等量同种电荷中垂线上最大场强位置的推导

同种等量电荷连线及中垂线的电场强度情况
电场是由电荷所产生的一种物理场，电场强度则是电场的强度量度。

在同种等量电荷连线及中垂线的情况下，电场强度会受到什么影响呢？
同种等量电荷的连线形成的电场强度是非常强的。

这是因为电荷之间存在相互作用力，它们会互相排斥，从而形成一个电场。

如果电荷的数量越多，电场的强度就会越大。

此外，电荷的距离越近，电场的强度也会越大。

中垂线的位置也会影响电场强度的大小。

中垂线是指连接两个电荷的线段的中垂线，也就是两个电荷之间的垂直平分线。

在中垂线上，电场强度的大小是最大的。

这是因为在中垂线上，两个电荷的作用力是最强的，从而形成了一个最强的电场。

在中垂线两侧的电场强度也是不同的。

在中垂线上方，电场强度的方向是向上的；在中垂线下方，电场强度的方向是向下的。

这是因为在中垂线上方，两个电荷对中垂线上的任何一点都有向上的作用力；而在中垂线下方，两个电荷对中垂线上的任何一点都有向下的作用力。

电场强度的大小还受到电荷的电量和距离的影响。

电量越大，电场强度就越大；距离越远，电场强度就越小。

因此，在同种等量电荷
连线及中垂线的情况下，电场强度的大小不仅取决于电荷的数量和距离，还取决于电荷的电量和中垂线的位置。

在同种等量电荷连线及中垂线的情况下，电场强度的大小受到多种因素的影响。

要想准确地计算出电场强度，需要综合考虑这些因素的影响，从而得出一个准确的结果。

等量同种电荷中垂线上最大场强的位置及大小推导设两电荷间距为2L,中垂线上点P 离中点0的距离为x ，电荷到P 点连线与电荷连线夹角为θ。

一、推导：一个电荷在P 点产生的电场强度E,()222222222232222cos 2sin 222 cos sin Q Q E k k r L x kQ LP E E Q x kL x L x x kQL x kQLθθθθ==⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅'==++=⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅①②点的合场强为①②解法一：对①式，()()()()()()232232222222322322322222222-32026322439x y L x x x L x x L x xy L x y x L x x L x L x x x L KQ E L =++⋅+⋅'=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦'=+=++=='=令对求导，令，有整理：解得：代入①式求得：解法二：对②式()()22322332cos sin -2cos sin cos cos -2sin cos cos 1-3sin 0cos 0,1-3sin 03sin 32cos 32tan 2439u u u u KQ E L θθθθθθθθθθθθθθθ='=+=+='=≠===='=令对一阶求导得令，因得或代入求得OPθθEE L解法三：对②式， ()()()222222222223222233223cos sin 0.cos cos sin 1cos cos 2sin 2cos cos 2sin 22cos cos 2sin 3cos 2sin 3a b c abc a b c a b c a b u c ab u u c u θθθθθθθθθθθθθθθθθ=≥=⋅⋅=⋅⋅⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++=⎛⎫⋅⋅≤ ⎪⎝⎭==++≥++≥++==由不等式性质即若一定，时令，，最为锐角，变式 因为定值当，大时31242327⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭则场强最大值222 9kQ E uL L '===二、问题的结论及意义1.对相距为2L 等量同种电荷Q 连线的中垂线上，离连线中点距离为2L 的点场强最大.且最大值为E=2.对相距为L 的等量同种电荷Q 连线的的点场强最大,3.在两点电荷电量一定时.两点电荷的距离越近(L 越小),场强最大的点离它们连线的中点越近，场强的最大值却越大。

