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2019--2020学年度上期八市重点高中联盟“领军考试”高二数学试题（文数）一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知命题,41sin ),,0(:2+≤+∞∈x x x p 对任意则p ⌝为（ ） A 、41sin ),,0(2000+≤+∞∈∃x x x 使得 B 、41sin ),,0(2000+>+∞∈∃x x x 使得 C 、41sin ),0,(2000+≤-∞∈∃x x x 使得 D 、41sin ),0,(2000+>-∞∈∃x x x 使得 2、已知{}n a 是等差数列，且1,331==a a ，则=4a （ ）A 、2B 、0C 、-1D 、-23、已知，ο2100=α若α终边上与原点不重合的点P 在双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ）A 、332 B 、34 C 、2 D 、44、若2>x 时不等式11+<<a xa 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21 B 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21 D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21 5、ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为.,,c b a 若==-C B c b a cos ,cos 33则（ ）A 、31B 、31-C 、322D 、32 6、已知命题,sin sin :),,1(:2B A B A ABC q x x p >⇔>∆+∞>中，命题的解集为不等式 则下列命题为真命题的是（ ）A 、q p ∧B 、q p ∧⌝)(C 、)(q p ⌝∧D 、）（q p ⌝∧⌝)(7、若b a ≠，则03322>->b a ab ab b a 是的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件B 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件8、已知数列{}n a 是等比数列，若===++3321321,27,13a a a a a a a 则（ ）A 、3B 、9C 、313或 D 、1或9 9、，若的面积为设所对的边分别为中，角S ABC c b a C B A ABC ∆∆,,,,,334222=--S b a c ，则ab 的取值范围为（ ） A 、），（∞+0 B 、），（∞+1 C 、），（30 D 、），（∞+3 10、过抛物线x y C 4:2=的焦点F 的直线l 与C 交于A,B 两点，则||2||BF AF +取得最小值时，|AB|=（ ）A 、22 B 、22+3 C 、232+ D 、2223+ 11、若直线)1(-=x k y 与椭圆1222=+y x C ：交于A,B 两点，若对于任意实数x k ,轴上存在点)0,(m M ，使得直线AM,BM 关于x 轴对称，则=m （ ）A 、2B 、2-C 、2D 、2-12、斐波那契数列是数学史上一个著名数列，它是意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖时发现的，若数列{}n a 满足,,1,11221n n n a a a a a +===++则称数列{}n a 为斐波那契数列，该数列有很多奇妙的性质，如根据12++-=n n n a a a 可得：1)(...)()(...2123423321-=-++-+-=+++++++n n n n a a a a a a a a a a a ，类似的，可得：=++++2100232221...a a a a （ ）A 、200a B 、101100a a C 、12102-a D 、1201-a二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
2019-2020学年度上期八市重点高中联盟“领军考试”高二数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知集合{2{40},A x x x B x y =-+>==，则A B =IA.(-4,l]B.(-4,0)C.[l,4)D.(0,4) 2. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若15A =o ,45B =o ，则c b=3. 已知33110a b <<，则下列结论一定正确的是 A.22a b < B lg lg a b >. C.22a b <. D.2b a <4.数列{}n a 满足:12a =,且11(1)()2(1)n n n n n a a a n N a a *+-≥⎧=∈⎨-<⎩，则{}n a 的前20项的和为 A.15 B.18 C.19 D.21 5.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若120A =o ,2c b =，则cos C =A.24C.7D.146.已知实数,x y 满足不等式组404022x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩，则53z x y =-+的最大值为A.16B.12C.10D.97. 小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40o 的方向直线行驶,30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在山的南偏东方向的C 处,且A 与C 的距离为153千米，若此时,小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所 用的时间大约为2.6≈）A.10分钟B.15分钟C.20分钟D.25分钟8. 在等比数列{}n a 中2342764a a a =，且2461352()a a a a a a ++=++，设2log n nb n a =，则数列{}n b 中的最小项为A. 2log 3-B.22log 3-C.26log 3-D.28log 3- 9. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ABC ∆的面积为S ，且2b =， 22142S a c =+-,则ABC ∆外接圆的周长为A.4πB.2πC.πD.2π. 10. 已知正项等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别是n S ,n T ，且()()2222313120nn n nn S n n S T n T ----=对任意的n N *∈恒成立，则2528a b b = A.1011 B.2023 C.8188D.49 11.已知,a b R ∈ 则22a b + 的最大值为m ，且不等式20x ax b -+<的解集为()1,2m ，则a b +=A.3B.4C.7D.1112 .在ABC ∆中，点D 在线段AB 上，且2AD DB =，点P 在线段CD 上，若4AP =，则ABC ∆面积的最大值为A.二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知122y x y x x m ≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥⎩.表示的平面区域为三角形，则实数m 的取值范围为 .14. 已知，则231x y x +=+，的最小值为 .15.中国南北朝時期的著作《孙子算经》中，对同余有较深的研究，根据著作中的概念，若,a b 被m 除 得到的余数相同，则称,a b 对m 同余，记作()mod a b m ≡，若{}n a 是首项为0,公差为1的等差数列，3122222(3)n a a a a a k n =+++⋅⋅⋅++≥,且()3mod 4a ≡,则正整数k 的最小值为.16. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，,若,,A B C 成等差数列，且sin ,sin ,4sin a A b B c C 成等比数列，a c <，则不等式22(23)150ax c a x a ---<的解集为.三、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分10分)在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 3:3:4A B C =(I)求 sin 3A π⎛⎫- ⎪⎝⎭;(Ⅱ〉若BC 边上的高为h ，求hc18.(本题浦分12分)已知0,0a b >>且1ab = (I)求2a b +的的最小值； (Ⅱ)若不等式21924x x a b-<+恒成立，求实数x 的取值范围. 19.（本题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，24AB AD ==，,点,M N 分别在边BC 与CD 上，设MAN θ∠=,120BAC ∠=o,13AP AD xAC =+u u u r u u u r u u u r（I ）若1MB DN ==，求cos θ;（II ）若,tan 6MAB πθ∠==，求MAN ∆的面积.20.（本题满分12分）2019年9月1日，小刘从各个渠道融资30万元，在某大学投资一个咖啡店,2020年1月1日正 式开业，已知开业第一年运营成本为6万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本增加2万元，若每年的销售额为30万元,用数列{}n a 表示前n 年的纯收入.（注:纯收入=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额）（I ）试求年平均利润最大时的年份（年份取正整数），并求出最大值.（II ）若前n 年的收入达到最大值时，小刘计划用前年总收入的13对咖啡店进行重新装修，请问:小刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修（年份取整数）？并求小刘计划装修的费用. 21.（本题满分12分）己知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1()4n n S a n N *=-∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设(2)(1)nn n a b n n +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <22.（本题满分12分）定义[]x 为不超过x 的最大整数，例如[]2,12=,[]4π-=-.已知{}n a 是等比数列，若588a a =且前4项和为15.（I ）若不等式[][]2210a x a x -+>对任意的()1,2x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若[]n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .。
班级： 姓名： 线订装绝密★启用前河南省2019-2020学年度上期八市重点高中联盟领军考试（11月高三）理科时间：120分钟满分：152分命卷人：*审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知全集A ={x|y =ln(x +2)},B ={x|x 2−x −6⩾0},则A ∩B =( )A. (−2,+∞)B. [−2,+∞)C. (3,+∞)D. [3,+∞)【答案】D【解析】由已知可得,或,所以.2. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A. y =−1xB. y =2x 2C. y =sin2xD. y =−lg|x| 【答案】D【解析】对于A,函数是奇函数,在区间上单调递增,不符合题意;对于B,是偶函数,在区间上单调递增,不符合题意;对于C,函数是奇函数,在区间上不是单调函数,不符合题意;对于D ,函数是偶函数,又在区间上单调递减,符合题意.3. 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=f′(2)x−x 2,则f′(2)=( ) A.165 B. −165C. 516D. −516【答案】B【解析】由求导得,令,得,解得.4. 若a =log 0.34,b =0.30.4,c =40.3,则a ,b ,c 的大小关系为( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <c <a【答案】A【解析】因为,,,所有.5. 函数f(x)=x 3e x −e−x 的图形大致为( )A.B.装订线C.D.【答案】B【解析】由已知可得函数的定义域为,, 所以函数是偶函数,图象关于轴对称,可排除A 、C 选项;又,,,所以,可排除选项D.6. 已知变量x ,y 满足约束条件,则z =3x −2y 的最小值为( )A. −4B. 0C. 3D. 4【答案】A【解析】作出约束条件,表示的可行域,如图所示,由可得,平移直线,可知当时直线过点,取得最小值,为.7. 