专题《类平抛运动》

类平抛运动知识点总结笔记一、基本概念1. 平抛运动的定义平抛运动是指一个物体在水平方向上做匀速直线运动的过程。

在平抛运动中，物体的运动轨迹是一个抛物线，而竖直方向上的运动是受到重力的影响而做匀变速直线运动。

2. 平抛运动的特点（1）水平速度恒定：在平抛运动中，物体在水平方向上的速度是恒定的，不受外力的影响；（2）竖直加速度恒定：在竖直方向上，物体受到重力的作用，因而竖直方向上的加速度恒定；（3）运动轨迹为抛物线：由于水平方向速度恒定、竖直方向加速度恒定，物体的运动轨迹为一个抛物线。

二、运动规律1. 水平方向的运动规律（1）速度：物体在水平方向上的速度是恒定的，可用以下公式表示：v = v0其中v表示物体的水平速度，v0表示物体的初始速度。

（2）位移：物体在水平方向上的位移可以用以下公式表示：x = v0t + 0.5at^2其中x表示物体在水平方向上的位移，t表示时间，a表示物体的水平加速度。

2. 竖直方向的运动规律（1）速度：物体在竖直方向上的速度可以用以下公式表示：v = v0 + gt其中v表示物体的竖直速度，v0表示物体的初始竖直速度，g表示重力加速度，t表示时间。

（2）位移：物体在竖直方向上的位移可以用以下公式表示：y = v0t + 0.5gt^2其中y表示物体在竖直方向上的位移。

3. 平抛运动轨迹方程由于平抛运动是在水平和竖直方向上同时进行的，所以物体的轨迹可以用以下方程表示：y = xtanθ - (gx^2) / (2v0^2cos^2θ)其中y表示物体在竖直方向上的位移，x表示物体在水平方向上的位移，θ表示抛出角度，v0表示初始速度，g表示重力加速度。

三、应用实例1. 投掷运动当我们往前抛一个物体时，它会在空中做平抛运动。

我们可以利用平抛运动的规律来分析物体的飞行轨迹和落点位置，从而提高投掷的准确性。

2. 炮弹射击在军事领域，炮弹的射击轨迹是一个重要的考量因素。

利用平抛运动的规律，可以精确计算炮弹的射击角度和发射速度，从而达到精确打击目标的目的。

类平抛运动类平抛运动是物理学中的一种基本运动形式，当物体受到初速度和重力作用时，会经过一条抛物线轨迹运动。

在该过程中，物体的速度和高度都会随着时间的推移而发生变化，因此该运动也是一种变速运动。

在实际生活中，类平抛运动是非常常见的一种现象，比如投掷运动员投掷铅球或投掷短跑运动员完成起跑等都是类平抛运动的例子。

接下来，我们将通过力学和物理的角度来探讨类平抛运动的基本规律和特征。

一、定义和基本概念类平抛运动是指一个物体在平面内的抛体运动。

此时物体的运动轨迹为抛物线，初速度和重力是物体做功的主要力。

类平抛运动与匀速直线运动、匀变速直线运动以及简谐运动等是物理学中最基本的一些运动形式之一。

基本概念如下：1. 初速度：物体在运动开始时的速度；2. 初位置：物体在运动开始时所处的位置；3. 加速度：物体在运动过程中速度发生变化的大小和方向；4. 重力：物体受到向下作用的引力；5. 时间：物体运动所经历的时间；6. 抛体运动：物体沿着抛物线运动的运动形式。

二、类平抛运动的基本规律在类平抛运动中，物体的运动轨迹为抛物线形，其基本规律包括：1. 匀速直线运动：物体在水平方向上的速度恒定，保持匀速直线运动；2. 加速度：物体在竖直方向上受到重力的作用，速度会不断增加，因此竖直方向的加速度为重力加速度g；3. 抛体运动：整个运动过程中物体沿着一个抛物线形的轨迹做运动，轨迹曲线的形状由初速度的大小和方向以及重力的作用于物体上的时间决定；4. 水平运动：竖直方向上的运动是纯粹的自由落体运动，与水平方向上的运动是完全独立的，因此物体在水平方向上的运动是均匀的；5. 时间的关系：整个运动过程中，竖直方向的运动与水平方向的运动是独立的，因此竖直方向的运动时间和水平方向的运动时间是相同的；6. 能量守恒：在类平抛运动过程中，能量守恒是一条重要的规律。

