠MDO ＝∠NBO.∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO ＝DO ，MN ⊥BD.在△DMO 和△BNO 中，{∠MDO ＝∠NBO ，DO ＝BO ，∠MOD ＝∠NOB ，∴△DMO ≌△BNO(ASA)．∴OM ＝ON.∵OB ＝OD ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN ⊥BD ，∴四边形BMDN 是菱形．(2)∵四边形BMDN 是菱形，∴MB ＝MD.设MD ＝x ，则AM ＝4－x ，MB ＝DM ＝x.在Rt △AMB 中，BM 2＝AM 2＋AB 2，即x 2＝(4－x)2＋22，解得x ＝52.∴sin ∠AMB ＝AB BM ＝45.B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．在△ABC中，∠C＝90°，边a，c满足c2－5ac＋6a2＝0，则cosA＝32或223．22．如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积为32，则sin∠CAB＝35．23．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影子长2米，则树的高度为(6＋3)米．24．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC＝13，则BE的长为3或5．25．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝23．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．解：(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°.∴AD＝12AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4×32＝23.在Rt△ABD中，tanB＝ADBD＝2BD＝18，∴BD＝16.∴BC＝BD－CD＝16－23.(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°.∴tan15°＝tan∠AMD＝ADMD＝24＋23＝12＋3＝2－3.27．(本小题满分10分)如图，坡上有一棵与水平面EF垂直的大树AB，台风过后，大树倾斜后折断倒在山坡上，大树顶部B接触到坡面上的D点．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°且AD＝4米．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度AB.(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)解：(1)延长BA交EF于点H，则∠AHE＝90°，∠HAE＝60°.∵∠BAC＝45°，∴∠CAE＝180°－∠EAH－∠BAC＝75°.(2)过点A作AM⊥CD于点M，则∠CAM＝90°－45°＝45°，∠DAM＝75°－45°＝30°，∴AM＝AD·cos30°＝4×32＝23，MD＝12AD＝2，∵∠C ＝∠CAM ＝45°，∴CM ＝AM ＝23，AC ＝2AM ＝2×23＝26.∴AB ＝AC ＋CM ＋MD ＝26＋23＋2≈2×2.4＋2×1.7＋2＝10.2≈10.∴这棵大树折断前的高度约为10米．28．(本小题满分12分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，点D 为AC 中点，点E 为边AB 上一动点，点F 为射线BC 上一动点，且∠FDE ＝90°.(1)当DF ∥AB 时，连接EF ，求tan ∠DEF 的值；(2)当点F 在线段BC 上时，设AE ＝x ，BF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)连接CE ，若△CDE 为等腰三角形，求BF 的长．解：(1)∵AC ＝BC ＝6，∠ACB ＝90°，∴AB ＝62.∵DF ∥AB ，点D 为AC 中点，∴AD ＝CD ＝12AC ＝3，DF ＝12AB ＝32.∴DE ＝322.在Rt △DEF 中，tan ∠DEF ＝DF DE ＝32322＝2.(2)过点E 作EH ⊥AC 于点H ，设AE ＝x ，∵BC ⊥AC ，∴EH ∥BC.∴∠AEH ＝∠B.∵∠B ＝∠A ，∴∠AEH ＝∠A.∴HE ＝HA ＝22x.∴HD ＝3－22x.易证△HDE ∽△CFD ，∴HDCF ＝HEDC ，即3－22x6－y ＝22x 3.∴y ＝9－92x(2≤x ≤32)．(3)∵CE ≥12AB ＝32＞3，CD ＝3，∴CE ＞CD.∴若△DCE 为等腰三角形，只有DC ＝DE 或ED ＝EC 两种可能．当DC ＝DE 时，点F 在边BC 上，过点D 作DG ⊥AE 于点G(如图1)，可得AE＝2AG＝32，即点E在AB中点．∴此时F与C重合．∴BF＝6.当ED＝EC时，点F在BC的延长线上，过点E作EM⊥CD于点M(如图2)，∵EM⊥CD，ED＝EC，∴DM＝CM＝12CD＝32.易证EM＝AM＝AD＋DM＝3＋32＝92.∵DE⊥DF，∴∠EDM＋∠FDC＝90°.∵∠FDC＋∠F＝90°，∴∠F＝∠EDM.∴△DFC∽△EDM.∴CFDM＝CDEM，即CF32＝392.∴CF＝1.∴BF＝7.综上所述，BF的长为6或7.。

直角三角形的边角关系(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．2cos45°的值等于(B )A．22B．2C．24D．222．在Rt△ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，则sin A 的值为(C )A．45B．34C．35D．433．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则∠A 的锐角三角函数值(C )A．扩大2倍B．缩小12C．不变D．无法确定4．(2023·威海)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB 的长，下列按键顺序正确的是(B )A．7×sin 28＝B．7÷sin 28＝C．7×tan28＝D．7÷tan28＝第4题图第6题图第7题图5．在△ABC 中，若|sin A －12|＋(33－tan B )2＝0，则∠C 的度数为(A )A．120°B．90°C．60°D．30°6．(2023·南充)如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处，再向正北方向走到C 处，已知∠BAC ＝α，则A ，C 两处相距(B )A．x sin α米B．x cos α米C．x ·sin α米D．x ·cos α米7．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos B 的值为(B )A．12B．22C．32D．338．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sin α＝cos β＝35，则梯子顶端上升了(C )A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米第8题图第9题图第10题图9．如图，小岛在港口P 的北偏西60°方向，距港口56海里的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P ，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是(A )A．72海里/时B．73海里/时C．76海里/时D．282海里/时10．如图，Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，cos B ＝14，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE ＝∠B ，连接CE ，则CEAD的值为(D )A．32B．3C．152D．2二、填空题(每小题3分，共15分)11．如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2，则sin B 的值是__12__．第11题图第13题图第14题图第15题图12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3BC ＝3AC ，则tan A ＝__33__，∠B ＝__60°__．13．如图，在△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为__42__．14．(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A ，在点A 和建筑物之间选择一点B ，测得AB ＝30m，用高1m(AC ＝1m)的测角仪在A 处测得建筑物顶部E 的仰角为30°，在B 处测得仰角为60°，则该建筑物的高是__(153＋1)_m__．(结果保留根号)15．(2023·广元)如图，在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)，点B (0，－3)，点C在x 轴上，且点C 在点A 右方，连接AB ，BC ，若tan ∠ABC ＝13，则点C 的坐标为__(94，0)__.三、解答题(共75分)16．(8分)计算：2cos 230°－2sin60°·cos45°.解：原式＝2×(32)2－2×32×22＝32－62＝3－6217．(9分)已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝332，AB ＝3，利用三角函数知识，求∠A ，∠B 的度数．解：在△ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝332，AB ＝3，∴sin B ＝AC AB ＝32.∴∠B ＝60°.∴∠A ＝90°－∠B ＝30°.∴∠A ，∠B 的度数分别为30°，60°18．(9分)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D .若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sinA ＋cosB 的值．解：在Rt△ACD 中，CD ＝6，tan A ＝CD AD ＝32，∴AD ＝4.∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt△BCD 中，BC ＝82＋62＝10.∴cos B ＝BD BC ＝45.在Rt△ADC 中，AC ＝42＋62＝213.∴sin A ＝DCAC ＝6213＝31313.∴sin A ＋cos B ＝31313＋4519．(9分)(2023·通辽)如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东72°方向，距离灯塔100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东40°方向上的B 处．这时，B 处距离灯塔P 有多远？(结果取整数．参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)解：由题意得PC ⊥AB ，EF ∥AB ，∴∠A ＝∠EPA ＝72°，∠B ＝∠BPF ＝40°，在Rt△APC中，AP ＝100海里，∴PC ＝AP ·sin 72°≈100×0.95＝95(海里)，在Rt△BCP 中，BP ＝PCsin40°≈950.64≈148(海里)，∴B 处距离灯塔P 约有148海里20．(9分)(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜面坡度i ＝3∶4是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比．已知斜坡CD 长度为20米，∠C ＝18°，求斜坡AB 的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，由题意得AF ⊥BC ，DE ＝AF ，∵斜面AB 的坡度i ＝3∶4，∴AF BF ＝34，∴设AF ＝3x 米，则BF ＝4x 米，在Rt△ABF 中，AB ＝AF 2＋BF 2＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x (米)，在Rt△DEC 中，∠C ＝18°，CD ＝20米，∴DE ＝CD ·sin18°≈20×0.31＝6.2(米)，∴AF ＝DE ＝6.2米，∴3x ＝6.2，解得x ＝3115，∴AB ＝5x ≈10.3(米)，∴斜坡AB 的长约为10.3米21．(10分)(永州中考)已知锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：a sin A ＝b sin B ＝csin C.(1)如图1，若a ＝6，∠B ＝45°，∠C ＝75°，求b 的值；(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD (如图2所示)，若CD ⊥AB ，AC ＝14米，AB ＝10米，sin ∠ACB ＝5314，求景观桥CD 的长度．解：(1)∵∠B ＝45°，∠C ＝75°，∴∠A ＝60°，∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，∴6sin60°＝bsin45°，∴b ＝26(2)∵AB sin ∠ACB ＝AC sin B ，∴105314＝14sin B ，∴sin B ＝32，∴∠B ＝60°，∴tan B ＝CDBD ＝3，∴BD ＝33CD ，∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴196＝CD 2＋(10－33CD )2，∴CD ＝83或CD ＝－33(舍去)，∴CD 的长度为83米22．(10分)(2023·衡阳)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C 处，遥控无人机旋停在点C 的正上方的点D 处，测得教学楼AB 的顶部B 处的俯角为30°，CD 长为49.6米．已知目高CE 为1.6米．(1)求教学楼AB 的高度；(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA 的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB .解：(1)过点B 作BM ⊥CD 于点M ，则∠DBM ＝∠BDN ＝30°，在Rt△BDM 中，BM ＝AC ＝243米，∠DBM ＝30°，∴DM ＝BM ·tan ∠DBM ＝243×33＝24(米)，∴AB ＝CM ＝CD －DM ＝49.6－24＝25.6(米).答：教学楼AB 的高度为25.6米(2)连接EB 并延长交DN 于点G ，则∠DGE ＝∠MBE ，在Rt△EMB 中，BM ＝AC ＝243米，EM ＝CM－CE ＝24米，∴tan ∠MBE ＝EM BM ＝24243＝33，∴∠MBE ＝30°＝∠DGE ，∵∠EDG ＝90°，∴∠DEG ＝90°－30°＝60°，在Rt△EDG 中，ED ＝CD －CE ＝49.6－1.6＝48(米)，∴DG ＝ED ·tan60°＝483(米)，∴483÷43＝12(秒)，∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线23．(11分)如图，斜坡AB 的坡角∠BAC ＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A ，过其另一端D 安装支架DE ，DE 所在的直线垂直于水平线AC ，垂足为点F ，E 为DF 与AB 的交点．已知AD ＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC ＝28°.锐角A三角函数13°28°32°sin A0.220.470.53cos A0.970.880.85tan A0.230.530.62(1)求AE的长(结果取整数)；(2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少？(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解：(1)在Rt△ADF中，cos∠DAF＝AFAD，∴AF＝AD·cos∠DAF＝100cos28°≈100×0.88＝88(cm)，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝AFAE，∴AE＝AFcos∠EAF＝88cos13°≈880.97≈91(cm)(2)设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，∴∠AMN＝∠MAG＋∠DGA＝13°＋32°＝45°，在Rt△ADF中，DF＝AD·sin∠DAC＝100sin28°≈100×0.47＝47(cm)，在Rt△DFG中，tan∠DGA＝DFFG，∴FG＝47tan32°≈470.62≈75.8(cm)，∴AG＝AF＋FG≈88＋75.8＝163.8(cm)，在Rt△AGN中，AN＝AG·sin∠DGA＝163.8×sin32°≈163.8×0.53≈86.8(cm)，∵∠AMN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝2AN≈1.41×86.8≈122.4(cm)，∴EM＝AM－AE≈122.4－91≈31.4(cm)，∴EM≈32cm.当M、H重合时，EH的值最小，∴EH的最小值约为32cm。