如图,在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,AB =AA 1=2,AD =√5,E ,F 分别为DD 1,C 1D 1的中点,则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为( ) A. √1530 B. √1515 C. 7√1530D. 7√1515【答案】C【解析】如图,取的中点,连接,,易得,所以是异面直线与所成的角(或其补角).在中,,,,由余弦定理可得.班级： 姓名： 线订装8. 已知等差数列{a n }为递增数列,且满足a 1,a 4,a 6成等比数列,则数列{a n }的前n 项和S n 最小时,n 的值为( )A. 9B. 10C. 11D. 9或10 【答案】D【解析】设等差数列的公差为,因为等差数列为递增数列,所以,又因为,,成等比数列,所以,即,化简得,即,结合等差数列为递增数列,可得都小于,即都小于,所以当或时,最小.9. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则下列说法不正确的是( )A. 当x =−π4时,函数f(x)取最小值B. f(x)的图象关于点(π12,0)对称C. f(x)在区间[−π4,0]上单调递增 D. f(x)的图象可由y =2sin(3x −π4)得图象向左平移π6个单位得到【答案】B【解析】由图象得,,,则,又, 则,所以,又因为, 所以,∴. 对于A,当时,,为函数最小值,故A 正确; 对于B,当时,,所以函数图象关于直线对称,不关于对称,故B 错误; 对于C,由,可得, 令,可得,所以在区间上单调递增,故C 正确; 对于D,由于向左平移个单位得到,故D 正确.10. 如图,在边长为2的菱形ABCD 中,BD =√2,以BD 为折痕将ΔABD 折起,使点A 达到点P 的位置,且PC =√2,则空间四面体P −BCD 的外接球的表面积为( )A. 5πB. 4πC. 3πD. 52π【答案】A 【解析】根据空间四面体棱长特征,将其补成长方体,如图所示,设长方体的长、宽、高分别为,,.则有装订线,所以,由图可知,四面体的外接球也是该长方体的外接球,设外接球的半径为,根据长方体的性质知,,故该四面体外接球的表面积为.11. 在ΔABC 中,AB =2,点D ,E 在AB 上,且AD =DE =EB ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( ) A.359 B.329 C. 113D. 53【答案】A【解析】如图,设的中点为,因为,因为,所以,又因为,所以,,所以.12. 已知定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x),若f(1)=1,ln[f(x)+f′(x)+1]>0,则不等式f(x)⩾e 1−x 的解集为( )A. (−∞,1]B. (−∞,e]C. [1,+∞)D. [e,+∞)【答案】C【解析】因为,所以,即,令,则,所以函数在上单调递增,又因为,不等式,可变形为,所以,即不等式的解集为.二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知向量a =(2,−4),b ⃗ =(m −1,3),若(2a −b ⃗ )⊥a ,则log 9m =__________.【答案】【解析】由已知可得,因为,所以, 解得,所以.14. 比萨斜塔建造于1173年8月,是人类历史上著名的建造奇迹.已知比萨斜塔的倾斜角度为3.99度,偏移距离为4.09米,圆形地基面积为285平方米,若比萨斜塔可近似看成圆柱体,则其侧面积约为__________平班级： 姓名： 线 订装方米.(结果保留整数,参考数据:sin3.99∘≈0.07,√95≈9.7,π≈3)【答案】【解析】设比萨斜塔的高度为米,则由已知可得米,设圆形地基的半径为米,则,解得,所以比萨斜塔侧面积为平方米.15. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和,满足:a 1=1,a n+1−2a n =n −1,S n =__________.【答案】【解析】由,可得,所以数列是公比为的等比数列,又,所以,所以,得到:.16. 如图,在平面四边形ABCD 中,ΔABC 是等边三角形,且AD =2BD =2,则ΔACD 面积的最大值为__________.【答案】【解析】设,,则由余弦定理,可得,,由又正弦定理,可得,即,,又因为,故当时,面积最大,最大值为.三、解答题（每小题12分,共72分）17. 在平面直角坐标系中,已知向量a =(cosΘ,sin(Θ−π3)),b ⃗ =(sinΘ,cos(Θ−π3)),其中Θ∈(π4,π2). (1)若a //b ⃗ ,求tan(Θ−π6)的值; (2)若sin2Θ=14,求a ∙b ⃗ 的值.【答案】见解析【解析】(1)因为,所以,因为,所以,所以,解得,所以. (2),,由,得,所以.18. 在ΔABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c ,且cosC =2b−c2a . (1)求A ; (2)若b =√2,cosB =√33,求ΔABC 的面积.【答案】见解析【解析】(1)因为,由正弦定理,可得, 即,又因为,,又,,又由,. (2)因为,,所以,由正弦定理, 可得,又, 所以.装订线19. 如图,在四棱锥P −ABCD 中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,E ,F 分别为PA ,BD 的中点,PD =AD =2.(1)求证:EF//平面PBC ; (2)求二面角D −EF −P 的正弦值.【答案】见解析【解析】(1)连接,因为四边形为正方形,所以也是中点,因为是中点,所以,又平面,平面,所以平面.(2)因为底面,底面是正方形,所以,,两两垂直,以为坐标原点,,,所在直线为坐标轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,,.设平面的一个法向量为,则,令,则,所以.设平面的一个法向量为,则,令,则,所以,所以,所以,即二面角的正弦值为.20. 2019年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚,同时带动了垃圾桶的销售.某垃圾桶生产和销售公司通过数据分析,得到了如下规律:每月生产x 只垃圾桶的总成本G(x)由固定成本生产成本组成,其中固定成本为100万元,生产成本为R(x)=50x +1100x 2. (1)写出平均每只垃圾桶所需成本f(x)关于x 的函数解析式,并求该公司每月生产多少只垃圾桶时,可使得平均每只所需成本费用最少? (2)假设该类型垃圾桶产销平衡(即生产的垃圾桶都卖掉),每只垃圾桶的售价为a 元,满足a =m +xn(m,n ∈R),若当产量为15000只时利润最大,此时每只售价为300元,试求m ,n 的值(利润=销售收入−成本费用).【答案】见解析【解析】(1)由题意知,总生产成本为, 所以,又,当且仅当,即时,取得最小值元.即该公司生产万只垃圾桶时,使得每只平均所需成本费用最少,且每只的成本费用为元. (2)由已知可得,利润,因为当产量为只时利润最大,此时每只售价为元,所以,解得,.21. 已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2,数列{b n}满足b1=2a1,且b n+1b n=a n+1n, (1)求数列{a n},{b n}的通项公式; (2)若c n=b na n+1−1,数列{1c n}的前n项和T n,若不等式(−1)nλ<T n+n2n−1对一切n∈N∗恒成立,求实数λ的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由已知可得,当时,,,所以,显然也满足上式,所以.因为,所以,又,所以数列的首项为,公比为的等比数列,所以. (2)由(1)可得,所以,所以,所以,两式作差,得,所以.不等式,化为,当为偶数时,则, 因为函数单调递增,所以,所以;当为奇数时,,即,因为函数单调递减,所以,所以.综上可得:实数的取值范围是.22. 已知函数f(x)=e x+aln(x+1). (1)若f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x−y+1=0平行,讨论函数f(x)的单调性; (2)若当x∈[0,+∞)时,f(x)⩾(a−1)ln(x+1)+ax+1恒成立,求实数a的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由已知得,则,又因为直线的斜率为,所以,解得,所以,定义域为,所以,函数在是单调递增. (2)当时,恒成立,即当时,恒成立.令,则,令,则.当时,,,所以,所以函数为增函数,所以,所以. ①当时,,,所以函数为增函数,所以,故对,恒成立;②当时,,当时,,,当时,,即,所以函数为减函数,所以当时,,从而,则与题意不符.综上,实数的取值范围为.。
河南省八市重点高中联盟2019-2020学年高二上学期“领军考试”（10月）语文试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）一、选择题阅读下面的文字，完成下列小题。
今年恰逢新中国成立70周年，国家广播电视总局遴选出了86部电视剧向全国电视台推荐播出，为庆祝新中国成立70周年营造良好的文化氛围。
这些_______的优秀剧目题材多样，从不同维度展示了新中国的发展变化、转型进程以及社会变迁，动情地书写了中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大奋斗历程以及新时代中国人民追求美好生活的奋斗实践。
70年来，中国人民的生活发生了_______的变化，影视创作既绕不开对社会发展、时代变迁的表现，（）此次入选“百日展播”的电视剧中，_______了一大批反映人民美好生活的剧目，它们以温暖的格调、写实的笔触描绘出新时代下人民生活的美好图景。
入选的剧目介入普通人的生活中，发现新时代老百姓的生活状态和精神面貌，视野贯穿各个年龄和群体。
如现实主义题材电视剧《热爱》，讲述了青年人在成家立业的道路上所经历的趺宕起伏、不断拼搏的故事，反映了新一代年轻人对婚姻和事业的理解与思考……这类电视剧就像是透视时代的一面镜子，它贴近实际、贴近生活、贴近群众，能够海纳百川地描写生活、反映现实。
当时代现实发生着变化，当每一个人都对美好生活有诉求，对“温暖现实主义”的________，便格外需要在影视作品上得到呼应。
1．依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（）A．锋芒毕露翻天覆地浮现呼吁B．脱颖而出翻天覆地涌现召唤C．脱颖而出沧海桑田浮现召唤D．锋芒毕露沧海桑田涌现呼吁2．下列填入文中括号内的语句，衔接最恰当的一项是（）A．电视剧理应担负起表达人民对美好生活向往的责任。
B．而且应担负起表达人民对美好生活向往的责任。
C．电视剧又应扛起表达人民对美好生活向往的责任。
D．也应担负起表达人民对美好生活向往的责任。
绝密★启用前A10联盟2020届高三上学期11月段考理科数学时间：120分钟满分：150分命卷人：* 审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 设集合A={x|9x2−3<1},B={y|y<2},则(C R A)∩B=( )A. [23,2)B. ∅C. (−∞,−23]∪[23,2)D. (−23,23)【答案】C【解析】由题意得,,则或,∴.2. 已知向量a⃗与b⃗⃗方向相反,a⃗=(1,−√,|b⃗⃗|=2,则|a⃗−b⃗⃗|=( )A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】∵,∴,又向量与方向相反,且,∴,∴.3. 若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是( )A. a+c>b−cB. a∙lg(c2+1)>b∙lg(c2+1)C. c 2a−b>0 D. (a−b)∙5c>0【答案】D【解析】取,,,排除A;取,排除B,C,故选D.4. 下列命题中正确的是( )A. ∃x0∈R,e x0⩽0B. ∀x∈R,2x>x2C. 若(¬p)∧q是真命题,则p∨(¬q)是假命题D. 1⩾0是假命题【答案】C【解析】,,故A错误;当时,,故B错误;∵是真命题,∴是假命题,是真命题,∴是假命题,故C正确;选项D 显然错误.5. “中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲,1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”,“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2019这2019个数中,能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成--列,构成数列{a n},则此数列的项数为( )A. 167B. 168C. 169D. 170【答案】C装订线【解析】由题意得,被除余且被除余的数就是能被除余的数,∴,,由,得,∵,∴此数列的项数为.6. 已知函数f(x)=axtanx +xcosx (a ∈R )为奇函数,则f(−π6)=( )A. −π12B. −√3π12C.π12D. √3π12【答案】B【解析】∵函数为奇函数,易得,∴,则.7. 曲线f(x)=2x 2,g(x)=2x 2−x 以及直线x =14所围成封闭图形的面积为( ) A.132 B.116 C. 18D. 14【答案】A【解析】由题意得,.8. 在ΔABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知C =2π3,sinB =3sinA ,若ΔABC 的面积为6√3,则c =( )A. 2√2B. 2√26C. 2√14D. 4√7【答案】B【解析】由题意得,,,又,解得,∴,即.9. (A10联盟2020高三上11月段考文数)已知函数f(x)=|x|−1,g(x)=log a |x|,当1<a <e 时,f(x)与g(x)的图象大致是( )A.B.班级： 姓名： 线订装C.D. 【答案】D【解析】由题意得,函数,均为偶函数,故排除A 选项;当时,,,当时,,∴与的图象在上有一个交点.10. 已知数列{a n }的通项公式为a n =(−1)n−1∙2n+1n 2+n (n ∈N ∗),则数列{a n }的前2020项和为( )A.20222021 B. 20212020 C. 20202021 D. 20192020【答案】C【解析】∵,∴当为偶数时,,∴数列的前项和为.11. 已知函数f(x)=3|sin(2x −π6)|+3|cos2x|,现有如下命题: ①函数f(x)的最小正周期为π2; ②函数f(x)的最大值为3√3; ③x =5π12是函数f(x)图象的一条对称轴. 其中正确命题的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】由题意得,函数的最小正周期为,故①正确; 当时,; 当时,; 当时,,作出函数的图象如图所示,可知②③正确,故选D.装订线12. 已知函数f(x)=x −1x +alnx ,若存在m ,n ,使得f′(m)=f′(n)=0,且m ∈(0,1e],则f(m)−f(n)的最小值为( )A. 4eB. 2eC.4e 2 D. 2e2 【答案】A【解析】,由题意得,方程的两根分别为,,且,,∴,,则;令,则;当时,恒成立,∴在上单调递减,∴,即的最小值为.二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知实数x ,y 满足,则目标函数z =5x +2y 的最大值是__________.【答案】 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示,其中,,,作直线,平移直线,当其经过点时,取得最大值,即.14. (A10联盟2020高三上11月段考文数)平行四边形ABCD 中,点E 是线段BC 的中点,若AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则λ−μ=__________.【答案】【解析】∵,∴.15. 设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1=2,对任意p ,q ∈N ∗,都有a p+q =a p ∙a q ,则S n−1∙(S n−1+4)+260a n (n >1,n ∈N ∗)的最小值为__________.【答案】【解析】当时,,∴数列是首项为,公比为的等比数列, ∴,∴,∴, ∴, ∴,当且仅当,即时,等号成立.16. 若直线y =kx +b 既是曲线y =lnx 的切线,又是曲线y =e x−2的切线,则b =__________.班级： 姓名： 线 订装【答案】或【解析】令,,则,,设切点分别,,则切线方程为;,即, ∴,即, ∴,∴或, 当时,切线方程为,∴;当时,切线方程为,∴, 综上所述,或.三、解答题（每小题10分,共60分）17. (A10联盟2020高三上11月段考文数)已知p:m −1⩽t ⩽m 2+1,q :函数f(x)=log 3x −t 在区间(19,9)上没有零点. (1)若m =0,且命题p ∧(¬q)为真命题,求实数t 的取值范围; (2)若p 是q 成立的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.【答案】见解析.【解析】(1)当时,, 由函数在区间上没有零点,得或, 解得或, ∵为真命题,∴为真命题,为假命题, 当为假命题时,, ∴实数的取值范围是. (2)∵是成立的充分不必要条件,又恒成立, ∴或,解得, ∴实数的取值范围是.18. 把正弦函数y =sinx 的函数图象向左平移π6个单位长度,向上平移12个单位长度,然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω(ω>1)倍,所得曲线是f(x),点P ,Q ,R 分别是直线y =m (m>0)与函数f(x)的图象自左至右的某三个相邻交点,且|PQ|=12|QR|=π3. (1)求f(x)的解析式; (2)求实数m 的值.【答案】见解析.【解析】(1)由题意得,(),,∵,∴, ∴. (2)设,, 则, 即, 解得(),则, ∵,∴.19. 已知函数f(x)=x 2−(2a +2)x +2alnx (a >0). (1)当a =1时,证明:f(x)有且只有一个零点; (2)求函数f(x)的极值.【答案】见解析.【解析】(1)当时,,定义域为, ∴, ∴在上单调递增,∴至多有一个零点, 又,, 则, ∴在上有且只有一个零点. (2)由题意得,,, 当时,当时,, 当时,,当时,, ∴函数在和上单调递增,在上单调递减, ∴极大值为, 极小值为; 当时,,∴函数在上单调递增,无极值; 当时,当时,, 当时,,当时,, ∴函数在和上单调递增,在上单调递减, ∴极大值为,极小值为.20. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和,√S n =n −a 1+1(n ∈N ∗). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =a n+1∙3n ,求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】见解析.【解析】(1)令,得,∴,解得, ∴,即; 当时,,当时,适合上式, ∴. (2)方法一:由题意得,, ∴, ∴, 两式相减得,, 整理得,. 方法二:由题意得,, ∴.21. 在ΔABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知b =acosC +√33csinA ,点M 是BC 的中点. (1)求A 的值; (2)若a =√3,求中线AM 的最大值.【答案】见解析.【解析】(1)由已知及正弦定理得, 又,且, ∴,即. (2)方法一:在中,由余弦定理得, ∵,当且仅当时取等号,∴, ∵是边上的中线,∴在和中, 由余弦定理得,①,②, 由①②,得,当且仅当时,取最大值. 方法二:在中,由余弦定理得, ∵,当且仅当时取等号,∴, ∵是边上的中线,∴,两边平方得, ∴,当且仅当时,取最大值.22. 已知函数f(x)=x(1−acosx),x∈[0,π2]. (1)若a=12,判断函数f(x)的单调性; (2)若对于∀x∈[0,π2],f(x)+sinx⩾0恒成立,求实数a的取值范围.【答案】见解析.【解析】(1)由题意得,,则, 当时,,,∴, ∴函数在上单调递增. (2)由题意得,在上恒成立; ∵,∴,, 当时,在上恒成立; 当时,设, 则, ①当时,,则,又, ∴,∴在上单调递增,∴,符合题意; ②当时,令, 则,在区间上恒成立, ∴在区间上单调递增, ∴,, ∴存在,使得,当时,,单调递减, ∴,不符合题意, 综上所述,实数的取值范围是.。
河南省八市重点高中联盟2019-2020学年高二上学期“领军考试”10月月考-数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合{}240A x x x =-+>，{|B x y ==则A B =I （ ）A ．(4,1]-B ．()4,0-C ．[1,4)D ．()0,42．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c 若15A =︒，45B =︒，则c b=（） AB．2C ．12D ．23．已知33110a b <<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．22a b <B ．lg ||lg ||a b >C ．22a b <D ．2b a <4．数列{}n a 满足：12a =，且()()11121n n n n n a a a a a +⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩()*n N ∈，则{}n a 的前20项的和为（ ） A ．15B ．18C ．19D ．215．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ，若120A =︒，2c b =，则cos C =（） A．2B ．4C ．7D ．146．已知实数x ，y 满足不等式组404022x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩，则53z x y =-+的最大值为（ ）A ．16B ．12C ．10D ．97．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40︒的方向直线行驶，30分且A 与C的距离为若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ）)2.6≈A ．10分钟B ．15分钟C ．20分钟D ．25分钟8．在等比数列{}n a 中，2342764a a a =，且()2461352a a a a a a ++=++，设2log n n b n a =，则数列{}n b 中的最小项为（ ）A ．2log 3-B ．22log 36-C ．26log 3-D ．28log 3-9．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为S，且2b =22142S a c =+-，则ABC ∆外接圆的周长为（ ） A ．4πB ．2πC ．πD ．2π10．已知正项等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别是n S ，n T ，且2222(31)(31)20nn n nn S n n S T n T ----=对任意的*n N ∈恒成立，则2528a b b =（ ） A ．1011B ．2023C ．8188D ．4911．已知a ，b R ∈，则22a b+的最大值为m ，且不等式20x ax b -+<的解集为()1,2m ，则a b +=（ ） A ．3B ．4C ．7D ．1112．在ABC ∆中，点D 在线段AB 上，且2AD DB =，点P 在线段CD 上，若4AP =，120BAC ∠=︒，13AP AD xAC =+u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆面积的最大值为（ ）第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知122y x y x x m ≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥⎩表示的平面区域为三角形，则实数m 的取值范围为________________．14．已知1x >-，则231x y x +=+的最小值为____________．15．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余有较深的研究．根据著作中的概念，若a ，b 被m 除得到的余数相同，则称a ，b 对m 同余，记作a b ≡(mod )m ，若{}n a 是首项为0，公差为1的等差数列，3122222n a a a a a k =+++++L (3)n ≥，且3a ≡(mod 4)，则正整数k 的最小值为__________．16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，且sin a A ，sin b B ，4sin c C 成等比数列，a c <，则不等式22(23)150ax c a x a ---<的解集为___________．三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin :sin :sin 3:3:4A B C =.（1）求sin 3A π⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）若BC 边上的高为h ，求h c． 18．已知0a >，0b >且1ab =． （1）求2+a b 的最小值； （2）若不等式21924x x a b-<+恒成立，求实数x 的取值范围． 19．如图，在矩形ABCD 中，24AB AD ==，点M ，N 分别在边BC 与CD 上，设MAN θ∠=．（1）若1MB DN ==，求cos θ；（2）若6MAB π∠=，tan θ=，求MAN ∆的面积． 20．2019年9月1日，小刘从各个渠道融资30万元，在某大学投资一个咖啡店，2020年1月1日正式开业，已知开业第一年运营成本为6万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本增加2万元，若每年的销售额为30万元，用数列{}n a 表示前n 年的纯收入．（注：纯收入=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额） （1）试求年平均利润最大时的年份（年份取正整数）并求出最大值． （2）若前n 年的收入达到最大值时，小刘计划用前n 年总收入的13对咖啡店进行重新装修，请问：小刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修（年份取整数）？并求小刘计划装修的费用．21．