高中数学直线方程的几种形式检测考试题1

直线与方程检测题一、我会选（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.若直线过点(1,2)，(4,23)+,则此直线的倾斜角是（ ） Ａ 030 Ｂ 045 Ｃ 060 Ｄ 0902. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23-D 、323.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 21 C 1 D 274. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ） Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０ Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=06.过点Ｍ（２,１）的直线与x 轴，y 轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,则l 的方程是（ ）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是A （-2，1）B （2，1）C （1，-2）D （1，2）8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定 9. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有 A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 110.已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ）（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=011．下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点()P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a yb+=1表示 D ．经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121表示12．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．360x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y +-=D ．320x y -+=二、我会填（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.已知点(5,4)A -和(3,2)B 则过点(1,2)C -且与A,B 的距离相等的直线方程 为 . 14．过点Ｐ（１，２）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程是 . 15．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 . 16．原点Ｏ在直线l 上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线l 的方程为 .三、解答题（本大题共6小题，共52分）17. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程; ②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是1053的直线的方程.18.直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点，求实数m 的值.19.已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线l 的方程.20. 已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 21=上，求22PB PA +取得最小值时P 点的坐标。

高二数学直线方程试题答案及解析1.直线和直线的交点为,则过两点,的直线方程为_____________.【答案】【解析】两直线和的交点为, 所以是直线上的点，将点的坐标代入直线方程，得到整理一下，则可看成而分别可由代入因为,即为相异的两点.两点确定一条直线，所以可以认为为所求直线方程.【考点】直线的方程.2.已知直线l经过点P(-2,1)（1）若直线l的方向向量为(-2,-1)，求直线l的方程；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求此时直线l的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或x+y+1=0【解析】（1）已知直线的方向向量利用方向向量设方程时可设为：,然后根据直线过点P(-2,1)来得直线方程.（2）可先设直线的斜率，然后表示直线方程；根据直线方程来表示直线在两坐标轴上的截距，根据截距相等列出方程即可.试题解析：（1）直线斜率为得（2）或x+y+1=0.【考点】函数及其性质的应用.3.已知直线经过点.（1）若直线的方向向量为，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求此时直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】（1）由直线的方向向量可得直线的斜率，根据点斜式可得直线方程。

（2）注意讨论截距是否为0，当截距均为0时，直线过原点，设直线方程为，将点代入即可求得，当截距不为0时可设直线为，同样将点代入即可求得。

（1）由的方向向量为，得斜率为，所以直线的方程为：（6分）（2）当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线的方程为；（9分）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设为代入点得直线的方程为.【考点】1直线的方向向量；2直线方程的点斜式和截距式。

4.（本小题满分13分）已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，到抛物线的准线的距离为5，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．(1)求抛物线的方程；(2)过作，垂足为，求点的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据抛物线的标准方程，先写出抛物线的准线方程，进而由抛物线的定义得到，进而可确定，从而可写出抛物线的方程；（2）由（1）先确定，，随之确定，进而写出直线的方程，进而由得到，进而写出直线的方程，最后联立直线、的方程即可求得交点的坐标.试题解析：（1）抛物线的准线为，于量，所以∴抛物线方程为（2）由（1）可得点的坐标是，由题意得又∵，∴，由可得则的方程为，的方程为解方程组，所以.【考点】1.抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线的方程；3.两直线的交点问题.5.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【答案】（1）y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0；（2）.【解析】（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；（2）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可.试题解析：(1)将圆C配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得：y＝(2±)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.故切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由|PO|＝|PM|，得：＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l.∴直线OP的方程为：2x＋y＝0.解方程组得P点坐标为.【考点】直线和圆的方程的应用．6.已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．【答案】（1）点C的坐标为；（2）．.【解析】（1）因为直线,求出，进而求出直线AC的方程，直线AC与CD联立即可求出顶点的坐标；（2）由（1）可求出，再求出B点的坐标，由点到直线的距离公式可求出的高，进而可以求出的面积．试题解析：(1)直线,则,直线AC的方程为, 2分由所以点C的坐标．. 4分(2),所以直线BC的方程为, 5分,即．. 7分, 8分点B到直线AC:的距离为. 9分则．. 10分【考点】点到直线的距离、直线方程.7.直线与两坐标轴围成的三角形面积等于__________.【答案】【解析】令，则，令，则，所以【考点】求直线的横纵截距8.光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射，这时反射光线恰好过点,求所在直线的方程及点的坐标．【答案】直线方程为：；.【解析】试题分析:先求出点关于轴的对称点,然后根据直线两点式方程求出的直线方程为.试题解析：点关于轴的对称点.因为点在直线上，，所以的直线方程为：.化简后得到的直线方程为：.【考点】直线方程.9.过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是()A．x－2y＋7＝0B．2x＋y－1＝0C．x－2y－5＝0D．2x＋y－5＝0【答案】B【解析】由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k=-2，所求直线的方程为y-3=-2（x+1）即2x+y-1=0，故选B【考点】本题考查了直线的方程及位置关系点评：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是10.（本小题满分12分）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点M (2,0),AB边所在直线的方程为:,若点在直线AD上.（1）求点A的坐标及矩形ABCD外接圆的方程；（2）过点的直线与ABCD外接圆相交于A、B两点,若,求直线m的方程.【答案】(1) ；（2）或。