新北师大版九下第一章直角三角形的边角关系同步测试题一、单选题1、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=35，那么cosB 的值等于（ ）A ．35 B ．45 C ．34 D ．432、如图，将等腰直角三角形ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到△ AB ′C ′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3．6．3、为了求河对岸建筑物AB 的高,在地平面上测得基线CD=180米,在C 点测得A 点的仰角为30°,在地平面上测得∠BCD=∠BDC=45°,那么AB 的高是[ ]米A ．．．．4、在Rt △ABC 中,∠C＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则sinA 的值是（ ）A ．34 B ．45 C ．35 D ．435、如图，由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45°，从A 沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B ，再次测得山顶D的仰角为60°，则山高CD 为（ ）A ．550）米B ．650）米C ．750）米D ．850）米6、在△ABC 中，已知AC=3，BC=4，AB=5，那么下列结论正确的是( ) A ．sinA=34 B ．cosA=35 C ．tanA=34D ．cosB=35 7、如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB 的值是（ ）A ．34 B ．43 C ．35 D ． 458、在△ABC 中，∠C ＝90°，，则∠A 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°9、已知在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，sinA=2tanB 的值为（ ）A ．1B ．12 10、在△ ABC 中，∠ C=90°，若∠ B=2∠ A ，则cotB 等于（ ）A ．3．2．12 11、如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A 处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A 处测得C 处的俯角为30°，两山峰的底部BD 相距900m ，则缆车线路AC 的长为（ ） B ． C ． D ．1800m12、如图，在塔AB 前的平地上选择一点C ，测出看塔顶的仰角为30°，从C 点向塔底走100米到达D 点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB 的高为（ ）A ．B ．C 100米 D 100米 13、如图，在△ABC 中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D ，CD=1，则AB 的长为（ ）A ．2B ．．13+ D 1+ 14、如果α是锐角，且sin 2α+sin 254°=1，那么α的度数为（ ）A ．45° B ．36° C ．26° D ．46° 15、如图1是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图2，那么在Rt △ ABC 中，sin ∠ B 的值是（ ）A ．12B ．3．1 D ．32 二、填空题(注释)16、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AM 是BC边上的中线，sin ∠CAM=35，则tanB 的值为________． 17、如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB 的值是________．18、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为这个坡面的坡度为________．19、如图，某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB ＝1.8m ．要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC 的宽度至少应为________．20、等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 ；21、已知α是锐角，当α= 时，cos α=2tan α= ．22、因为cos30°=2cos210°=﹣2，所以cos210°=cos （180°+30°）=﹣cos30°=﹣2因为cos45°=2cos225°=﹣2cos225°=cos （180°+45°）=﹣cos45°=﹣2想：一般地，当a 为锐角时，有cos （180°+a ）=﹣cosa ，由此可知cos240°的值等于 ．23、已知asin θ+cos θ=1，且bsin θ﹣cos θ=1，（其中θ是锐角），则ab= ．三、解答题24、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔画AD∥BC（D为格点），连接CD；（2）线段CD的长为__；（3）请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是________，则它所对应的正弦函数值是_______．（4）若E为BC中点，则tan∠CAE 的值是________．25、已知：在Rt△ABC中，斜线AB＝10，tanA=34，求Rt△ABC的周长．26、如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据： 1.732）27、如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸PQ与MN平行，河岸MN上有A、B两个相距50米的凉亭，小亮在河对岸D处测得∠ADP=60°，然后沿河岸走了110米到达C处，测得∠BCP=30°，求这条河的宽．（结果保留根号）28、如图称为“赵爽弦图”，它是由于四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．（1）请说明正方形ABCD ∽正方形EFGH ；（2）设∠ BAF=α，是否存一个α值，使面积S 正方形EFGH =12ABCD S ？如果存在，请求sin α的值；如果不存在，请说明理由．29、求下列各式的值：（1）a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2=（c+b ）（c ﹣b ）和4c ﹣5b=0，求cosA+cosB 的值；（2）已知A 为锐角，且sin 2A+2sinAcosA+cos 2A 的值．30、如图，已知墙高AB 为6.5米，将一长为6米的梯子CD 斜靠在墙面，梯子与地面所成的角∠BCD=55°，此时梯子的顶端与墙顶的距离AD 为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）31、河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的长为8米，求斜坡AB 与水平面所夹的锐角度数.。

第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分）1．如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是（ ）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．tan45°的值等于（ ）A ．2BC ．-1D ．13．如图，∠α的顶点为O ，一边在x 轴的正半轴上，另一边上有一点P （3，4），则sin α＝（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知中，，CD 是AB 上的高，则=（ ）A ．B ．C ．D ．5．Rt ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列关系式错误的是（ ）A ．b=c·cosB B ．b=a·tan BC ．a=c·sin AD ．a=c·cos B6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据淄博市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知，冬至时淄博市的正午日光入射角约为°，则立柱高约为（ ）O AB 43344535ABC ∆90C ∠=︒CD BD sin A cos A tan A cot AAC BC a ABC ∠26.5ACA ．B ．C ．D．7．已知在中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则∠B 的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D．8．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠，则∠2的度数为（ ）A ．120°B．135°C ．145°D ．150°9．如图，在中，，于，下列结论错误的有（ ）个①图中有两对相似三角形；②；③；④若，，则.A ．0B ．lC ．2D ．310．如图，在菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折，sin 26.5a ︒cos 26.5a ︒tan 26.5a ︒tan 26.5a︒Rt ABC 1213513512125Rt ABC ∆90BCA ∠=︒CD AB ⊥D sin AD B AC =BC AC AB CD ⋅=⋅BC =8AD =4CD =ABCD 45B ∠= AE BC ABE ∆AE得到，若，则菱形的边长为（ ）AB ．C ．D11．如图，在□ABC D 中，AB=6，∠B=75°，将△ABC 沿AC 边折叠得到△AB ′C ，B ′C 交AD 于E ，∠B′AE=45°，则点A 到B ′C 的距离为（）A ．B ．CD 12．如图，平面直角坐标系中，，，将绕顶点顺时针旋转一定角度到处，此时线段与的交点为的中点，则点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．13．如图，把三角形纸片折叠，使的对应点在上，点的对应点在上，折痕分别为，，若，，，则的长为（ ）AB E '∆1C B '=-21()0,2A ()B AOB O COD △CD BO E BO D )3-2⎫-⎪⎭ABC C E AB B D BC AD FG 30CAB ∠=︒135C ∠=︒DF =EFABC．3D．14．如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市的北偏东方向，测绘员由处沿主输气管道步行1000米到达点处，测得小区位于点的北偏西方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点，使点到该小区铺设的管道最短，此时铺设的管道的最短距离约是（）．）A．366米B．650米C．634米D．700米二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．在方格纸中的位置如图所示，则的值是________．16．某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是_________．17．△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin A+cos A＝_____．18．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF ＝3，则tan＝_____．3+A60︒AM A30°AC M C75︒NN1.414≈ 1.732≈α∠tanα43B'C'AC'B AC''∠三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．计算：.20．如图，在△ABC 中（1）作图，作BC 边的垂直平分线分别交于AC ，BC 于点D ，E （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）条件下，连接BD ，若BD ＝9，BC ＝12，求∠C的余弦值．22sin 454cos 30︒-︒)0tan 603tan 45--︒+︒21．如图，中，，的平分线交于D ，交的延长线于点E ，交于点F ．（1）若，求的度数；（2）若，求的长．22．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．名称红外线体温检测仪安装示意图技术参数探测最大角：∠OBC=73.14°ABCAB AC =B ÐAC //AE BC BD AF AB ⊥BE 40BAC ∠=︒AFE ∠2AD DC ==AF探测最小角：∠OAC=30.97°安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）23．某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图1,斗杆顶点D 与铲斗顶点E 所在直线DE 垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°(示意图2)．工作时如图3，动臂BC 会绕点B 转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D 升至最高点(示意图4)．(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC 的度数．(2)问斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)?（考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）1.7324．阅读材料，回答问题：小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt △ABC 中，如果∠C=90°，∠=30°，BC ═a=1，，AB=c=2，那么==2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着==的关系．这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在R △ABC 中，∠C=90°，BC=a ，AC=b ，AB=C ，请判断此时“==”的关系是否成立？答： （2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC ，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，请判断此时“ ==”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C 作CD ⊥AB 于D ，过点A 作AH ⊥BC ，再结合定义或其它方法证明）．sin a A sin b Bsin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c Csin a A sin b B sin c C25．如图1，草原上有A，B，C三个互通公路的奶牛养殖基地，B与C之间距离为100千米，C 在B的正北方，A在C的南偏东60°方向且在B的北偏东30°方向．A地每年产奶3万吨；B 地有奶牛9000头，平均每头牛的年产奶量为3吨；C地养了三种奶牛，其中黑白花牛的头数占20%，三河牛的头数占35%，其他情况反映在图(2)，图(3)中．（1）通过计算补全图(3)；（2）比较B地与C地中，哪一地平均每头牛的年产奶量更高？（3）如果从B，C两地中选择一处建设一座工厂解决三个基地的牛奶加工问题，当运送一吨牛奶每千米的费用都为1元，那么从节省运费的角度考虑，应在何处建设工厂？26．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．（1）如图1，若点E 为线段BC 的中点，延长AB '交CD 于点M ，求证：AM ＝FM ；（2）如图2，若点B '恰好落在对角线AC上，求的值；（3）若＝，求∠DAB '的正弦值．BE CE BE CE 32答案一、选择题1．B ．2．D ．3．C ．4．D ．5．A ．6．C.7．B.8．B9．B ．10．C ．11．C ．12．B ．13．A ．14．A二、填空题15．16．17．.18．三、解答题19．原式.20．解：（1）如图所示，直线DE 即为所求；（2）∵DE 是BC 的垂直平分线，∴EC＝BC ＝6，BD ＝CD ＝9，∴cos ∠C ＝＝＝．21．（1）；（2）25127514224=⨯131-+⨯3131=--+=12EC DC 6923125AFE ∠=︒AF =【解析】（1）∵，，∴．∵平分，∴， ∵，∴，∴．（2）∵，∴，又，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴，在中，22．根据题意可知：OC ⊥AC ，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m ，∴AC=AB+BC=4+BC ，AB AC =40BAC ∠=︒18040702ABC ︒︒︒-∠==BD ABC ∠170352ABD DBC ︒︒∠=∠=⨯=AF AB ⊥90BAF ∠=︒9035125AFE BAF ABD ∠=∠+∠=︒+︒=︒//AE BC E DBC ∠=∠ADE CDB ∠=∠AD CD=ADE CDB ≌AE CB =,E DBC ABD DBC∠=∠∠=∠E ABD ∠=∠AB AE =AB CB AC ==ABC 60ABC ∠=︒30ABD ∠=︒2AD DC ==4AB =Rt ABF tan 304AF AB ︒=⋅==∴在Rt △OBC 中，BC=，在Rt △OAC 中，OC=AC •tan ∠OAC ≈(4+BC)×0.6，∴OC=0.6(4+)，解得OC ≈2.9（m ）．答：该设备的安装高度OC 约为2.9m ．23．（1）如图2-1，过点C 作于点G.，，，，，，所以动臂BC 与AB 的夹角为为.（2）如图2-2，过点C 作于点P ，过点B 作于点Q 交CG 于点N.在中，（米）.在中，（米）.（米）.tan OBC 3.3OC OC ∠≈⨯ 3.3OC CG AM ⊥AB AM ⊥ DE AM ⊥////AB DECG ∴180110DCG CDE ︒︒∴∠=-∠=30BCG BCD DCG ︒∴∠=∠-∠=180150ABC BCG ︒︒∴∠=-∠=ABC ∠150︒CP DF ⊥BQ DF ⊥Rt CPD cos 700.51DP CD ︒=⨯=Rt BCN sin 60 1.04CN BC ︒=⨯≈ 2.35DE DP PQ QE DP CN AB ∴=++=++≈如图4，过点D 作于点H ，过点C 作点K.在中，（米）.（米）（米）.所以斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了约0.8米.24．（1）∵=c ， =c ， =c ，∴“==”成立，故答案为成立．（2）作CD ⊥AB 于D ．