物体在落地前，重力势能逐渐转化为动能，而在触地瞬间的动能最大，落地后，物体的能量将被转化为热能等其他形式的能量而消失。

类平抛运动知识点总结一、什么是类平抛运动类平抛运动是物理学中的一个基本概念，指的是在一个水平面上，物体在不受外力作用的情况下，以一定的初速度进行抛射运动。

在这种运动中，物体受到重力的作用，因此沿抛射方向逐渐减速，最终在竖直方向上受到重力作用而下落。

二、类平抛运动的特点1.抛体的初速度只有水平分量，没有竖直分量。

2.抛体在水平方向上匀速运动。

3.抛体在竖直方向上受到重力的作用而匀加速运动。

4.抛体的运动轨迹是一个抛物线。

三、类平抛运动的重要公式1.位移公式：水平方向的位移可以通过初速度和时间计算，公式为：s = vxt。

2.时间公式：在竖直方向上，抛体的运动时间可以通过初速度和重力加速度计算，公式为：t = vy/g。

3.竖直方向的位移公式：抛体的竖直位移可以通过初速度、时间和重力加速度计算，公式为：h = vyt - 0.5gt^2。

4.到达最高点的时间：物体抛出后，经过的时间到达最大高度，公式为：t =vy/g。

5.最大高度公式：最大高度可以通过抛体的初速度和重力加速度计算，公式为：h = (vy^2)/(2g)。

四、类平抛运动的实际应用1.抛体运动的最佳角度：在特定速度下，抛体达到最远的距离时，抛射角度为45度。

这个角度被称为最佳角度，常用于投掷比赛中。

2.火炮的发射原理：火炮发射炮弹的原理就是利用类平抛运动，通过适当的抛射角度和初速度，使炮弹达到预定的目标。

3.投掷运动的分析：如何使手中的物体投掷得更远是一个重要的物理问题，通过对类平抛运动的分析，可以选择合适的力度和角度来最大化投掷距离。

4.炮弹的飞行轨迹：炮弹发射后的飞行轨迹可以看作是一条抛物线，研究抛物线的几何性质对于军事火力控制和导弹弹道设计具有重要意义。

五、类平抛运动与自由落体运动的比较类平抛运动与自由落体运动都是常见的物理运动，它们有以下几点区别： 1. 初速度方向：类平抛运动的初速度只有水平分量，没有竖直分量；而自由落体运动的初速度只有竖直分量，没有水平分量。

