2016届湖南永州市高三(下)第三次模拟数学(理)试题(解析版)

永州市2024年高考第三次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共150分，考试时量120分钟．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．3．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一3． 已知非零数列}{n a 满足02221=-++n n n n a a ，则20212024a a=A ．8B ．16C ．32D ．644． 61tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x θ的展开式中第四项的系数为540，则θ2cos 的值为A ．3735-B ．3735C ．54-D ．545． 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为7． 已知函数2sin )(+-+-=-x x e e x f x x ，其中e 是自然对数的底数.若4)3()(log 21>+f t f ，则实数t 的取值范围是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛810，B ．18⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．），（80D ．），（∞+88． 已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，点O 为坐标原点，过1F 的直线分别交双曲线左、右两支于A ,B 两点，点C 在x 轴上，A F CB 23=，2BF 平分BC F 1∠，其中一条渐近线与线段AB 交于点P ,则=∠2sin POF A ．741B ．742C ．743D ．7112二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9． 下列说法正确的是A ．已知随机变量),2(~2σN X ，若(02)0.4P X <<=，则(4)0.1P X >=B ．设0>a ，0>b ，则“3log 3log a b >”成立的充要条件是“1>>b a ”C ．已知21)|(=A B P ，83)(=AB P ，则163)(=A P D ．若()61=AB P ，31)(=A P ，41)(=B P ，则事件A 与B 相互独立10．已知抛物线y x C 2:2=的焦点为F ，过点F 且倾斜角为锐角的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点（点A 在第一象限），过点A 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为M ，直线l 与抛物线C 的准线相交于点N ，则A ．BF AF +的最小值为2 B ．当直线l 的斜率为3时，8=AB C ．设直线BM ，MF 的斜率分别为1k ，2k ，则2121=k k D ．过点B 作直线AM 的垂线，垂足为Q ，BQ 交直线MF 于点P ，则PQ BP =11．在平面四边形ABCD 中，2==AB ,AD AB ⊥,BCD ∆为等边三角形，将ABD∆沿BD 折起，得到三棱锥BCD A -1，设二面角C BD A --1的大小为α．则下列说法正确的是A ．当︒=150α时，M ，N 分别为线段BD ，C A 1上的动点，则MN 的最小值为1421B ．当︒=120α时，三棱锥BCD A -1外接球的直径为313C ．当︒=90α时，以C A 1为直径的球面与底面BCD 的交线长为π33D ．当︒=60α时，AD 绕D 点旋转至D A 1所形成的曲面面积为π32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数i )65(221+--=m m m z ，i )3(1022m m z --=，若21z z <（z 为z 的共轭复数），则实数m 的取值范围为 ．13．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C c A b B a cos 2cos cos -=+，87)62sin(=+πA ，则=-)cos(B A ．14．已知函数)(x f 的定义域为R ，1)1()(=-+x f x f ，)7(2)(xf x f =，且对于1021≤≤≤x x ，恒有)()(21x f x f ≤，则=)20241(f ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举．某校植树节分别在甲，乙两块不同的土地上栽种某品种树苗各500株．甲地土质含有M 元素，乙地土质不含有M 元素，其它土质情况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与M 元素含量是否有关联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计分析．经统计，甲地成活45株，乙地成活40株．（1）根据所给数据，完成下面的2⨯2列联表（单位：株），并判断依据小概率值α=0.10的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与M 元素含量有关联？（2）若将频率视为概率，从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为X ，求X 的分布列及方差．参考公式：()()()()()22,n ad bc n a b c da b c d a c b d χ-==+++++++参考数据：16．（本题满分15分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为直角梯形，CD AB //，BC AB ⊥，ABCD EC 平面⊥，442===AB BC CD ．（1）证明：AE BD ⊥；（2）若BF EC 2=，EC BF //，且多面体ABCDEF 的体积为311，求直线AC 与平面AEF 所成角的正弦值．2⨯2列联表类别树苗成活情况合计成活不成活含M 元素不含M 元素合计17．（本题满分15分）已知函数x b x x f ln 33|13|---=）（.（1）当1=b 时，求)(x f 在），（∞+31的单调区间及极值.（2）若0)(≥x f 恒成立，求b 的取值范围.18．（本题满分17分）已知数列}{n a 为等比数列，}{n b 为等差数列，且211==b a ,588a a =,84b a =．（1）求}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-21)42sin(2211n n b ππ）（的前n 项和为n S ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥⋅⋅=*++N n t a n b S n A n n n ,224共有5个元素，求实数t 的取值范围；（3）若数列}{n c 中，11=c ，)2(1log 2412≥-=n b a c nnn ，求证：112123c c c c c c +⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅1232n c c c c +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<．19．（本题满分17分）已知O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，动点N满足ON =N 的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）在轨迹E 上是否存在点T ，使得过点T 作椭圆C 的两条切线互相垂直？若存在，求点T 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点M 的直线)0(≠+=m m kx y 交轨迹E 于A ，B 两点，射线OM 交轨迹E 于点P ，射线MO 交椭圆C 于点Q ，求四边形APBQ 面积的最大值．永州市2024年高考第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题题号12345678答案ADDCCA CB二、多项选择题题号91011答案ADBCDACD三、填空题12．}3{13．8714．1617.解析：0cos 11cos 21cos )(≥+=-+⋅≥-++='--x x e e x e e x f x x x x ．)(x f ∴在R 上单调递增．令2)()(g -=x f x ，)(x g 为奇函数，)(g x ∴在R 上单调递增，2)()(+=x g x f ．则4)3()(log 21>+f t f 化为42)3(2)(log 21>+++g t g ．3log )3()(log )3()(log 212121->⇔->⇔->t g t g g t g ．解得80<<t ．)8,0(∈∴t ．8.解析：如图A F CB 23= ，BC F AF F 121~∆∆∴,c F F 2||21=，c CF 4||2=设t AF =||1，则t BF 3||1=，t AB 2||=2BF 平分BC F 1∠,2||||||||2121==∴F F C F BF BC ,t BF BC 6||2||1==，t BC AF 2||31||2==,由双曲线定义可知a t AF AF 2||||12==-，a BF BF 2||||21=-,a AB AF BF 4||22===∴，B CAO2F 1F0260=∠ABF ,在21BF F ∆中，由余弦定理知aa c a a B F B F F F B F B F BF F 462)2()4()6(||||2||||||cos 22221221222121⋅⋅-+=⋅-+=∠化简得a c 7=，由222c b a =+得742=c b ，abPOF =∠2tan ，742sin 2==∠∴c b POF .11.解析：当M 为BD 中点且C A MN 1⊥时，MN 长度最短，由等面积法求得最小值为1421．故A 对．半径为313．故B 错．如图，过1A 作BD E A ⊥1，连接EC ，过球心O 作EC OO ⊥1则1O 为EC 的中点，且211=OO ，又球半径为1，球与BCD ∆的一交点为H ，则23=OH ，又过1O 作BC F O ⊥1，431=F O ，球与底面BCD ∆的交线如图，交线长为ππ333332=⋅，故C 对．转过的曲面为圆锥的一部分侧面积，该圆锥母线长为2，底面圆半径为1，故面积为πππ32312=⋅⋅．故D 对．EODO 1A 1F HC B060DBO 1C FH14.解析：)7(2)71(21)1(1)(x f x f x f x f =--=--=，217()71(=+-∴x f x f 21)71()0(=+f f ，1)1()0(=+f f ，2171()1(=-∴f f ，71(2)71(21)1(f f f =+=21)71(=f ，∴当)21,71(∈x 时，21)(=x f ，而），（21712024343∈161)2024343(81)202449(4120247(21)20241(====∴f f f f .四、解答题15．（本题满分13分）解：（1）依题意可得2⨯2列联表如下：…………………2分零假设为0H :该品种树苗成活与M 元素含量无关联．…………………3分根据列联表中的数据，10.022706.2961.15110015855050)5401045(100x =<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ．…………………5分根据小概率值10.0=α的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为该品种树苗成活与M 元素含量无关联．…………………6分（2）由题意知，不成活的树苗共有15株，甲地不成活的树苗有5株，X 的可能取值为0，1，2，3…………………7分故9124)0(31531005===C C C X P ，9145)1(31521015===C C C X P ，类别树苗成活情况合计成活不成活含M 元素45550不含M 元素401050合计85151009120)2(31511025===C C C X P ，912)3(31501035===C C C X P ．故X 的分布列为…………………11分（一个概率1分）期望19123912029145191240)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E （另解：易知X 服从超几何分布，则11553)(=⨯=X E ）…………………12分方差74)13(912)12(9120)11(9145)10(9124)(2222=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=X D ．…………………13分16.（本题满分15分）解：（1）在BCD Rt ∆中，21tan ==∠CD BC BDC ，…………………1分在ABC Rt ∆中，21tan ==∠BC AB ACB ，ACB BDC ∠=∠∴，…………………2分︒=∠+∠=∠+∠∴90ACD ACB ACD BDC ，…………………3分∴BD AC ⊥，…………………4分又⊥EC 平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，∴BD EC ⊥，又C EC AC = ，AC ⊂平面AEC ，EC ⊂平面AEC ，…………………5分⊥∴BD 平面AEC ，…………………6分又AE ⊂平面AEC ，AE BD ⊥∴．……………7分（其他方法酌情给分）（2）设多面体ABCDEF 的体积为V ，x BF EC 22==．X0123P912491459120912则311423131313131=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆--x x S EC S AB V V V ACD BCEF ACD E BCEF A 四边形求得1=x ．…………………9分如图，以C 为坐标原点，CD ，CB ，CE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，…………10分则)0,2,1(A ，)2,0,0(E ，)1,2,0(F ，)0,0,0(C )1,2,0(-=EF ，)1,0,1(-=AF ，)0,2,1(--=AC …………11分设平面AEF 的法向量),,(z y x n =，则有0AF n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即⎩⎨⎧=-=+-020z y z x ，令2=z ，则2=x ，1=y ，即)2,1,2(=n …………………12分设直线AC 与平面AEF 所成角为θ，那么1554354|,cos |sin =⋅==><=n AC θ．…………………15分17．（本题满分15分）解：（1）当1=b ，31>x 时，4ln 33ln 3313)(--=---=x x x x x f …………………1分xx x x f )1(333)(-=-='…………………2分令0)(>'x f ，解得1>x ，令0)(<'x f ，解得131<<x ，…………………4分)(x f ∴的单调递减区间为)1,31(，单调递增区间为),1(+∞)(x f ∴在1=x 处取得极小值1)1(-=f ，无极大值．…………………7分（2）依题意x b x x f ln 3313)(---=，对任意),0(+∞∈x ，0)(≥x f 恒成立，即x x b ln 3133--≤，…………………8分令x x x g ln 313)(--=，yxzEDF CBA当]31,0(∈x 时，x x x g ln 331)(--=，)(x g 单调递减．…………………9分当）+∞∈,31(x 时，x x x g ln 313)(--=，x x x x g 3333)(-=-='，…………………10分令0)(>'x g ，解得1>x ，令0)(<'x g ，解得131<<x ，…………………11分综上所述，)(x g 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增…………………13分因此2)1()(min ==g x g ，23≤∴b ，即32≤b 故b 的取值范围为]32，（∞-．…………………15分18．（本题满分17分）解：（1）设数列}{n a 公比的为q ，数列}{n b 公差的为d则由588a a =,283=∴=q q ，n n n q a a 211==∴-，…………………2分1684==b a ，即216728=∴=+=d d b ，n n b n 22)1(2=-+=∴．………………4分（2）设21)42sin(2211nn n b d ⋅-=⎥⎦⎤⎣⎡+-ππ）（则48128234224214243424144-=--+=+++------n b b b b d d d d n n n n n n n n ………………6分2)8048128()(414243443214+-=++++⋅⋅⋅++++=∴---n n d d d d d d d d S n n n n n ）（(6416)n n =+…………………7分nn n n n n n n n a n b S 2)2)(832(22216642224++=+⋅+=⋅⋅∴+++）（）（…………………8分令nn n n f 2)2)(832()(++=，则112)42)(832(2)3)(4032()()1(++++-++=-+n n n n n n n f n f nn n n n n 2)114(4288832212+--=+--=+，可得)()4()3()2()1(n f f f f f >⋅⋅⋅>>><，故当2=n 时，)(n f 最大.…………………11分60)1(=f 且，4147)5(=f ，25)6(=f ，∴414725≤<t ，即t 的取值范围为]414725，（．…………………12分（3）由11=c ，)2()1)(1(12≥-+=-=n n n nn n c n ，则当2≥n 时，)1(543)1)(1(423312121+⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+-⨯⋅⋅⋅⨯⋅⨯⋅⨯=⋅⋅⋅n n n n n n c c c n 2111122(1)!(1)!!(1)!n n n n n n ⎡⎤⎡⎤+-===-⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦…………………14分当1=n 时，11=c 也满足上式）（*∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⋅⋅⋅∴N n n n c c c n )!1(1!1221…………………15分nc c c c c c c c c c ⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+∴3213212112)!1(22)!1(1!131212112<+-=⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n ！！！故原不等式成立.…………………17分19．（本题满分17分）解：（1）设),(00y x M ，）（y x N ,，则(,)ON x y =,00(,)OM x y =．由ON得00(,),)x y x y =，即30x x =，30y y =，…………………2分又),(00y x M 在椭圆C 上，所以122020=+y x .代入化简得22163x y +=所以点N 的轨迹E 的方程为22163x y +=．…………………4分（2）当两条切线的斜率存在时，设过00(,)T x y 点的切线为()00y y k x x -=-联立()002212y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()()2220000124220k x k y kx x y kx ++-+--=则由判别式()22008120k y kx ⎡⎤∆+--=⎣⎦=…………………6分得()22200002210x k x y k y --+-=，设两条切线的斜率分别为1k ，2k ，依题意得201220112y k k x -⋅==--，即22003x y +=，…………………7分又点T 在轨迹E 上，2002163x y ∴+=解得000x y ==，T ∴或…………………8分当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得不合题意．…………………9分综上，存在满足条件的点T ，且点T的坐标为或．…………10分（3）设()()1122,,,A x y B x y 将y kx m =+代入轨迹E 的方程，可得()222124260k x kmx m +++-=由222222164(12)(26)8(63)0k m k m k m ∆=-+-=+->，可得2236m k <+①且2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++…………………12分所以12212x x k -=+…………………13分因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为()0,m所以OAB ∆的面积01212S m x x =⋅-==…………………14分将y kx m =+代入椭圆C 的方程可得()222124220k x kmx m +++-=由228(12)0k m ∆=+-≥，可得2212m k ≤+②令2212m t k=+,由①②可知01t <≤…………………15分因此0S ,故02S ≤当且仅当1t =，即2212m k =+时，0S 取得最大值2…………………16分由题知,OP =ABP ∴∆的面积101)S S =,又易知ABQ ∆面积202S S =从而四边形APBQ 的面积120=+=1S S S S ），所以四边形APBQ 面积的最大值为2）．…………………17分。