∵在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，∠ADC=∠BDC=90°，∴sinA=，sinB=，∴=，=，∴=，同理，作AH ⊥BC 于H ，可证=，DH AM ⊥CK DH ⊥Rt KD C sin 50 1.16DK CD ︒=⨯≈3.16DH DK KH ∴=+≈0.8DH DE ∴-≈sin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c Cb CD aCD sin a A ab CD sin b B ab CD sin a A sin b Bsin b B sin c C∴==．25．解：（1）由图3可知黑白花牛2000头，占20%，则C 地养牛的总头数是：2000÷20%=10000所以三河牛的头数为：10000-2000-4500=3500条形高度在3500左右（2）C 地每种牛所占比例为：三河牛3500÷10000=35%，草原红牛4500÷10000=45%C 地每头牛的年平均产奶量为：6×20%+4×35%+3×45%=3.95（吨）而B 地每头牛的年平均产奶量为3吨；所以C 地每头牛的年平均产奶量比B 地的高；（3）由题意：C 地每年产奶量为10000×3.95＝3.95万吨，B 地每年产奶量为9000×3＝2.7万吨，A 地每年产奶量为3万吨．由题意，∠CBA ＝60°，∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，∵BC ＝100（千米），∴AB ＝100×sin60°≈86.6（千米），∴AC ＝100×sin30°＝50（千米），如果在B 地建厂，则每年需运费W 1＝86.6×3×1＋100×3.95×1＝654.8（万元）如果在C 地建厂，则每年需运费W 2＝50×3×1＋100×2.7×1＝420（万元）而654.8＞420．答：从节省运费的角度考虑，应在C 地建设工厂．sin a A sin b B sin c C26．（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥CD ，∴∠F ＝∠BAF ，由折叠可知：∠BAF ＝∠MAF ，∴∠F ＝∠MAF ，∴AM ＝FM ．（2）解：由（1）可知△ACF 是等腰三角形，AC ＝CF ，在Rt △ABC 中，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC＝10，∴CF ＝AC ＝10，∵AB ∥CF ，∴△ABE ∽△FCE ，∴；（3）①当点E 在线段BC 上时，如图3，AB '的延长线交CD 于点M ，由AB ∥CF 可得：△ABE ∽△FCE ，∴，即∴CF ＝4，由（1）可知AM ＝FM ．设DM ＝x ，则MC ＝6﹣x ，则AM ＝FM ＝10﹣x ，在Rt △ADM 中，AM 2＝AD 2+DM 2，即（10﹣x ）2＝82+x 2，解得：x ＝，=63105BE AB CE CF ===32AB BE CF CE ==632CF =95则AM ＝10﹣x ＝10﹣＝，∴sin ∠DAB '＝＝．②当点E 在BC 的延长线上时，如图4，由AB ∥CF 可得：△ABE ∽△FCE ，∴，即，∴CF ＝4，则DF ＝6﹣4＝2，设DM ＝x ，则AM ＝FM ＝2+x ，在Rt △ADM 中，AM 2＝AD 2+DM 2，即（2+x ）2＝82+x 2，解得：x ＝15，则AM ＝2+x ＝17，∴sin ∠DAB '＝．综上所述：当时，∠DAB '的正弦值为或。

直角三角形的边角关系 测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图 第12题图 第13题图 第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)． 答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)． 答：乙船每小时航行203海里.。

2023年九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题一、单选题1．如图，在ABC ∆中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,则tan B 的值是（）A ．34B ．43C ．35D ．452．定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆.如图，已知点()(),0,0P x y x y >>在单位圆上，则sin POA ∠等于（）A ．x B ．yC ．x y D ．y x 3（）A ．3B ．1C ．2D ．124．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，AB ＝3，那么AC 等于（）A ．3sinαB ．3cosαC ．3sin αD ．3cos α5．tan60°的值等于()A ．1BC ．D ．26．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=m ，则AB 的长为（）A ．m sinαB ．C ．m cosαD ．7．如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，ABC 的顶点均在格点上，则∠ABC 的正弦值为（）A ．12B ．5C ．35D ．108．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，则AB=（）A ．8B ．9C ．10D ．129．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（）米．A ．100cos 20︒B ．100cos 20︒C ．100sin 20︒D ．100sin 20︒10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （1，2），点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（）A ．2B ．12C ．2D 二、填空题11．计算：012⎛⎫ ⎪⎝⎭–2cos60°=.12．cos30°+sin45°=13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，AD=95，BD=165，则sinB=.14．如图，已知斜坡AC 的坡度i ＝1：2，小明沿斜坡AC 从点A 行进10m 至点B ，在这个过程中小明升高m.三、计算题15．计算：0(3)4sin601π-+--16．计算：0(3)22cos30π---︒．四、解答题17．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨.某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A 处，情况危急！救援队伍在B 处测得A 在B 的北偏东60 的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A 处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C 处，再从C 处下水游向A 处救人，已知A 在C 的北偏东30 的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒.在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A 处？请说明理由.（参1.732=）18．如图，升国旗时，某同学站在离国旗20m 的E 处行注目礼（即BE=20m ），当国旗升至旗杆顶端A 时，该同学视线的仰角∠ADC=42°，已知他的双眼离地面的高度DE=1.60m ．求旗杆AB 的高度（结果精确到0.01m ）．参考数据：sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9004．19．如图，小明站在A 处，准备测量教学楼CD 的高度．此时他看向教学楼CD 顶部的点D ，发现仰角为45°．他向前走30m 到达A '处，测得点D 的仰角为67.5°．若小明的身高AB 为1.8m （眼睛与头顶的距离忽略不计），则教学楼CD 的高度为多少？（计算结果精确到0.1m ，参考数据：67.50.924sin ︒≈，67.50.383cos ︒≈，67.5 2.414tan ︒≈，1.414≈）20．先化简，再求代数式262393a a a a -÷+--的值，其中a ＝tan60°﹣6sin30°．21．先化简，再求代数式23211m m m m m m-+-÷-的值，其中60230m tan sin =︒-︒五、综合题22．五一期间，数学兴趣小组的几位同学到公园游玩，看到公园内宝塔耸立，几人想用所学知识测量宝塔的高度．为此，他们在距离宝塔中心18m 处（AC ＝18m ）的一个斜坡CD 上进行测量．如图，已知斜坡CD 的坡度为i ＝1斜坡CD 长12m ，在点D 处竖直放置测角仪DE ，测得宝塔顶部B 的仰角为37°，量得测角仪DE 的高为1.5m ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内．（1）求点D 距地面的高度；（2）求宝塔AB 的高度．（结果精确到0.1，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）23．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动．（结果保留小数点后一位）（参考数据：40400.766sin ︒︒≈≈，，400.839tan ︒≈，26.60.448sin ≈ ，26.60.89426.60.500cos tan ︒︒≈≈，3 1.732≈）（1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10 后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC 中，∵AC=3,BC=4,AB=5，又因32+42=52，即AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，∴tanB=34AC BC =.故答案为：A.【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 是直角三角形，再根据正切函数的定义即可得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：过P 作PE OA ⊥于E ，则PO=1,PE=y,OE=x,∴sin 1PE yPOA y PO ∠===，故答案为：B.【分析】过P 作OA 的垂线构造直角三角形，利用正弦的定义可得答案.3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵sin45°=2.故答案为：C.【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得答案.4．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，∵ACcosαAB=,∴AC=3cosα.故答案为：B.【分析】根据余弦等于邻边比斜边即可求解.5．【答案】C 【解析】【解答】C 。

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合压轴题专项训练试题1、如图,MN是表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心,500 米为半径的圆形区域为居民区,取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°,已知MB=400米,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?2、如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D 是BC的中点，且AD⊥BC.(1)求sin B的值；(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F.求支架DE的长．3、如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．4、小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图∶)，图∶是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O ，B ，D 两点立于地面，经测量：AB ＝CD ＝136 cm ，OA ＝OC ＝51 cm ，OE ＝OF ＝34 cm ，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段，且EF ＝32 cm (参考数据：sin 61.9°≈0.882，cos 61.9°≈0.471，tan 28.1°≈0.534)．(1)求证：AC ∶BD .(2)求扣链EF 与立杆AB 的夹角∶OEF 的度数(结果精确到0.1°)．(3)小红的连衣裙穿在晒衣架上的总长度达到122 cm ，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．5、如图，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的点B 处安置测角仪，在点A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°.已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长(结果保留根号)．6、如图，两条笔直的公路AB CD 、相交于点O ，AOC ∠为36°，指挥中心M 设在OA 路段上，与O 地的距离为18千米．一次行动中，王警官带队从O 地出发，沿OC 方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．【参考数据：sin360.59cos360.81tan360.73===°，°，°．】7、在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度和占地面积，如图1—136(1)所示，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为锐角θ，一般情况下，锐角θ愈小，楼梯的安全程度愈高，但占地面积较多，如图l—136(2)所示，为提高安全程度，把倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4 m，θ1＝40°，θ2＝36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少．(精确到0.01 m，参考数据：sin36°≈0.5878，cos36°≈0.8090，tan 36°≈0.7265，sin 40°≈0.6428，cos 40°≈0.7660，tan 40°≈0.8391)8、在旧城改造中，要拆除一烟囱AB，如图1—137所示，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现在从与B地水平距离相距(BD＝21米)21米远的建筑物CD的顶端C点测得A点的仰角为45°，B点的俯角为30°，现在离B点25米远的地方有一受保护的文物，则该文物是否在危险区内?试说明理由．，精确到0.01米)9、通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1，在∶ABC中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA ＝底边腰＝BC AB .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad 60°＝____________；(2)对于0°＜∶A ＜180°，∶A 的正对值sadA 的取值范围是____________；(3)如图2，已知sinA ＝35，其中∶A 为锐角，试求sadA 的值． 10、根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M 距离羲皇大道l (直线)的距离MN 为30米(如图8所示)．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从点A 行驶到点B 所用时间为6秒，∠AMN ＝60°，∠BMN ＝45°.(1)计算AB 的长；(2)通过计算判断此车是否超速．11、如图所示，港口B 位于港口O 正西方向120 km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60°的方向．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向(北偏西30°)以v km /h 的速度驶离港口O ，同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60 km /h 的速度驶向小岛C ，在小岛C 用1 h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？(2)若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ，求v 的值及相遇处与港口O 的距离．12、如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C 在AB 的延长线上，设想过C 点作直线AB 的垂线l ，过点B 作一直线(在山的旁边经过)，与l 相交于D 点，经测量∶ABD ＝135°，BD ＝800米，求直线l 上距离D 点多远的C 处开挖？(2≈1.414，结果精确到1米)13、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为 45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D 处（即 ∠，CD =400米），测得A 的仰角为，求山的高度AB ．14、如图，在南北方向的海岸线MN 上，有A ，B 两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A ，B 两船相距1003+1）海里，船C 在船A 的北偏东60°方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东75°方向上．（1）分别求出A 与C ，A 与D 间的距离AC 和AD （如果运算结果有根号，请保留根号）.（2）已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ，在23≈1.73）6015、如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i＝1∶，且AB＝30 m，李亮同学在大堤上A点处用高1.5 m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°，已知地面BC宽30 m，求高压电线杆CD的高度．(结果保留三位有效数字，≈1.732)16、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i＝1∶的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值)．17、如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BP Q的度数；(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m)．(参考数据：≈1.7，≈1.4)18、乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)．建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)．无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处的俯角为80°36′.(1)求主桥AB的长度；(2)若两观察点P，D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长度．(长度均精确到1 m，参考数据：3≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)。