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，14n n S a =-()*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设(2)(1)n n n a b n n +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <．22．定义[]x 为不超过x 的最大整数，例如[]2.12=，[]4π-=-．已知{}n a 是等比数列，若588a a =，且前4项和为15．（1）若不等式2[]2[]10a x a x -+>对任意的()1,2x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求{}n a 的通项公式；（3）若[]n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．参考答案1．C【解析】 【分析】求解一元二次不等式求得集合A ，求函数的定义域求得集合B ，之后找出两集合的交集即可. 【详解】一元二次不等式240-+>x x 得04x <<，所以可得()0,4A =，又[)1,B =+∞，故[)1,4A B =I ， 故选：C ． 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，函数的定义域，集合的运算，属于基础题目. 2．B 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解. 【详解】由条件可得120C =︒，由正弦定理可得sin sin 22c C b B ===，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角形的内角和，正弦定理，属于基础题目. 3．C 【解析】【分析】 由33110a b<<，可得0b a <<，之后应用不等式的性质以及函数的单调性得到结果. 【详解】 由33110a b <<可得0b a <<，b a >， 故22a b >，lg lg b a >，而对于b 和2a 的大小关系不确定， 而22a b <成立． 故选：C ． 【点睛】该题考查的是有关不等式的性质的问题，结合对应函数的单调性选出正确答案. 4．D 【解析】 【分析】根据题中所给的条件，可以依次求出数列的项，可以发现其为周期数列，进而求得前20项和，得到答案. 【详解】由条件可得12a =，21a =，30a =，42a =，51a =，60a =，L ， 即{}n a 是周期为3的周期数列，故{}n a 的前20项和为(210)62121++⨯++=． 故选：D ． 【点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式依次写出数列的项，从中发现数列项的特征，从而求得结果，属于简单题目. 5．C 【解析】 【分析】首先根据余弦定理，结合题中所给的条件，确定出=a ，之后再应用余弦定理求得结果. 【详解】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即22222427a b b b b =++=，故=a ，故222cos 27a b c C ab +-==． 故选：C ． 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，属于基础题目. 6．A 【解析】 【分析】首先画出题中所给的约束条件对应的可行域，化目标函数为为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：由53z x y =-+可得533zy x =+， 平移直线530x y -+=，可知53z x y =-+在点B 处取得最大值，由240x x y =-⎧⎨-+=⎩可得点B 的坐标为()2,2-，故z 的最大值为5(2)2316-⨯-+⨯=． 故选：A ．【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，涉及到的知识点有正确画出约束条件对应的可行域，根据目标函数的形式，在解题的过程中，注意正确理解目标函数的意义，从而判断出最优解的位置，解方程组求得最优解，进而求得最值，属于简单题目. 7．B 【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=︒，20AB =，AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得13BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】根据条件可得30BAC ∠=︒，20AB =，AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=，则13BC =≈（千米）， 由B 到达C 所需时间约为130.2552=（时）15=分钟． 故选：B ． 【点睛】该题是一道关于解三角形的实际应用题，解题的关键是掌握余弦定理的应用，属于简单题目. 8．B 【解析】 【分析】利用等比数列项之间的关系求得等比数列的公比2q =，根据题的条件求得334a =，从而求得532n n a -=⨯，进而得到()22log 35n b n n =+-，之后结合二次函数的性质以及n *∈N 的条件求得结果. 【详解】因为()2461352a a a a a a ++=++， 所以等比数列{}n a 的公比2461352a a a q a a a ++==++，由2342764a a a =可得332764a =，即334a =，故35332n n n a a q--==⨯，则()()5522222log 32log 3log 2log 35n n n b n n n n --=⨯=+=+-，将2log 3取近似值可得()22log 35n b n n =+-在2n =处取得最小值， 所以{}n b 的最小项为222log 36b =-， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列通项公式的求解，数列最小项的确定，属于简单题目. 9．C 【解析】 【分析】由余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可求得tan 1B =，结合角的范围(0,)B π∈，可求得4B π=，应用正弦定理求得ABC ∆外接圆的半径，利用圆的周长公式即可求得结果. 【详解】在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos ac B a c b =+-，因为2b =，22142S a c =+-，所以2224S a c b =+-，即2cos 4ac B S =，可得2cos 2sin ac B ac B =， 化简得cos sin B B =，即tan 1B =，因为(0,)B π∈，所以4B π=，又由正弦定理，得2sin bR B=，其中R 为ABC ∆外接圆的半径，所以12sin 2bR B===，所以ABC ∆外接圆的周长2R ππ==． 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关求解三角形外接球周长的问题，涉及到的知识点有正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数关系式，圆的周长公式，在解题的过程中，一定要注意角的范围不能丢. 10．C 【解析】 【分析】根据题中所给的式子，结合正项等差数列的条件，得到231n n S n T n =-，利用等差数列前n 项和公式的特征，设22n S n t =，(31)n T n nt =-，t 为常数且0t ≠，利用数列项与和的关系，求得5a 、2b 、8b 的值，代入求得2528a b b 的值.【详解】由2222(31)(31)20n n n n n S n n S T n T ----=， 可得[(31)2][(31)]0n n n n n S nT n S nT ---+=，因为{}n a ，{}n b 均为正项等差数列，所以(31)0n n n S nT -+>， 所以(31)20n n n S nT --=，即231n n S n T n =-， 设22n S n t =，(31)n T n nt =-，t 为常数且0t ≠，所以55418a S S t =-=，2218b T T t =-=，88744b T T t =-=，所以25288188a b b =．故选：C．【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列求和公式的特征，数列的项与和的关系，在求解的过程中，该题所求的是二次式的比值，所以需要去求出对应的项，属于简单题目.11．D【解析】【分析】()2252a b+≤，从而确定出52，即求得52m=，从而确定出不等式的解集，结合一元二次不等式解集的特征，得到等量关系式，进而求得结果.【详解】()22222254422a ba b a b++++≤=Q，当且仅当22a b=时，取等号，52m=，由条件可得1和5是关于x的方程20x ax b-+=的解，故102550a ba b-+=⎧⎨-+=⎩，解得6a=，5b=，即11a b+=．故选：D．【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点利用基本不等式求最值，根据一元二次不等式的解集求参数，属于简单题目.12．A【解析】【分析】首先利用共起点的三个向量的终点共线时满足的条件，可求得23x =，从而可以求得2293AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r，再将两边同时平方，利用向量数量积的定义式，得到22111481927c b bc +-=，之后利用重要不等式得到108bc ≤，进而求得面积的最大值. 【详解】由D ，P ，C 三点共线及13AP AD xAC =+u u u r u u u r u u u r ，可得113x +=，即23x =，则12223393AP AD AC AB AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，设AC b =，AB c =，则222293AP AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，即2244816cos12081927c b bc =++︒， 即22111481927c b bc +-=， 2142727bc bc ∴≥-， 故108bc ≤，当且仅当1193108c b bc ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即618b c =⎧⎨=⎩时取等号， 故bc 的最大值为108，则ABC ∆面积的最大值为 故选：A ． 【点睛】该题考查的是有关向量与三角形的综合题，涉及到的知识点有共起点的三个向量的终点共线时，其中一个用另两个线性表示，系数和等于1，向量的平方运算，向量数量积的定义式，重要不等式，三角形的面积公式，属于中档题目. 13．(),3-∞ 【解析】 【分析】首先作出不等式组122y x y x ≤+⎧⎨≥-⎩表示的平面区域，观察图形可得直线x m =所在的位置，解方程组221y x y x =-⎧⎨=+⎩可得()3,4A ，从而得到结果.【详解】不等式组表示的平面区域如下图的阴影部分所示，由221y x y x =-⎧⎨=+⎩可得()3,4A ，要使不等式组表示的平面区域为三角形，只需3m <， 故答案为：(,3)-∞. 【点睛】该题是一道关于不等式组的平面区域的题目，解题的关键是正确画出其他不等式构成的不等式组所表示的平面区域，属于基础题目. 14．2 【解析】 【分析】利用换元法令1t x =+，则0t >，从而可得2(1)342t y t t t-+==+-，再利用基本不等式求解即可. 【详解】设1t x =+，则0t >，所以有223(1)342221x t y t x t t+-+===+-≥=+，当且仅当2t =，即1x =时取等号，所以y 的最小值为2，故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关求函数的最小值的问题，涉及到的知识点有应用基本不等式求和的最小值，属于基础题目. 15．4 【解析】 【分析】首先根据题意，求得1n a n =-，得到21122221n n a k k -=+++++=+-L ，根据3(mod 4)a ≡，可得13k -=，从而求得结果.【详解】解法一：由条件可得1n a n =-，故21122221n n a k k -=+++++=+-L ，当3n ≥时，20(mod 4)n≡，由3(mod 4)a ≡，可得13k -=，所以4k =，故答案是：4.解法二：由解法一可知，211222n a k -=+++++L ， 当3n ≥时，120(mod 4)n -≡，由3(mod 4)a ≡，可得(3)(mod 4)a k ≡+，则k 为4的倍数，所以正整数k 的最小值为4， 故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关根据同余求参数的值的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等比数列的求和公式，正确理解同余类的概念，属于简单题目.16．2⎛⎝⎭【解析】 【分析】首先根据A ，B ，C 成等差数列以及三角形的内角和，求得3B π=，由余弦定理得到222b a c ac =+-，再根据sin a A ，sin b B ，4sin c C 成等比数列，结合正弦定理得到22b ac =，代入222b a c ac =+-，再结合条件a c <，求得c a =22(23)150ax c a x a ---<可化为22150x --<，求解即可.