2020-2021学年数学高中北师大版选修2-2课件：2.4 导数的四则运算法则

(A)(x+ 1 )′=1+ 1 x2 x (C)(3x)′=3x·logae 【解析】选B.A中（x+
）
(B)(log 2x)′=
1 xln2
(D)(x2·cosx)′=-2xsinx
1 1 ）′=1- 2 , C中(3x)′=3x·ln3, x x
D中（x2·cosx）′=2x·cosx-x2sinx.
思路点拨：（1）利用切线斜率k=f′(2)和点（2，f(2))在直 线7x-4y-12=0上确定f(x)解析式. (2)设出切点坐标，求切线斜率及方程，然后表示三角形面积，
并证明面积为定值.
知能巩固提高
【解析】
2.(2010·新课标全国高考）曲线y= 的切线方程为（ (A)y=2x+1 (C)y=-2x-3 ）
1.（5分）已知函数f(x)=(x+2a)(x-a)2,则f′(x)=（ (A)2(x2-a2) (C)3(x2-a2) (B)3(x2+a2) (D)2(x2+a2)
）
【解析】选C.f(x)=(x+2a)(x-a)2=(x+2a)(x2-2ax+a2) =x3-3a2x+2a3,∴f′(x)=3x2-3a2=3(x2-a2).
7.（2010·陕西高考改编）已知函数f(x)= x, g(x)=alnx, a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的 切线，求a的值及该切线的方程. 【解题提示】曲线y=f(x)与y=g(x)在交点处有相同的切线 交点坐标 a的值及该切线的方程.
【解析】
x 在点（-1，-1）处 x+2
(B)y=2x-1 (D)y=-2x-2
2 , 所以，在点（-1，-1）处的 2 (x+2) 2 切线斜率k=y′｜x=-1= , =2,所以，切线方程为 2 (-1+2)

(e +1)'(e -1)-(e +1)(e -1)'
(4)y'=
2
(e -1)
e (e -1)-(e +1)e
-2e
=
2
(e -1)
=
2
(e -1)
.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟应用导数的运算法则求函数导数的技巧
(1)解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正
“×”.
(1)在导数的运算法则中,f(x),g(x)不能是常数函数. ( × )
(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g'(x)在任何情况下都不成立. ( × )
(3)商的导数在一定情况下可以转化为乘积的导数. ( √ )
(4)[c·f(x)]'=c·f'(x). ( √ )
探究一
探究二
思维辨析
为
.
解析:因为y'=ex+xex+2,所以曲线在点(0,1)处切线的斜率
k=e0+0+2=3,所以所求切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.
答案:y=3x+1
探究一
探究二
思维辨析
因运算法则应用不恰当而造成失误
【典例】 求下列函数的导数.

2
2
2
(1)y=(x +1) ;(2)y=cos 2 .
易错分析:求导数一定要弄清楚函数的结构特征,分清是否能够
直接求导,若不能直接求导,则可先对函数解析式进行合理的恒等
变换,转化为易于求导的结构形式,再求导.如本例题(1)先展开,后求
导,例题(2)进行三角恒等变换后求导.

x·cos
x＋xcos2x＋xsin2x cos2x
1 ＝2sin
2x＋cxocos2sx2x＋xsin2x＝sin2c2oxs＋2x2x.
(3)解法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x ＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11.
＝3 lim
Δx→0
f2－33ΔΔxx－f2＝3f′(2)＝72.
[正解] 因为f′(x)＝6x2，
所以 lim
Δx→0
f2－3Δx－f2 Δx
＝－3 lim
Δx→0
f2－f3Δ2x－3Δx＝－3f′(2)＝－72.
[点评] 未能把握导数定义中Δy与Δx的严格对应关系，实
际上f′(x)＝ lim
为能借助求导法则和公式求导的形式．
已知函数f(x)＝2x3＋5，
求 lim
Δx→0
f2－3ΔΔxx－f2的值．
[误解一] 因为f′(x)＝6x2，
所以 lim
Δx→0
f2－3ΔΔxx－f2＝f′(2)＝24.
[误解二]
因为f′(x)＝6x2，所以 lim
Δx→0
f2－3Δx－f2 Δx
梳理知识要点
导数的加、 两个函数的和(或差)的导数，等于
导数的 减法法则 这两个函数的导数的和(或差)
加、减法
表达式
[f(x)± g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
导数的 常数与函数 乘、除法 的积的导数
法则：常数与函数的积的导数， 等于常数与函数的导数的积 表达式：[cf(x)]′＝cf′(x)