北师大版初中数学 九（下） 第一章直角三角形的边角关系 分节练习(带答案)第1节 锐角三角函数1、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，tan A ＝125，求AC . ★ 1.1、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝54，BC ＝20，求△ABC 的周长和面积. ★ 1.2、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A 和cos B 有什么关系？2、【综合Ⅰ】在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求sin B ，cos B ，tan B . ★2.1【综合Ⅰ】已知∠A 是锐角，cos A ＝53，求sin A 和tan A . 2.2、【综合Ⅰ】在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CD 是中线，BC ＝8，CD ＝5，求sin ∠ACD ，cos ∠ACD 和tan ∠ACD .2.3【综合Ⅰ】如图，点P 是∠α的边OA 上一点，且点P 的坐标为（4，3），则sin α和cos α的值分别是（ ）A. 34，35B. 54，53C. 53，54D. 34，432.4、【综合Ⅲ】如右图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝8，BD ＝4，求tan A 的值. ☆第2、3节 30°，45°，60°角的三角函数值 & 三角函数的计算3、【基础题】计算：（1）sin 30°＋cos 45°； （2）2sin 60°＋2cos 60°－tan 45°.3.1、【综合Ⅱ】 化简2)130(tan - ＝ （ ） A. 331- B. 13- C. 133- D. 13-3.2、【综合Ⅱ】 △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 2sin 0B A +=（，则△ABC 是（ ）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形4、【基础题】用计算器求下列锐角的三角函数值（结果保留4个有效数字）（1）sin 72°； （2）cos 36.43°； （3）tan 38° 24＇25＂.4.1、【基础题】如左下图，河岸AD 、BC 互相平行，桥AB 垂直于两岸，桥AB 长12 m ，在C 处看桥两端A 、B ，夹角∠BCA ＝60°，求B 、C 间的距离（结果精确到1 m ）.4.2、【基础题】如右图，AB ＝20 m ，∠CAB ＝50°，∠DAB ＝56°，求避雷针CD 的长度（结果精确到0.01 m ）5、【基础题】根据下列条件利用计算器求∠A 的度数（用度、分、秒表示）.（1）cos A ＝0.6753； （2）sin A ＝0.4553； （3）tan A ＝87.545.1、【基础题】一梯子斜靠在墙上，已知梯长4 m ，梯子位于地面上的一端离墙2.5 m ，求梯子与地面所成的锐角.第4节 解直角三角形6、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，根据下列条件求出直角三角形的其他元素. ★（1）5＝a ，25＝c ； （2）34＝c ，∠A ＝60°第5节 三角函数的应用7、【综合Ⅱ】如左下图，小李想测量塔CD 的高度，他在A 处仰望塔顶，测得仰角是30°，再往塔的方向前进50 m至B 处，测得仰角是60°，那么该塔有多高？（小李的身高忽略不计，结果精确到1 m ） ★7.1、【综合Ⅱ】如右上图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30º，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得A 点的仰角为60º，则物体AB 的高度为（ ） ★B.10米7.2【综合Ⅱ】（2012年陕西数学中考20题）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A 处测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东65︒方向，然后，他从凉亭A 处沿湖岸向正东方向走了100米到B 处，测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东45︒方向（点A B C 、、在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C 处与湖岸上的凉亭A 处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：sin 250.4226cos 250.9063tan 250.4663sin 650.9063︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，cos 650.4226tan 65 2.1445︒≈︒≈，）8、【综合Ⅱ】如左下图，大楼AD 高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及大楼与塔之间的距离AC （结果精确到0.01 m ）.8.1【基础题】如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两建筑物的高，某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的 高，用自制测角仪在B 处测得D 点的仰角为α，在A 处测得D 点的仰角为β. 已知甲、乙两建筑物之间的 距离BC 为m . 请你通过计算用含α、β、m 的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度.2，则AB的长是_________. ☆9、【综合Ⅲ】如左下图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝39.1、【综合Ⅲ】如右上图，在四边形ABCD中，AD＝30 m，DC＝50 m，CB＝20 m，AB＝50 m，∠A＝60°，m）∠C＝60°，求此四边形ABCD的面积（结果精确到0.01 210、【综合Ⅰ】一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港. 求（1）A、C两港之间的距离（结果精确到0.1 km）；（2）确定C港在A港的什么方向.10.1、【综合Ⅲ】如图，一艘船以每小时36海里的速度向正北航行到A处，发现它的东北方向有灯塔B，船继续向北航行2小时到达C处，发现灯塔B此时在它的北偏东75°方向，求此时船与灯塔的距离（结果保留根号）.第6节利用三角函数测高11、【综合Ⅱ】如图，∠MCE＝α，∠MDE＝β，AC＝BD＝a，AB＝b，那么物体MN的高度如何表示？九（下） 第一章直角三角形的边角关系 分节练习答案1、【答案】 AC ＝536 1.1、【答案】 周长60，面积150. 1.2、【答案】 相等 2、【答案】 sin B ＝54，cos B ＝53，tan B ＝34. 2.1【答案】 sin A ＝54，tan A ＝34. 2.2、【答案】 sin ∠ACD ＝54，cos ∠ACD ＝53，tan ∠ACD ＝34. 2.3【答案】 选C 2.4、【答案】 tan A ＝22 3、【答案】（1）221＋； （2）0. 3.1、【答案】选A 3.2、【答案】选D 4、【答案】（1）sin 72°≈0.9511； （2）cos 36.43°≈0.8046； （3）tan 38° 24＇25＂≈0.79284.1、【答案】 BC ＝34≈7（m ） 4.2、【答案】 CD ≈5.82 m5、【答案】 （1）∠A ≈47° 31＇21＂； （2）∠A ≈27° 5＇3＂； （3）∠A ≈89° 20＇44＂.5.1【答案】 梯子与地面所成的锐角是51° 19＇4＂6、【答案】 （1）5＝b ，∠A ＝∠B ＝45°； （2）∠B ＝30°，6＝a ，32＝b .7、【答案】 CD ≈43 m 7.1、【答案】 选A 7.2【答案】 207米8、【答案】 用方程来解，设AC ＝x ，则DE ＝x ， 可列方程 tan 60°·x －tan 30°·x ＝30，解得x ＝153≈25.98， BC ＝153×tan 60°＝45.008.1【答案】 CD ＝BC ·tan α＝m ·tan α， AB ＝m ·（tan α－tan β）. 9、【答案】 33＋9.1【答案】四边形ABCD 的面积是1082.53 2m 10、【答案】（1）14.1 km ； （2）北偏东15°方向. 10.1、【答案】11、【答案】 MN ＝a b ＋－αββαtan tan tan tan。

源-于-网-络-收-集 第一章：直角三角形的边角关系测试题一、．选择题（每题3分）。

1、在ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c 三边，则下列式子一定成立的是（ ）A 、B c a sin ⋅= B 、B c a cos ⋅=C 、Ba c tan = D 、A a c sin ⋅= 2．在ABC ∆中，::1:2:1A B C ∠∠∠=，,,A B C ∠∠∠对边分别为,,abc ，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:1B ．1:2:1C ．1:3:2D ．1:2:33．计算221sin 60tan 45()3-︒︒--结果是（ ） A ．94B ．114C ． 94-D ．114- 4．在ABC ∆中，90C ∠=︒，且两条直角边,a b 满足22430a ab b -+=，则tan A等于（ ） A ．2或4 B ．3 C ．1或3 D ．2或35．在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠对边分别为,,a b c ，5,12,13a b c ===，下列结论成立的是（ ）A ．12sin 5A =B ．5cos 13A =C ．5tan 12A =D ．12cos 13B = 6、已知∠A +∠B = 90°，且A cos =51，则B cos 的值为（ ） A 、 51 B 、54 C 、 562 D 、 52 7、在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，A tan =3，AC=10，则S △ABC 等于（ ）A 、 ３B 、３00C 、350D 、1５0 8、一人乘雪橇沿坡度为１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t （秒）之间的关系为Ｓ＝2210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（ ）A 、 72米B 、36米C 、336米D 、318米9、如果把ABC Rt ∆的三边同时扩大n 倍，则A sin 的值（ ）A 、不变B 、扩大n 倍C 、缩小n 倍D 、不确定10、如图2，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米D ．500tan35°米AB C源-于-网-络-收-集二、填空题。

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，则 tan B 的值为（ ）A B ．1 C D ．22、在Rt ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列式子一定成立的是（ ）A ．sin a cB =⋅ B ．cos a c B =⋅C ．tan a c B =D ．sin c a A =⋅3、如图要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，点P 位于点A 正北方向，点C 位于点A 的北偏西46°，若测得PC ＝50米，则小河宽PA 为（ ）A ．50sin44°米B ．50cos44°C ．50tan44°米D ．50tan46°米4、tan 45︒的值为（ ）A ．1B ．2CD ．5、某人沿坡度1:2i =的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为（ ）A ．5米B ．C ．D ．6、如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，O 为对角线BD 的中点，2OA =，5BC =，3CD =，则tan DCB ∠等于（ ）A ．43B ．34C ．45 D ．357、如图，某建筑物AB 在一个坡度为i ＝1：0.75的山坡BC 上，建筑物底部点B 到山脚点C 的距离BC ＝20米，在距山脚点C 右侧同一水平面上的点D 处测得建筑物顶部点A 的仰角是42°，在另一坡度为i ＝1：2.4的山坡DE 上的点E 处测得建筑物顶部点A 的仰角是24°，点E 到山脚点D 的距离DE ＝26米，若建筑物AB 和山坡BC 、DE 的剖面在同一平面内，则建筑物AB 的高度约为（ ）（参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45，sin 42°≈0.67．cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）A ．36.7米B ．26.3 米C ．15.4米D ．25.6 米8、如图，E 是正方形ABCD 边AB 的中点，连接CE ，过点B 作BH ⊥CE 于F ，交AC 于G ，交AD 于H ，下列说法：①AH HG AB BG =； ②点F 是GB 的中点；③AG AB =；④S △AHG =16S △ABC ．其中正确的结论的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④ 9、在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sin A ＝23，则边AC 的长是（ ）A B ．3 C ．43 D 10、如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线14y k x =+与y 轴交于点C ，与反比例函数2k y x =在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ，若2OBC S ∆=，1tan 5BOC ∠=，则2k 的值是（ ）A ．-20B ．20C ．－5D ．5第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、等腰ABC ，底角是30ABC 的周长是_____________2、如图，矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠ADE ＝α，cosα＝35，AB ＝4，AD 长为_____．3、cos30°的相反数是 _____．4、构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至D ，使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°AC CD ====2tan22.5°的值为 _____．5、如图, 在 Rt ABC △ 中, 390,tan ,2ACB BAC CD ∠∠== 是斜边 AB 上的中线, 点 E 是直线 AC 左侧一点, 联结 AE CE ED 、、, 若 ,EC CD EAC B ∠∠⊥=, 则 CDEABC SS 的值为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，平地上两栋建筑物AB 和CD 相距30m ，在建筑物AB 的顶部测得建筑物CD 底部的俯角为26.6°，测得建筑物CD顶部的仰角为45°．求建筑物CD 的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）2、如图，等腰Rt△ABC 中，AB ＝AC ，D 为线段BC 上的一个动点，E 为线段AB 上的一个动点，使得CD=．连接DE ，以D 点为中心，将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接线段EF ，过点D 作射线DR ⊥BC 交射线BA 于点R ，连接DR ，RF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：△BDE ≌△RDF ；（3）若AB ＝AC ＝2，P 为射线BA 上一点，连接PF ，请写出一个BP 的值，使得对于任意的点D ，总有∠BPF 为定值，并证明．