【详解】由A ，B ，C 成等差数列可得2B A C =+， 又A B C π++=，故3B π=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-， 即222b a c ac =+-，由sin a A ，sin b B ，4sin c C 成等比数列， 可得22sin 4sin sin b B ac A C =，由正弦定理可得4224b a c =，即22b ac =， 故222ac a c ac =+-，即2230a c ac +-=，即2310c c a a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故32c a +=． 由22(23)150ax c a x a ---<可得2223150c x x a ⎛⎫---<⎪⎝⎭，即22150x -<，解得2x <<，所以原不等式的解集为(，故答案为：(. 【点睛】该题属于等差数列、解三角形、解一元二次不等式的综合题，涉及到的知识点有等差数列定义，余弦定理，正弦定理，一元二次不等式的解法，属于较难题目.17．（12【解析】 【分析】（1）根据题意以及正弦定理得到::3:3:4a b c =，设出边长3a m =，3b m =，4c m =，0m >，利用余弦定理求得2cos 3A =，利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得sin A =，之后利用正弦差角公式求得sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得到结果；（2）利用三角形的面积公式，得到等式21322mh ah ∴==，求得h =，从而得到hc的值. 【详解】（1）由sin :sin :sin 3:3:4A B C =及正弦定理可得::3:3:4a b c =． 不妨设3a m =，3b m =，4c m =，0m >，则22222291692cos 22343b c a m m m A bc m m +-+-===⨯⨯，0A π<<Q ，sin 3A ∴==，sin sin cos cos sin 3336A A A πππ⎛⎫∴-=-=⎪⎝⎭；（2）ABC ∆的面积211sin 34223bc A m m =⨯⨯⨯=，21322mh ah ∴==，故3h m =，3h c ∴=． 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式，正弦差角公式，三角形的面积公式，属于简单题目.18．（1）2）()1,3- 【解析】 【分析】（1）根据条件“0a >，0b >且1ab =”，直接应用基本不等式得到2a b +≥从而求得结果；（2）将恒成立问题转化为最值处理，利用基本不等式求得1934a b +≥=，从而得到不等式2230x x --<，求解得答案. 【详解】（1）0a >Q ，0b >且1ab =，2a b ∴+≥=当且仅当2a b ==2+a b的最小值为（2）0a >Q ，0b >且1ab =，1934a b ∴+≥=，当且仅当194a b =，且1ab =，即16a =，6b =时，取等号， 即194a b+的最小值为3， 223x x ∴-<，即2230x x --<，解得13x -<<，即实数x 的取值范围是()1,3-． 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求和的最小值，将恒成立问题向最值转化，一元二次不等式的解法，属于简单题目. 19．（1（2）165【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可求得AM =AN =，MN =cos θ的值；（2）在直角三角形中，求得AM =，2cos 3AN πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用三角形的面积公式得到sin cos 3S θπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，之后化简得到3S =，将tan θ=代入即可. 【详解】（1）由条件可得AM =，AN =，MN =，222cos 285AM AN MN AM AN θ+-∴===⋅． （2）由条件可得cos303AB AM ==︒，2cos cos 33AD AN ππθθ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． MAN ∴∆的面积1sin sin 23cos 3S AM AN θθπθ=⋅⋅=⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 165cos cos sin sin 33θππθθ===+. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有勾股定理求边长，余弦定理，三角形的面积公式，属于简单题目.20．（1）到2025年或2026年，年平均利润最大，最大值为14万元；（2）小刘最早从2032年对咖啡店进行重新装修，计划装修费用为42万元． 【解析】 【分析】（1）每年的运营成本构成一个等差数列，每年的销售额是一个常数列，根据题意，列出等式年平均利润为3025n a n n n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，之后应用基本不等式，结合*n N ∈求得结果； （2）由（1）知22530n a n n =-+-，利用二次函数的性质以及*n N ∈的条件，得到当12n =或13n =时，n a 取得最大值126，进而得到结果.【详解】（1）由条件可知，每年的运营成本构成首项为6，公差为2的等差数列，2(1)30623025302n n n a n n n n -⎡⎤∴=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦，则年平均利润为3025n a n n n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由30n n +≥，当且仅当30n n=，即n = 但*n N ∈，且5n =或6n =时，3011n n+=． 此时，na n取最大值14． ∴到2025年或2026年，年平均利润最大，最大值为14万元；（2）由（1）可得2225505253024n a n n n ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭()*n ∈N ， 当12n =或13n =时，n a 取得最大值126．126342÷=（万元）故小刘最早从2032年对咖啡店进行重新装修，计划装修费用为42万元． 【点睛】该题考查的是有关数列的应用题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式，利用基本不等式求最值，二次函数的最值，在解题的过程中，注意*n N ∈的条件，属于简单题目. 21．（1）212n n a +=()*n ∈N ．（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题中所给的条件14n n S a =-()*n ∈N ，写出1114n n S a ++=-()*n ∈N ，两式相减整理得出112n n a a +=()*n ∈N ，再令1n =，求得1a ，之后应用等比数列的通项公式求得结果；（2）将212n n a +=代入(2)(1)n n n a b n n +=+，得到22(1)2n n n b n n ++=+，对其进行裂项，之后求和，得到1111[]22(1)2n n T n +=-+，从而证得结果. 【详解】（1）因为14n n S a =-()*n ∈N ，所以1114n n S a ++=-()*n ∈N ， 所以111144n n n n S S a a ++-=--+()*n ∈N ， 所以11n n n a a a ++=-()*n ∈N ，所以112n n a a +=()*n ∈N ， 因为1114S a =-()*n ∈N ，所以1114a a =-()*n ∈N ，所以118a =， 所以1121122n n n a a -+⎛⎫==⎪⎝⎭()*n ∈N ，所以数列{}n a 的通项公式为212n n a +=()*n ∈N ．（2）因为(2)(1)nn n a b n n +=+，所以212111(1)222(1)2n n n n n b n n n n ++⎡⎤+==-⎢⎥+⋅+⎣⎦，所以1212231111111111212222223222(1)2n n n n T b b b n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⋅+⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 1111[]22(1)2n n +=-+， 所以14n T < 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有应用递推公式求通项公式，等比数列的通项公式，裂项相消法求和，属于中档题目.22．（1）1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）412-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a （3）1161,4211,4n n n T n n ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--≥⎩【解析】【分析】（1）首先根据x 的范围确定出[]x 的可能取值有1-，0，1，分别将[]x 取1-，0，1代入不等式得到不等式组，求解得结果；（2）利用等比数列项之间的关系以及求和公式，得到公比和首项所满足的等量关系式，之后应用等比数列的通项公式求得结果；（3）根据通项公式写出数列{}n a 的若干项，会发现从第五项开始往后都是大于0小于1的数，之后分类讨论求得结果.【详解】（1）当(1,2)x ∈-时，[]x 的可能取值有1-，0，1， 所以，只需2100010210a a a a ++>⎧⎪-+>⎨⎪-+>⎩，解得113-<<a ， 即实数a 的取值范围为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）设等比数列{}n a 的公比为q ，由588a a =可得38518a q a ==， 12q ∴=，由数列的前4项和为15可得1411215112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，解得18a =． {}n a ∴的通项公式为1411822n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）由已知条件及（2）可得18a =，24a =，32a =，41a =，512a =，L ， 当5n ≥时，01n a <<， 18b ∴=-，24b =-，32b =-，41b =-，51b =-，L ，当4n ≥时，1n b =-，∴当4n <时，181121611212n n n T ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭- 当4n ≥时，14(3)11n T n n =---=--．1161,4211,4n n n T n n ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪∴=⎝⎭⎨⎪--≥⎩． 【点睛】该题考查的是有关函数与数列的综合题，涉及到的知识点有取整函数的定义，等比数列的通项公式的求解，求和时需要对n 的范围进行讨论，属于较难题目.。
