高中人教B版数学新教材必修第一册精练：第二章 2.1 2.1.3 方程组的解集

2．1.3　方程组的解集课程标准(1)常用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．(2)能灵活解二元二次方程组．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点　方程组的解集方程组中，由两个方程的解集____________称为这个方程组的解集．状元随笔　1.当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．2．本质：解二元方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”．基础自测1．方程组{x +y =1x−y =3的解集是( )A ．{2，－1}B ．{(2，－1)}C ．{－2，1}D ．{(－2，1)}2．若x ，y 满足方程组{2x +y =7，x +2y =8，则x ＋y 的值是( )A ．5B ．－1C ．0D ．13．方程组{y =x x 2+y 2=2的解集是( )A ．(±1，±1)B ．{(±1，±1)}C ．{(－1，－1)，(1，1)}D ．(－1，－1)，(1，1)4．方程组{x +y −z =0，①y +z−x =7,②z +x −y =9③的解集为________________________________________________________________________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1　二元一次方程组的解法例1　选择合适的方法解下列方程组：(1){2x−y=3，①3x+4y=10.②(2){x+2y=3，①3x−4y=4.②状元随笔　二元一次方程组主要用加减消元法和代入消元法求解．跟踪训练1　已知关于x，y的方程组{4x−y=k，2x+3y=1中，x，y的值相等，则k的值是( )A．3 B．35C．5 D．15题型2　三元一次方程组例2　解方程组{x3=y4=z5，①x−y+2z=18.②状元随笔　三元一次方程组主要用加减消元法和代入消元法求解．方法归纳消元法解三元一次方程组的两个注意点(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．跟踪训练2　已知二次函数的图象过点(1，0)，(2，3)，(3，28)，求这个二次函数的解析式．题型3　“二·一”型的二元二次方程组[教材P53例1]的解集．例3　求方程组{x2+y2=5，①y=x+1②方法归纳“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把二元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．跟踪训练3　解方程组{x2+2xy+y2=4，x−2y=5.①②题型4　“二·二”型的二元二次方程组[经典例题]例4　解方程组{x2−3xy−4y2=0，x2+4xy+4y2=1.①②方法归纳解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组．解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解．(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．跟踪训练4　解方程组{x2−y2=1，(x−y)2−2(x−y)−3=0.①②2．1.3　方程组的解集新知初探·自主学习[教材要点]知识点得到的交集[基础自测]1．解析：{x+y=1①x−y=3②，①＋②得2x＝4，∴x＝2，代入①得y＝－1.答案：B2．解析：{2x+y=7①x+2y=8②，方法一　②×2－①，得3y＝9，解得y＝3.把y＝3代入②，得x＝2.所以x＋y＝2＋3＝5.方法二　由①＋②，得3x＋3y＝15.化简，得x＋y＝5.故选A.答案：A3．解析：{y=x①x2+y2=2②，把①代入②得2x2＝2，∴x2＝1，x＝±1，y＝±1.答案：C4．解析：①＋②＋③得x＋y＋z＝16　④④－①，得z＝8；④－②，得x＝4.5；④－③，得y＝3.5.所以原方程组的解集为{(4.5，3.5，8)}．答案：{(4.5，3.5，8)}课堂探究·素养提升例1　【解析】　(1)由①，得y＝2x－3，　③把③代入②，得3x＋4(2x－3)＝10，解得x＝2.把x＝2代入③，得y＝1.所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}．(2)①×2，得2x＋4y＝6，　③③＋②，得5x＝10，解得x＝2.把x＝2代入①，得2＋2y＝3，解得y＝1 2.所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，1 2)}．跟踪训练1　解析：把方程组中的x都换成y，解出x＝y＝15.把x＝y＝15再代入第一个方程，从而求出k的值为3 5.答案：B例2　【解析】　设x3＝y4＝z5＝k(k为常数，k≠0)，则x＝3k，y＝4k，z＝5k.将它们代入②中，得3k－4k＋10k＝18，解得k＝2.所以x＝6，y＝8，z＝10，所以原方程组的解集为{(6，8，10)}．跟踪训练2　解析：设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得{a +b +c =0，①4a +2b +c =3，②9a +3b +c =28.③②－①，得3a ＋b ＝3，　④③－②，得5a ＋b ＝25，　⑤由④和⑤组成方程组{3a +b =3，5a +b =25.解得a ＝11，b ＝－30，把a ＝11，b ＝－30代入①，得11－30＋c ＝0，解得c ＝19.所以a ＝11，b ＝－30，c ＝19.所以所求函数解析式为y ＝11x 2－30x ＋19.例3　【解析】　将②代入①，整理得x 2＋x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－2.利用②可知，x ＝1时，y ＝2；x ＝－2时，y ＝－1.所以原方程组的解集为{(1，2)，(－2，－1)}．跟踪训练3　解析：方法一　由②得x ＝2y ＋5　③将③代入①，得(2y ＋5)2＋2y (2y ＋5)＋y 2＝4.整理，得3y 2＋10y ＋7＝0.