高中数学 双基限时练7 新人教A版必修4

双基限时练(十七)1．给出下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ③零向量不可为基底中的向量． 其中正确的说法是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②解析 因为不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本题中，①错，②、③正确，故选B.答案 B2．已知e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( )A ．e 1和e 1＋e 2B ．e 1－2e 2和e 2－2e 1C ．e 1－2e 2和4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2和e 1－e 2解析 分析四个选项知，在C 中，4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)．∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，应选C.答案 C3．在△ABC 中，BC →＝3BD →，则AD →等于( )A.13(AC →＋2AB →) B.13(AB →＋2AC →) C.14(AC →＋3AB →) D.14(AC →＋2AB →)解析 如图所示，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝13(AC →＋2AB →)，故选A. 答案 A4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP →等于( )A ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1)D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 解析 ∵ABCD 是菱形，且AC 是一条对角线，由向量加法的平行四边形法则知，AC →＝AB →＋AD →，而点P 在AC 上，∴三点A ，P ，C 共线，∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，显然λ∈(0,1)，故选A.答案 A5．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析 因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →， 所以OA →－OB →＝OD →－OC →， 即BA →＝CD →.又A ，B ，C ，D 四点不共线，所以|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ， 故四边形ABCD 为平行四边形． 答案 B6．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 的阴影内，满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，25 解析 由图观察并根据平面向量基本定理，可知x <0，y <0，故选C. 答案 C7．已知a ，b 不共线，且c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1＝________. 解析 ∵a ，b 不共线，∴a ，b 可以作为一组基底，又c 与b 共线，∴c ＝λ2b ，∴λ1＝0.答案 08．设向量a ，b 不共线，且OC 1→＝k 1a ＋k 2b ，OC 2→＝h 1a ＋h 2b ，若OC 1→＋OC 2→＝m a ＋n b ，则实数m ＝________，n ＝________.解析 OC 1→＋OC 2→＝(k 1＋h 1)a ＋(k 2＋h 2)b ＝m a ＋n b . ∴m ＝k 1＋h 1，n ＝k 2＋h 2. 答案 k 1＋h 1 k 2＋h 29．已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．解析 使a 、b 为基底，则使a 、b 不共线，∴λ－2×2≠0.∴λ≠4. 答案 {λ|λ≠4}10．若a ≠0，且b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是________． 答案 30°11．设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解 如图所示，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b .12．如图所示，在▱ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点．已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.解 设AB →＝a ，AD →＝b .由M ，N 分别为DC ，BC 的中点，得BN →＝12b ，DM →＝12a .在△ABN 和△ADM 中，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝d ， ①b ＋12a ＝c . ②①×2－②，得a ＝23(2d －c )．②×2－①，得b ＝23(2c －d )．∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．13．若a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a 、t b 、13(a ＋b )(t ∈R )三向量的终点在同一直线上？ 解 设a －t b ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b (m ∈R )，化简得⎝⎛⎭⎪⎫2m 3－1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3－t b ，∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 3－1＝0，m 3－t ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a 、t b 、13(a ＋b )的终点在同一直线上．。

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(十六)1．给出下列四个结论 ①AB →－AC →＝BC →； ②0(a )＝0； ③0(0)＝0；④若两个非零向量a ，b 满足a ＝k b (k ≠0)，则a ，b 方向相同． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 ①AB →－AC →＝CB →，∴①错．②0(a )＝0，∴②错．③0(0)＝0正确．④a 与b 共线，方向可能相同，也可能相反，∴④错．因此正确的只有③，应选B.答案 B2．下列叙述不正确的是( )A ．若a ，b 共线，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . B. b ＝3a (a 为非零向量)，则a ，b 共线 C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝32a ＋2b ，则m ∥n D ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c解析 判断a 与b 共线的方法是：存在实数λ，使a ＝λb .