永州市2019年高考第三次模拟考试试卷数学（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求解出集合，根据交集运算得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.设为虚部单位，复数满足，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.已知向量，若，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直得到关于的方程，求解得到结果.【详解】由题意：本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题.4.已知直线，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过两直线平行可求得的取值，从而判断二者的关系，得到结论.【详解】，解得：或由可得：；而还可能由此可知：“”是“”的充分不必要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，关键是利用直线平行求得参数的值.5.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确．．．的是（）A. 该公司2018年度冰箱类电器营销亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B【解析】【分析】结合表中数据，对选项逐个分析即可得到答案。

【详解】因为冰箱类电器净利润占比为负的，所以选项A正确；因为营业收入-成本=净利润，该公司2018年度小家电类电器营业收入占比和净利润占比相同，而分母不同，所以该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润不可能相同，故选项B错误；由于小家电类和其它类的净利润占比很低，冰箱类的净利润是负值，而空调类净利润占比达到，故该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，即选项C正确；因为该公司2018年度空调类电器销售净利润不变，而剔除冰箱类电器销售数据后，总利润变大，故2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，即选项D正确。

某某省某某市2016年高考数学三模试卷（理科）（解析版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分,。

在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x2≥2}，则∁R（A∪B）等于（）A．（﹣，2） B．[﹣，1）C．（，2）D．（﹣，1]2．已知复数z满足（z+1）（1﹣i）=1+i，则复数z的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．若双曲线mx2+2y2=2的虚轴长为2，则该双曲线的焦距为（）A．B．2 C．D．24．已知函数f（x）=，给出下列两个命题：命题p：若m=，则f（f（﹣1）=0．命题q：∃m∈（﹣∞，0），方程f（x）=0有解．那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）5．（5分）（2016某某模拟）已知函数f（x）=sin（2ωx+）（ω＞0）下的最小正周期为π，则函数的图象（）A．关于直线x=对称 B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于点（，0）对称6．（5分）（2016某某三模）在等差数列{a n}中，a3+a6=a4+5，且a2不大于1，则a8的取值X围是（）A．（﹣∞，9] B．[9，+∞）C．（﹣∞，9）D．（9，+∞）7．（1+）（+）6的展开式中的常数项是（）A．12 B．20 C．26 D．328．执行如图的程序框图，则输出的n等于（）A．5 B．6 C．7 D．89．设x，y满足约束条件，若z=ax+y仅在点（，）处取得最大值，则a的值可以为（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣110．已知点P为抛物线y2=4x上的动点，点Q为圆C：（x+3）2+（y﹣3）2=1上的动点，d 为点P到y轴的距离，则d+|PQ|的最小值为（）A．B．3 C．3﹣1 D．11．（5分）（2016某某三模）某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． +8π B． +8π C．16+8πD． +16π12．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（﹣ax+lnx+1）+f（ax ﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值X围是（）A．[2，e] B．[，+∞）C．[，e] D．[，]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设向量=（2，6），=（﹣1，m），=（3，m），若A，C，D三点共线，则m=．14．若α为锐角，3sinα=tanα，则cos（α﹣）=．15．如图，H是球O的直径AB上一点，平面α截球O所得截面的面积为9π，平面α∩AB=H，AH：HB=1：3，且点A到平面α的距离为1，则球O的表面积为．16．已知S n为数列{a n}的前n项和，且S3=1，S4=11，a n+3=2a n（n∈N*），则S3n+1=．三、解答题（共5小题，满分60分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2016某某模拟）在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，3sin2C+8sin2A=11sinAsinC，且c＜2a．（1）求证：△ABC为等腰三角形（2）若△ABC的面积为8．且sinB=，求BC边上的中线长．18．（12分）（2016某某三模）某重点高中拟把学校打造成新兴示X高中，为此制定了很多新的规章制度．新规章制度实施一段时间后，学校就新规章制度随机抽取100名学生进行问卷调查，调查卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，按成绩分成5组；第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100），绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙两人同在第3组，丙、丁二人同在第4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人进行强化培训．（1）求第3，4，5组分别选取的人数；（2）求这100人的平均得分（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）记X表示甲、丙、丁三人被选取的人数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）（2016某某三模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=AA1=4，AC⊥BC，D是线段AB上一点．（1）设=5，求异面直线AC1与CD所成角的余弦值；（2）若AC1∥平面B1CD，求二面角D﹣CB1﹣B的余弦值．20．（12分）（2016某某模拟）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2，直线x=﹣a与y=b交于点D，且|BD|=3，过点B作直线l交直线x=﹣a 于点M，交椭圆于另一点P．（1）求椭圆的方程；（2）证明：为定值．21．（12分）（2016某某三模）已知函数f（x）=4x2+﹣a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值X围．请在22、23、34三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。

2016年湖南省永州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．若全集U=R，A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合为（）A．{0，1}B．{2，3}C．{4，5}D．{0，1，4，5}2．已知复数z=i（1﹣i），则|z|=（）A．2B．C．5D．3．下列函数中，满足f（﹣x）+f（x）=0的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣x﹣1C．f（x）=log2xD．f（x）=2x4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．3D．5．已知命题p：∀x∈R，x+≥4；命题q：∃x0∈（0，∞），log2x0=，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧qB．p∨（￢q）C．（￢p）∧qD．（￢p）∧（￢q）6．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（7，3）=1，如图是一个算法的程序框图，当输入的n值为15时，输出的结果为（）A．4B．5C．6D．77．椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=3，则△PF1F2的面积为（）A．B．2C．4D．8．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，若17＜a n＜20，则n=（）A．9B．10C．11D．129．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则∠A=（）A．B．C．D．11．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+3πB．4+4πC．4﹣D．4+12．已知函数f（x）=，若|f（x）+4|≥a（x﹣1），则a的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[0，6]C．[0，5]D．[0，12]二、填空题13．已知向量，满足||=2，|+|=，＜，＞=，则||=．14．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．15．一平面截一球得到面积为5π的圆面，球心到这个平面的距离为2，则该球的表面积是．16．已知sin（+α）=，则cos（﹣2α）=．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比不为1，a1=，且a1，2a2，4a3成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；＜．（2）求证：a1+a3+a5+…+a2n﹣118．我国的人口呈现老龄化趋势，某城市为提高老年人的养老服务质量，分别从甲、乙两个社区随机抽取了7名70岁以上的老年人进行走访，这14名老年人的年龄如图的茎叶图所示，其中甲社区7人的平均年龄为85岁．（1）计算甲社区7为位老年人的方差s2；（2）该城市决定从上述14人中随机抽取2名90岁以上的老年人进行长期跟踪走访，求甲社区至少有一名老年人被抽中的概率．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为AD的中点．（1）求证：平面PCM⊥平面PAD；（2）求三棱锥D﹣PAC的高．20．已知曲线C的方程：x2+y2﹣4x﹣2y﹣m=0．（1）若曲线C是圆，求m的取值范围；（2）当m=0时，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，且以AB为直径的圆过点D（0，3），若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=x+﹣（a﹣1）lnx．（1）讨论f（x）在[1，e]上得单调性；（2）已知g（x）=f（x）﹣x在[1，e]上单调递减，讨论f（x）在[1，e]上零点的个数．[选修4-4：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，C，F是圆O上的点，CA平分∠BAF，过C点作圆O的切线交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为M．（1）求证：CD⊥AF；（2）若CD=，AM=2，求BM的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0，曲线C2的参数方程为（α为参数）．（1）求直线C1的直角坐标方程和圆C2的圆心的极坐标；（2）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞x+3；（2）若对于任意x∈R，有f（x）﹣g（x）≥0，求实数m的最大值．2016年湖南省永州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．若全集U=R，A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合为（）A．{0，1}B．{2，3}C．{4，5}D．{0，1，4，5}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩（∁U A）．∵全集U=R，A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，∴B∩（∁U A）={4，5}，故选：C．2．已知复数z=i（1﹣i），则|z|=（）A．2B．C．5D．【考点】复数求模．【分析】由复数代数形式的乘法运算化简，然后直接利用复数模的公式求复数z的模．【解答】解：∵z=i（1﹣i）=1+i，∴|z|==故答案为：．3．下列函数中，满足f（﹣x）+f（x）=0的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣x﹣1C．f（x）=log2xD．f（x）=2x【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据函数的关系式可得函数为奇函数，C，D显然不是奇函数，f（x）=﹣x﹣1在定义域内有增有减．η【解答】解：f（﹣x）+f（x）=0，∴f（x）=﹣f（﹣x），∴函数为奇函数，排除C，D；函数为增函数，排除C选项，故选：A．4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．3D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得b=2a，由a，b，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，可得：﹣•=﹣1，即有b=2a，c==a，可得e==．故选：B．5．已知命题p：∀x∈R，x+≥4；命题q：∃x0∈（0，∞），log2x0=，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧qB．p∨（￢q）C．（￢p）∧qD．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：取x=﹣1，x+≥4，不成立，即可判断出真假；命题q：∃x0=∈（0，∞），log2x0=，即可判断出真假．【解答】解：命题p：取x=﹣1，x+≥4，不成立，因此p是假命题；命题q：∃x0=∈（0，∞），log2x0=，因此q是真命题．则下列命题中为真命题的是（￢p）∧q．故选：C．6．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（7，3）=1，如图是一个算法的程序框图，当输入的n值为15时，输出的结果为（）A．4B．5C．6D．7【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（n，i）的值，当i=4，MOD（15，4）=3，满足条件MOD（15，4）=3，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=15，i=2，MOD（15，2）=1，不满足条件MOD（15，2）=3，i=3，MOD（15，3）=0，不满足条件MOD（15，3）=3，i=4，MOD（15，4）=3，满足条件MOD（15，4）=3，退出循环，输出i的值为4．故选：A．7．椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=3，则△PF1F2的面积为（）A．B．2C．4D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知得|PF2|=6﹣3=3，||=2，由此能求出△PF1F2的面积．【解答】解：∵椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，|PF1|=3，∴F1（﹣1，0），F2（1，0），|PF2|=6﹣3=3，||=2，∴△PF1F2的面积为S==2．故选：B．8．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，若17＜a n＜20，则n=（）A．9B．10C．11D．12【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用递推关系可得a n，代入即可得出．【解答】解：∵S n=n2﹣n，=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1经检验，n=1时也适合，故a n=2n﹣2；又17＜a n＜20，则17＜2n﹣2＜20，解得＜n＜11，∴n=10．故选：B．9．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】若所得的图象正好关于y轴对称，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位可得函数y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）的图象，若所得的图象正好关于y轴对称，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣﹣kπ，k∈Z，当k=﹣1时，φ的最小正值为．故选：C．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则∠A=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】使用正弦定理将角化边整理得出a，b，c的关系，利用余弦定理解出cosA．【解答】解：在△ABC中，∵==，∴a2﹣b2=bc+c2，即b2+c2﹣a2=﹣bc．∴cosA=．∴A=．故选：D．11．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+3πB．4+4πC．4﹣D．4+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得该几何体：一个长方体和一个里面挖掉半个小圆柱的大圆柱组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体：一个长方体和一个里面挖掉半个小圆柱的大圆柱组合体，长方体的长、宽、高分别为2、2、1；大圆柱的底面半径为1、高为3，小圆柱的底面半径为1、高为1，所以组合体的体积V==4+，故选：D．12．已知函数f（x）=，若|f（x）+4|≥a（x﹣1），则a的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[0，6]C．[0，5]D．[0，12]【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【分析】设g（x）=|f（x）+4|，作出函数g（x）和y=a（x﹣1）的图象，根据不等式恒成立，讨论a的取值范围建立不等式关系即可得到结论．【解答】解：设g（x）=|f（x）+4|，则当x≥0时，g（x）=|﹣x2﹣3x+4|=|x2+3x﹣4|=．当x＜0时，g（x）=|f（x）+4|=|4+ln（1﹣x）|=4+ln（1﹣x），此时函数g（x）为减函数，且g（x）＞4，作出函数g（x）的图象如图，设y=a（x﹣1），若a=0，则|f（x）+4|≥a（x﹣1），恒成立，若a＜0，|f（x）+4|≥a（x﹣1）不恒成立，不满足条件．若a＞0时，要使|f（x）+4|≥a（x﹣1），恒成立，则只需要到x＞1时，y=x2+3x﹣4与y=a（x﹣1）相切即可，由x2+3x﹣4=a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a﹣4=0，则判别式△=（3﹣a）2﹣4（a﹣4）=a2﹣10a+25=（a﹣5）2=0，则a=5，综上0≤a≤5，故选：C．二、填空题13．已知向量，满足||=2，|+|=，＜，＞=，则||=1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对|+|=两边平方，得出关于||的方程，解出即可．【解答】解：，∵|+|=，∴，即，解得||=1．故答案为：1．14．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为﹣1．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（1，1），代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×1=1﹣2=﹣1，∴目标函数z=x﹣2y的最大值是﹣1．