解得y 1＝－73，y 2＝－1.把y 1＝－73代入③，得x 1＝13，把y 2＝－1代入③，得x 2＝3.所以原方程组的解是{x 1=13,y 1=−73,{x 2=3y 2=−1所以方程组的解集为{(13，−73)，(3，−1)}.方法二　由①得(x ＋y )2＝4，即x ＋y ＝2或x ＋y ＝－2.原方程组转化为{x +y =2，x −2y =5.或{x +y =−2，x −2y =5.解得{x 1=3，y 1=−1，或{x 2=13，y 2=−73.所以方程组的解集为{(13，−73)，(3，−1)}.例4　【解析】　由①得(x －4y )(x ＋y )＝0，所以x －4y ＝0或x ＋y ＝0，由②得(x ＋2y )2＝1，所以x ＋2y ＝1或x ＋2y ＝－1.原方程可化为以下四个方程组：解这四个方程组，得原方程组的四个解是：{x 1=23，y 1=16，或{x 2=−23，y 2=−16，或{x 3=−1，y 3=1，或{x 4=1，y 4=−1.所以方程组的解集为{(23，16)，(−23，−16)，(−1，1)，(1，−1)}.跟踪训练4　解析：由②得(x －y －3)(x －y ＋1)＝0.所以x －y －3＝0或x －y ＋1＝0.所以原方程组可化为两个方程组：{x 2−y 2=1，x −y −3=0，或{x 2−y 2=1，x −y +1=0.用代入消元法解方程组，分别得{x 1=53，y 1=−43，或{x 2=−1，y 2=0.所以原方程组的解集为{(53，−43)，(−1，0)}.。

2.1.3 方程组的解集必备知识基础练1.如果方程组{x -y =a ,3x +2y =4的解是正数,那么a 的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(-43,+∞)C.(-2,43)D.(-∞,-43)2.若(a+b+5)2+|2a-b+1|=0,则(b-a)2 020=( ) A.-1 B.1C.52 020D.-52 0203.我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五,屈绳量之,不足一尺,问木长几何?”大致意思是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余4.5尺,将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺?”,设绳子长x 尺,木条长y 尺,根据题意所列方程组正确的是( )A.{x -y =4.512x -y =1 B.{x -y =4.5y -12x =1C.{x +y =4.5y -12x =1 D .{x -y =4.5x -12y =14.关于x,y 的二元一次方程组{2ax +by =3,ax -by =1的解集为{(1,-1)},则a-2b的值为 ,ab 的值为 .5.方程组{x +y =a ,xy =b 的一个解为{x =2,y =3,则这个方程组的另一个解是 . 6.解下列方程组:(1){x +2y =0,3x +4y =6;(2){y+14=x+23,2x -3y =1.关键能力提升练7.(多选题)给出以下说法,其中正确的为( ) A.关于x 的方程x+1x=c+1c 的解是x=c(c≠0)B.方程组{xy +yz =63,xz +yz =23的正整数解有2组C.已知关于x,y 的方程组{x +3y =4-a ,x -y =3a ,其中-3≤a≤1,当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a 的解D.以方程组{y -2x =2,2x +y =3的解为坐标的点(x,y)在第二象限8.若方程组{3a 1x +2b 1y =5c 1,3a 2x +2b 2y =5c 2的解集是{(3,4)},则方程组{a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2的解集是( ) A.{(4,8)}B.{(9,12)}C.{(15,20)}D.{(95,85)}9.已知x,y,z 满足方程组{4x -3y -6z =0,x +2y -7z =0,则2x 2+3y 2-6z 2x 2+5y 2-4z 2的值为 .10.若关于x,y 的二元一次方程组{3x -my =5,2x +ny =6的解是{x =1,y =2,则关于a,b的二元一次方程组{3(a +b )-m (a -b )=5,2(a +b )+n (a -b )=6的解集是 .11.在y=ax 2+bx+c 中,当x=0时y=-7,当x=1时y=-9,当x=-1时y=-3,求a,b,c 的值.12.设a ∈R,已知关于x,y 的方程组{ax +2y =1+a ,2x +2(a -1)y =3,分别求出当a 为何值时,方程组有唯一解;无解;有无穷多解.学科素养创新练13.为了保护环境,某公交公司决定购买10台全新的混合动力公交车,现有A,B 两种型号,其中每台的价格、年省油量如下表:经调查,购买一台A 型车比购买一台B 型车多花20万元,购买2台A 型车比购买3台B 型车少花60万元. (1)请求出a 和b;(2)若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油,求购买这批混合动力公交车需要多少万元?参考答案2.1.3 方程组的解集1.C 由{x -y =a ,3x +2y =4,解得{x =4+2a5,y =4-3a 5.由{x >0,y >0,即{4+2a >0,4-3a >0, 解得-2<a<43.2.B ∵(a+b+5)2+|2a-b+1|=0, ∴{a +b +5=0,2a -b +1=0,解得{a =-2,b =-3,则原式=(-3+2)=(-1)=1,故选B. 3.B 依题意有{x -y =4.5,y -12x =1.故选B.4.2 -4 由题意,得{2a -b =3,a +b =1,解得{a =43,b =-13,∴a-2b=43-2×-13=2,a b=43×(-3)=-4.5.{x =3,y =2 ∵{x +y =a ,xy =b 的一个解为{x =2,y =3,∴a=2+3=5,b=2×3=6.原方程组为{x +y =5, ①xy =6,②由①得y=5-x.③把③代入②得x(5-x)=6,x 2-5x+6=0,(x-2)(x-3)=0,x 1=2,x 2=3. ∴{x 1=2,y 1=3或{x 2=3,y 2=2.∴这个方程组的另一个解是{x =3,y =2.6.