在A 中，若b ＝0时不成立．B 正确．在C 中，m ＝2n ，∴m ∥n ，∴C 正确．D 也正确，所以应选A.答案 A3．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，且有一个公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．答案 A4．若AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →为( )A.43a ＋23bB.23a ＋43bC.23a －23bD ．－23a ＋23b解析 如右图所示，设AD 与BE 相交于O ，则AO →＝23AD →，OD →＝13AD →，BO →＝23BE →，OE →＝13BE →.∴BC →＝2BD →＝2(BO →＋OD →)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23BE →＋13AD →＝43b ＋23a ，应选B.答案 B5．已知O 是直线AB 外一点，C ，D 是线段AB 的三等分点，且AC ＝CD ＝DB .如果OA →＝3e 1，OB →＝3e 2，那么OD →等于( )A ．e 1＋2e 2 B. 2e 1＋e 2 C.23e 1＋13e 2D.13e 1＋23e 2解析 如图所示，OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13OA →＋23OB →＝e 1＋2e 2，应选A.答案 A6．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →，λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上解析 易得CB →－PB →＝λP A →，即CP →＝λP A →， 从而CP →∥P A →.又CP →，P A →有一个公共点P ， 所以C ，P ，A 三点共线．又λ∈R ， 所以点P 在直线AC 上． 答案 B7．已知|a |＝4，b 与a 的方向相反，且|b |＝2，a ＝m b ，则实数m ＝________.答案 －28．若a ，b 为已知向量，且23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，则c ＝________.解析 23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0， 83a －2c ＋15c －12b ＝0， ∴13c ＝12b －83a ， ∴c ＝1213b －839a . 答案 1213b －839a 9．有下面四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ； ②对于实数m ，n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝m a －n a ；③对于实数m 和向量a ，b ，若m a ＝m b ，则a ＝b ； ④对于实数m ，n 和非零向量a ，若m a ＝n a ，则m ＝n . 其中真命题有________．解析 由实数与向量积的运算知，①、②、④正确． 答案 ①②④10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于__________．解析 由AD →＝2DB →， 得CD →－CA →＝2(CB →－CD →) ⇒CD →＝13CA →＋23CB →， 所以λ＝23. 答案 23 11．计算：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )；(2)13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )； (3)(m ＋n )(a －b )－(m ＋n )(a ＋b )．解 (1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b .(2)原式＝13[(a ＋4b )－(4a －2b )] ＝13(－3a ＋6b ) ＝2b －a .(3)原式＝(m ＋n )a －(m ＋n )b －(m ＋n )a －(m ＋n )b ＝－2(m ＋n )b .12．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝3CD ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量AC →.解 因为AB ∥CD ，且AB ＝3CD ， 所以AB →＝3DC →，DC →＝13AB →＝13a ， 所以AC →＝AD →＋DC →＝b ＋13a .13．已知：AD →＝3AB →，AE →＝3AC →，且B ，C ，D ，E 不共线． 求证：BC ∥DE .证明 ∵AD →＝3AB →，AE →＝3AC →， ∴DE →＝AE →－AD →＝3AC →－3AB →＝3(AC →－AB →)＝3BC →. ∴BC →与DE →共线．又∵B ，C ，D ，E 不共线． ∴BC ∥DE .高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

2019-2020年高中数学 双基限时练20 新人教A 版必修41．已知|a |＝6，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A ．6＋ 3 B ．6－3 C ．6D ．7解析 a ·b ＝|a ||b |cos60°＝6×2×cos60°＝6. 答案 C2．已知|a |＝2，|b |＝4，a ·b ＝－4，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析 cos θ＝a ·b |a ||b |＝－42×4＝－12，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故选D. 答案 D3．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a ·b ＝( )A ．3B.92 C ．2D.12解析 由题意，得|a |cos 〈a ，b 〉＝32，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝3×32＝92.答案 B4．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( ) A ．0 B ．22 C ．4D ．8解析 |2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝8， ∴|2a －b |＝2 2. 答案 B5．若非零向量a 与b 的夹角为2π3，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －b )＝－32，则向量a的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12 解析 (a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋2a ·b －a ·b －2b 2 ＝a 2＋a ·b －2b 2＝－32，又a ·b ＝|a ||b |cos 2π3＝|a |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2|a |，∴|a |2－2|a |－2×42＝－32. ∴|a |＝2，或|a |＝0(舍去)． 