得x＝0或2(x＝0舍去)，
所以切线方程为x＋y－4＝0.
方法归纳
关于函数导数的应用及其解决方法
应用
方法
求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉
及切线问题的综合应用．
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；
若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件
求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
＝0＋cf ′(x)＝cf ′(x)，即 [cf(x)]′＝cf ′(x)．
(2)由上述结论及法则1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af ′(x)＋bg ′(x)，其中a，b为常
数．
(3) 函 数 的 积 的 导 数 可 以 推 广 到 有 限 个 函 数 的 乘 积 的 导 数 ， 即
[u(x)v(x)×…×w(x)]′ ＝ u ′(x)v(x)×…×w(x) ＋ u(x)v ′(x)×…×w(x) ＋ … ＋
(g(x)≠0)
语言叙述
两个函数的和(差)的导数，等于这两
个函数的导数的和(差)．
两个函数的积的导数，等于第一个函
数的导数乘以第二个函数，加上第一
个函数乘以第二个函数的导数．
两个函数的商的导数，等于分子的导
数乘以分母，减去分子乘以分母的导
数，再除以分母的平方．
状元随笔 法则1：函数的和(差)的导数
u(x)v(x)×…×w ′(x).
法则3：函数的商的导数
f x
(1)注意[
g x
f ′(x)
]′≠
.
g ′(x)
f x
(2)(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，
g x
1

b x
(a，b为常数)过Байду номын сангаасP(2，－5)，
且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是_－__3__.
解析 y＝ax2＋bx的导数为 y′＝2ax－xb2，
直线 7x＋2y＋3＝0 的斜率为－72.
由题意得44aa－＋b2b4＝ ＝－ －725，，
解得ab＝ ＝－ －12， ，
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)成立吗？ 答案 不成立.因为[f(x)g(x)]′＝(x5)′＝5x4， 而f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x， 所以f′(x)g′(x)＝6x3， 所以[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x).
答案
思考2
[f(x)g(x)]′与f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)有什么关系？ 答案 [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x).
第二章 §4 导数的四则运算法则
4.2 导数的乘法与除法法则
学习目标
1.理解并掌握导数的乘法与除法法则. 2.掌握导数的运算法则. 3.能运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点 导数的乘法与除法法则
已知f(x)＝x3，g(x)＝x2.
思考1
2.积、商的求导法则 (1)若c为常数，则[c·f(x)]′＝c·f′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)， [gfxx]′＝f′xgxg－2xfxg′x； (3)当 f(x)＝1 时，有[g1x]′＝－gg′2xx.
本课结束
解答
类型二 导数运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式 例2 设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得 f′(x)＝xcos x，并求出f(x)的解析式.

2.函数f(x)=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于
A.1
B.2
C.3
【解析】选D.f(x)=(x+1)2(x-1)=x3+x2-x-1,
f′(x)=3x2+2x-1,f′(1)=3+2-1=4.
() D.4
3.函数f(x)=exsin x的图像在点(0,f (0))处的切线的倾斜角为
.
ex 1
【思路导引】根据导数的几何意义,利用导数的除法法则求导数,即得切线的斜 率,进而求其最小值和直线方程.
【解析】y′= ex = 1 ,
（ex 1）2
ex
1 ex
2
因为ex>0,所以ex+ 1 ≥2
ex
ex
1 ex
=2(当且仅当ex=
1 ex
,即x=0时取等号),
则ex+ 1 +2≥4,
ex
提示:(1)×.f′(x)=(x2)′·sin x+x2·(sin x)′=2x·sin x+x2·cos x.
(2)×.“
f g
=x x
导数,且g(x)≠0.
g（x）f（ x”）成f（立x） 的g条（ x件）是 f(x),g(x)都有
g（2 x）
(3)×.[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)若f(x)=x2·sin x,则f′(x)=(x2)′·(sin x)′=2x·sin x.( )
(2)“
f x
g
x
=
g（x）f（ x） f（x）g（ x） ”对任意的函数g(x)都成立.(