同种点电荷中垂线上的场强最大值在咱们的生活中，电荷就像那位总是抢风头的朋友，时不时在聚会上亮相。

你想想啊，两个同种的点电荷就好比是一对亲兄弟，互相之间可不打情骂俏的，反而是势不两立。

它们在空间中发出一种看不见的力量，像是隐形的手，把周围的环境搞得风起云涌。

想象一下，这俩兄弟在同一条直线上，彼此就像是绳子上的两头，谁也不愿意妥协，结果就是在它们中间的地方，电场的强度就达到了最高点。

真的是，兄弟之间的争斗，最终让外人得到了最大的好处！说到这个电场强度的最大值，咱们不妨在心里画个图。

想象一下，有两颗电荷分别在坐标轴的两端，咱们就在它们中间的地方打个点。

嘿，这个点的位置可真是讲究，必须得在电荷的垂直线上。

你可能会问，为什么呢？这就好比是站在两个大块头中间，想要获得他们的保护，必须得站在合适的位置，才能感受到最强的气场。

实际上，这个点的电场强度就像是一道光，经过各种折射和反射，最终汇聚到了一起，给你带来了最大的惊喜。

不过，电场强度并不是一成不变的。

它随着你的位置不断变化，就像人生的起伏，谁能说得准呢？当你靠近某个电荷时，哇，力量就像潮水般涌来，感觉整个人都被包围了。

而当你慢慢离开，那种强烈的感觉渐渐消散，真是让人唏嘘不已。

你看啊，这就是电荷之间的互动关系，真是让人忍不住想要深究。

就像老话说的，“水能载舟，亦能覆舟”，电场的强弱，关键在于你站的位置。

让我们更进一步，深入探讨一下这个“场强”的秘密。

场强，其实就是电荷对周围环境的影响力。

想象一下，如果你是一位超级英雄，那你的一举一动都能在周围引发波澜。

电场强度就是电荷的“超级能力”，它在空间中影响着其他的电荷。

咱们可以把它想象成是一种无形的气场，能把小电荷们都吸引过来，让他们也感受到这股神秘的力量。

真是有趣，难怪科学家们这么痴迷于研究它。

咱们再来说说这个“最大值”的概念，听起来是不是有点拗口？其实不然！当两个电荷的距离恰到好处的时候，电场强度就会像是攀登一座高峰，冲上顶点，俯瞰整个世界。

关于两等量同种点电荷中垂线上场强最大值的再思考陈一垠【摘要】there exists a maximum electric field strength in the midperpendicular between the two point charges of the same kind and with equal quantity ,which high school students can't solve because of lacking knowledge in M athmatics .This paper used the method of derivation to figure out the position of the maximum point and the maximum electric field strength succinctly and accurately .%两等量同种点电荷连线中垂线上的电场强度存在一极大值点，高中阶段学生由于数学知识不足，无法求出该极大值点。