答案 A6．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形解析 因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →－BC →)＋CA →·CB →＝AB →·AB →＋CA →·CB →，所以CA →·CB →＝0，即CA →⊥CB →，所以三角形为直角三角形，选D.答案 D7．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________.解析 设b ＝(x ，y )，则⎩⎨⎧y ＝－2x ，x 2＋y 2＝45.∴x 2＝9.∴x ＝±3，又a ＝(－1,2)与b 方向相反． ∴b ＝(3，－6)． 答案 (3，－6)8．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b|(k >0)．若a 与b 的夹角为60°，则k ＝________.解析 由|k a ＋b |＝3|a －k b|，得k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2， 即(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0. ∵|a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝1×1cos60°＝12，∴k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1. 答案 19．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为________．解析 ∵|a |＝2，a ·(a ＋b )＝1， ∴a 2＋a ·b ＝2＋a ·b ＝1. ∴a ·b ＝－1.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12×1＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.答案3π410．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析 因为BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝AD →－12AB →，所以AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2＋12AD →·AB →－12AB →2＝1＋12×1×|AB →|cos60°－12|AB →|2＝1，所以14|AB →|－12|AB →|2＝0，解得|AB →|＝12. 答案 1211．在△ABC 中，|BC →|＝4，|CA →|＝9，∠ACB ＝30°， 求BC →·CA →. 解 如图所示，BC →与CA →所成的角为∠ACB 的补角即150°， 又因为|BC →|＝4，|CA →|＝9，所以BC →·CA →＝|BC →|·|CA →|cos150°＝4×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－18 3.12．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． 解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12，∴|a |2－|b |2＝12.∵|a |＝1，∴|b |＝|a |2－12＝22.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝121·22＝22，∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝45°.(2)∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝12，∴|a －b |＝22. ∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝52，∴|a ＋b |＝102. 设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝a －b ·a ＋b|a －b ||a ＋b |＝1222×102＝55. 13．已知a ，b 是两个非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取得最小值时． (1)求t 的值(用a ，b 表示)； (2)求证：b 与a ＋t b 垂直．(1)解 |a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝b 2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋a ·b b 22＋a 2－a ·b 2b 2.当t ＝－a ·bb 2时，|a ＋t b |取最小值．(2)证明 (a ＋t b )·b ＝a ·b ＋t b 2＝a ·b －a ·b b 2×b 2＝0，所以a ＋t b 与b 垂直．。

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(十五)1．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( ) A ．a ∥b B ．a ≠b C ．|a |≠|b |D ．b ＝－a解析 根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a |＝|b |. 答案 C2．给出下列四个结论：①AB →＝AO →＋OB →； ②AB →－AC →＝BC →； ③AB →＋BC →＋CA →＝0; ④|a ＋b |≥|a －b |. 其中错误的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析 ①正确，②错误，∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →.③错误，∵AB →＋BC →＋CA →＝0≠0.④错误，当a 与b 方向相反时，有|a ＋b |<|a －b |.综上知，仅①正确，故选C.答案 C3．在△ABC 中，BC →＝a ，AC →＝b ，则AB →等于( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．－a －(－b )D ．－a ＋(－b )解析 AB →＝AC →＋CB →＝AC →－BC →＝b －a .故选C.答案 C4．如图，P 是△ABC 所在平面内一点，且满足BA →＋BC →＝BP →，则( )A.BA →＝PC →B.BC →＝P A →C.BC →＋CP →＝BP →D.BA →－BP →＝AP →解析 由题意知，BP 是以BA →，BC →为邻边所作平行四边形的对角线，BC →＋CP →＝BC →＋BA →＝BP →.答案 C5．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0解析 ∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点， ∴BE →＝DF →，CF →＝F A →，∴AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋F A →＝0. 