2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题23 平抛运动临界问题、相遇问题、类平抛运和斜抛运动导练目标 导练内容目标1 平抛运动临界问题 目标2 平抛运动中的相遇问题目标3 类平抛运动 目标4斜抛运动一、平抛运动临界问题擦网压线既擦网又压线由21122121⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-v x g gt h H 得：()h H gx v -=211由222122121⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==v x x g gt H 得：()Hg x x v 2212+= 由20122121⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-v x g gt h H 和202122121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==v x x g gt H 得：()22121x x x H h H +=-【例1】如图排球场，L=9m,球网高度为H=2m ，运动员站在网前s=3m 处，正对球网跳起将球水平击出，球大小不计，取重力加速度为g=10m/s.（1）若击球高度为h=2.5m,为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围; (2) 当击球点的高度h 为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是出界？ 【答案】（1）10m /s ＜v 2/s （2）2.13m【详解】（1）当球刚好不触网时，根据h 1−h ＝12gt 12，解得：()()1122 2.521010h h t s g -⨯-＝＝＝，则平抛运动的最小速度为：11/310/10min x v s m s t ＝＝＝．当球刚好不越界时，根据h 1＝12gt 22，解得：1222 2.5210h t s g ⨯＝＝＝ ，则平抛运动的最大速度为：22/122/2max x v s m s t ＝＝＝，则水平击球的速度范围为10/s ＜v 2/s ．（2）设击球点的高度为h ．当h 较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，1222()h h H g g -＝，其中x 1=12m ，x 2=3m ，h=2m ，代入数据解得：h=2.13m ，即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网． 二、平抛运动中的相遇问题平抛与自由落体相遇水平位移：l=vt空中相遇：ght 2<平抛与平抛相遇（1）若等高（h 1=h 2），两球同时抛；（2）若不等高（h 1>h 2）两球不同时抛，甲球先抛； （3）位移关系：x 1+x 2=L（1）A 球先抛； （2）t A >t B ； （3）v 0A <v 0B（1）A 、B 两球同时抛； （2）t A =t B ； （3）v 0A >v 0B 平抛与竖直上抛相遇（1）L=v 1t ；（2）22222121v h t h gt t v gt =⇒=-+； （3）若在S 2球上升时两球相遇，临界条件：2v t g<，即：22h v v g<，解得：2v gh >；（4）若在S 2球下降时两球相遇，临界条件：222v v t g g <<，即2222v h vg v g<<， 解得：22ghv gh <<平抛与斜上抛相遇（1）Ltvt v=⋅+θcos21；（2）θθsin21sin212222vhthgttvgt=⇒=-+；（3）若在S2球上升时两球相遇，临界条件：2sinvtgθ<，即：22sinsinh vv gθθ<，解得：2singhvθ>；（4）若在S2球下降时两球相遇，临界条件：22sin2sinv vtg gθθ<<，即222sin2sinsinv h vg v gθθθ<<，解得：22sin singhghvθθ<<【例2】如图，两个弹性球P、Q在距离水平地面一定高度处，若给P水平向右的初速度0（00v≠），同时释放Q，（两球在同一竖直面内运动）两球与地面接触时间可忽略不计，与地面接触前后水平方向速度不变，竖直方向速度大小不变，方向相反。