3、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A 处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后在B 处观察到电视塔在北偏西53度的方向上．已知电视塔C 距离公路AB 的距离为300米，求小明的徒步速度．（精确到个位，sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan370.75︒≈，tan53 1.3︒≈）4、如图, 在 ABC 中，90,3C AC BC ∠===， 点 D E 、 分别在 AC 边和 AB 边上，沿着直线 DE 翻折 ADE ，点 A 落在 BC 边上，记为点 F ，如果 1CF =，则 BE =_______．5、计算：（1）22390x x +-=；（21016sin 453)2-⎛⎫+- ⎪⎝⎭︒．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得30B ∠=︒，根据特殊角的三角函数值即可求解【详解】∵∠C =90°，∠A =60°，∴30B ∠=︒又tan 30︒=故选A【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，求特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键．2、B【分析】根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可．【详解】解：由题意可得，如下图：sinaAc=，则sina c A=⋅，A选项错误，不符合题意；cosaBc=，则cosa c B=⋅，B选项正确，符合题意；tanbBa=，则tanacB≠，C选项错误，不符合题意；sinaAc=，则sinacA=，D选项错误，不符合题意；故选B，【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解．3、C【分析】先根据AP⊥PC，可求∠PCA=90°-46°=44°，在Rt△PCA中，利用三角函数AP=tan4450tan44PC︒⨯=︒米即可．【详解】解：∵AP⊥PC，∴∠PCA+∠A=90°，∵∠A=46°，∴∠PCA=90°-46°=44°，在Rt△PCA中，tan∠PCA=APCP，PC=50米，∴AP=tan4450tan44PC︒⨯=︒米．故选C．【点睛】本题考查测量问题，掌握测量问题经常利用三角函数求边，熟悉锐角三角函数定义是解题关键．4、A【分析】直接求解即可．【详解】解：tan45︒=1，故选：A．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．5、B【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得BC：AC=1：2，AB=10m，可解出直角边BC，即得到位置升高的高度．【详解】解：由题意得，BC：AC=1：2．∴设BC=x，则AC=2x．∵AB=10，BC2+ AC2=AB2，∴x2+ (2x)2=102，解得：x=．故选：B．【点睛】本题主要考查了坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化．6、A【分析】先根据平行线的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BD ，再根据勾股定理的逆定理判断出∠BDC =90°，由正切定义求解即可．【详解】解：∵AD ∥BC ，∠ABC =90°，∴∠BAD =90°，∵O 为对角线BD 的中点，OA =2，∴BD =2OA =4，∵BC =5，CD =3，∴BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC =90°，∴tan∠DCB =BD CD =43， 故选：A ．【点睛】本题考查平行线的性质、直角三角形的斜边中线性质、勾股定理的逆定理、正切，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键．7、D【分析】如图所示，过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ，标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H 由坡度为i ＝1：0.75，BC ＝20可得BG =16,GC =12,由坡度为 i ＝1：2.4，DE ＝26可得DF =24,EF =10，分别在在AGB 中满足tan 42AG GD =︒，在AEH △中满足tan 24AH HE =︒化简联立得AB =25.6．【详解】如图所示，过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ，标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H∵在BGC 中BC ＝20，坡度为i ＝1：0.75，∴222BG GC BC +=， ∴2223()4BG BG BC +=， ∴222916BG BG BC +=， ∴22252016BG =， ∴22540016BG =， ∴21640025BG =⨯， ∴2256BG =，∴16BG =， ∴3124CG BG ==． 在BGC 中DE ＝26，坡度为 i ＝1：2.4，∴222DF EF DE +=， ∴22212()5EF EF DE +=， ∴22214425EF EF DE +=， ∴221692625EF =， ∴225676169EF =⨯，∴2100EF =，∴10EF =， ∴12245DF EF ==， ∴在AGB 中满足tan 42AG GD =︒，在AEH △中满足tan 24AH HE =︒, 即0.9AB BG GC CD +=+,0.45AB BH GC CD DF+=++ 其中BG =16、BG =12、BH =BG -EF =6、DF =24，代入化简得160.9(12)60.45(36)AB CD AB CD +=+⎧⎨+=+⎩①②， 令2②-①有2261620.45360.91220.450.9AB AB CD CD -+⨯-=⨯⨯-⨯+⋅⋅-∴421.6AB -=，∴AB =25.6．故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长度，再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组，正确的列方程求解是解题的关键．8、D 【分析】①先证明△ABH≌△BCE，得AH=BE，则1122AH AD BC==，即12AHAB=，再根据平行线分线段成比例定理得：12HGBG=即可判断；②设BF=x，CF=2x，则BC，计算FG=23x即可判断；③根据等腰直角三角形得：AC，根据①中得：13AGAC=即可判断；④根据11,22HG AGBG CG==，可得同高三角形面积的比，然后判断即可．【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠HAB=∠ABC=90°，∵CE⊥BH，∴∠BFC=∠BCF+∠CBF=∠CBF+∠ABH=90°，∴∠BCF=∠ABH，∴△ABH≌△BCE，∴AH=BE，∵E是正方形ABCD边AB的中点，∴BE=12AB，∴1122AH AD BC==，即12AHAB=∵AH//BC，∴12 AH HG BC BG==∴AH HGAB BG=，故①正确；②1 tan tan2AH BF ABH BCFAB CF ∠=∠===设BF=x，CF=2x，则BC，∴AHx∴52 BH x=∴552263x x xFG BH GH BF x BF=--=--=≠，故②不正确；③∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AC，∵12 AG AH CG BC==∴13 AG AC=∴13AG AC AB==，故③正确；④∵12GH AG BG CG==∴11,22 AHG ABGABG BCGS SS S∆∆∆∆==∴13 ABGABCSS∆∆=∴16AHG ABCS S=，故④正确．故选D．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．9、A【分析】先根据BC＝2，sin A＝23求出AB的长度，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵sin A＝BCAB =23，BC＝2，∴AB＝3,∴AC故选：A．【点睛】本题考查正弦的定义、勾股定理等知识，是重要考点，难度较小，掌握相关知识是解题关键．10、D【分析】先根据直线解析式求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，利用待定系数法将点B坐标代入即可求得结论．【详解】解：∵直线y=k1x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，4），∴OC=4，过B作BD⊥y轴于D，∵S △OBC =2， ∴114222OC BD BD ⋅=⨯⋅=， ∴BD =1，∵tan∠BOC =15， ∴15BD OD =， ∴OD =5，∴点B 的坐标为（1，5）， ∵反比例函数2k y x=在第一象限内的图象交于点B ， ∴k 2=1×5=5．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，锐角三角函数，三角形面积，待定系数法求分别列函数解析式，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．二、填空题140 【分析】设腰长为x ，则等腰三角形的高为2x ，三角形的面积为122x ⨯=x 的值，进而求出周长2x +的值．【详解】解：设等腰三角形的腰长为x ，高为sin 302x x ︒=，底边长为2cos30x ︒=122x S ∴=⨯=解得x =∴周长为240x =40+． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数值，等腰三角形．解题的关键在于利用三角函数值将边长表示出来． 2、163【分析】将已知角度的三角函数转换到所需要的三角形中，得到∠ADE =∠DCE =α，求出AC 的值，再由勾股定理计算即可．【详解】∵∠ADC =∠AED =90°，∠DAE +∠ADE =∠ADE +∠CDE =90°∴∠DAE =∠CDE又∵∠DCE +∠CDE =90°∴∠ADE =∠DCE =α∴cosα＝35=CD AC又∵矩形ABCD中AB=CD=4∴AC=20 3在ADC中满足勾股定理有163AD=故答案为：163．【点睛】本题考查了已知余弦长求边长，将已知余弦长转换到所需要的三角形中是解题的关键．3、【分析】先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数．【详解】所以其相反数为故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念．41##【分析】在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D ．设AC =1，求出CD ，可得结论．【详解】解：如图，在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D ．∵∠ABC =45°，∴45°=∠BAD +∠D =2∠D ，∴∠D =22.5°，设AC =1，则BC =1，AB =∴1CD CB BD CB AB =+=+=∴tan 22.5tan 1AC D CD ︒====．1．【点睛】本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题．5、1336【分析】先证明Rt AED Rt CED ≌，则AED CED S S =，进而证明DAE BCA ∽，据3tan 2BAC ∠=求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：CD 是Rt ABC 斜边 AB 上的中线， 12CD AB AD ∴== DCA DAC ∴∠=∠ 90ACB ∠=︒90CAB B ∴∠+∠=︒ EAC B ∠=∠90EAC DAC ∴∠+∠=︒ 即90EAD ∠=︒ 又EC CD ⊥90ECD ∴∠=︒EAD ECD ∴∠=∠ Rt AED Rt CED ∴≌ AED CED S S ∴= ,DA DC EA EC == ED AC ∴⊥又90ACB ∠=︒ BC AC ∴⊥//ED BC ∴ADE B ∴∠=∠又90EAD ACB ∠=∠=︒ DAE BCA ∴∽2ADC ABC S AD S BC ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 3tan 2BAC ∠= 32CB CA ∴= 设3CB k =，则2AC k =AB ∴=12AD AB ∴== AED CED S S =2CDE ADC ABC ABC SS AD S SBC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭2132336k ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：1336【点睛】 本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明AED CED SS =是解题的关键． 三、解答题1、建筑物CD 的高度约为45m ．【分析】如图所示，过点A 作AE ⊥CD 于E ，先证明AE =CE ，然后证明四边形ABDE 是矩形，则AE =BD =30m ，CE =AE =30m ，tan =30tan26.615m DE AE EAD =⋅︒≈∠，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥CD于E，∴∠AEC=∠AED=90°，∵∠CAE=45°，∴∠C=45°，∴∠C=∠CAE，∴AE=CE，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD=∠BDE=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴AE=BD=30m，∴CE=AE=30m，tan=30tan26.615m∠，=⋅︒≈DE AE EAD∴CD=CE+DE=45m，答：建筑物CD的高度约为45m．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．2、（1）见解析；（2）见解析；（3）当4BP=，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，证明见解析【分析】（1）根据题意作出图形连接,DR RF ；（2）根据BDR EDF ∠=∠可得BDE RDF ∠=∠，证明BRD 是等腰直角三角，可得BD DR =，根据旋转的性质可得ED DR =，进而根据边角边即可证明△BDE ≌△RDF ；（3）当24PB AB ==时，设DE a =，则CD =，分别求得,FR RP ,根据1tan 22RF a BPF RP a ∠===即可求解【详解】（1）如图，（2）DR ⊥BC90RDB ∴∠=︒将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ，90,EDF ED FD ∴∠=︒=BDR EDF ∴∠=∠即BDE EDR EDR RDF ∠+∠=∠+∠BDE RDF ∴∠=∠ ABC 是等腰直角三角形45B ∴∠=︒90BDR ∠=︒45BRD ∴∠=︒BRD∴是等腰直角三角形∴=BD DR∴△BDE≌△RDF；（2）如图，当24==时，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，证明如下，PB ABAB AC==ABC是等腰直角三角形，2∴=BCDC==，则CD，设DE a△BDE≌△RDF,==DR BD∴==，FR BR aABC是等腰直角三角形，∴∠=︒45EBD⊥DR BC∴∠=︒BRD45∴是等腰直角三角形，BDR∴==-BR a42()∴=-=--=4422PR BP BR a a△BDE ≌△RDF ,45FRD EBD ∴∠=∠=︒90BRF BRD DRF ∴∠=∠+∠=︒即FR AB ⊥1tan 22RF a BPF RP a ∴∠=== BPF ∴∠为定值【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，正切的定义，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．3、126米/分钟【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，由解直角三角形求出AD 和BD 的长度，则求出AB 的长度，即可求出小明的速度．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，∴903753CAD ∠=︒-︒=︒， ∴300tan tan 53 1.3CAD AD∠=︒=≈， ∴231AD ≈，同理：400BD ≈631AB AD BD =+=速度：631÷5≈126（米/分钟）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，以及解直角三角形，解题的关键是正确求出AD 和BD 的长度．4【分析】过点F 作FG AB ⊥于点G ，设BE x =，则AE x =，EG BE BG x =-=EGF △即可求得x ，即BE 的值【详解】解：如图，过点F 作FG AB ⊥于点G在 ABC 中，90,3C AC BC ∠===，AB ∴=tan 1AC B BC ==45A B ∠FGB ∴是等腰直角三角形BG FG ∴==sin FB B ⋅=设BE x =，则AE x =，EG BE BG x =-=沿着直线DE 翻折ADE ，点A 落在BC 边上，记为点F ，EA EF ∴=x在Rt EFG 中，222EF EG FG =+即()(222x x =+解得x =【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，根据题意构造直角三角形是解题的关键．5、（1）123,32x x ==-；（2）1 【分析】（1）用公式法求解即可；（2）根据特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂、二次根式的性质计算即可．【详解】（1）∵2a =，3b =，9c =-24972810b ac -=+=>，∴x ==∴123,32x x ==-．（2）原式621=-01=+1=． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂、二次根式的性质等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是关键．。