答案 A6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，则由加减法的几何意义可知AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AD →|＝|CB →|.又四边形ACDB 为平行四边形，所以四边形ACDB 为矩形，故AC ⊥AB ，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM →|＝12|BC →|＝2.答案 C7．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →－DC →|＝________________________________________________________.解析 |AB →－CB →－DC →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2. 答案 28．如图，平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是________．解析 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →.即BA →＝CD →.又A ，B ，C ，D 四点不共线，∴|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ，故四边形ABCD 为平行四边形． 答案 平行四边形9．已知a 与b 均为非零向量，若|a －b |＝||a |－|b ||，则a 与b 方向________．解析 当a 与b 不共线时，如图1，a －b ＝BC →，|BC →|>||AC →|－|AB →||可得|a －b |>||a |－|b ||；当a 与b 反向时，如图2，知a －b ＝CB →，|CB →|>||AB →|－|AC →||，∴|a －b |>||a |－|b ||.当a 与b 同向时，如图3，a －b ＝CB →，|CB →|＝||AB →|－|AC →||，∴|a －b |＝||a |－|b ||.答案 相同 10．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →；④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中所有正确命题的序号为________． 答案 ①②③④11．如图，解答下列各题： (1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.解 ∵AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ， DE →＝d ，EA →＝e ，∴(1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e .(4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d . 12.如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作向量b ＋c －a .解 以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .13．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解 如下图，设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD ，则AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|， ∴四边形ABCD 是矩形，故AD ⊥AB . 在Rt △ABD 中，高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(一)1．下列命题中正确的是()A．终边在x轴负半轴上的角是零角B．第二象限角一定是钝角C．第四象限角一定是负角D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α与β终边相同解析易知A、B、C均错，D正确．答案 D2．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是()A．第一象限B．第一、二象限C．第一、三象限D．第一、四象限解析取特殊值验证．当k＝0时，知终边在第一象限；当k＝1，α＝30°时，知终边在第三象限．答案 C3．下列各角中，与角330°的终边相同的是()A．150°B．－390°C．510°D．－150°解析330°＝360°－30°，而－390°＝－360°－30°，∴330°与－390°终边相同．答案 B4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析方法一由270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z得：－90°－k·360°>180°－α>－180°－k·360°，终边在(－180°，－90°)之间，即180°－α角的终边在第三象限，故选C.方法二数形结合，先画出α角的终边，由对称得－α角的终边，再把－α角的终边关于原点对称得180°－α角的终边，如图知180°－α角的终边在第三象限，故选C.答案 C5．把－1125°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是() A．－3×360°＋45°B．－3×360°－315°C．－9×180°－45°D．－4×360°＋315°解析－1125°＝－4×360°＋315°.答案 D6．设集合A＝{x|x＝k·180°＋(－1)k·90°，k∈Z}，B＝{x|x＝k·360°＋90°，k∈Z}，则集合A，B的关系是()A．A B B．A BC．A＝B D．A∩B＝∅解析集合A表示终边在y轴非负半轴上的角，集合B也表示终边在y轴非负半轴上的角．∴A＝B.答案 C7.如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC的度数为________．解析解法一根据角的定义，只看终边相对于始边的位置，顺时针方向，大小为75°，故∠AOC＝－75°.解法二由角的定义知，∠AOB＝45°，∠BOC＝－120°，所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°－120°＝－75°.答案－75°8．在(－720°，720°)内与100°终边相同的角的集合是________．解析与100°终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋100°，k ∈Z }令k ＝－2，－1,0,1，得α＝－620°，－260°，100°，460°.答案 {－620°，－260°，100°，460°}9．若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．解析 ∵2小时40分＝223小时，∴－360°×223＝－960°.答案 －960°10．若2α与20°角的终边相同，则所有这样的角α的集合是__________．解析 2α＝k ·360°＋20°，所以α＝k ·180°＋10°，k ∈Z . 答案 {α|k ·180°＋10°，k ∈Z }11．角α满足180°<α<360°，角5α与α的始边相同，且又有相同的终边，求角α.解 由题意得5α＝k ·360°＋α(k ∈Z )，∴α＝k ·90°(k ∈Z )．∵180°<α<360°，∴180°<k ·90°<360°.