典型例题一例1 直线l 过点P （－1 ：3） ：倾斜角的正弦是54：求直线l 的方程． 分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切 ：注意有两解． 解：因为倾斜角α的范围是：πα<≤0 又由题意：54sin =α ： 所以：34tan ±=α ： 直线过点P （－1 ：3） ：由直线的点斜式方程得到：()1343+±=-x y 即：01334=+-y x 或0534=-+y x ．说明：此题是直接考查直线的点斜式方程 ：在计算中 ：要注意当不能判断倾斜角α的正切时 ：要保留斜率的两个值 ：从而满足条件的解有两个．典型例题二例2 求经过两点A （2 ：m ）和B （n ：3）的直线方程．分析：本题有两种解法 ：一是利用直线的两点式 ：二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式 ：只涉及到n 与2的分类 ：如果选用两点式 ：还要涉及m 与3的分类．解：法一：利用直线的两点式方程∵直线过两点A （2 ：m ）和B （n ：3）（1）当3=m 时 ：点A 的坐标是A （2 ：3） ：与点B （n ：3）的纵坐标相等 ：则直线AB 的方程是3=y ：（2）当2=n 时 ：点B 的坐标是B （2 ：3） ：与点A （2 ：m ）的横坐标相等 ：则直线AB 的方程是2=x ：（3）当3≠m ：2≠n 时 ：由直线的两点式方程121121x x x x y y y y --=--得： 223--=--n x m m y 法二：利用直线的点斜式方程（1）当2=n 时 ：点B A ,的横坐标相同 ：直线AB 垂直与x 轴 ：则直线AB 的2=x ： （2）当2≠n 时 ：过点B A ,的直线的斜率是23--=n mk ： 又∵过点A （2 ：m ）∴由直线的点斜式方程()11x x k y y -=-得过点B A ,的直线的方程是：()223---=-x n mm y 说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件 ：并体会分类讨论的思想方法．典型例题三例3 把直线方程()00≠=++ABC c By Ax 化成斜截式______ ：化成截距式______． 分析：因为0≠ABC ：即0≠A ：0≠B ：0≠C ：按斜截式、截距式的形式要求变形即可．解：斜截式为BC x B A y --= ：截距式为A C x -+BC Y -＝1说明：此题考查的是直线方程的两种特殊形式：斜截式和截距式．典型例题四例4 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________．分析：将直线的方程化为斜截式 ：得出直线的斜率 ：再由斜率和倾斜角的关系 ：得出关于θ的一个三角不等式即可．解：已知直线的方程为323cos --=x y θ ：其斜率3cos θ-=k ． 由313cos ≤=θk ：得31tan ≤α ：即33tan 33≤≤-α． 由[)πα,0∈ ：得),65[6,0πππα ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈． 说明：解题易得出错误的结果⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,6ππα ：其原因是没有注意到倾斜角的取值范围．典型例题五例5 直线l 经过点)2,3( ：且在两坐标轴上的截距相等 ：求直线l 的方程． 分析：借助点斜式求解 ：或利用截距式求解． 解法一：由于直线l 在两轴上有截距 ：因此直线不与x 、y 轴垂直 ：斜率存在 ：且0≠k ． 设直线方程为)3(2-=-x k y ：令0=x ：则23+-=k y ：令0=y ：则kx 23-=．由题设可得k k 2323-=+- ：解得1-=k 或32=k ． 所以 ：l 的方程为)3(2--=-x y 或)3(322-=-x y ．故直线l 的方程为05=-+y x 或032=-y x ．解法二：由题设 ：设直线l 在x 、y 轴的截距均为a ． 若0=a ：则l 过点)0,0( ：又过点)2,3( ：∴l 的方程为x y 32=：即l ：032=-y x ． 