2019－2020学年度上期八市重点高中联盟“领军考试”高一数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关系式中，正确的是 A ．π∈QB ．(){}{}0,10,1⊆C ．{}∅∈∅D ．{}{}21,2∈2．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{}14B x x =∈≤<R ，图中阴影部分所表示的集合为A ．{}4B ．{}0,4C ．{}0D ．{}0,1,43．已知函数()223f x x x =-+在区间[]0,t 的值域是[]2,3，则实数t 的取值范围是 A ．(]0,1B ．()0,1C ．(]1,2D ．[]1,24．已知()22,0log ,0x a x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若122f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则实数a 的值为 A ．1B ．3C ．32D ．125．已知函数()f x 的定义域是[]1,4，则函数()()21x f g x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2⋃B ．()0,2C ．[]0,2D ．()()0,11,2⋃6．幂函数()223mm y x m +-=∈Z 的图象如下图所示，则m 的值为A ．2-或0B ．1-C ．0D ．2-7．若()2222log 2log log x y x y -=+，则22log log x y -= A ．2B ．2或0C ．0D ．2-或08．函数()xf x a =与函数()1log ag x x=在同一坐标系中的图象可能是 A ． B ．C ．D ．9．已知()()22log 2f x x x a =-+-的最大值为3，则a = A ．9B ．9-C ．7-D ．710．已知()()()122,011,02xa x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是 A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x >，则函数()f x 在区间[],a b 上有 A ．最小值()f bB ．最大值()f bC ．最大值()f aD ．最大值2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭12．已知函数()(ln f x x x =，若()()211f a f -<，则a 的取值范围是A ．1a <B ．1a >C ．0a <或1a >D ．01a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()f x =A ，函数()()()ln 1ln 1g x x x =-++的定义域为B ，设全集U =R ，则()()U U A B ⋃=痧________． 14．已知函数()()3212f x ax b x ax =+-+是定义域为[]21,a a +-的奇函数，则a b +=________．15．定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -．已知函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,3，则区间[],a b 的长度的取值范围为________．16．已知函数()2122f x ax x =-，若任意[)12,3,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知全集为R ，集合(){}lg 1A x y x ==+，{}221x B x -=>．（Ⅰ）求A B ⋂，()A B ⋃R ð；（Ⅱ）若{}12C x a x a =-<<，且C A ⊆，求实数a 的取值范围． 18．（本题满分12分）计算：（Ⅰ）10233113e 8-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）311322lg 4lg 0.1255--．19．（本题满分12分）已知函数()3131x x f x -=+．（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（Ⅱ）解关于t 的不等式：()()3120f t f t -+-<． 20．（本题满分12分）设函数()()22log log 2f x x x =⋅，184x ≤≤．（Ⅰ）若2log t x =，求t 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的最值，并写出取最值时对应的x 的值． 21．（本题满分12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m （0.55m ≤≤且m ∈R ）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y （克）随着时间x （时）变化的函数关系式近似为()y f m x =⋅，其中()10,0433,462x xf x x x ⎧≤<⎪⎪+=⎨⎪-≤≤⎪⎩． （Ⅰ）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？（Ⅱ）若病人第一次服用2个单位的药剂，4个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2个小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值．22．（本题满分12分）已知函数()23f x x kx =-+；()5g x mx m =+-．（Ⅰ）若()f x 在[]2,2-上存在递减区间，求k 的取值范围；（Ⅱ）当0k =时，若对任意的[]11,2x ∈总存在[]21,2x ∈-，使()()122x f g x =成立，求实数m 的取值范围．2019－2020学年度上期八市重点高中联盟“领军考试”高一数学参考答案1．【答案】C【解析】π是无理数，故π∉Q ，所以A 错误；集合(){}0,1是点集，集合{}0,1是数集，所以(){}{}0,10,1⊆错误，故B 错误；∅是集合{}∅的一个元素，故{}∅∈∅，所以C 正确；集合{}2是集合{}1,2的子集，所以D 错误．故选C ． 2．【答案】B【解析】阴影部分所表示的集合为()U A B ⋂ð，而{}14B x x =∈≤<R ，所以{}14U B x x x =∈<≥R 或ð，所以(){}0,4U A B ⋂=ð，故选B ．3．【答案】D【解析】因为该二次函数图象的对称轴为1x =，而()03f =，()12f =，()23f =，所以当[]0,x t =，值域是[]2,3时，需要12t ≤≤．故选D ．4．【答案】C 【解析】因为211log 122f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()111222f f f a ⎡⎤⎛⎫=-=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以32a =．故选C ． 5．【答案】A【解析】由题意可得，1241x x ⎧≤≤⎨≠⎩，解得02x ≤≤且1x ≠，所以函数()g x 的定义域为[)(]0,11,2⋃．故选A ．6．【答案】A【解析】由幂函数在第一象限的单调性可得，2230m m +-<，解得31m -<<，再由m ∈Z 可得，2m =-或1-或0．又从图象可知该函数是奇函数，若2m =-，则2233m m +-=-，符合题意；若1m =-，则2234m m +-=-，不合题意，若0m =，则2233m m +-=-，符合题意，综上，2m =-或0．故选A ．7．【答案】C【解析】依题意，()22x y xy -=，22450x xy y ∴-+=，()()40x y x y ∴--=，x y ∴=或14x y =，20x y ->，0x >，0y >，12x y ∴>，14x y ∴=（舍去），1x y ∴=，222log log log 0xx y y∴-==．故选C ． 8．【答案】D【解析】()1log log aa g x x x==-，则函数()f x 与函数()g x 单调性相反，排除选项B ，C ；再由()10g =可排除选项A ，故选D ．9．【答案】C【解析】函数()()22log 2f x x x a =-+-由2log y t =与22t x x a =-+-复合而成，易知当1x =时，max 1t a =-，此时()()2max log 1f x a =-，所以()2log 13a -=，所以312a -=，所以7a =-．故选C ． 10．【答案】B【解析】要使函数()()()122,011,02xa x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩是(),-∞+∞上的增函数，需12011122a a a ⎧⎪->⎪+>⎨⎪⎪≤⎩，解得104a <≤，故选B ． 11．【答案】B【解析】令0x y ==，则有()00f =，用x -代替y 可得：()()()00f f x f x =+-=，所以()f x 是奇函数，再设,x y ∀∈R ，且y x >，则()()()()()0f y f x f y f x f y x -=+-=->，所以函数()f x 是增函数，故在区间[],a b 上函数()f x 有最大值()f b ．故选B ．12．【答案】D【解析】()(ln lnxxf x x x x -=--=-(()ln x x x f x =-=+=，所以()f x 是定义在R 上的偶函数，易知当0x >时，()f x 是增函数，所以由()()211f a f -<可得，1211a -<-<，解得01a <<．故选D ． 13．【答案】{}11x x x ≤-≥或【解析】由题意可得，{}11A x x =-≤≤，{}11B x x =-<<，所以{}11A B x x ⋂=-<<，所以()()(){}11UUU A B A B x x x ⋃=⋂=≤-≥或痧?．14．【答案】0【解析】由()()3212f x ax b x ax =+-+是奇函数可得，1b =，再由定义域为[]21,a a +-可得，210a a +-=，所以1a =-，所以0a b +=．15．【答案】763,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由函数2log y x =的值域为[]0,3，知20log 3x ≤≤，得188x ≤≤，而2log 0x =时，1x =，[],a b ∴长度的最大值为163888-=，[],a b 长度的最小值为17188-=，所以区间[],a b 的长度的取值范围为763,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 16．【答案】[)1,+∞【解析】不妨令12x x >，要使()()12121f x f x x x ->-在区间[)3,+∞恒成立，需要()()1212f x f x x x ->-在区间[)3,+∞恒成立，即()()1122f x x f x x ->-在区间[)3,+∞恒成立，设()()2132F x f x x ax x =-=-，显然0a ≠，所以需二次函数()2132F x ax x =-在区间[)3,+∞递增，它的图象对称轴为3x a =，所以033a a>⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以1a ≥．17．【解析】(){}{}lg 113A x y x x x ==+=-<≤，{}{}2212x B x x x -=>=>．（Ⅰ）{}23A B x x ⋂=<≤． 因为{}2B x x =≤R ð， 所以(){}3A B x x ⋃=≤R ð．（Ⅱ）由于C A ⊆，若C =∅，则需12a a -≥，即13a ≤； 若C ≠∅，要使C A ⊆，则需131123a a a ⎧>⎪⎪-≥-⎨⎪≤⎪⎩，解得1332a <≤，综上，32a ≤． 18．【解析】（Ⅰ）101212333311131336e 82--⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（Ⅱ）331311113log 3222251lg 4lg 0.125lg 43522⎡⎤⎛⎫⎛⎫---=⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦log 111132222=--=-=． 19．【解析】（Ⅰ）因为函数()f x 的定义域为R ，且()()11311331311313xxx x xxf x f x ------====-+++，所以函数()f x 是奇函数．（Ⅱ）由()3131221313131x x x x x f x -+-===-+++易得，函数()f x 是定义域为R 的增函数， 而不等式()()3120f t f t -+-<可化为()()312f t f t -<--， 再由()()f x f x -=-可得()()312f t f t -<-， 所以312t t -<-，解得12t <-． 20．【解析】（Ⅰ）2log t x =，184x ≤≤， 221log log 84t ∴≤≤，即23t -≤≤． （Ⅱ）()()()222222log log 2log log log f x x x x x =+=+， 令2log h x =，23h -≤≤，则221124y h h h ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，∴当12h =-即21log 2x =-，2x =时，()min 14f x =-．当3h =即8x =时，()max 12f x =．21．【解析】（Ⅰ）因为3m =，所以30,04339,462x xy x x ⎧≤<⎪⎪+=⎨⎪-≤≤⎪⎩．当04x ≤<时，由3023x≥+，解得12x ≤，此时04x ≤<； 当46x ≤≤时，由3922x -≥，解得143x ≤，此时1443x ≤≤． 综上所述，1403x ≤≤． 所以若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达143小时． （Ⅱ）当46x ≤≤时，()10102362341x my m x x x ⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-+⎢⎥ ⎪+--⎝⎭⎣⎦， 因为10621mx x -+≥-对46x ≤≤恒成立， 即25410x x m -+≥对46x ≤≤恒成立，等价于()2max544610x x m x ⎛⎫-+≥≤≤ ⎪⎝⎭令()25410x x g x -+=，则函数()25410x x g x -+=在[]4,6上是单调递增函数，所以当6x =时，函数()25410x x g x -+=取得最大值为1，所以1m ≥，所以所求m 的最小值为1．22．【解析】（Ⅰ）由题意可知函数()f x 图象的对称轴为2kx =，要使函数()f x 在[]2,2-上存在递减区间，则22k>-，则4k >-． （Ⅱ）因为[]11,2x ∈，所以1224x≤≤． 令12xt =，则24t ≤≤，()()1223x f f t t ==+，所以()719f t ≤≤．因为对任意[]11,2x ∈总存在[]21,2x ∈-，使()()122x f g x =成立， 所以()2g x 的值域应该包含区间[]7,9．当0m =时，()25g x =不合题意，所以0m ≠．①当0m >时，()()17219g g -≤⎧⎪⎨≥⎪⎩，即052714519m m m m >⎧⎪-≤⇒≥⎨⎪+≥⎩．②m 0<时，()()11927g g -≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，即05219757m m m m <⎧⎪-≥⇒≤-⎨⎪+≤⎩． 综上，14m ≥或7m ≤-．。