∴2<k <4，又k ∈Z ，∴k ＝3.∴α＝3×90°＝270°.12.如图所示，角α的终边在图中阴影部分，试指出角α的范围．解∵与30°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}．与180°－65°＝115°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β|β＝115°＋k·180°，k∈Z}．因此，图中阴影部分的角α的范围为：{α|30°＋k·180°≤α<115°＋k·180°，k∈Z}．13．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不同的角？(2)写出区间(－180°，180°)内的角？(3)写出第二象限的角的一般表示法．解(1)在α＝k·90°＋45°中，令k＝0,1,2,3知，α＝45°，135°，225°，315°.∴在给定的角的集合中，终边不同的角共有4种．(2)由－180°<k·90°＋45°<180°，得－52<k<32.又k∈Z，故k＝－2，－1,0,1.∴在区间(－180°，180°)内的角有－135°，－45°，45°，135°.(3)其中第二象限的角可表示为k·360°＋135°，k∈Z.。

双基限时练(二十六)1．已知下列四个等式：①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；②cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α； ④tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 其中恒成立的等式有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析 ①，②，③对任意角α，β恒成立，④中的α，β还要使正切函数有意义．答案 B2.1－tan15°1＋tan15°的值为( ) A. 3 B.33 C ．1 D ．－ 3解析 原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33. 答案 B3．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.1328 B.1322 C.322 D.163．已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13B.139C.1315D.59答案 B4．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )A ．2B ．1 C.12 D ．4解析 因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4，所以tan αtan β＝12.答案 C5．若0<α<π2，0<β<π2，且tan α＝17，tan β＝34，则α＋β等于( )A.π6B.π4C.π3D.3π4解析 由已知可求得tan(α＋β)＝1.又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.答案 B6．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝b ＋aD ．c ＝ab解析 由韦达定理可知tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a 且tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－a ＝c a ，∴tan π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a 1－c a＝1.∴－b a ＝1－c a .∴－b ＝a －c .∴c ＝a ＋b .故选C.答案 C7．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝________.解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 答案 138.tan51°－tan6°1＋tan51°tan6°＝________. 解析 原式＝tan(51°－6°)＝tan45°＝1.答案 19．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝______. 解析 ∵π2<α<π，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17.答案 1710．tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________.解析 因为tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)＝tan45°(1＋tan67°tan22°)＝1＋tan67°tan22°所以tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.答案 111．求下列各式的值．(1)tan π12；(2)tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°. 解 (1)tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6 ＝tan π4－tan π61＋tan π4·tan π6＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝ 3.12．(1)已知α＋β＝π4，求(1＋tan α)(1＋tan β)．(2)利用(1)的结论求(1＋tan1°).(1＋tan2°).(1＋tan3°) (1)tan45°)的值．解 (1)∵α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝1，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝1， ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝(tan α＋tan β)＋1＋tan αtan β＝2.(2)由(1)知当α＋β＝45°时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.∴原式＝(1＋tan1°)(1＋tan44°)(1＋tan2°)(1＋tan43°) (1)tan22°)(1＋tan23°)·(1＋tan45°)＝222·2＝223.13．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．解 (1)tan α＝－13，cos β＝55，β∈(0，π)，∴sin β＝255，∴tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝1. (2)∵tan α＝－13， α∈(0，π)，∴sin α＝110，cos α＝－310. ∴f (x )＝2(sin x cos α－cos x sin α)＋cos x cos β－sin x sin β＝－35sin x －15cos x ＋55cos x －255sin x ＝－5sin x .∴f(x)的最大值为 5.。