解(1){x +2y =0,3x +4y =6,①②①×3-②得(3x+6y)-(3x+4y)=0-6,∴2y=-6, ∴y=-3,将y=-3代入①得x=6, ∴该方程组的解集为{(6,-3)}.(2)方程可化为{-4x +3y =5, ①2x -3y =1,②①+②得-2x=6,∴x=-3,将x=-3代入①中,得y=-73.∴该方程组的解集为-3,-73.7.BC 对于A,关于x 的方程x+1x=c+1c的解是x=c 或x=1c(c≠0),A 错误; 对于B,方程组{xy +yz =63, ①xz +yz =23,②∵x,y,z 是正整数,∴x+y≥2.∵23只能分解为23×1,又方程②为(x+y)z=23,∴z=1,x+y=23.将z=1代入原方程组可得{xy +y =63, ③x +y =23,④解得{x =2,y =21或{x =20,y =3.∴这个方程组的正整数解是(2,21,1)和(20,3,1),B 正确;对于C,关于x,y 的方程组{x +3y =4-a ,x -y =3a ,解得{x =1+2a ,y =1-a ,∴x+y=2+a.当a=1时,x+y=3,∴方程组的解也是方程x+y=4-a=3的解,C 正确;对于D,解方程组{y -2x =2,2x +y =3,得{x =14,y =52,∴点14,52在第一象限,∴D 错误.8.D ∵方程组{3a 1x +2b 1y =5c 1,3a 2x +2b 2y =5c 2的解集是{(3,4)},∴{9a 1+8b 1=5c 1,9a 2+8b 2=5c 2,等式两边都除以5得{95a 1+85b 1=c 1,95a 2+85b 2=c 2,对照方程组{a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2,可得{x =95,y =85.可得方程组{a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2的解集为{(95,85)}.9.2425 {4x -3y -6z =0,x +2y -7z =0,①②②×4-①得11y-22z=0,解得y=2z.将y=2z 代入②得x=3z.将x=3z,y=2z 代入所求式子得2x 2+3y 2-6z 2x 2+5y 2-4z 2=2×(3z )2+3×(2z )2-6z 2(3z )2+5×(2z )2-4z 2=24z 225z 2=2425.10.{(32,-12)} (方法一)∵关于x,y 的二元一次方程组{3x -my =5,2x +ny =6的解是{x =1,y =2,∴{3-2m =5,2+2n =6,解得{m =-1,n =2.∴关于a,b 的二元一次方程组{3(a +b )-m (a -b )=5,2(a +b )+n (a -b )=6可整理为{4a +2b =5,4a =6,解得{a =32,b =-12.即{(32,-12)}. (方法二)根据方程组的形式,对比可得{a +b =1,a -b =2,解得{a =32,b =-12.即{(32,-12)}.11.解把(0,-7),(1,-9),(-1,-3)分别代入y=ax 2+bx+c,得{-7=c ,-9=a +b +c ,-3=a -b +c ,解得{a =1,b =-3,c =-7. 12.解{ax +2y =1+a ,2x +2(a -1)y =3,①②由①得2y=(1+a)-ax,将其代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2). 当a≠2且a≠-1时,该方程有唯一解x=a+2a+1,则y=12(a+1),故原方程组的解集为a+2a+1,12(a+1);当a=-1时,该方程无解,故原方程组的解集为⌀; 当a=2时,该方程有无穷多个解,且x ∈R. 13.解(1)根据题意得{a -b =20,3b -2a =60,解得{a =120,b =100.(2)设A 型车购买x 台,B 型车购买y 台,根据题意得{x+y=10,2.4x+2y=22.4,解得{x=6,y=4,则120×6+100×4=1120(万元).故购买这批混合动力公交车需要1120万元.。

2．1.3 方程组的解集必备知识基础练1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( ) A ．{x ＝1，y ＝1} B ．{1}C ．{(1，1)}D ．(1，1)2．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”，设绳子长x 尺，木条长y 尺，根据题意所列方程组正确的是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4.5，12x －y ＝1B ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4.5，y －12x ＝1 C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4.5，y －12x ＝1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4.5，x －12y ＝1 3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝x 的解有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个4．已知a ，b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝2，a ＋2b ＝6，则3a ＋b 的值是________． 5．若x ＋43＝y ＋64＝z ＋85，且x ＋y ＋z ＝102，则x ＝________．6．求下列方程组的解集．(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋z ＝10，x ＋2y －z ＝6，x ＋y ＋2z ＝17；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4y 2＝12，x ＋2y ＝6.关键能力综合练7．