2019—2020学年度上期八市重点高中联盟“领军考试”高三数学试题（理数）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}|ln 2A x y x ==+，{}2|60B x x x =--≥，则A B =I （ ）A.()2,-+∞B.[)2,-+∞C.()3,+∞D.[)3,+∞ 2.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的是（ ） A.1y x =- B.22y x = C.sin 2y x = D.lg y x =-3.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()22x x f f x '=-，则()2f '=（ ） A.165 B.165- C.516 D.516- 4.若0,3log 4a =，0.40.3b =，0.34c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b c a <<5.函数()3x xx e f e x -=-的图象大致为（ ） A. B. C. D.6.已知变量,x y 满足约束条件240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最小值为（ ）A.4-B.0C.3D.47.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，AD =,E F 分别为111,DD C D 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A.30B.15C.30D.158.已知等差数列{}n a 为递增数列，且满足146,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和n S 最小时，n 的值为（ ）A.9B.10C.11D.9或109.已知函数()()sin A f x x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A.当4x π=-时，函数()f x 取最小值B.()f x 的图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()f x 的图象可由2sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位得到10.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，BD =BD 为折痕将ABD △折起，使点A 到达点P 的位置，且PC =P BCD -的外接球的表面积为（ ）A.5πB.4πC.3πD.52π 11.在ABC △中，2AB =，点,D E 在AB 上，且AD DE EB ==，若3CA CB ⋅=u u u r u u u r ，则CD CE ⋅u u u r u u u r 的值是（ ） A.359 B.329 C.113 D 5312.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，则不等式()1x f x e -≥的解集为（ ）A.(],1-∞B.(],e -∞C.[)1,+∞D.[),e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.己知向量()2,4a =-r ，()1,3b m =-r ，若()2a b a -⊥r r r ，则9log m =__________. 14.比萨斜塔建造于1173年8月，是人类历史上著名的建筑奇迹.已知比萨斜塔的倾斜角度为3.99度，偏移距离为4.09米，圆形地基面积为285平方米.若比萨斜塔可近似看成圆柱体，则其侧面积约为__________平方米.（结果保留整数.参考数据：sin3.990.07︒≈9.7≈，3π≈）15.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足：11a =，1,21n n a a n +-=-，n S =__________.16.如图，在平面四边形ACBD 中，ABC △是等边三角形，且22AD BD ==，则ACD △面积的最大值为__________.。
河南省八市重点高中联盟2019-2020学年高二上学期“领军考试”10月月考数学试题一、单选题1. 已知集合，则()A. B. C. D.2. 在中，角，，的对边分别为，，若，，则()A. B. C. D.3. 已知，则下列结论一定正确的是()A. B. C. D.4. 数列满足：，且，则的前项的和为()A. B. C. D.5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则()A. B. C. D.6. 已知实数，满足不等式组，则的最大值为()A. B. C. D.7. 小赵开车从处出发，以每小时千米的速度沿南偏东的方向直线行驶，分钟后到达处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在的南偏东方向的处，且与的距离为千米，若此时，小赵以每小时千米的速度开车直线到达处接小王，则小赵到达处所用的时间大约为()A.分钟B.分钟C.分钟D.分钟8. 在等比数列中，，且，设，则数列中的最小项为()A. B. C. D.9. 在中，内角，，的对边分别为，，．若的面积为，且，，则外接圆的周长为()A. B. C. D.10. 已知正项等差数列，的前项和分别是，，且对任意的恒成立，则()A. B. C. D.11. 已知，，则的最大值为，且不等式的解集为，则()A. B. C. D.12. 在中，点在线段上，且，点在线段上，若，，，则面积的最大值为()A. B. C. D.二、填空题已知表示的平面区域为三角形，则实数的取值范围为________．已知，则的最小值为________．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余有较深的研究．根据著作中的概念，若，被除得到的余数相同，则称，对同余，记作，若是首项为，公差为的等差数列，，且，则正整数的最小值为________．在中，角，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，且，，成等比数列，，则不等式的解集为________．三、解答题在中，内角，，的对边分别为，，，满足.（1）求；（2）若边上的高为，求．已知，且．（1）求的最小值；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．如图，在矩形中，，点，分别在边与上，设．（1）若，求；（2）若，，求的面积．年月日，小刘从各个渠道融资万元，在某大学投资一个咖啡店，年月日正式开业，已知开业第一年运营成本为万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本增加万元，若每年的销售额为万元，用数列表示前年的纯收入．（注：纯收入前年的总收入前年的总支出投资额）（1）试求年平均利润最大时的年份（年份取正整数）并求出最大值．（2）若前年的收入达到最大值时，小刘计划用前年总收入的对咖啡店进行重新装修，请问：小刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修（年份取整数）？并求小刘计划装修的费用．已知是数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：．定义为不超过的最大整数，例如，．已知是等比数列，若，且前项和为．（1）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；（2）求的通项公式；（3）若，求数列的前项和．参考答案与试题解析河南省八市重点高中联盟2019-2020学年高二上学期“领军考试”10月月考数学试题一、单选题1.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法【解析】求解一元二次不等式求得集合A，求函数的定义域求得集合B，之后找出两集合的交集即可．【解答】一元二次不等式−x2+4x>0得0<x<4所以可得A=(0,4)，又B=[1,+∞)，故A∩B=[1,4)故选：C．2.【答案】B【考点】正弦定理解三角形【解析】由已知利用正弦定理即可求值得解．【解答】由条件可得C=120∘，由正弦定理可得cb =sin Csin B=√32√22=√62,故选：B．3.【答案】C【考点】基本不等式【解析】由1a3<1b3≤0，可得b<a<0，之后应用不等式的性质以及函数的单调性得到结果【解答】由1a3<1b3<0可得b<a<0|b|>|a|故2a>2y lg|b|>lg|a|，而对于b和2a的大小关系不确定，而a2<b2成立．故选：C．4.【答案】D【考点】数列递推式数列的求和【解析】根据题中所给的条件，可以依次求出数列的项，可以发现其为周期数列，进而求得前20项和，得到答案【解答】由条件可得a1=2,a2=1a3=0a4=2a5=1a5=0即{a n}是周期为3的周期数列，故{a n}的前20项和为(2+1+0)×6+2+1=21故选：D．5.【答案】C【考点】解三角形【解析】首先根据余弦定理，结合题中所给的条件，确定出a=√7b，之后再应用余弦定理求得结果【解答】由余弦定理可得a2=b2+c2−2bc cos A即a2=b2+4b2+2b2=7b2，故a=√7b故cos C=a 2+b2−c22ab=2√77故选：C．6.【答案】A【考点】求线性目标函数的最值【解析】首先画出题中所给的约束条件对应的可行域，化目标函数为为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：由z =−5x +3y 可得y =53x +z3平移直线−5x +3y =0，可知z =−5x +3y 在点B 处取得最大值， 由{x =−2x −y +4=0可得点B 的坐标为(−2,2) 故﹦的最大值为−5×(−2)+2×3=16 故选：A ． 7. 【答案】 B 【考点】 解三角形 【解析】首先根据题中所给的条件，得到∠BAC =30∘AB =20,AC =15√3，两边和夹角，之后应用余弦定理求得BC =5√7≈13（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果 【解答】根据条件可得∠BAC =30∘AB =20,AC =15√3由余弦定理可得BC 2=AB 2+AC 2−2.AB ⋅AC ⋅cos 30∘=175 则BC =5√7≈13（千米）， 由B 到达C 所需时间约为1352=0.25（时）=15分钟．故选：B ． 8.【答案】 B【考点】数列与函数最值问题 【解析】利用等比数列项之间的关系求得等比数列的公比q =2，根据题的条件求得a 3=34，从而求得a n =3×2n−5，进而得到b n =n 2+(log 23−5)n ，之后结合二次函数的性质以及n ∈N ast 的条件求得结果． 【解答】因为a 2+a 4+a 6=2(a 1+a 3+a 5)所以等比数列{a n }的公比q =a 2+a 4+a 6a 1+a 3+a 5=2由a 2a 3a 4=2764可得a 33=2764，即a 3=34故a n =a 3q n−3=3×2n−5则b n =n log 23×21=5=n(log 23+log 22n−5)=n 2+(log 23−5)n 将log 23取近似值可得b n =n 2+(log 23−5)n 在n =2处取得最小值， 所以{b n }的最小项为b 2=2log 23−6 故选：B ． 9. 【答案】 C【考点】 解三角形正弦定理的应用【解析】由余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可求得tan B =1，结合角的范围B ∈(0,π)，可求得B =π4，应用正弦定理求得△ABC 外接圆的半径，利用圆的周长公式即可求得结果． 【解答】在△ABC 中，由余弦定理，得2ac cos B =a 2+c 2−b 2 因为b =√224S =a 2+c 2−12所以4S =a 2+c 2−b 2，即2ac cos B =45，可得2ac cos B =2ac sin B 化简得cos B =sin B ，即tan B =1，因为B ∈(0,π)，所以B =π4 又由正弦定理，得bsin B =2R ，其中R 为△ABC 外接圆的半径， 所以R =b 2sin B=√222×√22=12，所以△ABC 外接圆的周长=2πR =π故选：C ． 10. 【答案】 C【考点】等比数列的通项公式 函数单调性的性质与判断 不等式恒成立问题 【解析】根据题中所给的式子，结合正项等差数列的条件，得到S n T n=2n3n−1，利用等差数列前”项和公式的特征，设S n =2n 2tT n =(3n −1)nt ，t 为常数且t ≠0，利用数列项与和的关系，求得a 5,b 2,b 5的值，代入求得a 52b2b 3的值．【解答】由(3n −1)2S n 2−n (3n −1)S n T n −2n 2T T 2=0 可得[(3n −1)S n −2nT n ][(3n −1)S n +nn ¯]=0因为{a n },{b n }均为正项等差数列，所以(3n −1)S n +nT n >0 所以(3n −1)S n −2nT n =0，即S n I n=2n3n−1设S n =2n 2t,T n =(3n −1)nt ，t 为常数且t ≠0所以a 3=S 5−S 4=18tb 2=T 2−T 1=8tb 3=T 3−I 7=44t 所以a 52b2b 3=8188故选：C ． 