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(十九)1．已知两点A (2，－1)，B (3,1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( )A ．(1，－2)B ．(9,3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析 AB →＝(3－2,1＋1)＝(1,2)， ∵(－4，－8)＝－4(1,2)， ∴(－4，－8)满足条件． 答案 D2．已知A (3，－6)，B (－5,2)，且A ，B ，C 三点在一条直线上，则C 点坐标不可能是( )A ．(－9,6)B ．(－1，－2)C ．(－7，－2)D ．(6，－9)解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －3，y ＋6)，AB →＝(－8，8)． ∵A ，B ，C 三点在同一直线上，∴x －3－8＝y ＋68，即x ＋y ＋3＝0，将四个选项分别代入x ＋y ＋3＝0验证可知，不可能的是C.答案 C3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)满足(k a ＋b )∥c ，则k ＝( )A ．3B ．－3C.13D ．－13解析 k a ＋b ＝(k －1，k ＋1)，由(k a ＋b )∥c ，得2(k －1)－4(k ＋1)＝0，解得k ＝－3. 答案 B4．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，13，且a ∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析 由a ∥b ，得32×13－sin α·sin α＝0，∴sin 2α＝12， ∴sin α＝±22，又α为锐角，∴α＝45°.故选B. 答案 B5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析 ∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，b ＝(－2，－4)． 则2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．答案 B6．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn 等于( )A.12B ．2C ．－12D ．－2解析 m a ＋n b ＝m (2,3)＋n (－1,2) ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)， 又m a ＋n b 与a －2b 平行， ∴(2m －n )(－1)－(3m ＋2n )×4＝0， 即14m ＋7n ＝0，∴m n ＝－12. 答案 C7．向量a ＝(n,1)与b ＝(4，n )共线且方向相同，则n ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴n 2－4＝0，∴n ＝2或n ＝－2，又∵a 与b 方向相同，∴n ＝2.答案 28．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.解析 a ＋b ＝(2－1，－1＋m )＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ，得1×2－(m －1)×(－1)＝0，解得m ＝－1.答案 －19．若点A ，B 的坐标分别为(2，－2)，(4,3)，向量a ＝(2k －1,7)，且a ∥AB →，则k 的值为________．解析 AB →＝(2,5)，由a ∥AB →可得(2k －1)×5－7×2＝0，解得k ＝1910.答案 191010．已知△ABC 的顶点A (2,3)和重心G (2，－1)，则BC 边上的中点的坐标是________．解析 设BC 边上的中点为D (x ，y )，则AG →＝2GD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2＋2x 1＋2，－1＝3＋2y1＋2，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3.答案 (2，－3)11．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，且BC →∥DA →，试确定x ，y 的关系式．解 因为AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)， 所以AD →＝AB →＋BC →＋CD →， ＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3) ＝(4＋x ，y －2)．又因为BC →∥DA →，所以BC →∥AD →. 所以x (y －2)－y (4＋x )＝0， xy －2x －4y －xy ＝0，故x ＋2y ＝0. 12．已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k . 解 (1)3a ＋b －2c ＝(0,6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(3)由a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，(a ＋k c )∥(2b －a )，得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.13.如图，已知两点P (－1,6)和Q (3,0)，延长线段QP 到A ，使|AP →|＝13|PQ →|，求A 点坐标．解 解法一：若P 为终点，Q 为起点，则A (x ，y )分QP →所成的比λ＝－4.∴x ＝3－4×(－1)1－4＝－73，y ＝0－4×61－4＝8，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，8.解法二：若Q 为起点，A 为终点，则P 分QA →所成的比λ＝3.设A (x ，y )，则－1＝3＋3x 1＋3，∴x ＝－73，6＝3y1＋3，∴y ＝8，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，8.。

双基限时练(二十八)1．已知cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则cos α2的值为( )A.55 B ．－55 C.255D ．－255解析 ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0. 由cos α＝2cos 2α2－1＝－35，得cos 2α2＝15， ∴cos α2＝－55. 答案 B2．设α∈(π，2π)，则 1－cos (π＋α)2等于( ) A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－sin α2D ．－cos α2解析 ∵α∈(π，2π)，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α2<0. ∴1－cos (π＋α)2＝ 1＋cos α2＝|cos α2|＝－cos α2. 答案 D3．函数y ＝8sin x cos x cos2x 的最小正周期为T ，最大值为A ，则( )A ．T ＝π，A ＝4B ．T ＝π2，A ＝4C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝π2，A ＝2解析 y ＝8sin x cos x cos2x ＝4sin2x cos2x ＝2sin4x ， ∴最小正周期T ＝2π4＝π2，最大值A ＝2. 