做一做 1
曲线 y=x3-2x 在(1,-1)处的切线方程为( ) A.x-y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-2=0 D.x+y+2=0 解析:由点(1,-1)在曲线 y=x3-2x 上,所以 x=1 时切线的斜率 k=1,则切线 方程为 x-y-2=0,故选 A. 答案:A
-3-
§4
1
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1
导数的四则运算法则
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X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
1.导数的加法与减法法则 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差),即 [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x),[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x).
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D 当堂检测
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2.导数的乘法与除法法则 一般地,若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f'(x)和 g'(x),则有 [f(x)· g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
=tan x+x
1 cos2 ������
=
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§4
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k=3×(-2)2+1=13.
即直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
方法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),
则k= y 0 0=
x0 0
x
3 0
xx,00又1因6 为k=f′(x0)=3
+1
x
2 0
所以
x
3 0
x0=316
x0
+1x.02解得x0=-2,
所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.即直线l的方程为y=13x,
提示:(1)×.f′(a)=4a. (2)×.运用法则求导时,需要考虑f′(x),g′(x)是否存在. (3)×.导数的加法与减法法则可以推广,即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′ =f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…±fn′(x).
2.函数f(x)=sin x+x的导数是 ( )
【解析】设切线的切点坐标为(x0,y0),y=ln x+x+1,
y′=
+1 1，
x
y |xx0+ 1x10=2,x0=1,y0=2，
所以切点坐标为(1,2)，
所求的切线方程为y－2=2(x－1)，即y=2x.
答案：y=2x
【变式探究】 在应用导数的加法法则和减法法则求曲线的切线时,一般首先求函数的导数,求 曲线的切线的斜率,应用的数学素养是数学运算. 直线l为曲线f(x)=x3+x-16的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.
切点坐标为(-2,-26).
【解题策略】 求切线方程时的关注点 (1)求过点P的曲线的切线方程时应注意,P点在曲线上还是在曲线外,两种情况的 解法是不同的. (2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系: ①切点坐标满足曲线方程; ②切点坐标满足对应切线的方程; ③切线的斜率是函数在此切点处的导数值.

������(������) ������(������)
'=������'(������)������(������������2)-(������������()������)������'(������).
【做一做1】 函数y=(x-a)(x-b)的导数是( )
A.y'=ab B.y'=-a(x-b)
=- ������sin������������+c2os������������=-cos���2���+������2������������sin������.
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
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3
4
5
.
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
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2
3
4
5
5曲线y=x3-2x2-4x+2在点(1,-3)处的切线方程
【做一做 2】 函数 f(x)=e������������的导数为 f'(x)=
.
解析:f'(x)=
e������ ������
'=������e������������2-e������ = e������(���������2���-1).
答案:e������(���������2���-1)

fx f′x 2．[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)， ′≠ . gx g′x
3．常数与函数乘积的导数，等于常数与函数的导数 之积．
[例 1]
求下列函数的导数：
(1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x2＋log3x； (3)y＝x2· x； sin ex＋1 (4)y＝ x . e －1
(2)y′＝lg 1 1 1 2 ′＝(lg x)′－ 2′＝ x－ 2 ＋ . x xln 10 x3 x
(3)∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11.
[思路点拨]
结合基本初等函数的导数公式及导数的四则
运算法则直接求导．
[精解详析] (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′
＝(x4)′－3(x2)′－5x′＋6′＝4x3－6x－5； (2)y′＝(x2＋log3x)′ 1 ＝(x )′＋(log3x)′＝2x＋ . xln 3
2
(3)y′＝(x2)′· x＋x2· x)′ sin (sin ＝2x· x＋x2· x； sin cos ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ (4)y′＝ ex－12 exex－1－ex＋1ex －2ex ＝ ＝ x . ex－12 e －12
问题2：能否用f(x)和g(x)的导数表示f(x)· g(x)的导数？ 如何表示？ 提示：能．因f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x，(f(x)g(x))′＝5x4， 有(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 问题3：对于其他函数还满足上述关系吗？ 提示：满足．