故答案为：﹣1．15．一平面截一球得到面积为5π的圆面，球心到这个平面的距离为2，则该球的表面积是36π．【考点】球的体积和表面积．【分析】作出球的轴截面图，根据条件求出球的半径，然后根据球的表面积公式进行计算即可【解答】解：∵一平面截一球得到面积为5π的圆面，∴半径为：，作出球的轴截面图，由题意知AB=2，BC=，球心到这个平面的距离为2，即OC=2，∴球的半径OB==3，∴球的表面积为4π×（3）2=36π．故答案为：36π16．已知sin（+α）=，则cos（﹣2α）=﹣．【考点】二倍角的余弦．【分析】由cos（﹣α）=sin（+α）=，利用二倍角公式即可求得cos（﹣2a）的值．【解答】解：∵cos（﹣α）=sin（+α）=，∴cos（﹣2a）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比不为1，a1=，且a1，2a2，4a3成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；＜．（2）求证：a1+a3+a5+…+a2n﹣1【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a1，2a2，4a3成等差数列，可得2×2a2=a1+4a3，代入解出即可得出．=，利用等比数列的前n项和公式即可得出．（2）由a2n﹣1【解答】（1）解：∵a1，2a2，4a3成等差数列，∴2×2a2=a1+4a3，4×q=1+4q2，解得q=．∴a n=．=．（2）证明：a2n﹣1=×=＜．∴a1+a3+a5+…+a2n﹣1∴a1+a3+a5+…+a2n＜．﹣118．我国的人口呈现老龄化趋势，某城市为提高老年人的养老服务质量，分别从甲、乙两个社区随机抽取了7名70岁以上的老年人进行走访，这14名老年人的年龄如图的茎叶图所示，其中甲社区7人的平均年龄为85岁．（1）计算甲社区7为位老年人的方差s2；（2）该城市决定从上述14人中随机抽取2名90岁以上的老年人进行长期跟踪走访，求甲社区至少有一名老年人被抽中的概率．【考点】茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据茎叶图中的数据求平均数与方差即可；（2）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率即可．【解答】解：（1）∵甲社区7位老人平均年龄为85岁，∴[79+78+85+80+（80+x）+92+96]=85，解得x=5，∴甲社区7位老年人的方差为s2=[（﹣6）2+（﹣7）2+02+（﹣5）2+02+72+112]=40；（2）甲社区7位老人中90岁以上的老年人有2人，分别记为A、B，乙社区7人中90岁以上老年人有3人，分别记为c 、d 、e ，从这5人中随机抽取2人的基本事件数为AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Bc 、Bd 、Be 、cd 、ce 、de 共10种，其中甲社区至少有1名老年人被抽中的结果为AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Bc 、Bd 、Be 共7种，故所求的概率为P=．19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M 为AD 的中点．（1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；（2）求三棱锥D ﹣PAC 的高．【考点】平面与平面垂直的判定；棱锥的结构特征．【分析】（1）由题意可知△ACD ，△PAD 是等边三角形，故而PM ⊥AD ，CM ⊥AD ，于是AD ⊥平面PCM ，所以平面PCM ⊥平面PAD ；（2）分别以△ACD 和△PAC 为棱锥的底面求出棱锥的体积，利用体积相等列出方程解出底面PAC 上的高．【解答】证明：（1）∵PA=PD ，M 是AD 的中点，∴PM ⊥AD ．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，∴△ACD 是正三角形，∴CM ⊥AD ，又PM ⊂平面PCM ，CM ⊂平面PCM ，PM ∩CM=M ，∴AD ⊥平面PCM ，∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PCM ⊥平面PAD ．（2）∵△ACD ，△PAD 是边长为2的正三角形，∴PM=CM=．∴V P ﹣ACD ==．∵AC=2，PA=2，PC=，∴cos ∠PAC==．∴sin ∠PAC=．∴S △APC ==． 设三棱锥D ﹣PAC 的高为h ，则V D ﹣PAC ==V P ﹣ACD ．∴=1．解得h=．20．已知曲线C的方程：x2+y2﹣4x﹣2y﹣m=0．（1）若曲线C是圆，求m的取值范围；（2）当m=0时，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，且以AB为直径的圆过点D（0，3），若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）曲线C的方程化为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5+m，由此能求出m的取值范围．（2）假设存在直线l：y=x+b，使l被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆过D（0，3），由，得2x2+（2b﹣6）x+b2﹣2b=0，由此利用韦达定理及向量的数量积能求出存在直线y=x和y=x+2满足题意．【解答】解：（1）∵曲线C的方程：x2+y2﹣4x﹣2y﹣m=0，∴曲线C的方程化为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5+m，由圆的性质得5+m＞0，解得m＞﹣5．∴m的取值范围是（﹣5，+∞）．（2）假设存在直线l：y=x+b，使l被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆过D（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得2x2+（2b﹣6）x+b2﹣2b=0，则x1+x2=﹣（b﹣3），x1x2=，∴y1y2=（x1+b）（x2+b）=，y1+y2=x1+x2+2b=b+3，依题意，=x1x2+（y1﹣3）（y2﹣3）=x1x2+y1y2﹣3（y1+y2）+9=b2﹣2b=0，解得b=0或b=2，∴存在直线y=x和y=x+2满足题意．21．已知函数f（x）=x+﹣（a﹣1）lnx．（1）讨论f（x）在[1，e]上得单调性；（2）已知g（x）=f（x）﹣x在[1，e]上单调递减，讨论f（x）在[1，e]上零点的个数．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断f′（x）的符号，从而求出函数的单调区间；（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出函数的零点的个数即可．【解答】解：（1）f′（x）=，a≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]递增；1＜a＜e时，若x∈[1，a]，则f′（x）≤0，若x∈（a，e]，则f′（x）≥0，∴f（x）在[1，a]递减，在（a，e]递增；a≥e时，f′（x）≤0，f（x）在[1，e]递减；（2）∵g（x）=f（x）﹣x在[1，e]上单调递减，∴g′（x）=f′（x）﹣1=≤0在[1，e]上恒成立，即x∈[1，e]时，a≥1﹣恒成立，而函数y=1﹣在[1，e]递增，故a≥1﹣，当1﹣≤a≤1时，由（1）得f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）min=f（1）=1+a＞0，∴f（x）在[1，e]上无零点；当1＜a＜e时，由（1）得f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增，f（x）min=f（a）=1+a﹣（a﹣1）lna＞a+1﹣（a﹣1）=2＞0，∴f（x）在[1，e]上无零点；当a≥e时，由（1）得f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=e+﹣（a﹣1），若e≤a＜，则f（x）min=f（e）＞0，∴f（x）在[1，e]上无零点；若a≥，则f（x）min=f（e）≤0，f（x）max=f（1）=1+a＞0，∴f（x）在[1，e]上有1个零点；综上：a≥时，f（x）在[1，e]上有1个零点；1﹣≤a＜时，f（x）在[1，e]上无零点．[选修4-4：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，C，F是圆O上的点，CA平分∠BAF，过C点作圆O的切线交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为M．（1）求证：CD⊥AF；（2）若CD=，AM=2，求BM的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据圆的切线性质即可在证明CD⊥AF；（2）利用三角形全等以及射影定理进行求解即可．【解答】解：（1）∵CA平分∠BAF，∴∠BAC=∠CAD，∵CD是圆的切线，∴∠ACD=∠ABC，∵AB是圆O的直径，∴∠ABC+∠BAC=∠ACD+∠CAD=90°，则∠ADC=90°，即CD⊥AF；（2）∵∠BAC=∠CAD，AC是公共边，∴Rt△AMC≌Rt△ADC∴CM=CD=，在Rt△ABCA，CM⊥AB，AM=2，由射影定理得CM2=AM•BM，得BM=1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0，曲线C2的参数方程为（α为参数）．（1）求直线C1的直角坐标方程和圆C2的圆心的极坐标；（2）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，可得直线C1的直角坐标方程和圆C2的圆心的极坐标；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，求线段AB的长．【解答】解：（1）∵直线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0，∴直线C1的直角坐标方程为x﹣y+1=0；∵曲线C2的参数方程为（α为参数），∴普通方程为（x+1）2+（y﹣）2=4，∴圆C2的圆心的直角坐标为（﹣1，），极坐标（2，）；（﹣1，）到直线x﹣y+1=0的距离d=（2）设直线C1和圆C2的交点为A，B，=，∴线段AB的长2=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞x+3；（2）若对于任意x∈R，有f（x）﹣g（x）≥0，求实数m的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）解关于x的不等式f（x）＞x+3即不等式|x﹣2|＞x+3，分类讨论，去掉绝对值符号，即可得出结论；（2）若对于任意x∈R，有f（x）﹣g（x）≥0，只需要f（2）﹣g（2）≥0，即可求实数m的最大值．【解答】解：（1）不等式f（x）＞x+3，即不等式|x﹣2|＞x+3，x≤2时，2﹣x＞x+3，∴x＜﹣，此时x＜﹣；x＞2时，x﹣2＞x+3，∴x∈∅，∴不等式的解集为{x|x＜﹣}；（2）∵对于任意x∈R，有f（x）﹣g（x）≥0，m≤0时恒成立；m＞0时，如图所示，f（2）﹣g（2）≥0，∴0﹣2m+2≥0，∴m≤1，∴实数m的最大值为1．2016年7月21日。

2016年3月高三模拟考试理科数学试题卷时量 120分钟 总分 150分考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

一：选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数iz -=11，则z z -对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知33cos 25πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2πϕ<，则tan ϕ为A ．43-B ．43C ．34- D ．343．下列命题中，真命题是 A ．0R x ∃∈，00x e≤ B ．R x ∀∈，22x x >C ．0a b +=的充要条件是1ab=- D ．1a >，1b >是1ab >的充分条件4．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为A ．1193B ．1359C ．2718D ．3413 5.若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，F E ,是线段11D B 上的两个动点，且22=EF，则下列结论中错误的是A．BFAC⊥；B．三棱锥BEFA-的体积为定值；C．//EF平面ABCDD．异面直线AE、BF所成的角为定值。

湖南省永州市2024届高三第三次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){}ln 3A x y x ==-，{}2N 4120B x x x =∈--<，则A B =I （ ）A ．{}4,5B ．[)3,6C ．{}3,4,5,6D ．()3,62．样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为（ ） A ．14B ．15C ．16D ．183．已知非零数列{}n a 满足21220n n n n a a ++-=，则20242021a a =（ ） A ．8B ．16C ．32D ．644．61tan x x θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为540，则cos2θ的值为（ ）A ．3537-B ．3537 C ．45-D ．455．为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（ ） A ．26B ．25C ．24D ．236．在ABC V 中，120ACB ∠=o，3AC u u u r =，4BC =u u u r ，0DC DB ⋅=u u u r u u u r，则AB AD +u u u r u u u r 的最小值为（ ） A．2B．4C．1D27．已知函数()e e sin 2x xf x x x -=-+-+，其中e 是自然对数的底数.若()12log 34f t f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则实数t 的取值范围是（ ） A ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()0,8D ．()8,+∞8．已知1F ，2F 分别是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，点O 为坐标原点，过1F 的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，23CB F A =u u u r u u u u r，2BF 平分1F BC ∠，其中一条渐近线与线段AB 交于点P ，则2sin POF ∠=（ ） A．7B．7CD9．下列说法正确的是（ ）A ．已知随机变量2(2)X N σ~，，若(02)0.4P X <<=，则(4)0.1P X >=B ．设0a >，0b >，则“log 3log 3b a >”成立的充要条件是“1a b >>”C ．已知()12P B A =，()38P AB =，则()316P A = D ．若()16P AB =，()13P A =，()14P B =，则事件A 与B 相互独立二、多选题10．已知抛物线2:2C x y =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为锐角的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点（点A 在第一象限），过点A 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为M ，直线l 与抛物线C的准线相交于点N ，则（ ）A ．AF BF +的最小值为2B ．当直线l8AB =C ．设直线BM ，MF 的斜率分别为1k ，2k ，则1212k k = D ．过点B 作直线AM 的垂线，垂足为Q ，BQ 交直线MF 于点P ，则BP PQ = 11．在平面四边形ABCD中，AB AD ==AB AD ⊥，BCD △为等边三角形，将ABD △沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，设二面角1A BD C --的大小为α.则下列说法正确的是（ ）A ．当150α=o 时，M ，N 分别为线段BD ，1AC 上的动点，则MNB ．当120α=o 时，三棱锥1A BCD -C ．当90α=o 时，以1AC 为直径的球面与底面BCDD ．当60α=o 时，AD 绕D 点旋转至1A D三、填空题12．已知复数()22156i z m m m =--+，()22103i z m m =--，若21z z <（z 为z 的共轭复数），则实数m 的取值范围为 .13．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c o s c o s 2c o s a B b A C +=-，π7sin 268A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos A B -= .14．已知函数()f x 的定义域为R ，()()11f x f x +-=，()27x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤，恒有()()12f x f x ≤，则12024f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.四、解答题15．绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举.某校植树节分别在甲，乙两块不同的土地上栽种某品种树苗各500株.甲地土质含有M 元素，乙地土质不含有M 元素，其它土质情况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与M 元素含量是否有关联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计分析.经统计，甲地成活45株，乙地成活40株.(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表（单位：株），并判断依据小概率值0.10α=的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与M 元素含量有关联？22⨯列联表(2)若将频率视为概率，从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为X ，求X 的分布列及方差 参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++参考数据：16．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，EC ⊥平面ABCD ，244CD BC AB ===.(1)证明：BD AE ⊥；(2)若2EC BF =，//BF EC ，且多面体ABCDEF 的体积为113，求直线AC 与平面AEF 所成角的正弦值.17．已知函数()3133ln f x x b x =---.(1)当1b =时，求()f x 在1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭的单调区间及极值.(2)若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.18．已知数列{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且112a b ==，858a a =，48a b =. (1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列()1122241n n b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，集合*422N n n n S b A n t n n a ++⎧⎫⋅⎪⎪=≥∈⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭，共有5个元素，求实数t 的取值范围； (3)若数列{}n c 中，11c =，()22log 2114nn n ac n b =≥-，求证：1121231232n c c c c c c c c c c +⋅+⋅⋅++⋅⋅<L L L .19．已知O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，动点N 满足ON =u u u r u u u r ，记点N的轨迹为E(1)求轨迹E 的方程；(2)在轨迹E 上是否存在点T ，使得过点T 作椭圆C 的两条切线互相垂直？若存在，求点T 的坐标：若不存在，请说明理由：(3)过点M 的直线()0y kx m m =+≠交轨迹E 于A ，B 两点，射线OM 交轨迹E 于点P ，射线MO 交椭圆C 于点Q ，求四边形APBQ 面积的最大值.。