答案 D4．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23D ．－2解析 ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13. 1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α ＝tan 2α＋11＋2tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋11＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝10913＝103.故应选择A. 答案 A5．若f (x )＝cos2x ＋8sin x ，则它的最大值和最小值分别是( ) A ．最大值是9，最小值是－9 B ．最大值不存在，最小值为7 C ．最大值是7，最小值是－9 D ．最大值是7，最小值不存在解析 f (x )＝cos2x ＋8sin x ＝1－2sin 2x ＋8sin x ＝－2(sin 2x －4sin x )＋1＝－2(sin x －2)2＋9. ∵x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝1时，f (x )有最大值7； 当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9. 答案 C6．使f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数的θ的一个值是( )A ．－π3 B.π3 C.23πD.43π解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3，当θ取－π3时，为奇函数，但在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上递增；θ取π3和43π时为非奇非偶函数；当θ取2π3时，f (x )＝－2sin2x 符合题意．答案 C7.⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α2的值等于__________．解析 原式＝1＋sin α＋2·1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α2＝1＋sin α＋1－sin α ＝2. 答案 28．函数y ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －32的最大值为________．解析 y ＝32sin2x ＋3×1＋cos2x 2－32 ＝32sin2x ＋32cos2x＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤ 3.答案39．化简：sin A ＋sin2A1＋cos A ＋cos2A ＝________.解析 原式＝sin A ＋2sin A cos Acos A ＋2cos A＝sin A (1＋2cos A )cos A (1＋2cos A )＝tan A . 答案 tan A10．若tan x ＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析 2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝1－22＋1＝22－3.答案 22－311．已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. 解 2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ， ∵tan2θ＝－22，∴2tan θ1－tan 2θ＝－2 2.∴2tan 2θ－tan θ－2＝0.∴tan 2θ－22tan θ－1＝0. ∴tan θ＝2或tan θ＝－22.∵π<2θ<2π， ∴π2<θ<π，∴tan θ<0. ∴tan θ＝－22.∴原式＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－221－22＝3＋2 2.12.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，试求其外接矩形EFGH 面积的最大值．解 设∠CBF ＝θ，则∠EAB ＝θ，EB ＝a sin θ，BF ＝b cos θ，AE ＝a cos θ，HA ＝b sin θ，所以S矩形EFGH ＝(b sin θ＋a cos θ)(b cos θ＋a sin θ)＝b 2sin θcos θ＋ab sin 2θ＋ab cos 2θ＋a 2sin θcos θ＝(a 2＋b 2)2sin2θ＋ab .由|sin2θ|≤1，知当θ＝45°时，S 矩形EFGH 取得最大值为12(a 2＋b 2)＋ab .13．已知函数f (x )＝cos 2x2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin2α的值．分析(1)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将f(x)化成f(x)＝A sin(ωx＋φ)形式．再求解．(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值．解(1)由已知f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12＝12(1＋cos x)－12sin x－12＝22cos⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4.所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.(2)由(1)知，f(x)＝22cos⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210，∴cos⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35.∴cosα－sinα＝325，平方得1－sin2α＝1825.∴sin2α＝725.。

双基限时练(五)1．α是第四象限的角，cos α＝1213，sin α＝( ) A.512 B ．－513 C.513 D ．－512答案 B2．下列结论能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12 B ．tan α＝2且cos αsin α＝13 C ．tan α＝1且cos α＝22 D ．sin α＝1且tan α·cos α＝12解析 同角三角函数的基本关系式是指同一个角的不同三角函数值之间的关系，这个角可以是任意角，利用同角三角函数的基本关系即得C 成立．答案 C3．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160°D ．±|cos160°| 解析 ∵cos160°<0，∴原式＝|cos160°|＝－cos160°. 答案 B4．设A 是△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰的直角三角形解析 将sin A ＋cos A ＝23两边平方得sin A cos A ＝－518. ∵0<A <π，∴sin A >0，cos A <0，即A 是钝角． 答案 B5．