本文通过代数求导法以较为简洁的步骤精确地求出该极大值点的位置以及场强的最大值。

【期刊名称】《物理通报》【年(卷),期】2015(000)006【总页数】2页(P121-122)【关键词】点电荷;等量;电场强度;最大值【作者】陈一垠【作者单位】南京师范大学教师教育学院江苏南京 210097【正文语种】中文在高中物理“电场强度”这一节内容中，有这样一个问题：真空中的两个位置分别放有两等量同种点电荷，从两点电荷连线的中点开始沿其中垂线向外，电场强度的大小怎样变化？对于这个问题我们首先可以进行定性的判断，即这两个点电荷中点处的电场强度为零，而无穷远处的电场强度也为零，但是中垂线上的其他位置通过矢量叠加可知电场强度的大小并不为零，那么就可以知道从这两点电荷连线的中点开始沿其中垂线向外，电场强度的大小变化情况为先变大后变小.在高中阶段，学生能够做出这样的回答已经是令人满意的了,但对于已经修过《普通物理》和《高等数学》的物理学科教学工作者而言，这样的定性解答似乎仍意犹未尽，我们不禁要追问一句：在这两个等量同种点电荷连线中垂线上电场强度的最大值究竟在何处？其最大值又是多少？贵刊2010年第9期“两等量同号点电荷中垂线上场强的极大点”[1]一文用一种类似于数学中的二分法的求解思路求出了电场强度最大值所在的近似位置，方法虽妙，但过程略显繁琐，且没能得到电场强度最大值的准确值，还是有点遗憾.现将文献[1]的计算步骤归纳如下.如图1所示，假定两等量同种点电荷的距离为2L.计算可得A,B两点电荷在其中垂线上某点P的合场强为E合积化和差，式(1)转化为E合其中，Q为点电荷所带的电荷量，k为静电力常量，α为点电荷到P点的连线与两点电荷连线的夹角. 为求场强的最大值点，对式(2)求导后得3cos3α+cosα=0由于这里的自变量α的取值范围为0～90°，要满足式(4)，则3α必须超过90°，说明α必定大于30°.然后通过合理选取α的值，以期得到方程(4)的近似解，具体的取值过程如表1所示.可见，最终得到的近似解为α=35.265°，将该值代入到式(2)后可得由于上述解法较为繁琐，笔者提出一种较为简洁的解法.现假设题设条件仍如图1所示，并取两点电荷连线的中点为O点，设OP=x，则将这两式代入式(1)后可得E合且这里令x≥0.若要求得场强的最大值，则只要求出函数的最大值即可.对式(6)求导得令y′=0可解得根据高等数学的知识可知，导函数为零的点即为原函数的极大值处.所以，当L时，有将其代入式(5)后可得这也进一步验证了文献[1]中的近似解已经相当精确，相比而言，第二种解法可以求出场强的最大值的准确值且步骤较为简洁.但由于高中生数学知识的储备有限，这种方法并不需要高中阶段的学生掌握，他们仅需知道在两等量同种点电荷连线的中垂线上存在着两个对称的场强最大值点即可.Key words: point charge; equal quantity; electric field strength; maximum。

等量同种电荷中垂线上最大场强的位置及大小推导设两电荷间距为2L,中垂线上点P 离中点0的距离为x ，电荷到P 点连线与电荷连线夹角为θ。

一、推导：一个电荷在P 点产生的电场强度E,()222222222232222cos 2sin 222 cos sin Q Q E k k r L x kQ LP E E Q x kL x L x x kQL x kQLθθθθ==⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅'==++=⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅①②点的合场强为①②解法一：对①式，()()()()()()232232222222322322322222222-32026322439x y L x x x L x x L x xy L x y x L x x L x L x x x L KQ E L =++⋅+⋅'=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦'=+=++=='=令对求导，令，有整理：解得：代入①式求得：解法二：对②式()()22322332cos sin -2cos sin cos cos -2sin cos cos 1-3sin 0cos 0,1-3sin 03sin 32cos 32tan 2439u u u u KQ E L θθθθθθθθθθθθθθθ='=+=+='=≠===='=令对一阶求导得令，因得或代入求得OPθθEE L解法三：对②式， ()()()222222222223222233223cos sin 0.cos cos sin 1cos cos 2sin 2cos cos 2sin 22cos cos 2sin 3cos 2sin 3a b c abc a b c a b c a b u c ab u u c u θθθθθθθθθθθθθθθθθ=≥=⋅⋅=⋅⋅⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++=⎛⎫⋅⋅≤ ⎪⎝⎭==++≥++≥++==由不等式性质即若一定，时令，，最为锐角，变式 因为定值当，大时31242327⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭则场强最大值222 9kQ E uL L '===二、问题的结论及意义1.对相距为2L 等量同种电荷Q 连线的中垂线上，离连线中点距离为2L 的点场强最大.且最大值为E=2.对相距为L 的等量同种电荷Q 连线的的点场强最大,3.在两点电荷电量一定时.两点电荷的距离越近(L 越小),场强最大的点离它们连线的中点越近，场强的最大值却越大。

等量同种电荷中垂线上的场强最值位置探讨及迁移作者：肖玲来源：《数码设计》2019年第14期摘要：本文主要介绍等量同种电荷中垂线场强的最大值的基础上，具体确定最值的位置。