(多选)下列各组中的值不是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝13，x ＋y ＝5的解的是( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3 B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2 C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－3 8．关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋by ＝3，ax －by ＝1的解集为{(1，－1)}，则a －2b 的值为________，a b的值为________．9．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2z ＝3，2x ＋y －4z ＝11，7x ＋y －5z ＝1.若要使运算简便，消元的方法应选取( )A ．先消去xB ．先消去yC ．先消去zD ．以上说法都不对10．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝0 ①，y －x －m ＝0 ②有唯一解，则m 的值是( ) A ． 2 B ．－ 2C ．± 2D ．以上答案都不对11．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：《毛诗》《春秋》《周易》书，九十四册共无余，《毛诗》一册三人读，《春秋》一册四人呼，《周易》五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( )A ．120B ．130C ．150D ．18012．求下列方程组的解集：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0x 2－y 2＋3＝0； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7x 2＋y 2＝25； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y 2＝4x .核心素养升级练13．在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝13，cx －y ＝4时，甲同学因看错了b 的符号，从而求得解集为{(3，2)}，乙同学因看错了c 的值，从而求得解集为{(5，1)}，试求a ，b ，c 的值．14．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．(1)求该店有客房多少间，房客多少人；(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上(含18间)，房价按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何定房更合算？2．1.3 方程组的解集必备知识基础练1．解析：由x ＋y ＝2得x ＝2－y ，代入x －2y ＝－1，化简得2－y －2y ＝－1，解得y ＝1.再代入x ＋y ＝2，解得x ＝1.答案：C2．答案：B3．解析：由x 2＝1，得x ＝±1，当x ＝1时，y 2＝1，得y ＝±1，当x ＝－1时，y 2＝－1，无解，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝x 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或 x ＝1，y ＝－1.答案：B4．解析：⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝2 ①，a ＋2b ＝6 ②，①＋②得：3a ＋b ＝8. 答案：85．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋43＝y ＋64 ①，x ＋43＝z＋85 ②，x ＋y ＋z ＝102 ③，由①得y ＝4x －23 ④，由②得z ＝5x －43 ⑤，把④⑤代入③并化简，得12x －6＝306，解得x ＝26.答案：266．解析：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋z ＝10 ①，x ＋2y －z ＝6 ②，x ＋y ＋2z ＝17 ③，所以①＋②得：4x ＋y ＝16 ④，②×2＋③得：3x ＋5y ＝29 ⑤，由④⑤组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝16，3x ＋5y ＝29，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4， 将x ＝3，y ＝4代入③得：z ＝5，所以方程组的解集为{(x ，y ，z )|(3，4，5)}．(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4y 2＝12 ①，x ＋2y ＝6 ②， 由①得：(x ＋2y )(x －2y )＝12 ③，将②代入③得：6(x －2y )＝12，即x －2y ＝2，原方程组化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝2，x ＋2y ＝6，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1， 所以原方程组的解集是{(x ，y )|(4，1)}．关键能力综合练7．解析：把选项中的x ，y 的值逐项代入，能得到A ，B 能让原方程组成立，而C ，D 不能让方程组成立．答案：CD8．解析：由题意2a －b ＝3，a ＋b ＝1，两方程联立解方程组得，a ＝43，b ＝－13，从而求得a －2b ＝2；a b ＝－4.答案：2 －49．解析：因为三个方程中y 的系数是1或－1.答案：B10．解析：由②得，y ＝x ＋m 代入①得：2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为方程组有唯一解，所以Δ＝(2m )2－4×2×(m 2－1)＝4m 2－8m 2＋8＝－4m 2＋8＝0，所以m 2＝2，所以m ＝± 2.答案：C11．解析：设《毛诗》x 本，《春秋》y 本，《周易》z 本，学生人数为m ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝94m x＝3m y ＝4m z＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝120x ＝40y ＝30z ＝24.