【关键字】试卷2016年湖南省高考数学模拟试卷（理科）（三）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4）B．（﹣3，4）C．（0，3）D．（3，4）3．“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5 B．91，92 C．91.5，91.5 D．91.5，925．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当Sn取得最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A．5 B．3 C．4 D．27．函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或B． C． D．8．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A． B． C． D．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相笔直，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．10．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90°B．60°C．45°D．30°11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144π D．256π12．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A． B． C． D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是（用数字作答）14．已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．16．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函数，则不等式f（x）＜ex的解集为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积．（Ⅰ）求sinA与cosA的值；（Ⅱ）设，若tanC=2，求λ的值．18．为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作标本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S 分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．20．已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．21．已知椭圆C1：+x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．选修4-1几何证明选讲22．如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB 的大小．选修4-4坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．2016年湖南省高考数学模拟试卷（理科）（三）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等的条件列式求得a值．【解答】解：由（2+ai）（a﹣2i）=8，得4a+（a2﹣4）i=8，∴，解得a=2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4） B．（﹣3，4）C．（0，3） D．（3，4）【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】利用并集的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣3＜x＜4}=（﹣3，4）．故选：B．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．3．“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，即可判断出结论．【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，∴“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5 B．91，92 C．91.5，91.5 D．91.5，92【考点】茎叶图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数与平均数即可．【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；∴这组数据的中位数为=91.5，平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5．故选：C．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题，是基础题目．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当S n取得最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式，可求得公差d=2，从而可得其前n项和为S n的表达式，配方即可求得答案．【解答】解：等差数列{a n}中，a1=﹣9，a2+a8=2a1+8d=﹣18+8d=﹣2，解得d=2，所以，S n=﹣9n+=n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25，故当n=5时，S n取得最小值，故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质，考查其通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A．5 B．3 C．4 D．2【考点】循环结构．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环k的值，当k=5时，大于4，计算输出S的值为，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为：k=2，k=3，k=4，k=5，大于4，可得S=sin=，输出S的值为．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结果的程序框图，模拟执行程序正确得到k的值是解题的关键，属于基础题．7．函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由已知中函数的图象，通过坐标（，0）代入解析式，结合φ求出φ值，得到答案．【解答】解：由已知中函数y=sin（2x+φ）（φ）的图象过（，0）点代入解析式，结合五点法作图，sin（+φ）=0，+φ=π+2kπ，k∈Z，∵φ，∴k=0，∴φ=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，特殊点是解答本题的关键．8．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，分别计算正方体和四棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的体积为1，四棱锥的体积为：×1×1×=，故组合体的体积V=1﹣=，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°【考点】余弦定理；平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据三角形重心的性质得到，可得．由已知向量等式移项化简，可得=，根据平面向量基本定理得到，从而可得a=b=c，最后根据余弦定理加以计算，可得角A的大小．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴，可得．又∵，∴移项化简，得．由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，设c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA===，∵A为三角形的内角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．故选：D【点评】本题给出三角形中的向量等式，求角A的大小，着重考查了三角形重心的性质、平面向量基本定理和利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．12．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，过点M作MN⊥x轴，得到Rt△BNM，通过求解直角三角形得到M 坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合隐含条件求得双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|=|BM|，∠AMB=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，在Rt△BMN中，∵BM=AB=2a，∠MBN=60°，∴|BN|=a，，故点M的坐标为M（2a，），代入双曲线方程得a2=b2，即c2=2a2，∴．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是10 （用数字作答）【考点】二项式定理．【专题】计算题；转化思想；二项式定理．【分析】由展开式的通项公式T r+1==2﹣r，令=8，解得r即可得出．【解答】解：展开式的通项公式T r+1==2﹣r，令=8，解得r=2，∴（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）= ﹣．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；方程思想；分类法．【分析】由函数f（x）=且f（a）=﹣3，求出a值，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴当a≤1时，2a﹣2﹣2=﹣3，无解；当a＞1时，﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，∴f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣2﹣2=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，方程思想，难度中档．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为 1 ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣x数形结合可得结论．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x可知，当直线经过点A（4，﹣1）时，目标函数取最大值，代值计算可得z的最大值为：2×4﹣3=1，故答案为：1．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．16．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为（0，+∞）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件构造函数令g（x）=，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，再由奇函数的结论：f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集．【解答】解：由题意令g（x）=，则=，∵f（x）＞f′（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上是单调递减函数，∵y=f（x）﹣1为奇函数，∴f（0）﹣1=0，即f（0）=1，g（0）=1，则不等式f（x）＜e x等价为＜1=g（0），即g（x）＜g（0），解得x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．【点评】本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积．（Ⅰ）求sinA与cosA的值；（Ⅱ）设，若tanC=2，求λ的值．【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角形面积公式及余弦定理化简已知等式可得，解得：sinA+2cosA=2，又sin2A+cos2A=1，从而解方程组即可得解．（Ⅱ）由tanC=2，可得sinC，cosC的值，可得，从而由正弦定理即可解得．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由题意可得：，…所以解得：sinA+2cosA=2，又因为sin2A+cos2A=1，解方程组可得．…（Ⅱ）∵tanC=2，C为三角形的内角，∴易得，…∴…∴．…【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，同角三角函数关系式的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．18．为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作标本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为X，求X 的分布列和数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（1）甲班抽取的5名学生的成绩为102，112，117，124，136，从中有放回地抽取两个数据，基本事件总数n=52=25，其中只有一个优秀成绩，包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，由此利用等可能事件概率计算公式能求出其中只有一个优秀成绩的概率．（2）由茎叶图知甲班抽取的5名学生中有2名学生成绩优秀，乙班抽取的5名学生中有1名学生成绩优秀，由此得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望E（X）．【解答】解：（1）甲班抽取的5名学生的成绩为102，112，117，124，136，从中有放回地抽取两个数据，基本事件总数n=52=25，其中只有一个优秀成绩，包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，∴其中只有一个优秀成绩的概率p==．（2）由茎叶图知甲班抽取的5名学生中有2名学生成绩优秀，乙班抽取的5名学生中有1名学生成绩优秀，由此得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）=+=，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）①由已知得AD⊥平面APB，从而PB⊥AD，由此能证明平面PAD⊥平面PBC．②取PB中点M，连结RM，SM，由已知推导出平面PAD∥平面SMR，由此能证明RS∥平面PAD．（Ⅱ）由已知得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）①证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥平面APB，又PB⊂平面APB，∴PB⊥AD，∵PD⊥PB，AD∩PD=D，∴PB⊥平面PAD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC．②证明：取PB中点M，连结RM，SM，∵R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，∴SM∥CB∥AD，RM∥AP，又AD∩AP=A，∴平面PAD∥平面SMR，∵RS⊂平面SMR，∴RS∥平面PAD．（Ⅱ）解：由已知得，解得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q（0，0，0），P（），D（0，﹣，1），C（0，，2），∴，， =（0，，2），设平面PDQ的法向量，则，取y=2，得，设平面PCQ的法向量，则，取b=4，得=（0，4，﹣3），设二面角C﹣PQ﹣D的平面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴二面角C﹣PQ﹣D的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论即可得出其单调性；（II）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．利用此结论即可证明．【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=，x＞0．若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．若a＞2，当x∈（，1）时，f（x）递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若0＜a＜2，当x∈（1，）时，f（x）递增，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，f（x）≤f（1）=0，合题意．故a=2，且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．当0＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）=2ln﹣2（x2﹣x1）＜2（﹣1）﹣2（x2﹣x1）=2（﹣1）（x2﹣x1），∴＜2（﹣1）．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、等价转化、分类讨论的思想方法等是解题的关键．21．已知椭圆C1： +x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出抛物线的F1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程．（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线x2=4y的焦点为F1（0，1），∴c=1，又b2=1，∴∴椭圆方程为： +x2=1．…（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，设直线l1：y=kx﹣1由消去y并化简得x2﹣4kx+4=0∵直线l1与抛物线C2相切于点A．∴△=（﹣4k）2﹣4×4=0，得k=±1．…∵切点A在第一象限．∴k=1…∵l∥l1∴设直线l的方程为y=x+m由，消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0，…△=（2m）2﹣12（m2﹣2）＞0，解得．设B（x1，y1），C（x2，y2），则，．…又直线l交y轴于D（0，m）∴…=当，即时，．…所以，所求直线l的方程为．…【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．选修4-1几何证明选讲22．如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB 的大小．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）连接OD，由弦AD∥OC，易证得∠COB=∠COD，继而证得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC与⊙O相切于点B，可得∠ODC=90°，即可证得CD是⊙O的切线．（Ⅱ）利用射影定理，求出AD，即可求∠AEB 的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（Ⅱ）解：设OA=1，AD=x，则AB=2，AE=x+3，由AB2=AD•AE得x（x+3）=4，∴x=1，∴∠OAD=60°，∠AEB=30°．【点评】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及射影定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．选修4-4坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8c osθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m ＜5，故m的取值范围是（﹣∞，5）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！21文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.。