若0≠a ：则设l 为1=+a ya x ．由l 过点)2,3( ：知123=+aa ：故5=a ．∴l 的方程05=-+y x ．综上可知 ：直线l 的方程为032=-y x 或05=-+y x ．说明：对本例 ：常见有以下两种误解：误解一：如下图 ：由于直线l 的截距相等 ：故直线l 的斜率的值为1±．若1=k ：则直线方程为32-=-x y ：若1-=k ：则直线方程为)3(2--=-x y ．故直线方程为01=-+y x 或05=-+y x ．误解二：由题意 ：直线在两轴上的截距相等 ：则可设直线方程为1=+aya x ．由直线过点)2,3( ：得123=+aa ：即5=a ：也即方程为05=-+y x ． 在上述两种误解中 ：误解一忽视了截距的意义 ：截距不是距离 ：它可正可负 ：也可以为0．显见 ：当1=k 时 ：直线01=--y x 的两轴上的截距分别为1和－1 ：它们不相等．另外 ：这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0的这种特殊情形．误解二中 ：没有注意到截距式方程的适用范围 ：同样也产生了漏解．典型例题六例6 已知在第一象限的ABC ∆中 ：)1,1(A 、)1,5(B ：3π=∠A ：4π=∠B ：求：(1)AB 边的方程 ：(2)AC 和BC 所在直线的方程． 分析：(1)当直线与x 轴平行时或垂直时 ：不能用两点式求直线的方程．(2)由图可知AC 、BC 的斜率 ：根据点斜式方程即可得出结果．解：(1)如图 ：AB 的方程为1=y )51(≤≤x ．(2)由AB ∥x 轴 ：且ABC ∆在第一象限知AC 的斜率33tan==πAC k ：BC 的斜率1)4tan(-=-=ππBC k ． 所以 ：AC 边所在直线的方程为)1(31-=-x y ：即0313=-+-y x ． BC 边所在直线的方程为)5(11--=-x y ：即06=-+y x ．说明：(1)AB 边是一条线段 ：要注意变量x 的取值范围．(2)解题中 ：要注意画出图形 ：便于直观地得到所求直线所具备的条件．典型例题七例7 若ABC ∆的顶点)4,3(A ：)0,6(B ：)2,5(--C ：求A ∠的平分线AT 所在的直线的方程．分析：两个条件确定一条直线．要求AT 的方程 ：已知点A 的坐标 ：只要再找出AT 的斜率或点T 的坐标就可以了．在三角形中 ：A ∠的平分线有下列性质：(1)TAB CAT ∠=∠ ：(2)AT 上任一点到两边AB 、AC 的距离相等 ：(3)ABCA TBCT =．用其中任何一个性质 ：都可以确定第二个条件．解法一：∵10)24()53(22=+++=AC ：54)63(22=+-=AB ：∴T 分BC 所成的比为2===ABACTB CT λ． 设T 的坐标为),(y x ：则：3721625=+⨯+-=x ：3221022-=+⨯+-=y ：即)32,37(-T ．由两点式得AT 的方程为3733732432--=++x y ：即0177=--y x ． 解法二：直线AC 到AT 的角等于AT 到AB 的角 ：43)5(3)2(4=----=AC k ：346304-=--=AB k ．设AT 的斜率为k (34-<k 或34>k ) ：则有 k k k k )43(14343143-+--=+-． 解得7=k 或71-=k （舍去）．∴直线AT 的方程为)3(74-=-x y ：即0177=--y x ．解法三：设直线AT 上动点),(y x P ：则P 点到AC 、AB 的距离相等 ：即：574352434+-=-+y x y x ：∴037=-+y x 或0177=--y x结合图形分析 ：知037=-+y x 是ABC ∆的角A 的外角平分线 ：舍去． 所以所求的方程为0177=--y x ．说明：(1)确定不同条件下的直线方程是高考的重要内容 ：其方法主要是待定系数法（如解法一、解法二）和轨迹法（如解法三）．要熟练掌握直线方程各种形式间的相互转化．点斜式是直线方程最重要的一种形式 ：要加强这方面的训练．(2)解法三涉及到后面将要学到的知识．这里先把它列出来 ：作为方法积累．典型例题八例8 求过点)4,5(--P 且分别满足下列条件的直线方程： (1)与两坐标轴围成的三角形面积为5 ：(2)与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点 ：且53∶∶=BP AP ．