第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. sin45°的值等于（ ） A.3 B.12C. 32D. 222. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，AB=13，那么cosA 的值等于（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．1253. 已知一斜坡的坡度i=1:3，用科学计算器求坡角的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（ ）A. =3÷1tanB. °′′′=3÷1tanC. SHIFT ）（=3÷1tanD. SHIFT）（°′′′=3÷1tan4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=α，若BC=m ，则AB 的长为（ ） A.cos mB ．m·cos αC ．m·sin αD ．m·tan α5．如果△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝12，那么下列等式不正确的是（ ） A ．cos A ＝22B ．tan A ＝33 C ．sin B ＝32D ．tan B ＝36. 如图，点A 为∠B 边上的任意一点，过点A 作AC ⊥BC 于点C ，过点C 作CD ⊥AB 于点D.下列选项用线段比表示sin ∠BCD 的值，其中错误的是（ ） A ．BDBCB ．BCABC ．ADACD ．CDAC第6题图 第7题图 第8题图7．河堤横断面如图所示，AB ＝10米，tan ∠BAC ＝33，则AC 的长是（ ） A ．53米B ．10米C ．15米D ．103米8. 如图，在每个小正方形边长均为1的方格图中，点A，C，M，N均在格点上，AN与CM 相交于点P，则tan∠CPN的值为（）A. 3B. 1C.33D.229. 如图，钓鱼竿AC长为6 m，露在水面上的鱼线BC长为32m，钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'的长度是（）A．3 m B．33m C．23m D．4 m第9题图第10题图10. 如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物CD的高度.他们从点A出发沿着坡度i=1:2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α=35°，建筑物底端D的俯角β=30°.若AD为水平地面，则此建筑物的高度约为（参考数据：3≈1.7，sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.75）（）A．20.2米B．22.75米C．23.6米D．30米二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 若2cosα=1，则锐角α的度数为.12. 已知α为锐角，tanα=34，则sinα等于.13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，若AC＝23，tan∠BCD＝22，则BC＝．第13题图第14题图14. 如图，在△ABC中，BC=12，tanA=34，∠B=30°，则AB的长为.15. 在一次综合实践活动中，小东同学从A地出发，要到A地北偏东60°方向的C地.如图，他先沿正东方向行走了2千米到达B地，再沿北偏东15°方向行走，恰能到达目的地C，则A，C两地相距千米.（结果保留根号）第15题图第16题图16. 如图，要在宽为22米的公路两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC的高度应设计为米.（结果保留根号）三、解答题（本大题共8小题，共66分）17.（8分）已知α为锐角，sin（α+15°）＝32，计算8﹣4cosα+tanα+（13）﹣1的值．18.（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，请根据下面的条件解直角三角形的其他元素：（1）∠A＝45°，a＝10；（2）a＝23，c＝4．19.（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是边BC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD.若tan∠DAE=15，求△ADE的三边长.EDCBA第19题图20.（8分）如图，上午9：00时，甲、乙两船分别在A，B两处，乙船在甲船的正东方向，且两船之间的距离为33海里.甲船以30海里/时的速度沿北偏东45°方向匀速航行，乙船同时沿北偏东30°方向匀速航行.上午11：00时，甲船航行到C处，乙船航行到D处，此时乙船仍在甲船的正东方向，求此时两船之间的距离.（结果精确到1海里；参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈，6 2.45)≈第20题图21.（8分）如图，某居民小区广场上树立着一个“扫黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，现施工人员要在两侧增加钢丝绳来加固灯牌.已知钢丝绳底端G距灯牌立柱FD的距离GD=4米，从G点测得灯牌顶端F和底端E的仰角分别是60°和45°.（1）若AF的长为5米，求灯牌的面积；（结果保留根号）（2）若灯牌两侧增加的钢丝绳一样长，求钢丝绳的总用料.（结果保留根号）第21题图22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别交CD，BC于点H，E，且AH=2CH.（1）求sinB的值；（2）如果CD=5，求BE的值.第22题图23.（10分）如图，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90 m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1 m，矩形面与地面所成的角α为78°，李师傅的身高为1.75 m.当他攀升到头顶距天花板0.05∼0.20 m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否方便？（参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）第23题图24. （12分）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α），tanα=-tan（180°-α）.（1）求sin150°，cos135°，tan120°的值；（2）若△ABC三个内角的比为1:1:4，sinA，cosB是一元二次方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小.第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷 参考答案答案详解三、17.4.18. （1）∠B ＝45°，b ＝10，c ＝10.（2）∠A ＝60°，∠B ＝30°，b=2.19. 解：因为△ABC 是等腰直角三角形，所以∠B=45°.所以AB=sin ACB=62因为DE ⊥AB ，所以△DEB 是等腰直角三角形.所以DE=BE. 因为tan ∠DAE=15DE AE =，所以AE=5DE. 因为AB=AE+BE=6DE=622，AE=2在Rt △ADE 中，由勾股定理，得22AE DE +213. 20. 解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F. 根据题意，得AC=30×2=60. 在Rt △CAE 中，因为∠CAE=45°，所以AE=CE=AC·cos ∠CAE=302在Rt △DBF 中，因为DF=CE=302∠DBF=60°，所以BF=106tan DBFDF=∠因为BE=AE-AB=30233≈9.3，所以EF=BF-BE=69.3≈15.2. 所以CD=EF=15.2≈15（海里）.答：此时两船之间的距离约为15海里.21. 解：（1）在Rt △FDG 中，因为∠FGD=60°，GD=4，所以FD=GD·tan ∠FGD=3在Rt △EDG 中，因为∠EGD=45°，GD=4，所以ED=GD·tan ∠EGD=4. 所以EF=FD-ED=43所以S 矩形ABEF =AF·EF=5×（3）=（203）平方米. 答：灯牌的面积为（203-20）平方米. （2）在Rt △FDG 中，FG=8cos GDFGD=∠.答案速览一、1. D 2. B 3. D 4. A 5. A 6. C 7. A 8. B 9. B 10. B 二、11. 60° 12.3513. 6 14. 863+ 15.（1+3） 16. (1134)- 三、解答题见“答案详解”在Rt △EDG 中， EG=cos GDEGD=∠所以2（FG+EG ）=2×（8+=（16+.答：钢丝绳的总用料为（16+.22. 解：（1）因为CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，所以CD=12AB=BD.所以∠BCD=∠B. 因为AE ⊥CD ，∠ACB=90°，所以∠CAH+∠ACH=90°，∠BCD+∠ACH=90°.所以∠BCD=∠CAH.所以∠B=∠CAH.在Rt △ACH 中，AH=2CH ，由勾股定理，得CH.所以sin ∠CAH=CH AC =.所以（2）因为CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，所以AB=2CD=因为sinB=AC AB =AC=2.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得因为sin ∠CAH=CE AE =，所以CE.在Rt △ACE 中，由勾股定理，得CE 2+AC 2=AE 2，即CE 2+22=CE ）2.解得CE=1. 所以BE=BC-CE=3.23. 解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F. 因为AB=AC ，所以BE=EC=12BC=12. 在Rt △AEC 中，因为α=78°，所以AE=EC·tanα=12×tan78°≈2.35. 因为李师傅站立在梯子的第三级踏板上，所以37DC AC =.因为sinα=AE DF AC DC =，所以DF=37AE DC AE AC ⋅=≈1.007.所以李师傅头顶距离地面的高度约为1.007+1.75=2.757（m ），头顶距离天花板的高度约为2.90-2.757=0.143（m ）.因为0.05＜0.143＜0.20，所以他方便安装.第23题图24. 解：（1）根据题意，得sin150°=sin（180°-150°）=sin30°=12；cos135°=-cos（180°-135°）=-cos45°=-22；tan120°=-tan（180°-120°）=-tan60°3.（2）因为△ABC三个内角的比是1:1:4，所以三个内角分别为30°，30°，120°.①当∠A=30°，∠B=120°时，sinA=12，cosB=-12，即一元二次方程的两个根为12，-12.将x=12代入方程，得4×212⎛⎫⎪⎝⎭-12m-1=0.解得m=0.经检验，x=-12是方程4x2-1=0的根.所以m=0符合题意.②当∠A=120°，∠B=30°时，33因为sinA，cosB是一元二次方程的两个不相等的实数根，所以这种情况不符合题意.③当∠A=30°，∠B=30°时，sinA=12，cosB=32，即一元二次方程的两个根为12，32.将x=12代入方程，得4×212⎛⎫⎪⎝⎭-12m-1=0.解得m=0.经检验，3是方程4x2-1=0的根.所以这种情况不符合题意.综上，m=0，∠A=30°，∠B=120°.。

第1章 直角三角形的边角关系章末拔尖卷【北师大版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023秋·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sin A =cos B =12，则△ABC 是（ ）.A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A =60°，∠B =60°，然后利用三角形内角和定理求出∠C 的度数，即可解答．【详解】解：∵sin A cos B =12，∴∠A =60°，∠B =60°，∴∠C =180°−∠A−∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．2．（3分）（2023秋·全国·九年级期末）直角三角形纸片ABC ，两直角边BC =4，AC =8，现将△ABC 纸片按如图那样折叠，使A 与电B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）A ．12B ．34C ．1D ．43【答案】B 【分析】根据折叠的性质得出BE =AE ，设CE =x ，则BE =AE =8−x ，在Rt △BCE 中，根据勾股定理得出BC 2+CE 2=BE 2，列出方程求出x 的值，最后根据正切的定义，即可解答．【详解】解：∵△ADE 沿DE 折叠得到△BDE ，∴BE =AE ，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得：BC2+CE2=BE2，即42+x2=(8−x)2，解得：x=3，∴tan∠CBE=CEBC =34，故选：B．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的定义，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．3．（3分）（2023春·山东青岛·九年级华东师范大学青岛实验中学校联考开学考试）如图，△ABC的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（ ）A B C．12D【答案】B【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据勾股定理得出AB,AC的值，再利用面积公式求出BD的值，由sin∠BAC=BDBA可得角的正弦值．【详解】解：如图，过B作BD⊥AC于点D根据勾股定理得：AB=5，AC==∴S ΔABC =12AC ⋅BD =4×6−12×3×1−12×3×4−12×6×3=152, ∴BD∴sin ∠CAB =BD AB =故选：B ．【点睛】本题考查了正弦值，勾股定理与网格,三角形的面积等知识点，解题的关键在于构造直角三角形．4．（3分）（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别在BC 、AC 上，AD 、BE 交于F ，若BD =CD =CE ，AF =DF ，则tan ∠ABC 的值为( )A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C 【分析】如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，证明△AGF≌△DBF (AAS)，则AG =BD =12BC ，证明△AEG ∽△CEB ，则AE CE =AG BC =12，解得AE =12CE ，AC =32CE ，根据tan ∠ABC =AC BC ，计算求解即可．【详解】解：如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ， ∴∠G =∠DBF ，在△AGF 和△DBF 中，∵∠G =∠DBF ∠AFG =∠DFB AF =DF，∴△AGF≌△DBF (AAS)，∴AG =BD =12BC ，∵∠G =∠CBE ，∠AEG =∠CEB，∴△AEG ∽△CEB ，∴AE CE =AG BC =12，解得AE =12CE ，∴AC =32CE ，∴tan ∠ABC =AC BC =32CE 2CE =34，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．5．（3分）（2023秋·广东佛山·九年级校考期末）一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为(0,1)，直角顶点C 的坐标为(−3,0)，∠B =30°，则点B 的坐标为（ ）A ．B ．(−3C ．(−3+D ．【答案】D【分析】过点B 作BE ⊥OC 于点E ，根据ΔABC 为直角三角形可证明ΔBCE ∽ΔCAO ，求出AC BC ，再由比例线段可求出BE ，CE 长，则答案可求出．【详解】解：过点B 作BE ⊥OC 于点E ，∵△ABC 为直角三角形，∴∠BCE +∠ACO =90°，∴ΔBCE ∽ΔCAO ，∴ BE OC =BC AC =EC OA ，在Rt△ACO中，AC=在Rt△ABC中，∠CBA=30°，∴tan∠CBA=CABC，∴BC=CAtan∠CBA∴BE3=EC1，解得BE=EC∴EO=EC+CO，∴点B的坐标为．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数以及坐标与图形的性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，证明三角形的相似，进而求解．6．（3分）（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6，若点P在直线AC上（不与点A、C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为（）A．6或B．6或C．D．6或【答案】D【分析】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP=30°，利用特殊角的三角函数进行求解．【详解】如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°−30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，=∴PC=PB=3如图4：当∠ABC =60°时，∠C =30°，∵∠ABP =30°，∴∠PBC =60°+30°=90°，∴PC =BCcos30°故选：D【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值求线段的长，解题的关键是确定点P 在直线AC 上的不同位置．