2020年湖南省永州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|y＝lg（x2﹣1）}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x≤1} 2．已知复数z满足z•（1+2i）＝|3﹣4i|（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（“同比”指与去年同月相比）（）A．2019年1至4月的快递业务收入在3月最高，2月最低，差值超过20000万元B．2019年1至4月的快递业务收入同比增长率不低于30%，在3月最高C．从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率逐月增长D．从两图来看2019年1至4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致5．下列说法正确的是（）A．若“p∨q”为真命题，则“p∧q”为真命题B．命题“∀x＞0，e x﹣x﹣1＞0”的否定是“∃x0≤0，”C．命题“若x≥1，则”的逆否命题为真命题D．“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件6．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b cos C﹣c cos B＝2c•cos C，则角C的取值范围为（）A．B．C．D．7．已知平面向量，，均为单位向量，若，则的最大值是（）A．B．3 C．D．8．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案．如图所示的窗棂图案，是将边长为2R的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝2﹣|x+2|．若对任意的x∈[﹣1，2]，f（x+a）＞f（x）成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2）∪（﹣∞，﹣6）C．（﹣2，0）D．（﹣2，0）∪（6，+∞）10．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P 为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M（异于P，F），与y轴交于点N，直线MB与y轴交于点H，若（O为坐标原点），则C的离心率为（）A．2 B．3 C．4 D．511．已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①③④C．②③D．①④12．设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（）A．∪（1，+∞）B．∪[1，+∞）C．D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（﹣）5的展开式中x﹣2的系数是．14．（5分）在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有种．（用数字填写答案）15．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，则|MD|＝．16．（5分）在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB⊂平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，当四面体以AB为轴旋转时，直线EF与直线l夹角的余弦值的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分．17．（12分）已知S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，S3＝6，a3是a1与a9的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，数列{b n}的前2n项和为P2n，若，求正整数n的最小值．18．（12分）在如图的空间几何体中，四边形BCED为直角梯形，∠DBC＝90°，BC＝2DE，AB＝AC＝2，，且平面BCED⊥平面ABC，F为棱AB中点．（1）证明：DF⊥AC；（2）求二面角B﹣AD﹣E的正弦值．19．（12分）已知椭圆与抛物线D：y2＝﹣4x有共同的焦点F，且两曲线的公共点到F的距离是它到直线x＝﹣4（点F在此直线右侧）的距离的一半．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，直线l过点F且与椭圆交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB．是否存在直线l，使点M落在椭圆C或抛物线D上？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．20．（12分）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[70，100）内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足，n∈N*，5n≤X＜5（n+1）．（1）试确定n的所有取值，并求k；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[95，100）的参赛者评为一等奖；分数在[90，95）的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在[85，90）的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）．已知学生A和B 均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段评为二等奖．（i）求学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率；（ii）已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1），g（x）＝ax+﹣x cos x．（1）当x≥0时，总有，求m的最小值．（2）对于[0，1]中任意x恒有f（x）≤g（x），求a的取值范围．（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x2﹣2x+y2＝0．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；（2）设P是椭圆上的动点，求△PMN面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝x2+2|x﹣1|．（1）解关于x的不等式：；（2）若f（x）的最小值为M，且a+b+c＝M（a，b，c∈R+），求证：．2020年湖南省永州市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．【解答】解：N＝{x|x2﹣1＞0}＝{x|x＞1或x＜﹣1}，M＝{x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N＝{x|1＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查了描述法的定义，对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由z•（1+2i）＝|3﹣4i|＝5，得，∴在复平面内复数z对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限，故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．【分析】由题意利用指数函数的单调性和特殊点，得出结论．【解答】解析：0.30.3＞0.30.4，即b＞c＞0，而，即a＞b，∴a＞b＞c，故选：B．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．4．【分析】本剧图表，可知C错，增长率不稳定．【解答】解析：由图表易知，从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率先降低，再增加，再降低，再增加，C错．故选：C．【点评】本题考查频率直方图，属于基础题．5．【分析】A选项涉及“或”一真则真，“且”一假则假的问题；B选项命题的否定要注意一改量词，二改结论；C选项可以考虑原命题的真假；D选项解方程的根为﹣1，6．【解答】解析：“p∨q”为真，则命题p，q有可能一真一假，则“p∧q”为假，故选项A 说法不正确；命题“∀x＞0，e x﹣x﹣1＞0”的否定应该是“∃x0＞0，”，故选项B说法不正确；因命题“若x≥1，则”为真命题，则其逆否命题为真命题，故选项C说法正确；因x＝﹣1⇒x2﹣5x﹣6＝0，但x2﹣5x﹣6＝0⇒x＝﹣1或x＝6，所以“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的充分不必要条件，选项D说法不正确；故选：C．【点评】本题难度较小，着重考查了逻辑连结词，命题的四种形式，否命题和充要条件的问题，需要我们熟练掌握概念和性质．6．【分析】由已知利用正弦定理，两角差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式可得sin （B﹣C）＝sin2C，在锐角三角形中可求B＝3C，可得，且，从而解得C的取值范围．【解答】解：∵b cos C﹣c cos B＝2c•cos C，∴由正弦定理可得：sin B cos C﹣sin C cos B＝2sin C cos C，∴sin（B﹣C）＝sin2C，∴B﹣C＝2C，∴B＝3C，∴，且，∴．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7．【分析】先根据已知求得||＝；再把所求展开结合数量积即可求解结论．【解答】解：∵平面向量，，均为单位向量，（+）2＝+2•+＝3，故||＝；∴＝•+﹣（+）•＝﹣（）≤+|+|•|﹣|＝+；当且仅当与反向时取等号．故选：C．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及到向量的模长计算，属于基础题目．8．【分析】由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积，由此求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率值．【解答】解：连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为S阴影＝12×（×πR2﹣×R2×sin60°）＝（2π﹣3）R2，故所求概率为．故选：B．【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．9．【分析】作出函数f（x）的图象，易知y＝f（x+a）的图象可以看成是y＝f（x）的图象向左（a＞0时）或向右（a＜0时）平移|a|个单位而得，分a＞0及a＜0，结合图象观察即可得解．【解答】解析：依题意作出f（x）的图象，y＝f（x+a）的图象可以看成是y＝f（x）的图象向左（a＞0时）或向右（a＜0时）平移|a|个单位而得，当a＞0时，y＝f（x）的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）才能满足f（x+a）＞f（x）成立，当a＜0时，y＝f（x）的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足f（x+a）＞f（x）成立（对任意的x∈[﹣1，2]），故x∈（﹣2，0）∪（6，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的应用，考查函数奇偶性及不等式的恒成立问题，考查数形结合思想，属于基础题．10．【分析】画出图形，利用三角形相似，列出比例关系，结合已知条件转化求解即可．【解答】解：不妨设P在第二象项，|FM|＝m，H（0，h）（h＞0），由知N（0，﹣2h），由△AFM～△AON，得（1），由△BOH～△BFM，得（2）（1），（2）两式相乘得，即c＝3a，离心率为3．故选：B．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出a、c关系，是解决本题的关键．11．【分析】①f（x1）﹣f（x2）＝2则为最大值1减最小值﹣1，我们需要找到在（0，π）上是否存在最大值1和最小值﹣1；②我们需要先确定ω范围从而确定的范围，根据整体思想确定它的单调性．【解答】解析：∵x∈[0，π]，∴，令，则由题意，在上只能有两解和∴，（*）因为在上必有，故在（0，π）上存在x1，x2满足f（x1）﹣f（x2）＝2；①成立；对应的x（显然在[0，π]上）一定是最大值点，因对应的x值有可能在[0，π]上，故②结论错误；解（*）得，所以④成立；当时，，由于，故，此时y＝sin z是增函数，从而f（x）在上单调递增．综上，①③④成立，故选：B．【点评】本题为三角函数与简易逻辑的综合考查，本题的关键为确定ω的范围，难度比较大．【分析】求导得有两个零点等价于函数φ（x）＝e x﹣（2x+1）12．t有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，利用h（x）的单调性可得：在取得最小值，作h（x）的图象，并作y＝t的图象，注意到h（0）＝1，，对t分类讨论即可得出．【解答】解：求导得有两个零点等价于函数φ（x）＝e x ﹣（2x+1）t有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，h（x）在递减，在递增，显然在取得最小值，作h（x）的图象，并作y＝t的图象，注意到h（0）＝1，，（原定义域x＞0，这里为方便讨论，考虑h（0）），当t≥1时，直线y＝t与只有一个交点即φ（x）只有一个零点（该零点值大于1）；当时在两侧附近同号，不是极值点；当时函数φ（x）＝e x﹣（2x+1）t有两个不同零点（其中一个零点等于1），但此时在x＝1两侧附近同号，使得x＝1不是极值点不合．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】先求通项公式，再令x的指数为﹣2即可求解结论．【解答】解：展开式通项，依题意，，得r＝3，所以：x﹣2的系数是．故答案为：﹣80．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【分析】根据题意，分2步进行分析：先选出一个重灾区分配有两个医疗队，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，将5个医疗队分派到4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则其中有一个重灾区安排两个医疗队，剩下3个重灾区各安排一个医疗队，分2步进行分析：先选出一个重灾区分配有两个医疗队，有C41种分配法，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，有种分配法，所以不同的分配方案数共有．故答案为：240．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于基础题．15．【分析】由抛物线定义知|MN|＝|MF|，再由题意可得△MNF为等边三角形，O为EF的中点DO∥NE，可得DO为三角形EFN的中位线，可得D为NF的中点，DM为等边三角形MNF 的高，由△NFE的角∠NFE＝60°可得NF的值，进而求出MD的值．【解答】解：设准线l与x轴交于E．易知F（1，0），EF＝2，由抛物线定义知|MN|＝|MF|，由于∠NMF＝60°，所以△NMF为等边三角形，∠NFE＝60°，所以三角形边长为|NM|＝＝2|FE|＝4，又OD是△FEN的中位线，MD就是该等边三角形的高，，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于中档题．16．【分析】推导出AB⊥CD，GE∥CD，GF∥AB，从而GE⊥GF，得EF＝5．当四面体绕AB旋转时，由GF∥AB，即EF绕GF旋转，由此能求出EF与直线l所成角的范围．【解答】解：∵在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB⊂平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，∴AB⊥CD，又GE∥CD，GF∥AB，∴GE⊥GF，得EF＝5．当四面体绕AB旋转时，由GF∥AB，即EF绕GF旋转，故EF与直线l所成角的范围为[90°﹣∠GFE，90°]，∴直线EF与直线l夹角的余弦值的取值范围是．故答案为：[0，]．【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分．17．【分析】（1）设出等差数列的公差为d，且不为0，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得P2n，解不等式可得所求最小值．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}，由a3是a1与a9的等比中项，可得，即a1（a1+8d）＝（a1+2d）2，化为a1＝d，又S3＝3a1+3d＝6，可得a1＝d＝1，所以数列{a n}是以1为首项和公差的等差数列，故综上；（2）由（1）可知，所以＝，所以，故n的最小值为505．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项性质，同时考查利用裂项相消法求数列的和，考查运算能力，属于中档题．18．【分析】（1）先证明四边形GFDE为平行四边形，可得GE∥DF，而GE⊥AC，则DF⊥AC，即得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD及平面ADE的法向量，利用向量公式求解即可．【解答】解：（1）证明：取AC中点为G，连接GE和GF，因为GF∥BC，且，又因为DE∥BC，且，故GF∥DE，且GF＝DE，即四边形GFDE为平行四边形，故GE∥DF，∵CE＝AE，∴GE⊥AC，又GE∥DF，则DF⊥AC；（2）∵平面BCED⊥平面ABC，平面BCED∩平面ABC＝BC，DB⊥AC，∴DB⊥平面ABC，又AC在平面ABC内，∴DB⊥AC，又DF⊥AC，BD∩DF＝D，BD，DF在平面ABC∴AC⊥平面ABD，∴AC⊥AB，∵AB＝AC＝2，∴，取BC中点O连接OE和OA，四边形BCED为直角梯形，则OE∥DB，∵DB⊥平面ABC，∴OE⊥平面ABC，故OE⊥BC，OE⊥OA，∵AB＝AC，OA⊥BC，∴以OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴建立直角坐标系，∵，∴OE＝1，则，故，易知平面ABD的一个法向量为，设平面ADE的一个法向量为，则，故可取，设二面角B﹣AD﹣E的为θ，则，∴二面角B﹣AD﹣E的正弦值为．【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的基本位置关系，考查利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．19．【分析】（1）由已知求得c，可得a2＝b2+1，再由已知求得点Q的坐标，代入椭圆方程得关于a，b的方程，联立求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k（x+1），与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合OABM为平行四边形，即，可得M的坐标，分别代入椭圆与抛物线方程，得到关于k的方程，求解k无解，当直线斜率不存在时，易知存在点M（﹣2，0）在椭圆C上，可得不存在直线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点M（﹣2，0）落在椭圆C上．【解答】解：（1）由题意知F（﹣1，0），因而c＝1，即a2＝b2+1，又两曲线在第二象限内的交点Q（x Q，y Q）到F的距离是它到直线x＝﹣4的距离的一半，即4+x Q＝2（﹣x Q+1），得，则，代入到椭圆方程，得．由，解得a2＝4，b2＝3，∴所求椭圆的方程为．（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k（x+1），由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，，由于OABM为平行四边形，得，故，若点M在椭圆C上，则，代入得，解得k无解；若点M在抛物线D上，则，代入得，解得k无解．当直线斜率不存在时，易知存在点M（﹣2，0）在椭圆C上．故不存在直线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点M（﹣2，0）落在椭圆C上．【点评】本题考查求椭圆的标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20．【分析】（1）X在[70，100）内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），由70≤X＜100，由5n≤X＜5（n+1），n∈N*，能求出n的对值和k．（2）（i）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，学生B的分数属于区间[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100）的概率分别是，用符号A ij（或B ij）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中j≤i（i，j＝1，2，3），记W＝“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”，由此能求出学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率．（ii）学生A最终获得一等奖的概率是P（A21）＝，学生B最终获得一等奖的概率是P（）＝，ξ的可能取值为0，1，2，分虽求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）根据题意，X在[70，100）内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），∵70≤X＜100，由5n≤X＜5（n+1），n∈N*，∴n＝14，15，16，17，18，19，每个小区间对应的频率值分别是P＝5Y＝．