答案：A12．解析：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0 ①x 2－y 2＋3＝0 ②，由①得y ＝2x ③， 把③代入②得x 2－(2x )2＋3＝0，解得x ＝1或x ＝－1.把x ＝1代入③得y ＝2，把x ＝－1代入③得y ＝－2，因此，原方程组的解集是{(1，2)，(－1，－2)}．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7 ①x 2＋y 2＝25 ②，由①得y ＝7－x ③， 把③代入②，整理得x 2－7x ＋12＝0，即(x －3)(x －4)＝0，解得x ＝3或x ＝4.把x ＝3代入③得y ＝4，把x ＝4代入③得y ＝3，所以原方程组的解集为{(3，4)，(4，3)}．(3)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0 ①y 2＝4x ②，由①得y ＝x ＋1 ③， 把③代入②，整理得x 2－2x ＋1＝0，即(x －1)2＝0，解得x ＝1.把x ＝1代入③得y ＝2，所以原方程组的解集为{(1，2)}． 核心素养升级练13．解析：因为甲看错了b 的符号，所以(3，2)满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝13，cx －y ＝4， 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝13，cx －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝13，c ＝2. 同理，乙同学看错了c 的值，则把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1代入ax －by ＝13，得5a －b ＝13，故得到关于a ，b 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝13 ①，5a －b ＝13 ②， ①＋②×2，得13a ＝39，解得a ＝3，将a ＝3代入②式得5×3－b ＝13，解得b ＝2.故a ＝3，b ＝2，c ＝2.14．解析：(1)设该店有客房x 间，房客y 人，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7＝y 9（x －1）＝y ， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝63， 故该店有客房8间，房客63人．(2)若每间客房住4人，则63位客人需客房16间，则需付费20×16＝320(钱)，若一次性定客房18间，则需付费20×18×0.8＝288(钱)，因为288<320，所以选择一次性定客房18间更合算．。

第二章等式与不等式2.1 等式2.1.1 等式的性质与方程的解集必备知识基础练1.(多选题)下列说法不正确的是( )A.在等式ab=ac两边都除以a,可得b=cB.在等式a=b两边都除以c2+1,可得ac2+1=bc2+1C.在等式ba =ca两边都除以a,可得b=cD.在等式2x=2a-b两边同除以2,可得x=a-b2.多项式a+5与2a-8互为相反数,则a= ( )A.-1B.0C.1D.23.关于-2)x2+的值应为( )A.2B.-2C.2或-2D.14.方程x2-8x+15=0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长,则直角三角形的第三条边长是.5.已知y=1是方程2-13(m-y)=2y的解,则关于x的方程m((2x-5)的解集为.6.若实数a,b满足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0,则a+b= .7.把下列各式因式分解:(1)4x 2-8x+4;(2)(x+y)2-4y(x+y).8.求关于x 的方程ax=2x-1的解集,其中a 是常数.关键能力提升练9.(多选题)下列解方程过程中,错误的是( ) A.将10-2(3x-1)=8x+5去括号,得10-6x+1=8x+5 B.由x 0.7+0.17+0.4x 0.03=1,得10x 7+17+40x3=100C.由-23x=3,得x=-92D.将3-5x -12=x+23去分母,得3-3(5x-1)=2(x+2)10.若多项式x 2+kx-24可以因式分解为(x-3)(x+8),则实数k 的值为( )A.5B.-5C.11D.-1111.若关于x的一元一次方程2x-k3−x-3k3=1的解集是{-1},则k的值是.12.要在二次三项式x2+( )x-6的括号中填上一个整数,使它能按公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)分解因式,那么括号中的数可以是.13.已知关于x的方程4a+43+2x=3x-1的解集为A,关于x的方程3x-a-4=0的解集为B,若A=B,求a的值.14.解下列一元二次方程:(1))x+m3=0;(2)x2-x+4=3,n为何值时,原方程的解集为:(1)单元素集;(2)R;(3)⌀.参考答案第二章等式与不等式2.1 等式2.1.1 等式的性质与方程的解集1.ACD 对于A,当a=0时不正确;对于B,∵c2+1≠0,∴B正确;对于C,等式b a =ca两边都除以a可得ba2=ca2,∴C不正确;对于D,在等式2x=2a-b两边同除以2,得x=a-b2,∴D不正确.2.C 根据题意得a+5+2a-8=0,移项合并得3a=3,解得a=1.3.B ∵关于-2)=-2.故选B.4.4或√34方程x2-8x+15=0因式分解得(x-3)·(x-5)=0,所以x-3=0或x-5=0,解得x1=3,x2=5,即直角三角形的两条边长分别为3,5.当5为直角边长时,则第三条边长为√32+52=√34;当5为斜边长时,第三条边长为√52-32=4.5.{0} 因为y=1是方程2-13(m-y)=2y的解,所以2-13(m-1)=2,即m=1.所以方程m((2x-5)变为(x-3)-2=2x-5,解得x=0.所以方程的解集为{0}.6.-12或1 设a+b=x,则原方程可化为4x(4x-2)-8=0,整理得(2x+1)(x-1)=0,解得x=-12或x=1.