7．（3分）（2023秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，延长等腰RtΔABC 斜边AB 到D ，使BD =2AB ，连接CD ，则tan ∠BCD 的值为（ ）A ．23B ．1C ．13D ．12【答案】A【分析】过点D 作DE 垂直于CB 的延长线于点E ，设AC =BC =a ，根据勾股定理得AB =，由等腰直角三角形的性质得∠ABC =∠BAC =45°，从而得BD =2AB =，在Rt △BDE 中，解直角三角形得DE =2a ，BE =2a ，进而求得CE =BC +BE =3a 即可求得tan ∠BCD ．【详解】解：过点D 作DE 垂直于CB 的延长线于点E ，如下图，设AC =BC =a ，∵AC ⊥BC ，AC =BC =a ，∴AB =，∠ABC +∠BAC =90°，∠ABC =∠BAC ，∴∠ABC =∠BAC =45°，BD =2AB =，∴∠DBE =∠ABC =45°，∵DE ⊥CE ，∴DE =BD·sin ∠DBE =sin45°=2a ，BE =BD·cos ∠DBE =cos45°=2a ，∴CE =BC +BE =3a ，∴tan ∠BCD =DE CE =2a 3a =23，故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键．8．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）如图，在△ABC 中，∠ACB =90∘，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作正方形，连结CD ，若sin ∠BCD =35，则tan ∠CDB 的值为（ ）A ．23B ．34C ．710D ．913【答案】D【分析】过点B 作BE ⊥CD 于点E ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，可得△ABC ，△BED ，△BEC ，△BCF 都是直角三角形，根据sin ∠BCE ＝BE BC =35，设BE ＝3a ，BC ＝5 a ，得CE 4 a ，过点C 作DB 延长线于点G ，得矩形CFBG ，设AC ＝x ，AB ＝y ＝133，进而利用锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∴△ABC ，△BED ，△BEC ，△BCF 都是直角三角形，∵sin ∠BCD ＝35，∴sin ∠BCE ＝BE BC =35，设BE ＝3a ，BC ＝5a ，∴CE 4a ，过点C 作DB 延长线于点G ，得矩形CFBG ，∴BF ＝CG ，设AC ＝x ，AB ＝y ，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB 2﹣AC 2＝BC 2，∴y 2﹣x 2＝25a 2，∵S △ABC ＝12×AB •CF ＝12×AC •BC ，∴y •CF ＝5ax ，∴CF ＝5ax y ，在Rt △BCF 中，根据勾股定理，得BF ＝25y a ，∴BF ＝CG ＝25y a ，在正方形ABDH 中，AB ＝BD ＝y ，在Rt △BDE 中，根据勾股定理，得DE∴CD ＝CE +ED ＝4a ∵S △CBD ＝12×CD •BE ＝12×BD •CG ，∴CD •BE ＝BD •CG ，∴(4a ＝y ×25y a ，＝133a ，∴tan ∠CDB ＝tan ∠EDB ＝BE DE ＝＝913．故选：D ．【点睛】本题属于几何综合题，是选择题压轴题，考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形，解决本题的关键是设参数利用勾股定理列方程．9．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中∠AOB =90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ =则该“风车”的面积为（ ）A B ．C ．D ．【答案】B【分析】连接AC ,由题意可得Rt △AOB ≌Rt △DCO ≌Rt △EOF ≌Rt △GOH ，进而说明△OAC 为等腰直角三角形，再说明分CD 、GI 垂直平分AB ，进而说明∠OBH =∠OHB =45°，然后再运用解直角三角形求得AI ，然后再求得三角形AOB 的面积，最后求风车面积即可．【详解】解：如图：连接AC由题意可得：Rt △AOB ≌Rt △DCO ≌Rt △EOF ≌Rt △GOH∴OA =OC , ∠OAB = ∠OCD∵∠AOC =∠AOB =90°∴△OAC 为等腰直角三角形又∵∠OAB = ∠OCD ：∴∠AJD =180°-∠ADJ -∠OAB=180°-∠ODC -∠OCD =90°，即AJ ⊥CD又∵CJ =DJ∴AJ 垂直平分CD同理：GI 垂直平分AB∴AC =AD ,AJ 是等腰三角形顶角∠CAD 的角平分线即∠DAJ =12∠CAD =12×45°=22.5°易得IH =BJ ,IJ =IB +BJ =IB +IH又∵IB =IA∴IJ =IB +BJ =IH +IA 在Rt △ABO 中，∠ABH =∠BAH =22.5°∴∠OBH =OHB =45°设OB =OH =a ，即AH =BH∴tan ∠A =BOAO =∴IH IA =tan ∠A设IH =）x ，AI =x∴IH +IA x =1∴S △ABH =12×AB ×IH =又∵S ΔBOHS ΔABH =OH AH∴S △BOH =∴S △AOB =S △ABH +S △BOH +=∴S 风车=4S △AOB =4故选B ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识以及数形结合思想成为解答本题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10．（3分）（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D ，E 分别在AC ，BC边上，且AD =3，BE =4，连接AE ，BD ，交于点F ，BD =10，cos ∠AFD AE 的长为 ．【答案】【分析】过点A 作AG∥BE ，BG∥AE 交于点G ，连接DG ，勾股定理求得DG ，过点D 作DH ⊥BG ，证明G,H 重合，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作AG∥BE ，BG∥AE 交于点G ，连接DG ，则四边形AGBE是平行四边形，∴AG=BE=4，∵∠C=90°，则BC⊥AC∴AG⊥AC∴△ADG是直角三角形，∴DG=5∵cos∠AFD=∴∠AFD=30°∵AE∥BG∴∠DBG=30°∵DG=5,DB=10过点D作DH⊥BG，∵sin∠DBG=12DB=5,∴DH=12∴G,H重合，∴AE=BG=BH=故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．11．（3分）（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，tan∠ABC=4，AE⊥BC于点E，3AE的延长线与DC的延长线交于点F，则S△ECF:S四边形ADCE=．（S表示面积）【答案】4:21【分析】设AE =4k ，则BE =3k ，根据勾股定理求出AB =5k ，然后证明△CEF ∽△DAF ，最后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解∶ ∵tan ∠ABC =43，AE ⊥BC ，∴tan ∠ABC =43=AE BE ，设AE =4k ，则BE =3k ，∴AB ==5k ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CB∥AD ，AD =BC =AB =5k ，∴CE =BC−BE =2k ，∵CB∥AD ，∴△CEF ∽△DAF ，∴S △CEF S △DAF ===425，∴S △CEF S 四边形ADCE =S △CEFS △DAF −S △CEF =425−4=421．故答案为：4:21．【点睛】本题考查了正切、相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．12．（3分）（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD 中，AB =3,AD =4，E 是对角线BD 上一动点（点E 不与点B ，D 重合），当△ABE 是等腰三角形时，DE = ．【答案】2或52或75【分析】分AB =AE,BE =BA,EA =EB 三种情况，分别画出图形，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，AB =3,AD =4，∴∠BAD =90°，∴BD =5，当AB =AE 时，过点A 作AF ⊥AD 于点F ，则AF ⊥BD ，∴cos ∠ABD =AB BD =BF AB ，∴BF =AB 2BD =95∴DE =BD−BE =BD−2BF =5−185=75，当BA =BE 时，DE =BD−BE =5−3=2，当EA =EB 时，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，∴EG∥AD ，AG =GB ，∴BE ED =BG AG =1，∴DE =12BD =52，综上所述DE = 2或52或75，故答案为：2或52或75．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，求一个角的余弦，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．13．（3分）（2023春·全国·九年级期末）如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD ，DC 延长线的垂线，垂足分别为点E ，F ．若∠ABC =120°，AB =6，则PE−PF 的值为 ．【答案】【分析】如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP 为∠BCD ，∠FCM 的平分线，则PF =PM ，PE−PF =PE−PM =EM ，由题意知，EM 为△ABD 底边AD 上的高，由菱形ABCD ，∠ABC =120°，AB =6，可得∠BAD =60°，根据EM =AB ⋅sin ∠BAD ，计算求解，进而可得结果．【详解】解：如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP为∠BCD，∠FCM的平分线，∵PF⊥CF，PM⊥CM，∴PF=PM，∴PE−PF=PE−PM=EM，由题意知，EM为△ABD底边AD上的高，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，AB=6，∴∠BAD=60°，∴EM=AB⋅sin∠BAD=∴PE−PF=故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，角平分线的性质，正弦．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．14．（3分）（2023·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，M，N 分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交4D于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP=GP，②tan∠CGF=1；③BC垂直平分FG；④若AB=4，点E 在AD边上运动，则D，F．其中结论正确的序号有．【答案】①②③【分析】延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，由已知可得MN为AB，CD的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得①的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得∠BCG=45°，由四边形内角和定理通过计算可得∠EHF=90°；利用平行线的性质可得BC⊥FG，则∠CGF=45°，可说明②的结论正确；通过证明点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得∠FAB=45°，得到A，F，C三点共线，得到△CGF为等腰直角三角形，则③的结论正确；由题意点F在对角线AC上运动，当EF⊥AC时，EF的值最小，连接AC，解直角三角形的知识可得④的结论不正确．【详解】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN是线段BA，CD的垂直平分线．∴PD=PC，PA=PB．∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转90°得到，∴△FPG≌△PED，∴PD=PG．∴PC=PG．∴①的结论正确；∵PD=PC，(180°−∠DPC)．∴∠PDC=∠PCD=12∵PC=PG，(180°−∠CPG)．∴∠PCG=∠PGC=12[360°−(∠DPC+∠CPG)]．∴∠PCD+∠PCG=12∵∠DPC+∠CPG=90°，∴∠PCD+∠PCG=135°．∵∠BCD=90°，∴∠BCG=45°．∵△FPG≌△PED，∴∠DEP=∠GFP．∵∠HFP +∠PFG =180°，∴∠DEP +∠HFP =180°．∵∠DEP +∠HFP +∠EHF +∠EPF =360°，∴∠EHF +∠EPF =180°．∴∠EPF =90°，∴∠EHF =90°．即GH ⊥AD ．∵AD//BC ，∴GF ⊥BC ．∴∠CGF =45°．∴tan ∠CGF =1．∴②的结论正确；∵PA =PB ，PM ⊥AB ，∴∠APM =∠BPM ，∵PM//AE ，∴∠PEA =∠BPM ，∠PAE =APM ．∴∠PEA =∠PAE ．∴PA =PE ．∵PE =PF ，∴PA =PB =PE =PF ．∴点A ，B ，E ，F 在以点P 为圆心，PA 为半径的同一个圆上．∴∠FAB =12∠FPB =12×90°=45°．∴点F 在对角线AC 上，∴∠FCB =45°．∵∠BCG =∠CGF =45°，∴△FCG 为等腰直角三角形．∵BC 平分∠FCG ，∴BC 垂直平分FG ．∴③的结论正确；由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，∴当EF⊥AC时，EF的值最小．此时点E与点D重合，∴DF=AD⋅sin45°=4=∴④的结论不正确．综上，结论正确的序号有：①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称，线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系，圆周角定理，垂线段的性质，四点共圆的判定与性质，图形旋转的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．15．（3分）（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y=+2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…在x轴上，则线段B2022B2023的长度是．【答案】2【分析】设直线y+2与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA=2,OC=∠CB1A1=90°，∠CB1A=30°，然后求出CB1=2OB1=22×CB2=2CB1=23CB3=2CB2==24…，进而可得CB2022=22023×CB2023=22024B2022B2023即可．【详解】解：如图所示，设直线y+2与x轴交于点C，当x=0时，y=2；当y=0时，x=∴A(0,2)，C(，∴OA=2，OC=∴tan∠ACO=OAOC∴∠ACO=30°，∵△AB1A1是等边三角形，∴∠AA1B1=∠AB1A1=60°，∴∠CB1A1=90°，∠CB1A=30°，∴AC=AB1，∵AO⊥CB1，∴OB1=OC=∴CB1=2OB1=22同理，CB2=2CB1=23×CB3=2CB2=24×……，∴CB2022=22023CB2023=22024∴B2022B2023=2202422023×2故答案为：2【点睛】本题主要考查一次函数图象与几何的变换规律的综合，解直角三角形，理解等边三角形的性质，一次函数图像的性质和特点，找到点的变换规律是解题的关键．16．（3分）（2023秋·四川成都·九年级成都七中校考期末）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH=CF，AE=CG，∠EHF=60°，∠GHF=45°，若AH=2，AD=5+EFGH的周长为．【答案】8+【分析】先构造15°的直角三角形，求得15°的余弦和正切值；作EK⊥FH，可求得EH:EF=∠ARH=∠BFT=15°，分别交直线AB于R和T，构造“一线三等角”，先求得FT的长，进而根据相似三角形求得ER，进而求得AE，于是得出∠AEH=30°，进一步求得结果．【详解】解：如图1，Rt△PMN中，∠P=15°，NQ=PQ，∠MQN=30°，设MN=1，则PQ=NQ=2，MQPN=∴cos15°tan15°=如图2，作EK⊥FH于K，作∠AHR=∠BFT=15°，分别交直线AB于R和T，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C，在△AEH与△CGF中，AE=CG∠A=∠CAH=CF，∴△AEH≌△CGF(SAS)，∴EH=GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形，设HK=a，则EH=2a，EK，∴EF==，∵∠EAH=∠EBF=90°，∴∠R=∠T=75°，∴∠R=∠T=∠HEF=75°，可得：FT=BFcos15°=AR=AH⋅tan15°=△FTE∽△ERH，∴FTER =EFEH，∴=∴ER=4，∴AE=ER−AR=∴tan∠AEH∴∠AEH=30°，∴HG=2AH=4，∵∠BEF=180°−∠AEH−∠HEF=75°，∴∠BEF=∠T，∴EF=FT=∴EH+EF=4+2(2+，∴2(EH+EF)=4(2+，∴四边形EFGH的周长为：8+故答案为：8+【点睛】本题考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，构造15°特殊角的图形及其求15°的函数值，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”及构造15°直角三角形求其三角函数值．