，解得k＝，∴n的对值是14，15，16，17，18，19，k＝．（2）（i）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由（1）知，学生B的分数属于区间[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100）的概率分别是：，我们用符号A ij（或B ij）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中j≤i（i，j＝1，2，3），记W＝“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”，则P（W）＝P（B1+B21+B22A22+B32A22）＝P（B1）+P（B21）+P（B22）P（A22）+P（B32）P（A22）＝+＝．（ii）学生A最终获得一等奖的概率是P（A21）＝，学生B最终获得一等奖的概率是P（）＝，P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2PEξ＝＝．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．【分析】（1）由已知不等式先构造函数，然后结合导数与单调性的关系可求相应函数的单调性，进而可求．（2）构造函数，对其求导，然后结合导数与单调性的关系及不等式的恒成立与最值问题的相互转化可求．【解答】解：（1）令，则φ'（x）＝x+m﹣ln（x+1）﹣1，，∴φ'（x）在[0，+∞）上单调递增，且φ'（0）＝m﹣1，若m≥1，φ（x）在[0，+∞）上单调递增，∴φ（x）≥φ（0）＝0，即m≥1满足条件，若m＜1，φ′（0）＝m﹣1＜0，φ（x）存在单调递减区间[0，x0]，又∵φ（0）＝0 所以存在x0使得φ（x0）＜0与已知条件矛盾，所以m≥1，m的最小值为1．（2）由（1）知，如果，则必有f（x）≤g（x）成立．令，则h（x）＝（a﹣1）x﹣x cos x＝x（a﹣1﹣cos x），h（x）＝x（a﹣1﹣cos x）≥0，则a﹣1﹣cos x≥0，a≥1+cos x，a≥2．若h（x）≥0，必有f（x）≤g（x）恒成立，故当a≥2时，f（x）≤g（x）恒成立，下面证明a＜2时，f（x）≤g（x）不恒成立．令f1（x）＝f（x）﹣x＝（x+1）ln（x+1）﹣x，f′1（x）＝ln（x+1），当x＞0时，f′1（x）＝ln（x+1）＞0，f1（x）在区间[0，1]上单调递增，故f1（x）≥f1（0）＝0，即f1（x）＝f（x）﹣x≥0，故x≤f（x）．g（x）﹣f（x）≤g（x）﹣x＝＝，令，＞0，所以t（x）在[0，1]上单调递增，t（0）＝a﹣2＜0，则一定存在区间（0，m）（其中0＜m＜1），当x∈（0，m）时，t（x）＜0，则g（x）﹣f（x）≤xt（x）＜0，故f（x）≤g（x）不恒成立．综上所述：实数a取值范围是[2，+∞）．【点评】本题主要考查了不等式恒成立问题；还考查不等式放缩求参数取值范围问题的求解，属于中档试题．（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形面积公式的应用求出结果．【解答】解：（1）曲线C的方程为x2﹣2x+y2＝0．转换为极坐标方程为：ρ＝2cosθ．联立，得M（0，0），．（2）易知|MN|＝1，直线．设点P（2cosα，sinα），则点P到直线l的距离．∴（其中）．∴△PMN面积的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】第1问考查利用分类讨论思想解绝对值不等式；第2问考查分段函数求最值、构造法和基本不等式等．【解答】解：（1）当x＜0时，等价于x2+2|x﹣1|＞﹣2，该不等式恒成立，……（1分）当0＜x≤1时，f（x）＞等价于x2﹣2x＞0，该不等式解集为ϕ，……（2分）当x＞1时，等价于x2+2x﹣2＞2，解得，………（3分）综上，x＜0或，所以不等式的解集为．…………………（5分）证明：（2），易得f（x）的最小值为1，即a+b+c＝M＝1……………………………（7分）因为a，b，c∈R+，所以，，，所以≥2a+2b+2c＝2，……………………（9分）当且仅当时等号成立．…………………………………………（10分）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，属于基础题．。

湖南省永州市2016年高考数学三模试卷（理科）（解析版）一、选择题1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B=（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{2，3，4}2．设复数z满足=i，则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣13．下列函数中，在其定义域内是奇函数且是增函数的是（）A．y=2x B．y=2|x|C．y=2﹣x﹣2x D．y=2x﹣2﹣x4．袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸出红球”为事件A，“摸得的两球同色”为事件B，则概率P（B|A）为（）A．B．C．D．5．等差数列{a n}中，a3=2，a6=5，则数列{}的前5项和等于（）A．15 B．31 C．63 D．1276．若函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），满足f（0）=f（），且函数在[0，]上有且只有一个零点，则f（x）的最小正周期为（）A．B．πC． D．2π7．当实数x，y满足不等式组，恒有ax+y≤3，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）8．MOD（a．b）表示求a除以b的余数，若输入a=34，b=85，则输出的结果为（）A．0 B．17 C．21 D．349．已知三棱柱ABO﹣DCE的顶点A、B、C、D、E均在以顶点O为球心、半径为2的球面上，其中AB=2，则三棱柱的侧面积为（）A．2+2B．2+4C．4+4D．4+610．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣2，﹣1），C（6，﹣1），以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（）A．x2+y2=1 B．x2+y2=4C．x2+y2=D．x2+y2=1或x2+y2=3711．一个空间几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=﹣k（﹣），若x=1是函的f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣]∪{0}D．（﹣∞，﹣]∪{0，e}二、填空题13．二项式（2x2﹣）6展开式中，x﹣3项的系数为．14．已知向量与的夹角为，且||=1，|﹣|=1，则||=．15．在双曲线﹣=1（a，b＞0）中，若过双曲线左顶点A斜率为1的直线交右支于点B，点B在x轴上的射影恰好为双曲线的右焦点F，则该双曲线的离心率为．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n﹣1n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．三、解答题17．（12分）（2016永州三模）如图，已知∠BAC=，正△PMN的顶点M、N分别在射线AB、AC上运动，P在∠BAC的内部，MN=2，M、P、N按逆时针方向排列，设∠AMN=θ．（1）求AM（用θ表示）；（2）当θ为何值时PA最大，并求出最大值．18．（12分）（2016永州三模）正方形ABCD所在的平面与三角形ABE所在的平面交于AB，且DE⊥平面ABE，ED=AE=1．（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；（2）求平面CEB与平面ADE所成锐二面角的余弦值．19．（12分）（2016永州三模）2016年1月1日，我国实施“全面二孩”政策，中国社会科学院在某地（已婚男性约15000人）随机抽取了150名已婚男性，其中愿意生育二孩的有100名，经统计，该100名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下；（1）求这100名已婚男性的年龄平均值和样本方差s2（同组数据用区间的中点值代替，结果精确到个位）；（2）（Ⅰ）试估计该地愿意生育二孩的已婚男性人数；（Ⅱ）由直方图可以认为，愿意生育二孩的已婚男性的年龄ξ服从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似样本的平均值，δ2近似为样本的方差s2，试问：该地愿意生育二孩且处于较佳的生育年龄ξ（ξ∈（26，31））的总人数约为多少？（结果精确到个位）附：若ξ～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）=0.9544．20．（12分）（2016永州三模）已知椭圆C： +=1（a＞0）的两条切线方程y=±（x﹣4），切点分别为A、B，且切线与x轴的交点为T．（1）求a的值；（2）过T的直线l与椭圆C交于M，N两点，与AB交于点D，求证： +为定值．21．（12分）（2016永州三模）已知函数f（x）=﹣lnx（a≠0，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在两个不相等的正数x1，x2，满足f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞2a．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016永州三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC∥BP，BM 切⊙O于B，BM交CP于M，且CM=MP．（1）求证：CP与⊙O相切；（2）已知CP与AB交于N，AB=2，CN=，求AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016永州三模）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为：（α为参数），M是圆C1上得动点，MN⊥x轴，垂足为N，P是线段MN的中点，点P的轨迹为曲线C2．（1）求C2的参数方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求△C1AB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016永州三模）已知x≥y＞0．（1）若xy=1，|x﹣1|+|y﹣1|≥1，求x的取值范围．（2）若x+y=1，证明：（﹣1）（﹣1）≥9．2016年湖南省永州市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B=（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的定义与运算性质，进行化简与运算即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，A={1，2}，∴C U A={3，4}，又B={2，3}，∴（C U A）∪B={2，3，4}．故选：D．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．2．设复数z满足=i，则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则答案可求．【解答】解：由=i，得1+z=i﹣iz，即（1+i）z=﹣1+i，∴，∴z的虚部为1．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．下列函数中，在其定义域内是奇函数且是增函数的是（）A．y=2x B．y=2|x|C．y=2﹣x﹣2x D．y=2x﹣2﹣x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数的奇偶性与单调性的定义，对选项中的函数进行判断即可．【解答】解：对于A，指数函数y=2x在其定义域上是非奇非偶函数，不符合题意；对于B，函数y=2|x|在其定义域是偶函数，不符合题意；对于C，函数y=2﹣x﹣2x是定义域上的奇函数，且是减函数，不符合题意；对于D，函数y=2x﹣2﹣x是定义域上的奇函数，且是增函数，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了基本初等函数的奇偶性与单调性的判断问题，是基础题目．4．袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸出红球”为事件A，“摸得的两球同色”为事件B，则概率P（B|A）为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】求出事件A发生的概率，事件AB同时发生的概率，利用条件概率公式求得P（B|A）．【解答】解：由P（A）=，P（AB）==，由条件概率P（B|A）==，故答案为：A．【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．5．等差数列{a n}中，a3=2，a6=5，则数列{}的前5项和等于（）A．15 B．31 C．63 D．127【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式可得a n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=2，a6=5，∴，解得d=1，a1=0．∴a n=n﹣1．∴=2n﹣1．则数列{}的前5项和S5==31．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），满足f（0）=f（），且函数在[0，]上有且只有一个零点，则f（x）的最小正周期为（）A．B．πC． D．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】根据f（0）=f（），得出函数f（x）的一条对称轴x=；再根据题意得出﹣0≤≤﹣，结合题目中的选项求出f（x）的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），满足f（0）=f（），∴x==是函数f（x）的一条对称轴；又函数f（x）在[0，]上有且只有一个零点，∴﹣0≤≤﹣，即≤T≤，结合题目中的选项，得：f（x）的最小正周期为T=π．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的零点、对称轴与周期的应用问题，是基础题目．7．当实数x，y满足不等式组，恒有ax+y≤3，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】画出不等式满足的平面区域，由直线ax+y=3过定点M（0，3），且ax+y≤3恒成立，结合图形确定出a的范围即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，1），∵直线ax+y=3过定点M（0，3），∴要使对可行域内的所有点，都有ax+y≤3成立，则﹣a≥，即a≤1．故选：A．【点评】此题考查了简单线性规划，画出正确的图形是解本题的关键，是中档题．8．MOD（a．b）表示求a除以b的余数，若输入a=34，b=85，则输出的结果为（）A ．0B ．17C ．21D ．34【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a ，b ，m 的值，当m=0时满足条件m=0，退出循环，输出a 的值为17．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=34，b=85不满足条件a ＞b ，c=34，a=85，b=34m=MOD （85，34）=17，a=34，b=17不满足条件m=0，m=MOD （34，17）=0，a=17，b=0，满足条件m=0，退出循环，输出a 的值为17．故选：B ．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a ，b ，m 的值是解题的关键，属于基础题．9．已知三棱柱ABO ﹣DCE 的顶点A 、B 、C 、D 、E 均在以顶点O 为球心、半径为2的球面上，其中AB=2，则三棱柱的侧面积为（ ）A ．2+2B ．2+4C ．4+4D ．4+6【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】连结OD ，OC ，则△OBC 与△OEC 都是边长为2的等边三角形，从而三棱柱的侧面积S=S 正方形ABCD +2S 四边形BCEO =S 正方形ABCD +4S △OBC ，由此能求出结果．【解答】解：如图，三棱柱ABO ﹣DCE 的顶点A 、B 、C 、D 、E 均在以顶点O 为球心、半径为2的球面上，AB=2，连结OD ，OC ，则△OBC 与△OEC 都是边长为2的等边三角形， ∴三棱柱的侧面积：S=S 正方形ABCD +2S 四边形BCEO =S 正方形ABCD +4S △OBC=2×2+4×（）=4+4．故选：C ．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣2，3），B （﹣2，﹣1），C （6，﹣1），以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2=1 B ．x 2+y 2=4C ．x 2+y 2=D ．x 2+y 2=1或x 2+y 2=37【考点】圆的标准方程．【分析】由题意画出图形，结合以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，求出圆的半径，则圆的方程可求． 【解答】解：如图，A （﹣2，3），C （6，﹣1），∴过A 、C 的直线方程为，化为一般式方程，x +2y ﹣4=0．点O 到直线x +2y ﹣4=0的距离d=，又OA=，OB=，OC=．∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点，则公共点为（0，﹣1）或（6，﹣1），∴圆的半径为1或，则圆的方程为x2+y2=1或x2+y2=37．故选：D．【点评】本题考查圆的标准方程，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．一个空间几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得该几何体是四分之一圆锥和一个八分之一球的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由球体、椎体的积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，该几何体是四分之一圆锥和一个八分之一球的组合体，球的半径和圆锥的底面半径均为1，圆锥的高为1，∴几何体的体积V===，故选：B【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．12．已知函数f（x）=﹣k（﹣），若x=1是函的f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣]∪{0}D．（﹣∞，﹣]∪{0，e}【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由f（x）的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【解答】解：∵函数f（x）=﹣k（﹣），x≠0，∴f′（x）=﹣k（﹣+）=，∵x=1是函数f（x）的唯一一个极值点∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．∴xe x﹣k=0在（﹣∞，0），（0，+∞）无变号零点，令g（x）=xe x﹣k，g′（x）=e x（x+1），令g′（x）＞0，解得：x＞﹣1，令g′（x）＜0，解得：x＜﹣1，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，0），（0，+∞）递增，g（x）的最小值为g（﹣1）=﹣﹣k≥0，解得：k≤﹣，又k=0时，f（x）=，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，∴f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，x=1是函的f（x）的唯一一个极值点，符合题意，综上所述，k（﹣∞，﹣]∪{0}．故选：C．【点评】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．二、填空题13．二项式（2x2﹣）6展开式中，x﹣3项的系数为﹣12．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令展开式中含x项的系数等于﹣3求出r的值，由此求出结果．【解答】解：二项式（2x2﹣）6展开式中，通项公式为T r+1=C6r（2x2）6﹣r（﹣）r=26﹣r（﹣1）r C6r x12﹣3r，令12﹣3r=﹣3，解得r=5，所以T5+1=2（﹣1）5×C65x﹣3=﹣12x﹣3，所以含x﹣3项的系数为﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题考查了二项式定理与通项公式的应用问题，是基础题目．14．已知向量与的夹角为，且||=1，|﹣|=1，则||=1或2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件可以得到，从而对两边平方即可得出，这样解该方程即可求出的值．