已知sin x －cos x ＝15(0≤x <π)，则tan x 等于( ) A ．－34 B ．－43 C.34D.43解析 由sin x －cos x ＝15(0≤x <π)知，sin x ＝45，cos x ＝35，∴tan x ＝sin x cos x ＝43.答案 D6．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( )A ．－2B ．2 C.2316D ．－2316解析 原式左边分子和分母同除以cos α，得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.答案 D7．若sin 2x ＋sin x ＝1，则cos 4x ＋cos 2x 的值等于________． 解析 ∵sin 2x ＋sin x ＝1， ∴sin x ＝1－sin 2x ＝cos 2x .∴cos 4x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋sin x ＝1. 答案 18．若sin α＋3cos α＝0，则cos α＋2sin α2cos α－3sin α的值为________．答案 －5119．若cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________. 解析 依题意得sin α＝－1－cos 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝43. 答案 4310.1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin 210°＝__________. 解析 原式＝(cos10°－sin10°)2sin10°－cos 210°＝|cos10°－sin10°|sin10°－cos10° ＝cos10°－sin10°sin10°－cos10° ＝－1. 答案 －111．若cos α＝－35，且tan α>0，求tan αcos 3α1－sin α的值．解 ∵cos α＝－35，tan α>0， ∴α在第三象限．∴sin α＝－1－cos 2α＝－45.tan α·cos 3α1－sin α＝sin αcos α·cos 3α1－sin α＝sin α(1－sin 2α)1－sin α＝sin α(1＋sin α) ＝－45×⎝⎛⎭⎪⎫1－45＝－425. 12．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1. 证明 因为tan 2α＝2tan 2β＋1， 所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2，所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2βcos 2β＋1，所以1cos 2α＝2cos 2β，所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)， 即sin 2β＝2sin 2α－1.13．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ的值； (2)m 的值．解 (1)由根与系数的关系可知 sin θ＋cos θ＝3＋12，① sin θcos θ＝m2.则sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sinθ＋cosθ＝3＋1 2.(2)由①平方，得1＋2sinθcosθ＝2＋32，∴sinθcosθ＝3 4，∴m＝3 2.。

双基限时练(七)1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析 可以用特殊点来验证：x ＝0时，y ＝－sin0＝0，排除A 、C ； 又x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，故选D.答案 D2．用五点法作y ＝2sin2x 的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析 令2x 分别等于0，π2，π，3π2，2π时，得x ＝0，π4，π2，3π4，π.答案 B3．若cos x ＝0，则角x 等于( ) A ．k π(k ∈Z ) B.π2＋k π(k ∈Z ) C.π2＋2k π(k ∈Z ) D ．－π2＋2k π(k ∈Z )答案 B4．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象答案 D5．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D6．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B7．下列函数图象相同的序号是________． ①y ＝cos x 与y ＝cos(x ＋π)；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ；③y ＝sin x 与y ＝sin(2π－x )； ④y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x . 答案 ④8．函数y ＝sin x 的图象和y ＝cos x 的图象在[0,2π]内的交点坐标为________． 解析 在同一坐标系内画出图象即可． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π4，22和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－229．利用正弦曲线，写出函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．解析 y ＝sin x 的图象如图．由图知，当x ＝π2时，sin x 取到最大值1，当x ＝π6时，sin π6＝12.∴当π6≤x ≤2π3时，1≤y ≤2.答案 [1,2]10．函数y ＝2cos x －2的定义域是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z11．用“五点法”画函数y ＝－2＋sin x (x ∈[0,2π])的简图． 解 按五个关键点列表：12．作出函数y ＝－sin x ，x ∈[－π，π]的图象，并回答下列问题： (1)观察函数的图象，写出满足下列条件的区间： ①sin x >0；②sin x <0；(2)直线y ＝12与y ＝－sin x 的图象有几个交点？解 用五点法作图如下：(1)根据图象可知，图象在x 轴上方的部分－sin x >0，在x 轴下方的部分－sin x <0，所以当x ∈(－π，0)时，－sin x >0；当x ∈(0，π)时，－sin x <0.即当x ∈(0，π)时，sin x >0；当x ∈(－π，0)时，sin x <0.(2)画出直线y ＝12，知有两个交点．13．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．解观察图可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4是两个对称图形；有S 1＝S 2，S 3＝S 4，因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以转化为求矩形OABC 的面积．因为|OA |＝2，|OC |＝2π， 所以S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. 所以所求封闭图形的面积为4π.。