介绍对场强表达式最值的三种求解方法，从定性到定量。

此模型，还可迁移到均匀带电圆环中轴线场强的分析上，帮助学生拓展思维。

关键词：等量同种电荷;场强;最值点;角度中图分类号：G634.7 文献标识码：A 文章编号：1672-9129（2019）14-0043-01Abstract：in this paper， we mainly introduce the maximum value of vertical field intensity in the same charge， and specify the position of the maximum value. This paper introduces threemethods of solving the maximum value of field strength expression， from qualitative to quantitative. This model can also be transferred to the analysis of the field strength of the central axis of the uniformly charged ring， to help students expand their thinking.Key words：the same amount of charge field intensity maximum point Angle电场历来是高中物理的难点，也是历年高考的必考点。

从点电荷形成的电场，到等量同种电荷形成的电场，等量异种电荷形成的电场。

这些基本电场，我们必须得弄清场强的大小和方向，电势的变化等等。

等量同种电荷中垂线上最大场强的位置及大小推导设两电荷间距为2L,中垂线上点P 离中点0的距离为x ，电荷到P 点连线与电荷连线夹角为θ。

一、推导：一个电荷在P 点产生的电场强度E,()222222222232222cos 2sin 222cos sin Q Q E k k r L x kQ LP E E Q kL x L x x kQ L x kQ Lθθθθ==⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅'==++=⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅①②点的合场强为①②解法一：对①式，()()()()()()232232222222322322322222222-32026322439x y L x x x L x x L x xy L x y x L x x L x L x x x L KQ E L =++⋅+⋅'=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦'=+=++=='=令对求导，令，有整理：解得：代入①式求得：解法二：对②式OPθ θEEL二、问题的结论及意义1.对相距为2L等量同种电荷Q连线的中垂线上，离连线中点距离为L的点2场强最大.且最大值为E=2.对相距为L的等量同种电荷Q连线的的点场强最大,3.在两点电荷电量一定时.两点电荷的距离越近(L越小),场强最大的点离它们连线的中点越近，场强的最大值却越大。

4场强最大的点与其中一个点电荷的连线与两点电荷的连线的夹角的正切值为tan。

同种电荷中垂线电场强度同种电荷中垂线电场强度是指在同种电荷的分布中，某一点处与该点所在位置垂线方向相同的电场强度大小。

本文将从以下几个方面详细介绍同种电荷中垂线电场强度的计算方法和应用。

一、同种点电荷的垂线电场强度当存在一个点电荷q位于空间某一点时，该点处的垂线方向上的电场强度大小可以用库仑定律来计算：E = k * q / r^2其中，E为该点处的垂向电场强度大小；k为库仑常数；q为点电荷量；r为该点到q的距离。

二、同种均匀带电球壳的垂线电场强度当存在一个半径为R、带有均匀分布正电荷密度σ的球壳时，在球心处与其相切面上任意一点处，垂向方向上的电场强度大小可以用下式计算：E = k * σ * R / r^2其中，E为该点处的垂向电场强度大小；k为库仑常数；σ为球壳上单位面积内带有正电荷量；R为球壳半径；r为该点到球心的距离。

三、同种均匀带电球体的垂线电场强度当存在一个半径为R、带有均匀分布正电荷密度ρ的球体时，球心处与其任意一点处垂向方向上的电场强度大小可以用下式计算：E = k * ρ * r / 3其中，E为该点处的垂向电场强度大小；k为库仑常数；ρ为球体内单位体积内带有正电荷量；r为该点到球心的距离。

四、同种均匀带电圆盘的垂线电场强度当存在一个半径为R、厚度很小且带有均匀分布正电荷密度σ的圆盘时，在圆盘中心处与其平面上任意一点处，垂向方向上的电场强度大小可以用下式计算：E = k * σ / 2ε0其中，E为该点处的垂向电场强度大小；k为库仑常数；σ为圆盘上单位面积内带有正电荷量；ε0为真空介质中介电常数。

五、应用实例：同种均匀带电直线段产生的垂线电场强度当存在一个长度为L、线密度为λ的均匀带电直线段时，在线段中心处与其所在直线上任意一点处，垂向方向上的电场强度大小可以用下式计算：E = k * λ / 2πε0r其中，E为该点处的垂向电场强度大小；k为库仑常数；λ为直线段上单位长度内带有正电荷量；ε0为真空介质中介电常数；r为该点到直线段所在直线的距离。