则a+b=-12或1.7.解(1)原式=4(x 2-2x+1)=4(x-1)2. (2)原式=(x+y)(x+y-4y)=(x+y)(x-3y).8.解原方程可化为(2-a)x=1,当a=2时,解集为⌀; 当a≠2时,解集为{12-a}.综上,当a=2时,解集为⌀;当a≠2时,解集为{12-a}.9.ABD A 选项,将10-2(3x-1)=8x+5去括号,得10-6x+2=8x+5,故A 错误;B 选项,由x 0.7+0.17+0.4x0.03=1,得10x 7+17+40x3=1,故B 错误;C 选项,由-23x=3,得x=-92,故C 正确;D 选项,将3-5x -12=x+23去分母,得18-3(5x-1)=2(x+2),故D 错误.10.A 由题意得(x-3)(x+8)=x 2+5x-24. 因为多项式x 2+kx-24=x 2+5x-24,则k=5. 故选A. 11.2 由2x -k 3−x -3k 3=1得x=3-2k.又-1是方程的解,∴k=3-x 2=2.12.1,-1,5,-5 -6可以分成-2×3,2×(-3),-1×6,1×(-6),括号中填上的整数应该是-6的两个因数的和,即1,-1,5,-5.13.解由方程4a+43+2x=3x-1,解得x=4a+73,即A={4a+73},由方程3x-a-4=0,解得x=a+43,即B={a+43}.又A=B,所以4a+73=a+43,解得a=-1.14.解(1)因为)2)(=0或1时,m 2=m,此时原方程的解集为{0}或{1}; 当m≠0且m≠1时,m 2≠m,此时原方程的解集为{m,m 2}.(2)因为x 2-x-a 2+a=x 2-x-a(a-1)=(x-a)[x+(a-1)],所以原方程化为(x-a)[x+(a-1)]=0,解得x=a 或x=1-a. 当a=12时,a=1-a,此时原方程的解集为{12};当a≠12时,此时原方程的解集为{a,1-a}.15.解由题意知(m-3)-3≠0,即m≠3,n 为任意实数时,x=-n -4m -3,方程的解集为单元素集,即{-n -4m -3}.(2)当m-3=0且-n-4=0,即m=3且n=-4时,方程的解集为R. (3)当m-3=0且-n-4≠0,即m=3且n≠-4时,方程的解集为⌀.。

第二章 等式与不等式2．1 等 式2．1.1 等式的性质与方程的解集1.常用乘法公式(1)公式： 公式名称符号表示 文字表示 平方差公式 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差完全平方 (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2两数和(或差)的平方，等于公式这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍其他恒等式①(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；②(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；③(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac(2)本质：常用乘法公式的本质就是将每个括号内的每一项与另一括号内的每一项依次相乘后再求和得到．(3)应用：利用公式或恒等式进行表达式的化简与求值．(1)平方差公式的左右两边分别有什么特点？提示：公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方．(2)完全平方公式的左右两边分别有什么特点？提示：公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；公式右边第一、三项分别是左边第一、第二项的平方；第二项是左边两项积的2倍．2．十字相乘法具体形式：①二次项系数为1时：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)②二次项系数不为1时：acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)记忆口诀：拆两头，凑中间．十字相乘法分解因式的关键是什么？提示：把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．3.方程的解集(1)定义：方程的解(根)能使方程左右两边相等的未知数的值方程的解集一个方程所有解组成的集合的不同．(3)应用：求解方程的解(或解集).把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.( ×)提示：(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4).( ×)提示：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y).(3)用因式分解法解方程时部分过程为：(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.( ×)提示：若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0.2．分解因式：x2＋2xy＋y2－4＝．【解析】x2＋2xy＋y2－4＝(x＋y)2－4＝(x＋y＋2)(x＋y－2).答案：(x＋y＋2)(x＋y－2)3．(教材例题改编)已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为______．【解析】由方程x2－17x＋66＝0得：(x－6)(x－11)＝0，解得：x＝6或x＝11，当x＝6时，三边长为4，6，7，符合题意；当x＝11时，以4，7，11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6.答案：6类型一常用乘法公式的应用(数学运算)1．若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)(x＋8)，则实数k的值为()A．5 B．－5C．11 D．－11【解析】选A.由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24. 2．计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是()A．