分析：对于(1) ：既可借助于截距式求解 ：也可以利用点斜式来求解 ：对于(2) ：利用截距式求解较为简便．解法一：设所求的直线方程为1=+b ya x ． 由直线过点)4,5(--P ：得145=-+-ba ：即ab b a -=+54．又521=⋅b a ：故10=ab ． 联立方程组⎩⎨⎧=-=+,10,54ab ab b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=425b a 或⎩⎨⎧-==25b a ． 故所求直线方程为1425=+-y x 和125=-+yx ：即： 02058=+-y x 和01052=--y x ．解法二：设所求直线方程为)5(4+=+x k y ：它与两坐轴的交点为)0,54(kk- ：)45,0(-k ．由已知 ：得5544521=-⋅-kk k ：即k k 10)45(2=-． 当0>k 时 ：上述方程可变成01650252=+-k k ：解得58=k ：或52=k ．由此便得欲求方程为02058=+-y x 和01052=--y x ．(2)解：由P 是AB 的分点 ：得53±==PB AP λ． 设点A 、B 的坐标分别为)0,(a ：),0(b ．当P 是AB 的内分点时 ：53=λ． 由定比分点公式得8-=a ：332-=b ．再由截距式可得所求直线方程为03234=++y x ．当点P 是AB 的外分点时 ：53-=λ．由定比分点公式求得2-=a ：38=b ．仿上可得欲求直线方程为0834=+-y x ．故所求的直线方程为03234=++y x ：或0834=+-y x ．说明：对于(1) ：应注意对题意的理解 ：否则 ：就较易得到ab b a -=+54 ：且10=ab ：从而遗漏了10-=ab 的情形 ：对于(2) ：应当区分内分点与外分点两种不同的情形．必要时 ：可画出草图直观地加以分析 ：防止漏解． 求直线的方程时 ：除应注意恰当地选择方程的形式外 ：还应注意到不同形式的方程的限制条件．如点斜式的限定条件是直线必须存在斜率 ：截距式的限定条件为两轴上的截距都存在且不为0 ：两点式的限定条件是直线不与x 轴垂直 ：也不与y 轴垂直．除此以外 ：还应注意直线方程形式之间的相互转化．典型例题九例9 已知两直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 的交点为)3,2(P ：求过两点),(11b a Q 、),(22b a Q 的直线方程．分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答． 解法一：∵)3,2(P 在已知直线上 ：∴⎩⎨⎧=++=++0132********b a b a ∴0)(3)(22121=-+-b b a a ：即322121-=--a a b b ．故所求直线方程为)(3211a x b y --=-． ∴0)32(3211=+-+b a y x ：即0132=++y x ． 解法二：∵点P 在已知直线上 ：∴⎩⎨⎧=++=++0132********b a b a 可见),(111b a Q 、),(222b a Q 都满足方程0132=++y x ： ∴过1Q 、2Q 两点的直线方程为0132=++y x ．说明：解法二充分体现了“点在直线上 ：则点的坐标满足直线方程 ：反之 ：若点的坐标满足方程 ：则直线一定过这个点”．此解法独特 ：简化了计算量 ：能培养学生的思维能力．典型例题十例10 过点)4,1(P 引一条直线 ：使它在两条坐标轴上的截距为正值 ：且它们的和最小 ：求这条直线方程．分析：利用直线方程的点斜式 ：通过两截距之和最小求出直线的斜率 ：从而求出直线方程．或借助直线方程的截距式 ：通过两截距之和最小 ：求出直线在两轴上的截距 ：从而求出直线的方程．解法一：设所求的直线方程为)1(4-=-x k y ．显见 ：上述直线在x 轴、y 轴上的截距分别为k41-、k -4． 由于041>-k：且04>-k 可得0<k ． 直线在两坐标轴上的截距之和为：945)4()(5)4()41(=+≥-+-+=-+-=k k k k S ：当且仅当kk 4-=- ：即2-=k 时 ：S 最小值为9．