【解答】解：根据条件，；∴==1，∴；解得．故答案为：1或2．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，对等式两边平方从而求的方法，以及一元二次方程的解法．15．在双曲线﹣=1（a，b＞0）中，若过双曲线左顶点A斜率为1的直线交右支于点B，点B在x轴上的射影恰好为双曲线的右焦点F，则该双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得A（﹣a，0），F（c，0），令x=c，代入双曲线的方程，可得B的坐标，由两点的斜率公式，化简整理，结合a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），F（c，0），令x=c，可得y=±b=±，即有B（c，），由直线AB的斜率为1，可得：=1，即有b2=a（c+a），又b2=c2﹣a2=（c﹣a）（c+a），即有c﹣a=a，即c=2a，e==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用两点的直线的斜率公式和基本量的关系，考查运算能力，属于中档题．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n﹣1n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（﹣3，1）．【考点】数列的求和．，可得a n=（﹣1）n﹣1【分析】S n=（﹣1）n﹣1n，可得：a1=S1=1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1（2n﹣1），对n分类讨论，利用（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，即可解出．【解答】解：∵S n=（﹣1）n﹣1n，∴a1=S1=1．=（﹣1）n﹣1n﹣（﹣1）n﹣2（n﹣1）=（﹣1）n﹣1（2n﹣1），当n=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1时也成立，∴a n=（﹣1）n﹣1（2n﹣1），当n为偶数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[（2n+1）﹣p][﹣（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n﹣1）＜p＜2n+1，可得﹣3＜p＜5．当n为奇数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[﹣（2n+1）﹣p][（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n+1）＜p＜2n﹣1，可得﹣3＜p＜1．∴，解得﹣3＜p＜1．故答案为：（﹣3，1）．【点评】本题考查了递推公式、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2016永州三模）如图，已知∠BAC=，正△PMN的顶点M、N分别在射线AB、AC上运动，P在∠BAC的内部，MN=2，M、P、N按逆时针方向排列，设∠AMN=θ．（1）求AM（用θ表示）；（2）当θ为何值时PA最大，并求出最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）在△AMN中，由正弦定理可得：=，代入化简即可得出．（II）在△AMP中，由余弦定理可得：AP2=AM2+22﹣4AMcos∠AMP，代入化简整理即可得出．【解答】解：（1）在△AMN中，由正弦定理可得：=，∴AM==．（II）在△AMP中，由余弦定理可得：AP2=AM2+22﹣4AMcos∠AMP=+4﹣=+4﹣=+=﹣，θ∈．当且仅当=，即θ=时，|AP|max=2．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016永州三模）正方形ABCD所在的平面与三角形ABE所在的平面交于AB，且DE⊥平面ABE，ED=AE=1．（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；（2）求平面CEB与平面ADE所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出DE⊥AB，AD⊥AB，从而AB⊥平面ADE，由此能证明平面ABCD ⊥平面ADE．（2）以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，以过A点垂直平面ABE的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面CEB与平面ADE成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵DE⊥平面ABE，AB⊂平面ABE，∴DE⊥AB，又四边形ABCD是正方形，∴AD⊥AB，∵DE与AD相交，∴AB⊥平面ADE，∵AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE．解：（2）由（1）知AB⊥AE，以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，以过A点垂直平面ABE的直线为z轴，建立空间直角坐标系，∵ED=AE=1，∴AD=，E（0，1，0），B（，0，0），D（0，1，1），==（，0，0），C（，1，1），=（），=（），设面BEC的法向量=（x，y，z），则，即，令x=，得=（），面ADE的一个法向量为=（1，0，0），cos＜＞===，∴平面CEB与平面ADE成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2016永州三模）2016年1月1日，我国实施“全面二孩”政策，中国社会科学院在某地（已婚男性约15000人）随机抽取了150名已婚男性，其中愿意生育二孩的有100名，经统计，该100名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下；（1）求这100名已婚男性的年龄平均值和样本方差s2（同组数据用区间的中点值代替，结果精确到个位）；（2）（Ⅰ）试估计该地愿意生育二孩的已婚男性人数；（Ⅱ）由直方图可以认为，愿意生育二孩的已婚男性的年龄ξ服从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似样本的平均值，δ2近似为样本的方差s2，试问：该地愿意生育二孩且处于较佳的生育年龄ξ（ξ∈（26，31））的总人数约为多少？（结果精确到个位）附：若ξ～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）=0.9544．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；简单随机抽样．【分析】（1）由频率分布直方图能求出这100名已婚男性的年龄平均值和样本方差s2．（2）（Ⅰ）该地愿意生育二孩的已婚男性人数为15000×=10000人（Ⅱ）由（1）知，且ξ～N（36，25），即可求出P（26＜ξ＜31）= [P（26＜ξ＜46）﹣P （31＜ξ＜41）]=0.1359，问题得以解决．【解答】解：（1）100名已婚男性的年龄平均值和样本方差s2分别为=24×0.04+28×0.08+32×0.16+36×0.44+40×0.16+44×0.1+48×0.02=35.92≈36，s2=（﹣12）2×0.04+（﹣8）2×0.08+（﹣4）2×0.16+02×0.44+42×0.16+82×0.1+122×0.02≈25，（2）（Ⅰ），该地愿意生育二孩的已婚男性人数为15000×=10000人，（Ⅱ）由（1）知，标准差s=5，且ξ～N（36，25），∴P（31＜ξ＜41）=0.6826，P（26＜ξ＜46）=0.9544，∴P（26＜ξ＜31）= [P（26＜ξ＜46）﹣P（31＜ξ＜41）]=0.1359，∴该地愿意生育二孩且处于较佳的生育年龄ξ（ξ∈（26，31））的总人数约为10000×0.1359=1359人．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．20．（12分）（2016永州三模）已知椭圆C： +=1（a＞0）的两条切线方程y=±（x﹣4），切点分别为A、B，且切线与x轴的交点为T．（1）求a的值；（2）过T的直线l与椭圆C交于M，N两点，与AB交于点D，求证： +为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）联立，得（3+）x2﹣2a2x+a2=0，直线与椭圆相切，利用的判别式能求出a．（2）T（4，0），设直线l的方程为x=my+4，联立，消去x，得（3m2+4）y2+24my+4m2+36=0，由此利用韦达定理、相似形性质，结合已知条件能证明+为定值．【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞0）的两条切线方程y=±（x﹣4），∴联立，消去y并化简，得（3+）x2﹣2a2x+a2=0，∵直线与椭圆相切，∴△=4a4﹣4（3+）a2=3a4﹣12a2=0，由a＞0，解得a=2．证明：（2）由（1）得T（4，0），不妨设直线l的方程为x=my+4，由题意得m≠0，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去x，得（3m2+4）y2+24my+4m2+36=0，由根与系数的关系，得，，又切点的横坐标应满足方程（3+）x2﹣2a2x+a2=0，即4x2﹣8x+4=0，即x A=x B=1，∴直线AB的方程为x=1．当直线l与x轴重合时，|TD|=3，|TM|=2，|TN|=6，∴+=为定值；当直线l与x轴不重合时，m≠0，则点D（1，﹣），根据相似形，得==，==，∴+==（y1，y2同号）==2为定值．∴+为定值2．【点评】本题考查实数值的求法，考查代数式和为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线与椭圆相切、韦达定理的合理运用．21．（12分）（2016永州三模）已知函数f（x）=﹣lnx（a≠0，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在两个不相等的正数x1，x2，满足f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞2a．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）得到a＞0符合题意，不妨设x1＜x2，问题转化为证f（x2）＞f（2a﹣x1）即可，根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，当a＞0时，x≥a，f′（x）≥0，0＜x＜a，f′（x）＜0，当a＜0时，x＞0，f′（x）＜0，故a＞0时：f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；a＜0时，f（x）在（0，+∞）递减；（2）证明：由（1）得：a＜0时，f（x）在（0，+∞）递减，不合题意；a＞0时：f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，若存在两个不相等的正数x1，x2，满足f（x1）=f（x2），不妨设x1＜x2，则有x1∈（0，a），x2∈（a，+∞），要证x1+x2＞2a，即证x2＞2a﹣x1，而x2＞a，2a﹣x1＞a，故只需证f（x2）＞f（2a﹣x1）即可，函数F（x）=f（x）﹣f（2a﹣x）的定义域是（0，2a），F（x）=f（x）﹣f（2a﹣x）=﹣lnx﹣+ln（2a﹣x），F′（x）=≤0，当且仅当x=a“=”成立，F（x）在（0，2a）递减，而F（a）=0，∴x∈（0，a）时，F（x）=f（x）﹣f（2a﹣x）＞0，x∈（a，2a）时，F（x）=f（x）﹣f（2a﹣x）＜0，故x1∈（0，a），有f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，从而x1+x2＞2a．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016永州三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC∥BP，BM 切⊙O于B，BM交CP于M，且CM=MP．（1）求证：CP与⊙O相切；（2）已知CP与AB交于N，AB=2，CN=，求AC的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）连接BC，OC，证明△OCM≌△OBM，可得∠OCM=90°，即可证明CP与⊙O相切；（2）由切割线定理可得：CN2=NANB，求出NA，利用△ACB∽△CBP求AC的长．【解答】（1）证明：连接BC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC∥BP，∴∠CBP=90°，∵CM=MP，∴MC=MB，∵OC=OB，OM=OM，∴△OCM≌△OBM，∴∠OCM=90°，∴CP与⊙O相切；（2）解：由切割线定理可得：CN2=NANB，∵AB=2，CN=，∴3=NA（NA+2），∴NA=1，∵AC∥BP，∴==．设AC=x，则BP=3x．∵△ACB∽△CBP，∴=，∴BC=x．在△ACB中，AB2=AC2+BC2，∴4=x2+3x2，∴x=1，∴AC=1．【点评】本题考查直线与圆相切，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016永州三模）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为：（α为参数），M是圆C1上得动点，MN⊥x轴，垂足为N，P是线段MN的中点，点P的轨迹为曲线C2．（1）求C2的参数方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求△C1AB的面积．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）设P（x，y），则M（x，2y），由点M在C1上，可得，化简即可得出C2的参数方程．（2）圆C1的参数方程为：（α为参数），化为普通方程，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．C2的参数方程为（α为参数），化为普通方程，同理可得极坐标方程．射线与C1的交点A的极径ρ1=．射线与C2的交点B的极径ρ2=，可得|AB|=|ρ1﹣ρ2|，又C1到BA的距离d=．即可得出=|BA|d．【解答】解：（1）设P（x，y），则M（x，2y），∵点M在C1上，∴，即．∴C2的参数方程为（α为参数）．（2）圆C1的参数方程为：（α为参数），化为普通方程：x2+（y﹣2）2=4，展开为：x2+y2﹣4y=0．可得极坐标方程为：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．C2的参数方程为（α为参数），化为普通方程： +（y﹣1）2=1，展开为：x2+4y2﹣8y+3=0，可得极坐标方程：ρ2（1+3sin2θ）﹣8ρsinθ=0．即ρ（1+3sin2θ）=8sinθ．射线与C1的交点A的极径ρ1==2．射线与C2的交点B的极径ρ2==．∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=，又C1到BA的距离d==．∴=|BA|d==．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程、直线与曲线的交点、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016永州三模）已知x≥y＞0．（1）若xy=1，|x﹣1|+|y﹣1|≥1，求x的取值范围．（2）若x+y=1，证明：（﹣1）（﹣1）≥9．【考点】不等式的证明．【分析】（1）由条件可得x≥1，0＜y≤1，原不等式|x﹣1|+|y﹣1|≥1化为x2﹣x﹣1≥0，即可得到x的范围；（2）由条件将原不等式左边化为=+1，运用均值不等式即可得证．【解答】解：（1）由x≥y＞0，xy=1，可得x≥1，0＜y≤1，不等式|x﹣1|+|y﹣1|≥1化为x﹣1+1﹣y≥1，即为y≤x﹣1，由y=，可得x2﹣x﹣1≥0，解得x≥或x≤，由x≥1，可得x的取值范围是[，+∞）；（2）由x+y=1，1＞x≥y＞0，可得（﹣1）（﹣1）====+1≥+1=8+1=9．即有原不等式成立．【点评】本题考查不等式的解法和不等式的证明，注意运用二次不等式的解法和均值不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

2020年湖南省永州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|y＝lg（x2﹣1）}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x≤1} 2．已知复数z满足z•（1+2i）＝|3﹣4i|（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（“同比”指与去年同月相比）（）A．2019年1至4月的快递业务收入在3月最高，2月最低，差值超过20000万元B．2019年1至4月的快递业务收入同比增长率不低于30%，在3月最高C．从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率逐月增长D．从两图来看2019年1至4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致5．下列说法正确的是（）A．若“p∨q”为真命题，则“p∧q”为真命题B．命题“∀x＞0，e x﹣x﹣1＞0”的否定是“∃x0≤0，”C．命题“若x≥1，则”的逆否命题为真命题D．“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件6．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b cos C﹣c cos B＝2c•cos C，则角C的取值范围为（）A．B．C．D．7．已知平面向量，，均为单位向量，若，则的最大值是（）A．B．3 C．D．8．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案．如图所示的窗棂图案，是将边长为2R的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝2﹣|x+2|．若对任意的x∈[﹣1，2]，f（x+a）＞f（x）成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2）∪（﹣∞，﹣6）C．（﹣2，0）D．（﹣2，0）∪（6，+∞）10．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P 为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M（异于P，F），与y轴交于点N，直线MB与y轴交于点H，若（O为坐标原点），则C的离心率为（）A．2 B．3 C．4 D．511．已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①③④C．②③D．①④12．设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（）A．∪（1，+∞）B．∪[1，+∞）C．D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（﹣）5的展开式中x﹣2的系数是．14．（5分）在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有种．（用数字填写答案）15．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，则|MD|＝．16．（5分）在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB⊂平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，当四面体以AB为轴旋转时，直线EF与直线l夹角的余弦值的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分．17．（12分）已知S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，S3＝6，a3是a1与a9的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，数列{b n}的前2n项和为P2n，若，求正整数n的最小值．18．（12分）在如图的空间几何体中，四边形BCED为直角梯形，∠DBC＝90°，BC＝2DE，AB＝AC＝2，，且平面BCED⊥平面ABC，F为棱AB中点．（1）证明：DF⊥AC；（2）求二面角B﹣AD﹣E的正弦值．19．（12分）已知椭圆与抛物线D：y2＝﹣4x有共同的焦点F，且两曲线的公共点到F的距离是它到直线x＝﹣4（点F在此直线右侧）的距离的一半．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，直线l过点F且与椭圆交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB．是否存在直线l，使点M落在椭圆C或抛物线D上？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．20．