类平抛运动⾼考题含答案1.3 研究斜抛运动同步练习（沪科版必修2）1．做斜抛运动的物体( )A ．⽔平分速度不变B ．加速度不变C ．在相同的⾼度处有相同的速度D ．经过最⾼点时，瞬时速度为零解析：选AB.斜抛运动可以看成⽔平⽅向的匀速直线运动和竖直⽅向的竖直上抛运动，A 正确．在运动过程中只受到重⼒作⽤，合外⼒恒定则加速度不变，B 正确．⽔平⽅向速度不变，竖直⽅向在上升和下降的过程中，同⼀个位置速度⼤⼩相等，但是⽅向不相同，所以在相同⾼度速度⼤⼩相等，但是⽅向不⼀样，C 错．在最⾼点竖直⽅向的速度减到零，但有⽔平⽅向的速度，D 错．2．某同学在篮球场地上做斜上抛运动实验，设抛出球的初速度为20 m/s ，抛射⾓分别为30°、45°、60°、75°，不计空⽓阻⼒，则关于球的射程，以下说法中正确的是( )A ．以30°⾓度抛射时，射程最⼤B ．以45°⾓度抛射时，射程最⼤C ．以60°⾓度抛射时，射程最⼤D ．以75°⾓度抛射时，射程最⼤解析：选B.根据射程公式X ＝v 20sin2θg可知，当抛射⾓为45°时，射程最⼤． 3. 以相同的初速率、不同的抛射⾓抛出三个⼩球A 、B 、C ，三球在空中的运动轨迹如图1－3－3所⽰，下列说法中正确的是( )图1－3－3A ．A 、B 、C 三球在运动过程中，加速度都相同B ．B 球的射程最远，所以最迟落地C ．A 球的射⾼最⼤，所以最迟落地D ．A 、C 两球的射程相等，两球的抛射⾓互为余⾓，即θA ＋θC ＝π2解析：选ACD.A 、B 、C 三球在运动过程中，只受到重⼒作⽤，具有相同的加速度g ，故选项A 正确；斜抛运动可以分成上升和下落两个过程，下落过程就是平抛运动，根据平抛运动在空中运动的时间只决定于抛出点的⾼度可知，A 球从抛物线顶点落⾄地⾯所需的时间最长，再由对称性可知，斜抛物体上升和下落时间是相等的，所以A 球最迟落地，选项C正确，B 错误；已知A 、C 两球的射程相等，根据射程公式X ＝v 20sin2θg 可知，sin2θA ＝sin2θC ，在θA ≠θC 的情况下，必有θA ＋θC ＝π2，选项D 正确． 4．⼀位⽥径运动员在跳远⽐赛中以10 m/s 的速度沿与⽔平⾯成30°的⾓度起跳，在落到沙坑之前，他在空中滞留的时间约为(g 取10 m/s 2)( )A ．0.42 sB ．0.83 sC ．1 sD ．1.5 s解析：选C.起跳时竖直向上的分速度v 0y ＝v 0sin30°＝10×12m/s ＝5 m/s 所以在空中滞留的时间为t ＝2v 0y g ＝2×510s ＝1s ，故C 正确． 5．从地⾯上斜抛⼀物体，其初速度为v 0，抛射⾓为θ.(1)求物体所能达到的最⼤⾼度h m (射⾼)．(2)求物体落地点的⽔平距离x m (射程)．(3)抛射⾓多⼤时，射程最⼤？解析：(1)利⽤竖直分运动的速度公式，有v y ＝v 0sin θ－gt ＝0所以斜抛物体达到最⾼点的时间为t ＝v 0sin θg将此结果代⼊竖直分运动的位移公式，便可得h m ＝v 0y t －12gt 2＝v 20sin 2θg －v 20sin 2θ2g因此h m ＝v 20sin 2θ2g. (2)设斜抛物体的飞⾏时间为T .利⽤竖直分运动的位移公式，有y ＝v 0sin θ×T －12gT 2＝0 所以斜抛物体的飞⾏时间为T ＝2v 0sin θg将此结果代⼊⽔平分运动的位移公式，便得到x m ＝v 0cos θ×T ＝2v 20sin θcos θg＝v 20sin2θg . (3)当θ＝45°时，sin2θ＝1，射程x m 最⼤，为x m ＝v 20g .答案：(1)v 20sin 2θ2g(2)v 20sin2θg (3)45°⼀、选择题1．若不计空⽓阻⼒，下列运动可以看成斜抛运动的是( )A ．斜向上⽅发射的探空⽕箭B ．⾜球运动员远射踢出的⾼速旋转的“⾹蕉球”沿奇妙的弧线飞⼊球门C ．姚明勾⼿投篮时抛出的篮球D ．军事演习中发射的导弹解析：选C.发射的⽕箭、导弹靠燃料的推⼒加速运动，⽽⾹蕉球由于⾼速旋转受到较⼤的空⽓作⽤⼒，故A 、B 、D 错误，⽽姚明勾⼿投篮抛出的篮球只受重⼒作⽤，故C 正确.2．做斜抛运动的物体，到达最⾼点时( )A ．速度为零，加速度不为零B ．速度为零，加速度也为零C ．速度不为零，加速度也不为零D ．速度不为零，加速度为零解析：选C.做斜抛运动的物体达到最⾼点时，竖直分速度为零，⽔平分速度不为零，运动过程中始终仅受重⼒作⽤，所以有竖直向下的重⼒加速度g ，故C 正确．3．将同⼀物体分别以不同的初速度、不同的仰⾓做斜抛运动，若初速度的竖直分量相同，则下列哪个量相同 ( )A ．落地时间B ．⽔平射程C ．⾃抛出⾄落地的速度变化量D ．最⼤⾼度解析：选ACD.落地时间和最⼤⾼度取决于竖直⽅向的分运动，⽔平射程与⽔平分速度、运动时间有关，⽔平分速度不⼀定相同，故A 、D 正确，B 错误．由于初速度的竖直分量相同，由对称性知⾃抛出⾄落地的速度变化量相同，C 正确．4．下列关于斜抛运动的说法中正确的是( )A ．上升阶段与下落阶段的加速度相同B ．物体到达最⾼点时，速度最⼩，但不为零C ．物体到达最⾼点时，速度为v 0cos θ(θ是v 0与⽔平⽅向间的夹⾓)，但不是最⼩D ．上升和下落⾄空中同⼀⾼度时，速度相同解析：选AB.斜抛物体的加速度为重⼒加速度g ，A 正确；除最⾼点速度为v 0cos θ外，其他点的速度均是v 0cos θ与竖直速度的合成，B 正确，C 错；上升与下落阶段速度的⽅向⼀定不同，D 错．5．斜抛运动与平抛运动相⽐较，相同的是( )A ．