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023秋·山东东营·九年级校联考期中）计算：(1)2sin60°−tan45°2−tan30°⋅tan60°−2cos30°+6sin245°．(2)(π−1)0+4sin|−3|．【答案】(1)2(2)4【分析】（1）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算即可；（2）先计算零指数幂，特殊角三角函数值，化简二次根式，绝对值，再根据实数的混合运算法则求解即可．【详解】（1）原式=×+6×=2−16×12+3=2．（2）原式=1+4+3=1+3=4．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值计算和二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．18．（6分）（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD=6，BC=12，tan∠ACD=32．求：(1)CD的长；(2)sin∠ABC的值．【答案】(1)CD=4(2)35【分析】（1）根据正切的定义得到tan∠ACD=ADCD =32，由此即可得到答案；（2）根据（1）所求求出BD=8，进而求出AB=10，再根据正弦的定义求出sin∠ABD即可得到答案．【详解】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD=ADCD =32，AD=6，∴CD=4；（2）解：由（2）得CD =4，∴BD =BC−CD =8，∴AB==10，在Rt △ABD 中，sin ∠ABD =AD AB =35，即sin ∠ABC =35．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知正弦和正切的定义是解题的关键．19．（8分）（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，已知点A （7，8）、C （0，6），AB ⊥x 轴，垂足为点B ，点D 在线段OB 上，DE ∥AC ，交AB 于点E ，EF ∥CD ，交AC 于点F ．（1）求经过A 、C 两点的直线的表达式；（2）设OD ＝t ，BE ＝s ，求s 与t 的函数关系式；（3）是否存在点D ，使四边形CDEF 为矩形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝27x +6；（2）s ＝2﹣27t （0＜t ＜7）；（3）点D 的坐标为（127，0）．【分析】（1）将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式y ＝kx +b ，即可求解；（2）根据题意可得点D （t ，0），点E （7，s ），根据一次函数的图象及性质，可得直线DE 的表达式为：y ＝27x ﹣27t ，将点E 的坐标代入即可求解；（3）设点D （t ，0），证明∠OCD ＝∠BDE ，则tan ∠OCD ＝tan ∠BDE ，列出比例式即可求解．【详解】解：（1）设直线AC 的表达式为y ＝kx +b将点A 、C 的坐标代入，得得：7k +b =8b =6 ，解得：k =27b =6，故直线AC 的表达式为：y ＝27x +6；（2）∵OD ＝t ，BE ＝s ，AB ⊥x轴∴则点D （t ，0），点E （7，s ）∵DE ∥AC可设直线DE 的解析式为y ＝27x +c将点D 的坐标代入0＝27t +c解得：c=﹣27t∴直线的表达式为：y ＝27x ﹣27t ，将点E 的坐标代入，得s ＝2﹣27t （根据点D 在线段OB 上，可得0＜t ＜7）；（3）存在，理由：设点D （t ，0），由（2）BE ＝2﹣27t ，四边形CDEF 为矩形，则∠CDE ＝90°，∵∠EDB +∠CDO ＝90°，∠CDO +∠OCD ＝90°，∴∠OCD ＝∠BDE ，∴tan ∠OCD ＝tan ∠BDE ，∴OD OC ＝BE BD即t 6＝2−27t 7−t ，解得：t ＝127或7（因为0＜t ＜7，故舍去7），故点D 的坐标为（127，0）．【点睛】此题考查的是一次函数与矩形的综合题型，掌握用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图象及性质、矩形的性质和等角的锐角三角函数也相等是解决此题的关键．20．（8分）（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）（1）在如图1的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C ，D 均为格点（小正方形的顶点)． 求证：∠ABC =∠D ．（2）在如图2所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 均为格点，请你仅用无刻度的直尺在线段AC 上求作一点P ， 使得∠PBA =∠C ，并简要说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）取格点E ，F ，连接BF,AF ，AE,CE ，根据网格的特点和勾股定理得到tan ∠D =BF DF =13，tan ∠ABC =CE BE =13，证明出tan ∠D =tan ∠ABC ，即可得到∠ABC =∠D ；（2）取格点D ，E ，根据网格的特点和勾股定理得到tan ∠ACE =tan ∠ABD ，进而证明出∠ACE =∠ABD ．【详解】（1）如图所示，取格点E ，F ，连接BF,AF ，AE,CE ，∵BF =DF =∴tan ∠D =BF DF 13，∵CE =1，BE =3，∴tan∠ABC=CEBE =13，∴tan∠D=tan∠ABC，∴∠ABC=∠D；（2）解：如图，取格点D，E，同理（1）可得，在Rt△AEC中，tan∠ACE=12，在Rt△ABD中，tan∠ABD=12，∴tan∠ACE=tan∠ABD，∴∠ACE=∠ABD，直线BD与AC的交点为所求的点P．【点睛】此题考查了解直角三角形，网格和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．21．（8分）（2023春·海南·九年级校联考期中）如图，小明为测量宣传牌AB的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上．）然后，小明沿坡度为i=1:2.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE 平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°．(1)填空：∠DAF=__________度，∠BDC=__________度；(2)求F距离地面CE的高度（结果保留根号）；(3)求宣传牌AB的高度（结果保留根号）．【答案】(1)45，120(2)F距离地面CE的高度为(3)宣传牌AB的高度约为(6+米【分析】（1）由题意，得AD⊥DF，FD∥CE，则∠ADF=90°，∠CDF=∠ECD=30°，即可由∠DAF=90°−∠AFD，∠BDC=∠ADF+∠CDF求解；（2）过点F作FG⊥EC于G，先证明四边形DEGF是矩形，得FG=DE，解Rt△CDE，求出DE的长，即可求解．（3）解Rt△CFG，求得CG=2.5FG=×2.5=Rt△AFD是等腰直角三角形，即可求解．【详解】（1）解：由题意，得AD⊥DF，∴∠ADF=90°∴∠DAF=90°−∠AFD=90°−45°=45°，由题意，得FD∥CE，∴∠CDF=∠ECD=30°∴∠BDC=∠ADF+∠CDF=90°+30°=120°．（2）解：如图，过点F作FG⊥EC于G，由题意得，FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°，∴四边形DEGF是矩形．∴FG=DE．在Rt△CDE中，DE=CE⋅tan∠DCE=6×tan30°=∴FG=答：F距离地面CE的高度为（3）解：∵斜坡CF的坡度为i=1:2.5，∴Rt △CFG 中，CG =2.5FG = 2.5=∴FD =EG =+6)（米）．∴在Rt △AFD 中，∠AFD =45°，∴AD =FD =+6)米．在Rt △BCE 中，BE =CE ⋅tan ∠BCE =6×tan60°=∴AB =AD +DE−BE =+(6+（米）．答：宣传牌AB 的高度约为(6米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角及坡度坡角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．22．（8分）（2023秋·广东深圳·九年级深圳市南山区荔香学校校考期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad ），如图①，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A =底边腰=BC AB ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad90°=________．(2)对于0°<A <180°，∠A 的正对值sad A 的取值范围是________．(3)如图②，已知sin A =35，其中∠A 为锐角，试求sad A 的值．【答案】(2)0<sad A <2【分析】（1）如图，∠BAC =90°,AB =AC ,cos45°=AB BC =sad90°=BC AB （2）如图，当点A 向BC 靠近时，∠A 增大，逐渐接近180°，腰长AB 接近12BC ， 相应的sad A =BC AB <2；当点A 远离BC 时，∠A 减小，逐渐接近0°，腰长AB 逐渐增大，相应的sad A =BC AB >0；于是0<sad A <2．（3）如图，在AB 上截取AH =AC ，过H 作HD ⊥AC 于D ，设HD =3x,AH =AC =5x ，则AD =4x ,DC =AC−AD =x ．解Rt △HDC ，HC ，sad A =CH AH =【详解】（1）解：如图，∠BAC =90°,AB =AC ,sad90°=BC AB ,∵cos45°=AB BC =∴sad90°=BC AB =（2）解：如图，点A 在BC 的中垂线上，当点A 向BC 靠近时，∠A 增大，逐渐接近180°，腰长AB 接近12BC ，AB >12BC 相应的sad A =BC AB <2；当点A 远离BC 时，∠A 减小，逐渐接近0°，腰长AB 逐渐增大，相应的sad A =BC AB 逐渐接近0，sad A =BC AB >0；∴0<sad A <2（3）解：如图，在AB 上截取AH =AC ，过H 作HD ⊥AC 于D ，sin A =35=DH AH ，设HD =3x,AH =AC =5x ，则，AD ==4x ,∴DC =AC−AD =5x−4x =x ．Rt △HDC 中，HC =，∴sad A =CH AH【点睛】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．23．（8分）（2023秋·湖南永州·九年级期末）已知：△ABC 中，AB =AC ，D 为直线BC 上一点．(1)如图1，BH ⊥AD 于点H ，若AD =BD ，求证：BC =2AH ．(2)如图2，∠BAC =120°，点D 在CB 延长线上，点E 在BC 上且∠DAE =120°，若AB =6，DB =CE 的值．(3)如图3，D 在CB 延长线上，E 为AB 上一点，且满足：∠BAD =∠BCE ，AE BE =23，若tan ∠ABC =34，BD =5，求BC 的长．【答案】(1)见解析(3)12815【分析】（1）先判断出∠ABD =∠BAD ，进而得出△ABN≌△BAH ，即可得出BN =AH ，代换即可得出结论；（2）设出EF =a ，先利用勾股定理求出FC ，证明△ABD ∽△AFE ，得出比例式求出CF 即可建立方程，求出a ，利用勾股定理即可求出CE ；（3）如图3，作辅助线，构建相似三角形，设AE =2m ，BE =3m ，则AB =AC =5m ，证明△ABD ∽△GCA ，列比例式结合平行线分线段成比例定理可得结论．【详解】（1）解：证明：如图1，过点A 作AN ⊥BC 于N ，∵AB =AC ，∴BN =12BC ，∵AD =BD ，∴∠ABD =∠BAD ，在△ABN 和△BAH 中，∠ANB =∠BHA =90°∠ABD =∠DAB AB =BA，∴△ABN≌△BAH(AAS)，∴BN =AH ，∴ 12BC =AH ，∴BC =2AH ；（2）如图2，在AC 上取一点F ，使EF =EC ，连接EF ，∵∠BAC =∠DAE =120°，∴∠DAB =∠EAC ，∵AB =AC ，∴∠ABE =∠C =∠CFE =30°，∴∠ABD =∠AFE =150°，∴△ABD ∽△AFE，∴ AB AF =BD EF ，即6AF =∴ AF EF =设EF =a ，则AF =，∵EF =CE =a ，∠C =30°，∴CF =2EF·cos30°=，∴，∴a =∴CE =EF =（3）如图3，过点A 作AP ⊥BC 于P ，作AG∥CE 交BC 的延长线于G ，设AE =2m ，BE =3m ，则AB =AC =5m ，∵tan ∠ABC =34=AP BP ，∴ BP AB =45，∴BP =CP =4m ，BC =8m ，∵∠BAD =∠BCE =∠G ，∠ABD =∠GCA ，∴△ABD ∽△GCA ，∴ CG AB =AC BD ，即CG 5m =5m 5，∴CG =5m 2，∵AG∥CE ，∴ BE AE =BC CG ，∴ 3m 2m =8m 5m 2，∴m =1615，∴BC =8m =12815．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解本题的难点是作出辅助线构造全等三角形和相似三角形，是一道很好的中考常考题．。

北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ．正确的结论为（）A.①②B.②③C.①③D.①②③2、如果∠A为锐角，sinA=，那么（）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜45°C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°3、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4 米B.6 米C.12 米D.24米4、如图，在▱ABCD中，，，分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O恰好落在DE上现将沿AB方向滚动到与边BC相切点O在的内部，则圆心O移动的路径长为A.4B.6C.D.5、如图，在△ABC中，∠C=90o， AC=3，BC=4，则sinB的值是（）A. B. C. D.6、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.英国佩里加（H.Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理.该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）.若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（）A. B.18 C.16 D.7、如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标＝（x＞0）的图象上，顶点B在原点，斜边AB垂直x轴，顶点A在函数y1＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝30°，则＝（）函数y2A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣8、如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A. B. C.1600sinα(m 2) D.1600cosα(m 2)9、如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（）A. B. C. D.10、如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A. B. C. D.111、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A. B. C. D.12、sin45°=（）A. B. C.1 D.13、如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A.100 mB.50 mC.50 mD. m14、如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A. B. C. D.15、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米.若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A. 米B. 米C. 米D. 米二、填空题(共10题，共计30分)16、在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则▱ABCD的面积是________．17、如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为________米．18、在Rt△ABC中，,BC=2,，则AB=________19、已知⊙O半径为，AB是⊙O的一条弦，且AB=3，则弦AB所对的圆周角度数是________.20、小明在学习“锐角三角函数”中发现，用折纸的方法可求出tan22.5°，方法如下：将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC 上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以知道tan22.5°=________21、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝________.22、在Rt△ABC中，∠C=90°，2a=c，则∠A=________23、如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA=________24、将矩形纸片ABCD按如图M2-5方式折叠，M，N分别为AB，CD的中点。