8x2－8y2B．8y2－8x2C．8(x＋y)2D．8(x－y)2【解析】选B.方法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2.方法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2.3．已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为______.【解析】a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2，所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.答案：7常用乘法公式的应用技巧(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式．(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算．类型二十字相乘法分解因式(数学运算)【典例】把下列各式因式分解．(1)x2＋3x＋2.(2)6x2－7x－5.(3)5x2＋6xy－8y2.【思路导引】二次项系数与常数项分别拆分，交叉相乘再相加，保证和为一次项系数即可．【解析】(1)x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)1×2＋1×1＝3(2)6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)2×(－5)＋3×1＝－7(3)5x2＋6xy－8y2＝(x＋2y)(5x－4y)1×(－4y)＋5×(2y)＝6y十字相乘法因式分解的形式尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下：这里按斜线交叉相乘的积的和就是a 1c 2＋a 2c 1，如果它正好等于二次三项式ax 2＋bx ＋c 中一次项的系数b ，那么ax 2＋bx ＋c 就可以分解成(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)，其中a 1，c 1是图中上面一行的两个数，a 2，c 2是下面一行的两个数．分解下列各因式：(1)8x 2＋26xy －15y 2；(2)7(a ＋b)2－5(a ＋b)－2.【解析】(1)8x 2＋26xy －15y 2＝(2x －y)(4x ＋15y).(2)7(a ＋b)2－5(a ＋b)－2＝(7a ＋7b ＋2)(a ＋b －1).【拓展延伸】齐次式的因式分解(1)齐次式是指合并同类项后，每一项关于x ，y 的次数都是相等的多项式．次数为一次就是一次齐次式，次数为二次就是二次齐次式．如x －2y 是一次齐次式；x 2＋xy 是二次齐次式．(2)二元二次齐次式是高中最常见的齐次式之一，通常可以写为ax 2＋bxy ＋cy 2的形式，常见的因式分解方法有两种，一是将原式中的y 看作参数直接进行因式分解；二是在解决此类问题的等式时可以同除以y 2转化为x y 的二次形式后利用因式分解进行分解或求值． 【拓展训练】x 2－13xy －30y 2分解因式为( )A ．(x －3y)(x －10y)B ．(x ＋15y)(x －2y)C ．(x ＋10y)(x ＋3y)D ．(x －15y)(x ＋2y)【解析】选D .x 2－13xy －30y 2＝(x －15y)(x ＋2y)1×2y ＋1×(－15y)＝－13y类型三 方程的解集(数学运算)一元一次方程的解集【典例】若x ＝－3是方程3x －a ＝0的解，则a 的值是( )A ．9B ．6C ．－9D ．－6【思路导引】方程的解定能满足方程，代入求解即可．【解析】选C .把x ＝－3代入方程3x －a ＝0得：－9－a ＝0，解得：a ＝－9.一元二次方程的解集【典例】解下列一元二次方程：(1)2x 2＋7x ＋3＝0；【思路导引】(1)(2)直接利用十字相乘法解方程，(3)(4)移项合并同类项后，再利用十字相乘法解方程．【解析】原方程化为(2x ＋1)(x ＋3)＝0，解得x ＝－12 或x ＝－3，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12 . (2)2x 2－7x ＋3＝0；【解析】原方程化为(2x －1)(x －3)＝0，解得x ＝12 或x ＝3，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，3 . (3)－3x 2－4x ＋4＝0；【解析】原方程化为3x 2＋4x －4＝0，即(3x －2)(x ＋2)＝0，解得x ＝23 或x ＝－2，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，23 . (4)6x(x ＋2)＝x －4.【解析】原方程化为6x 2＋11x ＋4＝0，即(2x ＋1)(3x ＋4)＝0，解得x ＝－12 或x ＝－43 ，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，－43 . 分类讨论思想的应用【典例】解方程ax 2－(a ＋1)x ＋1＝0.【思路导引】把二次项系数分为a ＝0和a≠0两种情况讨论，第一种情况是解一元一次方程，第二种情况是解一元二次方程．【解析】当a ＝0时，原方程可化为－x ＋1＝0，所以x ＝1，当a≠0时，对于ax 2－(a ＋1)x ＋1来说，因为a×1＝a ，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1).如图所示：ax 2－(a ＋1)x ＋1＝(ax －1)(x －1)，所以原方程可化为(ax －1)(x －1)＝0，所以ax －1＝0或x －1＝0，所以x ＝1a 或x ＝1.1．利用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程的右边化为0；(2)将方程的左边进行因式分解；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解一元一次方程，得到方程的解．2．对于二次三项式分解因式的注意事项对于二次三项式，采用十字相乘法分解因式时，要注意把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，两个因式的和正好等于一次项系数．