故所求直线方程为)1(24--=-x y ：即062=-+y x ．解法二：设欲求的直线方程为1=+bya x (0>a ：0>b )． 据题设有141=+ba ： ① 令b a S +=． ②①×② ：有94545)41)((=+≥++=++=ba ab bab a S ． 当且仅当b a a b 4=时 ：即b a =2 ：且141=+ba ：也即3=a ：6=b 时 ：取等号．故所求的直线方程为163=+yx ：即062=-+y x ．说明：在解法一中 ：应注意到0<k 这个隐含条件．否则 ：由)4(5kk S +-= ：将很有可能得出错误的结果．如145)4(5=-≥+-=k k S ：145)4(5=-≤+-=kk S 等等． 在解法二中 ：应注意运算过程中的合理性 ：即讲究算理 ：不然 ：将会使运算过程不胜其繁．如采取下述方法：由① ：用a 来表示b ：再代入②中 ：把S 化归成a 的函数．从解题思维方法上说无可厚非 ：但这种方法将使运算难度陡然增加．不如保持本质、顺其自然好．典型例题十一例11 已知523=+b a ：其中a 、b 是实常数 ：求证：直线010=-+by ax 必过一定点．分析与解：观察条件与直线方程的相似之处 ：可把条件变形为01046=-+b a ：可知6=x ：4=y 即为方程010=-+by ax 的一组解 ：所以直线010=-+by ax 过定点（6 ：4）．说明：此问题属于直线系过定点问题 ：此类问题的彻底解决宜待学完两直线位置之后较好 ：当然现在也可以研究 ：并且也有一般方法．典型例题十二例12 直线l 过点M （2 ：1） ：且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B ．点O 是坐标原点 ：（1）求当ABO ∆面积最小时直线l 的方程 ：（2）当MA MB 最小时 ：求直线l 的方程．解：（1）如图 ：设OA a = ：OB b = ：ABO ∆的面积为S ：则ab S 21=并且直线l 的截距式方程是a x ＋by＝1 由直线通过点（2 ：1） ：得a 2＋b1＝1 所以:2a ＝b111-＝1-b b因为A 点和B 点在x 轴、y 轴的正半轴上 ：所以上式右端的分母01>-b ．由此得:b b b b a S ⨯-=⨯=121111112-++=-+-=b b b b2111+-+-=b b 422=+≥ 当且仅当=-1b 11-b ：即2=b 时 ：面积S 取最小值4 ： 这时4=a ：直线的方程是:4x ＋2y＝1即:042=-+y x（2）设θ=∠BAO ：则MA ＝θsin 1 ：MB ＝θcos 2 ：如图 ： 所以 MA MB ＝θsin 1θcos 2＝θ2sin 4当θ＝45°时MA MB 有最小值4 ：此时1=k ：直线l 的方程为03=-+y x ． 说明：此题与不等式、三角联系紧密 ：解法很多 ：有利于培养学生发散思维 ：综合能力和灵活处理问题能力．动画素材中有关于此题的几何画板演示．典型例题十三例13 一根铁棒在20°时 ：长10.4025米 ：在40°时 ：长10.4050米 ：已知长度l 和温度t 的关系可以用直线方程来表示 ：试求出这个方程 ：并且根据这个方程 ：求这跟铁棒在25°时的长度．解：这条直线经过两点（20 ：10.4025）和（20 ：10.4050） ：根据直线的两点式方程 ：得：4025.104050.104025.10--l ＝204020--t即 l 20t ⨯当t ＝25°时 l 2025⨯即当t ＝25°时 ：铁棒长为10.4031米． 说明：直线方程在实际中应用非常广泛．典型例题十三例13 一根铁棒在20°时 ：长10.4025米 ：在40°时 ：长10.4050米 ：已知长度l 和温度t 的关系可以用直线方程来表示 ：试求出这个方程 ：并且根据这个方程 ：求这跟铁棒在25°时的长度．解：这条直线经过两点（20 ：10.4025）和（20 ：10.4050） ：根据直线的两点式方程 ：得：4025.104050.104025.10--l ＝204020--t即 l 20t ⨯当t ＝25°时 l 2025⨯即当t ＝25°时 ：铁棒长为10.4031米． 说明：直线方程在实际中应用非常广泛．。