11.【答案】 D【考点】基本不等式在最值问题中的应用 一元二次不等式与一元二次方程 【解析】首先利用基本不等式得到√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2≤5(a 2+b 2)2，从而确定出√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2a 2+b 2的最大值为52，即求得m =52，从而确定出不等式的解集，结合一元二次不等式解集的特征，得到等量关系式，进而求得结果 【解答】：√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2≤4a 2+b 2+a 2+4b 22=5(a 2+b 2)2当且仅当a 2=b 2时，取等号， 故√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2a 2+b 2的最大值为m =52由条件可得1和5是关于X 的方程x 2−ax +b =0的解， 故{1−a +b =025−5a +b =0，解得a =6b =5，即a +b =11 故选：D ． 12.【答案】 A【考点】平面向量数量积的运算平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】首先利用共起点的三个向量的终点共线时满足的条件，可求得x =23，从而可以求得AP →=29AB →+23AC →，再将两边同时平方，利用向量数量积的定义式，得到181c 2+19b 2−127bc =4，之后利用重要不等式得到bc ≤108，进而求得面积的最大值． 【解答】由DP ，C 三点共线及AP →=13AD →+xAC → 可得13+x =1，即x =23则AP →=13AD →+23AC →=29AB →+23AB →设AC =b,AB =C ，则AP →=(29AB →+23AC →)即16=481c 2+49b 2+827bc cos 120∘即181c 2+19b 2−127bc =4,∴ 4≥227bc −127bc故bc ≤108，当且仅当{19c =13b bc =108，即{b =6c =18时取等号，故bc 的最大值为108，则△ABC 面积的最大值为27√3 故选：A ． 二、填空题【答案】 (∼73) 【考点】二元一次不等式表示的区域 含参线性规划问题 【解析】首先作出不等式组{y ≤x +1y ≥2x −2表示的平面区域，观察图形可得直线．=m 所在的位置，解方程组{y =2x −2y =x +1可得A (3,4)，从而得到结果． 【解答】不等式组表示的平面区域如下图的阴影部分所示，由{y =2x −2y =x +1可得A (3,4) 要使不等式组表示的平面区域为三角形，只需m <3 故答案为：(−∞,3) 【答案】 2【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】利用换元法令t =x +1，则t >0，从而可得y =(t−1)2+3t=t +4t −2，再利用基本不等式求解即可． 【解答】设t =x +1，则t >0 所以有y =x 2+3x+1=(t−1)2+3t=t +4t−2≥2√4−2=2当且仅当t =2，即x =1时取等号，所以Ⅳ的最小值为2， 故答案为：2. 【答案】 4【考点】等差数列的通项公式 【解析】首先根据题意，求得a n =n −1，得到a =1+2+22+⋯+2n−1+k =2n +k −1，根据a =3(mod )，可得k −1=3，从而求 得结果． 【解答】解法一：由条件可得a n =n −1故a =1+2+22+⋯+2n−1+k =2n +k −1当n ≥3时，2n =0(mod )，由a =3(mod )，可得k −1=3，所以k =4 故答案是：4.解法二：由解法一可知，a =1+2+22+⋯+2n−1+k当n ≥3时，2n−1=0(mod )，由a =3(mod )，可得a =(3+k )(mod ) 则k 为4的倍数，所以正整数k 的最小值为4， 故答案为：4. 【答案】（ -、5.23、5） ′2)【考点】 正弦定理一元二次不等式的解法 【解析】首先根据A ，B ，C 成等差数列以及三角形的内角和，求得B =π3，由余弦定理得到b 2=a 2+c 2−ac ，再根据a sin 4，b sin B ，4c sin C 成等比数列，结合正弦定理得到b 2=2ac ，代入b 2=a 2+c 2−ac ，再结合条件a <c ，求得ca =3+√52，从而不等式2ax 2−(2c −3a )x −15a <0可化为2x 2−√5x −15<0，求解即可． 【记+π】由A ，B ，C 成等差数列可得2B =A +C 又A +B +C =π，故B =π3由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2ac cos B 即b 2=a 2+c 2−ac由a sin A ，b sin B4c sin C 成等比数列， 可得b 2sin 2B =4ac sin A sin C由正弦定理可得b 4=4a 2c 2，即b 2=2ac 故2ac =a 2+c 2−ac ，即a 2+c 2−3ac =0 即(c a )2−3c a+1=0，故c a =3+√52(3−√52)舍去）． 由2ax 2−(2c −3a )x −15a <0可得2x 2−(2c a−3)x −15<0即2x 2−√5x −15<0，解得−√5<x <3√52所以原不等式的解集为(−√5,3√52) 故答案为：(−√5,3√52) 【解答】此题暂无解答 三、解答题 【答案】 （1）√5−2√36 （2）3√55【考点】正弦定理 解三角形【解析】（1）根据题意以及正弦定理得到a:b:c =3:4，设出边长a =3mb =3mc =4mm >0，利用余弦定理求得cos A =23，利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得sin A =√53，之后利用正弦差角公式求得 sin (A −π3)=√5−2√36，得到结果； （2）利用三角形的面积公式，得到等式12aℎ=3mn 2=2√5m 2，求得ℎ=4√53m ，从而得到ℎc 的值． 【解答】（1）由sin A:sin B:sin C=3:3:4及正弦定理可得a:b:a=3:4不妨设a=3mb=3n,c=4mm>0则cos A=b 2+c2−a22bc=9m2+16m2−9m22×3m×4m=230<A<π∴sin A=√1−(23)2=√53s ln(A−π3)=sin A cosπ3−cos A sinπ3=√5−2√36（2）△ABC的面积12bc sin A=12×3m×4m×√53=2√5m21 2aℎ=3mn2=2√5m2，故ℎ=4√53m,∴ℎc=√53【答案】（1）2√2(2)(−1,3)【考点】基本不等式在最值问题中的应用一元二次不等式的解法不等式恒成立问题【解析】（1）根据条件”a>0b>0且ab=1”，直接应用基本不等式得到a+2b≥2√2ab，从而求得结果；（2）将恒成立问题转化为最值处理，利用基本不等式求得14a +9b≥2√94ab=3，从而得到不等式x2−2x−3<0，求解得答案【解答】（1）∴a>0b>0且ab=1a+2b≥2√2ab=2√2当且仅当a=2b=√2时，取等号，故a+2b的最小值为2√2（2）a>0b>0且ab=11 4a +9b≥2√94ab=3，当且仅当14a=9b，且ab=1，即a=16b=6时，取等号，即14a +9b的最小值为3，x2−2x<3，即x2−2x−3<0，解得−1<x<3即实数》的取值范围是(−1,3)【答案】（1）6√8585[（2）165【考点】解三角形【解析】（1）根据勾股定理可求得AM=√17,AN=√5,MN=√10，之后利用余弦定理求得cosθ的值；（2）在直角三角形中，求得AM=8√33AN=2cos(π3−θ)，利用三角形的面积公式得到S=8√3 3⋅sinθcos(π3−θ)，之后化简得到S=8√3312+√32θ,加tanθ=√32加10【解答】（1）Ecosθ=AM2+AN2−MN22.4M⋅AN=17+5−102√17⋅√5=6√8585（2）由条件可得AM=ABcos30∘=8√33AN=ADcos(π3−θ)=2cos(π3−θ)△MAN的面积________n$${ = \dfrac{1}{2}AM\cdot ANN\sin \theta =\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\dfrac{\sin \theta }{\cos \left(\dfrac{\pi }{3}-\theta \right)}}$${= \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\cdot \dfrac{\sin \theta }{\cos \dfrac{\pi }{3}\cos \theta + \sin\dfrac{\pi }{3}\sin \theta }= \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\cdot \dfrac{\tan\theta }{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\tan \theta }= \dfrac{16}{5}}$【答案】（1）到2025年或2026年，年平均利润最大，最大值为14万元；（2）小刘最早从2032年对咖啡店进行重新装修，计划装修费用为42万元．【考点】数列的应用【解析】（1）每年的运营成本构成一个等差数列，每年的销售额是一个常数列，根据题意，列出等式年平均利润为a nn =25−(n+30n)，之后应用基本不等式，结合n∈N求得结果；（2）由（1）知a n=−n2+25n−30，利用二次函数的性质以及n∈N′的条件，得到当n=12或n=13时，a n取得最大值126，进而得到结果．【解答】（1）由条件可知，每年的运营成本构成首项为6，公差为2的等差数列，a n=30n−[6n+n(n−1)2×2]−30=−n2+25n−30则年平均利润为a nn =25−(n+30n)由n+30n ≥2√30，当且仅当n=30n，即n=√30时取等号．但n∈N′，且n=5或n=6时，n+30n=11此时，a nn，取最大值14到2025年或2026年，年平均利润最大，最大值为14万元； （2）由（1）可得a n =−n 2+25n −30=−(n −252)2+5054(n ∈N ast )当n =12或n =13时，a n 取得最大值126.126÷3=42（万元）故小刘最早从2032年对咖啡店进行重新装修，计划装修费用为42万元． 【答案】（1）a n =12n+1(n ∈N ast )． （2）见解析【考点】由递推关系式求通项公式 数列的求和 【解析】（1）根据题中所给的条件S n =14−a n (n ∈N ′)，写出S n+1=14−a n+1(n ∈N ast )，两式相减整理得出a n−1=12a n (n ∈N ast )，再令n =1，求得a 1，之后应用等比数列的通项公式求得结果； （2）将a n =12n+2代入b n =(n+2)a nn (n+1)，得到b n=n+2n (n+1)n+1，对其进行裂项，之后求和，得到T n =12[12−1(n+1)2n+1)，从而证得结果． 【解答】（1）因为S n =14−a n (n ∈N +)，所以S n+1=14−a n+1(n =N +)所以S n−1−S n =14−a n+1−14+a n (n ∈N ast )所以a n−1=a n −a n+1⋅n ∈N ast )，所以a n−1=12a n (n ∈N ast ) 因为S 1=14−a 1(n ∈N +)，所以a 1=14−a 1(n ∈N ast )，所以a 1=18 所以a n =a 1(12)n−1=12n+2(n ∈N ast )所以数列{a n }的通项公式为a n =12n+2(n ∈N ast ) （2）因为b n =(n+2)a nn (n+1)所以b n =n+2n (n+1)n−2=12[1nn2n −1(n+1)n−1] 所以 所以T n <14 【答案】（1）(−13,1) （2）a n =(12)n−4（3）【考点】 数列的应用 【解析】（1）首先根据》的范围确定出[x ]的可能取值有一1，0，1，分别将[x ]取−1，0，1代入不等式得到不等式组，求解得 结果；（2）利用等比数列项之间的关系以及求和公式，得到公比和首项所满足的等量关系式，之后应用等比数列的通项公式求得结果（3）根据通项公式写出数列{a n }的若干项，会发现从第五项开始往后都是大于0小于1的数，之后分类讨论求得结果【解答】（1）当x ∈(−1,2)时，[x ]的可能取值有一1，0,1 所以，只需{a +2a +1>00−0+1>0a −2a +1>0，解得−13<a <1即实数ａ的取值范围为(−13,1)（2）设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5=8a 8可得q 3=a 3a 5=18q =12，由数列的前4项和为15可得a 1(1−12n )1−12=15，解得a 1=8 {a n }的通项公式为a n =8×(12)n−1=(12)n−4（3）由已知条件及（2）可得a 1=8,a 2=4a 3=2a 4=1a 5=12 当n ≥5时，0<a n <1b 1=−8b 2=−4b 3=−2b 4=−1b 5=−1 当n ≥4时，b n =−1 当n <4加,T n =−8(1−12n )1−12=16(12n−1)当n ≥4时T n ={16(12n−1),n <4−n −11,n ≥4。