（12分）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[70，100）内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足，n∈N*，5n≤X＜5（n+1）．（1）试确定n的所有取值，并求k；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[95，100）的参赛者评为一等奖；分数在[90，95）的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在[85，90）的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）．已知学生A和B 均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段评为二等奖．（i）求学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率；（ii）已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1），g（x）＝ax+﹣x cos x．（1）当x≥0时，总有，求m的最小值．（2）对于[0，1]中任意x恒有f（x）≤g（x），求a的取值范围．（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x2﹣2x+y2＝0．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；（2）设P是椭圆上的动点，求△PMN面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝x2+2|x﹣1|．（1）解关于x的不等式：；（2）若f（x）的最小值为M，且a+b+c＝M（a，b，c∈R+），求证：．2020年湖南省永州市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．【解答】解：N＝{x|x2﹣1＞0}＝{x|x＞1或x＜﹣1}，M＝{x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N＝{x|1＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查了描述法的定义，对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由z•（1+2i）＝|3﹣4i|＝5，得，∴在复平面内复数z对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限，故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．【分析】由题意利用指数函数的单调性和特殊点，得出结论．【解答】解析：0.30.3＞0.30.4，即b＞c＞0，而，即a＞b，∴a＞b＞c，故选：B．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．4．【分析】本剧图表，可知C错，增长率不稳定．【解答】解析：由图表易知，从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率先降低，再增加，再降低，再增加，C错．故选：C．【点评】本题考查频率直方图，属于基础题．5．【分析】A选项涉及“或”一真则真，“且”一假则假的问题；B选项命题的否定要注意一改量词，二改结论；C选项可以考虑原命题的真假；D选项解方程的根为﹣1，6．【解答】解析：“p∨q”为真，则命题p，q有可能一真一假，则“p∧q”为假，故选项A 说法不正确；命题“∀x＞0，e x﹣x﹣1＞0”的否定应该是“∃x0＞0，”，故选项B说法不正确；因命题“若x≥1，则”为真命题，则其逆否命题为真命题，故选项C说法正确；因x＝﹣1⇒x2﹣5x﹣6＝0，但x2﹣5x﹣6＝0⇒x＝﹣1或x＝6，所以“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的充分不必要条件，选项D说法不正确；故选：C．【点评】本题难度较小，着重考查了逻辑连结词，命题的四种形式，否命题和充要条件的问题，需要我们熟练掌握概念和性质．6．【分析】由已知利用正弦定理，两角差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式可得sin （B﹣C）＝sin2C，在锐角三角形中可求B＝3C，可得，且，从而解得C的取值范围．【解答】解：∵b cos C﹣c cos B＝2c•cos C，∴由正弦定理可得：sin B cos C﹣sin C cos B＝2sin C cos C，∴sin（B﹣C）＝sin2C，∴B﹣C＝2C，∴B＝3C，∴，且，∴．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7．【分析】先根据已知求得||＝；再把所求展开结合数量积即可求解结论．【解答】解：∵平面向量，，均为单位向量，（+）2＝+2•+＝3，故||＝；∴＝•+﹣（+）•＝﹣（）≤+|+|•|﹣|＝+；当且仅当与反向时取等号．故选：C．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及到向量的模长计算，属于基础题目．8．【分析】由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积，由此求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率值．【解答】解：连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为S阴影＝12×（×πR2﹣×R2×sin60°）＝（2π﹣3）R2，故所求概率为．故选：B．【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．9．【分析】作出函数f（x）的图象，易知y＝f（x+a）的图象可以看成是y＝f（x）的图象向左（a＞0时）或向右（a＜0时）平移|a|个单位而得，分a＞0及a＜0，结合图象观察即可得解．【解答】解析：依题意作出f（x）的图象，y＝f（x+a）的图象可以看成是y＝f（x）的图象向左（a＞0时）或向右（a＜0时）平移|a|个单位而得，当a＞0时，y＝f（x）的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）才能满足f（x+a）＞f（x）成立，当a＜0时，y＝f（x）的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足f（x+a）＞f（x）成立（对任意的x∈[﹣1，2]），故x∈（﹣2，0）∪（6，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的应用，考查函数奇偶性及不等式的恒成立问题，考查数形结合思想，属于基础题．10．【分析】画出图形，利用三角形相似，列出比例关系，结合已知条件转化求解即可．【解答】解：不妨设P在第二象项，|FM|＝m，H（0，h）（h＞0），由知N（0，﹣2h），由△AFM～△AON，得（1），由△BOH～△BFM，得（2）（1），（2）两式相乘得，即c＝3a，离心率为3．故选：B．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出a、c关系，是解决本题的关键．11．【分析】①f（x1）﹣f（x2）＝2则为最大值1减最小值﹣1，我们需要找到在（0，π）上是否存在最大值1和最小值﹣1；②我们需要先确定ω范围从而确定的范围，根据整体思想确定它的单调性．【解答】解析：∵x∈[0，π]，∴，令，则由题意，在上只能有两解和∴，（*）因为在上必有，故在（0，π）上存在x1，x2满足f（x1）﹣f（x2）＝2；①成立；对应的x（显然在[0，π]上）一定是最大值点，因对应的x值有可能在[0，π]上，故②结论错误；解（*）得，所以④成立；当时，，由于，故，此时y＝sin z是增函数，从而f（x）在上单调递增．综上，①③④成立，故选：B．【点评】本题为三角函数与简易逻辑的综合考查，本题的关键为确定ω的范围，难度比较大．【分析】求导得有两个零点等价于函数φ（x）＝e x﹣（2x+1）12．t有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，利用h（x）的单调性可得：在取得最小值，作h（x）的图象，并作y＝t的图象，注意到h（0）＝1，，对t分类讨论即可得出．【解答】解：求导得有两个零点等价于函数φ（x）＝e x ﹣（2x+1）t有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，h（x）在递减，在递增，显然在取得最小值，作h（x）的图象，并作y＝t的图象，注意到h（0）＝1，，（原定义域x＞0，这里为方便讨论，考虑h（0）），当t≥1时，直线y＝t与只有一个交点即φ（x）只有一个零点（该零点值大于1）；当时在两侧附近同号，不是极值点；当时函数φ（x）＝e x﹣（2x+1）t有两个不同零点（其中一个零点等于1），但此时在x＝1两侧附近同号，使得x＝1不是极值点不合．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】先求通项公式，再令x的指数为﹣2即可求解结论．【解答】解：展开式通项，依题意，，得r＝3，所以：x﹣2的系数是．故答案为：﹣80．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【分析】根据题意，分2步进行分析：先选出一个重灾区分配有两个医疗队，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，将5个医疗队分派到4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则其中有一个重灾区安排两个医疗队，剩下3个重灾区各安排一个医疗队，分2步进行分析：先选出一个重灾区分配有两个医疗队，有C41种分配法，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，有种分配法，所以不同的分配方案数共有．故答案为：240．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于基础题．15．【分析】由抛物线定义知|MN|＝|MF|，再由题意可得△MNF为等边三角形，O为EF的中点DO∥NE，可得DO为三角形EFN的中位线，可得D为NF的中点，DM为等边三角形MNF 的高，由△NFE的角∠NFE＝60°可得NF的值，进而求出MD的值．【解答】解：设准线l与x轴交于E．易知F（1，0），EF＝2，由抛物线定义知|MN|＝|MF|，由于∠NMF＝60°，所以△NMF为等边三角形，∠NFE＝60°，所以三角形边长为|NM|＝＝2|FE|＝4，又OD是△FEN的中位线，MD就是该等边三角形的高，，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于中档题．16．【分析】推导出AB⊥CD，GE∥CD，GF∥AB，从而GE⊥GF，得EF＝5．当四面体绕AB旋转时，由GF∥AB，即EF绕GF旋转，由此能求出EF与直线l所成角的范围．【解答】解：∵在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB⊂平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，∴AB⊥CD，又GE∥CD，GF∥AB，∴GE⊥GF，得EF＝5．当四面体绕AB旋转时，由GF∥AB，即EF绕GF旋转，故EF与直线l所成角的范围为[90°﹣∠GFE，90°]，∴直线EF与直线l夹角的余弦值的取值范围是．故答案为：[0，]．【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分．17．【分析】（1）设出等差数列的公差为d，且不为0，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得P2n，解不等式可得所求最小值．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}，由a3是a1与a9的等比中项，可得，即a1（a1+8d）＝（a1+2d）2，化为a1＝d，又S3＝3a1+3d＝6，可得a1＝d＝1，所以数列{a n}是以1为首项和公差的等差数列，故综上；（2）由（1）可知，所以＝，所以，故n的最小值为505．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项性质，同时考查利用裂项相消法求数列的和，考查运算能力，属于中档题．18．【分析】（1）先证明四边形GFDE为平行四边形，可得GE∥DF，而GE⊥AC，则DF⊥AC，即得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD及平面ADE的法向量，利用向量公式求解即可．【解答】解：（1）证明：取AC中点为G，连接GE和GF，因为GF∥BC，且，又因为DE∥BC，且，故GF∥DE，且GF＝DE，即四边形GFDE为平行四边形，故GE∥DF，∵CE＝AE，∴GE⊥AC，又GE∥DF，则DF⊥AC；（2）∵平面BCED⊥平面ABC，平面BCED∩平面ABC＝BC，DB⊥AC，∴DB⊥平面ABC，又AC在平面ABC内，∴DB⊥AC，又DF⊥AC，BD∩DF＝D，BD，DF在平面ABC∴AC⊥平面ABD，∴AC⊥AB，∵AB＝AC＝2，∴，取BC中点O连接OE和OA，四边形BCED为直角梯形，则OE∥DB，∵DB⊥平面ABC，∴OE⊥平面ABC，故OE⊥BC，OE⊥OA，∵AB＝AC，OA⊥BC，∴以OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴建立直角坐标系，∵，∴OE＝1，则，故，易知平面ABD的一个法向量为，设平面ADE的一个法向量为，则，故可取，设二面角B﹣AD﹣E的为θ，则，∴二面角B﹣AD﹣E的正弦值为．【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的基本位置关系，考查利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．19．【分析】（1）由已知求得c，可得a2＝b2+1，再由已知求得点Q的坐标，代入椭圆方程得关于a，b的方程，联立求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k（x+1），与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合OABM为平行四边形，即，可得M的坐标，分别代入椭圆与抛物线方程，得到关于k的方程，求解k无解，当直线斜率不存在时，易知存在点M（﹣2，0）在椭圆C上，可得不存在直线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点M（﹣2，0）落在椭圆C上．【解答】解：（1）由题意知F（﹣1，0），因而c＝1，即a2＝b2+1，又两曲线在第二象限内的交点Q（x Q，y Q）到F的距离是它到直线x＝﹣4的距离的一半，即4+x Q＝2（﹣x Q+1），得，则，代入到椭圆方程，得．由，解得a2＝4，b2＝3，∴所求椭圆的方程为．（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k（x+1），由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，，由于OABM为平行四边形，得，故，若点M在椭圆C上，则，代入得，解得k无解；若点M在抛物线D上，则，代入得，解得k无解．当直线斜率不存在时，易知存在点M（﹣2，0）在椭圆C上．故不存在直线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点M（﹣2，0）落在椭圆C上．【点评】本题考查求椭圆的标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20．【分析】（1）X在[70，100）内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），由70≤X＜100，由5n≤X＜5（n+1），n∈N*，能求出n的对值和k．（2）（i）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，学生B的分数属于区间[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100）的概率分别是，用符号A ij（或B ij）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中j≤i（i，j＝1，2，3），记W＝“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”，由此能求出学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率．（ii）学生A最终获得一等奖的概率是P（A21）＝，学生B最终获得一等奖的概率是P（）＝，ξ的可能取值为0，1，2，分虽求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）根据题意，X在[70，100）内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），∵70≤X＜100，由5n≤X＜5（n+1），n∈N*，∴n＝14，15，16，17，18，19，每个小区间对应的频率值分别是P＝5Y＝．，解得k＝，∴n的对值是14，15，16，17，18，19，k＝．（2）（i）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由（1）知，学生B的分数属于区间[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100）的概率分别是：，我们用符号A ij（或B ij）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中j≤i（i，j＝1，2，3），记W＝“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”，则P（W）＝P（B1+B21+B22A22+B32A22）＝P（B1）+P（B21）+P（B22）P（A22）+P（B32）P（A22）＝+＝．（ii）学生A最终获得一等奖的概率是P（A21）＝，学生B最终获得一等奖的概率是P（）＝，P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2PEξ＝＝．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．【分析】（1）由已知不等式先构造函数，然后结合导数与单调性的关系可求相应函数的单调性，进而可求．（2）构造函数，对其求导，然后结合导数与单调性的关系及不等式的恒成立与最值问题的相互转化可求．【解答】解：（1）令，则φ'（x）＝x+m﹣ln（x+1）﹣1，，∴φ'（x）在[0，+∞）上单调递增，且φ'（0）＝m﹣1，若m≥1，φ（x）在[0，+∞）上单调递增，∴φ（x）≥φ（0）＝0，即m≥1满足条件，若m＜1，φ′（0）＝m﹣1＜0，φ（x）存在单调递减区间[0，x0]，又∵φ（0）＝0 所以存在x0使得φ（x0）＜0与已知条件矛盾，所以m≥1，m的最小值为1．（2）由（1）知，如果，则必有f（x）≤g（x）成立．令，则h（x）＝（a﹣1）x﹣x cos x＝x（a﹣1﹣cos x），h（x）＝x（a﹣1﹣cos x）≥0，则a﹣1﹣cos x≥0，a≥1+cos x，a≥2．若h（x）≥0，必有f（x）≤g（x）恒成立，故当a≥2时，f（x）≤g（x）恒成立，下面证明a＜2时，f（x）≤g（x）不恒成立．令f1（x）＝f（x）﹣x＝（x+1）ln（x+1）﹣x，f′1（x）＝ln（x+1），当x＞0时，f′1（x）＝ln（x+1）＞0，f1（x）在区间[0，1]上单调递增，故f1（x）≥f1（0）＝0，即f1（x）＝f（x）﹣x≥0，故x≤f（x）．g（x）﹣f（x）≤g（x）﹣x＝＝，令，＞0，所以t（x）在[0，1]上单调递增，t（0）＝a﹣2＜0，则一定存在区间（0，m）（其中0＜m＜1），当x∈（0，m）时，t（x）＜0，则g（x）﹣f（x）≤xt（x）＜0，故f（x）≤g（x）不恒成立．综上所述：实数a取值范围是[2，+∞）．【点评】本题主要考查了不等式恒成立问题；还考查不等式放缩求参数取值范围问题的求解，属于中档试题．（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形面积公式的应用求出结果．【解答】解：（1）曲线C的方程为x2﹣2x+y2＝0．转换为极坐标方程为：ρ＝2cosθ．联立，得M（0，0），．（2）易知|MN|＝1，直线．设点P（2cosα，sinα），则点P到直线l的距离．∴（其中）．∴△PMN面积的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】第1问考查利用分类讨论思想解绝对值不等式；第2问考查分段函数求最值、构造法和基本不等式等．【解答】解：（1）当x＜0时，等价于x2+2|x﹣1|＞﹣2，该不等式恒成立，……（1分）当0＜x≤1时，f（x）＞等价于x2﹣2x＞0，该不等式解集为ϕ，……（2分）当x＞1时，等价于x2+2x﹣2＞2，解得，………（3分）综上，x＜0或，所以不等式的解集为．…………………（5分）证明：（2），易得f（x）的最小值为1，即a+b+c＝M＝1……………………………（7分）因为a，b，c∈R+，所以，，，所以≥2a+2b+2c＝2，……………………（9分）当且仅当时等号成立．…………………………………………（10分）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，属于基础题．。