注意，交叉相乘横着写．3．形如ax 2＋bx ＋c ＝0(含参)的方程的解法方程的二次项系数中含有参数时，要讨论二次项系数是否可以等于零，当二次项系数等于零时，讨论方程变为一元一次方程或其他情况，当二次项系数不为0时，解一元二次方程．1．多项式x ＋5与2x －8互为相反数，则x ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】选C.根据题意得：x ＋5＋2x －8＝0，移项合并得：3x ＝3，解得x ＝1.2．求下列方程的解集： (1)5x 2－2x －14 ＝x 2－2x ＋34 .(2)12x 2＋5x －2＝0.【解析】(1)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0.因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0.于是得2x ＋1＝0或2x －1＝0，即x ＝－12 或x ＝12 ，因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12 . (2)分解因式得：12x 2＋5x －2＝(3x ＋2)(4x －1)3×(－1)＋4×2＝5因为12x 2＋5x －2＝0，所以(3x ＋2)(4x －1)＝0，所以3x ＋2＝0或4x －1＝0，即x ＝－23 或x ＝14 ，因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23，14 . 3.解方程12x 2－ax －a 2＝0.【解析】当a ＝0时，原方程可化为：12x 2＝0，所以x ＝0，当a≠0时，因为3×4＝12，－a×a ＝－a 2，3×a ＋4×(－a)＝3a －4a ＝－a ，如图所示所以12x 2－ax －a 2＝(3x －a)(4x ＋a)，所以原方程可化为(3x －a)(4x ＋a)＝0.所以3x －a ＝0或4x ＋a ＝0，所以x 1＝a 3 ，x 2＝－a 4 .【补偿训练】(2020·苏州高一检测)若方程(x －2)(3x ＋1)＝0，则3x ＋1的值为( )A ．7B ．2C ．0D ．7或0【解析】选D .由方程(x －2)(3x ＋1)＝0，可得x －2＝0或3x ＋1＝0，解得x 1＝2，x 2＝－13 ，当x ＝2时，3x ＋1＝3×2＋1＝7；当x ＝－13 时，3x ＋1＝3×(－13 )＋1＝0.备选类型 方程的解的应用(数学建模、数学运算)【典例】我市某楼盘准备以每平方米15 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格按同一百分率经过连续两次下调后，最终以每平方米12 150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是( )A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%【思路导引】设出每次下调的百分率，根据原价及两次下调后的价格列出关系式，求得方程的解．【解析】选C .设平均每次下调的百分率为x ，则：15 000·(1－x)·(1－x)＝12 150，所以(1－x)2＝0.81，所以1－x ＝0.9或1－x ＝－0.9，解得x＝0.1或x＝1.9.因为x＜1，所以x＝1.9(舍)，所以x＝0.1.所以平均每次下调的百分率为10%.解决实际问题的一般步骤(1)审清题意，理顺问题的条件和结论，找到关键量．(2)建立文字数量关系式．(3)转化为数学模型．(4)解决数学问题，得出相应的数学结论．(5)返本还原，即还原为实际问题本身所具有的意义．甲商品的进价为每件20元，商场将其售价从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率．(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若商场希望该商品每月能盈利10 000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在现价的基础上还应如何调整？【解析】(1)设这种商品平均降价率是x，依题意得：40(1－x)2＝32.4，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去)；故这个降价率为10%.(2)设降价y元，则多销售(y÷0.2)×10＝50y件，根据题意得(40－20－y)(500＋50y)＝10 000，解得：y＝0(舍去)或y＝10，答：在现价的基础上，再降低10元．1．已知等式3x ＋2y ＋6＝0，则下列等式正确的是( )A ．y ＝－32 x －3B ．y ＝32 x －3C ．y ＝－32 x ＋3D ．y ＝32 x ＋3【解析】选A.由等式3x ＋2y ＋6＝0，可得y ＝－32 x －3.2．(2021·青岛高一检测)一元二次方程(x ＋3)(x －3)＝3(x ＋3)的解集是( )A ．{3}B ．{6}C ．{－3，6}D ．{－6，3}【解析】选C.(x ＋3)(x －3)－3(x ＋3)＝0，即(x ＋3)(x －3－3)＝0，所以x ＋3＝0或x －3－3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝6.3．(教材练习改编)多项式x 2－3x ＋a 可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－2【解析】选D.因为(x －5)(x －b )＝x 2－(5＋b )x ＋5b ＝x 2－3x ＋a ， 所以5＋b ＝3，a ＝5b ，所以b ＝－2，a ＝－10.4．(2021·南昌高一检测)一元二次方程2x 2＋px ＋q ＝0的解集为{－1，2}，那么二次三项式2x 2＋px ＋q 可分解为( )A ．(x ＋1)(x －2)B ．(2x ＋1)(x －2)C ．2(x －1)(x ＋2)D ．2(x ＋1)(x －2)【解析】选D.因为一元二次方程2x 2＋px ＋q ＝0的解集为{－1，2}，所以2(x＋1)(x－2)＝0，所以2x2＋px＋q可分解为2(x＋1)(x－2). 5．若x＝3是方程2x－10＝4a的解，则a＝______．【解析】因为x＝3是方程2x－10＝4a的解，所以2×3－10＝4a，所以4a＝－4，所以a＝－1.答案：－1。