都是匀变速曲线运动B ．平抛是匀变速曲线运动，⽽斜抛是⾮匀变速曲线运动C ．都是加速度逐渐增⼤的曲线运动D ．平抛运动是速度⼀直增⼤的运动，⽽斜抛是速度⼀直减⼩的曲线运动解析：选A.平抛运动与斜抛运动的共同特点是它们以⼀定的初速度抛出后，都只受重⼒作⽤．合外⼒为G ＝mg ，根据⽜顿第⼆定律可以知道平抛运动和斜抛运动的加速度都是恒定不变的，⼤⼩为g ，⽅向竖直向下，都是匀变速运动. 它们不同的地⽅就是平抛运动是⽔平抛出、初速度的⽅向是⽔平的，斜抛运动有⼀定的抛射⾓，可以将它分解成⽔平分速度和竖直分速度，也可以将平抛运动看成是特殊的斜抛运动(抛射⾓为0°)．平抛运动和斜抛运动初速度的⽅向与加速度的⽅向不在同⼀条直线上，所以它们都是匀变速曲线运动．B 、C 错，A 正确．平抛运动的速率⼀直在增⼤，斜抛运动的速率先减⼩后增⼤，D 错．6. 如图1－3－4所⽰是斜向上抛出物体的运动轨迹，C 点是轨迹最⾼点，A 、B 是轨迹上等⾼的两个点．下列叙述中正确的是(不计空⽓阻⼒)( )图1－3－4A ．物体在C 点的速度为零B ．物体在A 点的速度与在B 点的速度相同C ．物体在A 点、B 点的⽔平分速度均等于物体在C 点的速度D ．物体在A 、B 、C 各点的加速度都相同解析：选CD.斜抛运动只受重⼒作⽤，故各点加速度相同都为重⼒加速度g ，选项D 正确；⼜因⽔平⽅向匀速运动，故选项C 正确，A 错误；A 、B 两点的速度⼤⼩相等，⽅向不同，故B 错误．7．关于向斜上⽅抛出物体的运动，下列说法中正确的是( )A ．抛射⾓⼀定，初速度⼩时，运动时间长B ．抛射⾓⼀定，初速度⼤时，运动时间长C ．初速度⼀定，抛射⾓⼩时，运动时间长D ．初速度⼀定，抛射⾓⼤时，运动时间长解析：选BD.斜抛运动的运动时间取决于竖直⽅向的分运动的时间，由T ＝2v 0sin θg知抛射⾓θ⼀定时， v 0越⼤，T 越⼤；v 0⼀定时，θ越⼤，T 越⼤；故B 、D 正确，A 、C 错误．8．⼀跳⾼运动员起跳后做斜上抛运动，若初速度为8 m/s ，且起跳仰⾓为θ＝30°，则该运动员能跳过的最⼤⾼度是(g 取10 m/s 2)( )A ．0.8 mB ．2.4 mC ．1.6 mD ．1.2 m解析：选A.根据Y ＝v 20sin 2θ2g ，代⼊数据可得Y ＝0.8 m ，故A 正确．9．(2011年陕西安康⾼⼀检测)两物体⾃同⼀地点分别与⽔平⽅向成θ1＝60°、θ2＝30°的仰⾓抛出，若两物体所达到的射程相等，则它们的抛射速度之⽐为( )A ．1∶1B ．1∶ 3 C.3∶1 D ．1∶3解析：选A.由于⼆者的射程相等，根据X ＝v 20sin2θg，⼜因为sin120°＝sin60°，所以两物体抛射速度⼤⼩相等，A 正确．10. 在倾⾓为α的斜坡上，沿着与⽔平线成α⾓的⽅向斜向上⽅抛出⼀⽯块，如图1－3－5所⽰．设⽯块落在斜坡上的位置离抛出点的距离为L ，则⽯块抛出的初速度为( )图1－3－5 A ．v 0＝12 gL sin αB ．v 0＝12 gL cos αC ．v 0＝12gL cos α D ．v 0＝12gL sin α解析：选A.将⽯块的运动看成是沿v 0⽅向的匀速直线运动和⾃由落体运动的合运动．运动合成情况如图所⽰．图中平⾏四边形对⾓线是合运动位移，依题意其⼤⼩为L ，两条相邻边s 和h 则是两个分运动的位移．设运动时间为t ，由运动学公式知：s ＝v 0t ，h ＝12gt 2再由⼏何关系知：s cos α＝L cos α，s sin α＋L sin α＝h 联⽴以上四式，消去t ，解得v 0＝12 gL sin α，故选A. ⼆、⾮选择题11．⼀⾜球运动员开出⾓球，球的初速度是20 m/s ，初速度⽅向跟⽔平⾯的夹⾓是37°.如果球在飞⾏过程中，没有被任何⼀名队员碰到，空⽓阻⼒不计，g 取10 m/s 2，求：(1)落点与开出点之间的距离；(2)球在运动过程中离地⾯的最⼤距离．解析：(1)将球的初速度进⾏分解，其⽔平分量v 1＝v sin θ＝16 m/s ，竖直分量为v 2＝v cos θ＝12 m/s 飞⾏时间t ＝2v 2g ＝2.4 s⽔平距离s ＝v 1·t ＝38.4 m.(2)最⼤⾼度h ＝v 222g＝7.2 m. 答案：见解析12．将⼩球以10 m/s 的速度斜向上抛出，速度⽅向与⽔平⽅向成30°⾓，求⼩球在0.8 s 内的位移⼤⼩及0.8 s 末的速度．解析：⽔平⽅向：v x ＝v 0x ＝10×cos30° m/s ＝5 3 m/s⽔平位移：x ＝v x t ＝53×0.8 m ＝4 3 m竖直⽅向：v 0y ＝v 0sin30°＝5 m/s所以⼩球在0.8 s 内的竖直位移为y ＝v 0y t －12gt 2 ＝5×0.8 m －12×10×0.82 m ＝0.8 m ， 0．8 s 末的竖直速度为vv y ＝v 0y －gt ＝(5－10×0.8) m/s ＝－3 m/s 故s ＝x 2＋y 2＝(43)2＋0.82 m ≈7.0 mv ＝v 2x ＋v 2y ＝(53)2＋32 m/s ≈9.2 m/stan θ＝v y v x ＝353＝35，即此时速度⽅向与⽔平⽅向所夹⾓度θ＝arctan 35. 答案：7.0 m 9.2 m/s ⽅向与⽔平⽅向夹⾓θ＝arctan 35（2011 23 安徽卷）．（16分）如图所⽰，在以坐标原点O 为圆⼼、半径为R 的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场⽅向垂直于xOy 平⾯向⾥。

专题04模型1：平抛运动与斜面结合模1．模型构建两类与斜面结合的平抛运动（1）物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。

（2）做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角。

2．求解思路已知信息实例处理思路速度方向垂直打到斜面上的平抛运动(1)确定速度与竖直方向的夹角θ，画出速度分解图。

(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析v x、v y。

(3)根据tan θ＝v xv y列式求解。

位移方向从斜面上一点水平抛出后落回在斜面上的平抛运动(1)确定位移与水平方向的夹角θ，画出位移分解图。

(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析x、y。

(3)根据tan θ＝yx列式求解。

模型2：类平抛运动模型1．运动建模当一种运动和平抛运动特点相似，即合外力恒定且与初速度方向垂直的运动都可以称为类平抛运动。

2．模型特点3．分析方法与平抛运动的处理方法一致，将运动分解成沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动。

4．解类平抛运动问题的步骤（1）分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动，并明确物体两个分运动的方向。

（2）利用两个分运动的规律求解分运动的速度和位移。

（3）根据题目的已知条件和要求解的量充分利用运动的等时性、独立性、等效性解题。

模型三：平抛运动中的临界模型1．模型特点（1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述过程中存在临界点。

（2）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”“取值范围”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。

2．求解思路（1）画出临界轨迹，找出临界状态对应的临界条件。

（2）分解速度或位移。

（3）列方程求解结果。