高中数学《直线与方程》测试题1.直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（）A。

(2,0) B。

(-2.-1/3) C。

(-11/3,0) D。

(-2,-3/23)2.直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是（）A。

重合 B。

平行 C。

垂直 D。

相交但不垂直3.直线过点(-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（）A。

2x-3y=0 B。

x+y+5=0 C。

2x-3y=5 D。

x+y+5或x-y+5=04.直线x=3的倾斜角是（）A。

0 B。

π/2 C。

π D。

不存在5.点(-1,2)关于直线y=x-1的对称点的坐标是（）A。

(3,2) B。

(-3,-2) C。

(-3,2) D。

(1,-2)6.点(2,1)到直线3x-4y+2=0的距离是（）A。

4/5 B。

5/4 C。

4/25 D。

25/47.直线x-y+3=0的倾斜角是（）A。

30° B。

45° C。

60° D。

90°8.与直线l: 3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A。

3x+4y-5=0 B。

3x+4y+5=0 C。

-3x+4y-5=0 D。

-3x+4y+5=09.设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与直线bx-ysinB+sinC=0的位置关系是（）A。

平行 B。

重合 C。

垂直 D。

相交但不垂直10.直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为（）A。

-1/3 B。

-3 C。

1/3 D。

311.直线kx-y+1=3k,当k变动时，所有直线都通过定点（）A。

(0,0) B。

(0,1) C。

(3,1) D。

(2,1)13.直线过原点且倾角的正弦值是4/5，则直线方程为y=4x/5.14.直线mx+ny=1(mn≠0)与两坐标轴围成的三角形面积为1/2|mn|.15.如果三条直线mx+y+3=0,x-y-2=0,2x-y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m的一个值是 -1/2.16.已知两条直线 (-∞,1).17.△ABC中，点A(4,-1),AB的中点为M(-1,2)，直线CM 的方程为 3x+y-11=0.1.3,2为重心P，求边BC的长度。

直线的方程同步练习题一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）1.如果平面直角坐标系内的两点A(a−1,a+1)，B(a,a)关于直线l对称，那么直线l的方程为()A. x−y+1=0B. x+y+1=0C. x−y−1=0D. x+y−1=02.过点M(−3,2)且与直线x+2y−9=0平行的直线方程是()A. 2x−y+8=0B. x−2y+7=0C. x+2y+4=0D. x+2y−1=03.已知圆C：x2+y2−4x−5=0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是()A. 3x+2y−7=0B. 2x+y−4=0C. x−2y−3=0D. x−2y+3=04.过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线方程为()A. x+2y−5=0B. 2x+y−4=0C. x+3y−7=0D. 3x+y−5=05.下列说法的正确的是()A. 经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示B. 经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示C. 不经过原点的直线都可以用方程xa +yb=1表示D. 方程(y−y1)(x2−x1)=(x−x1)(y2−y1)表示经过两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的任意直线6.已知过点A(−2,m)和点B(m,4)的直线为l1，l2:2x+y−1=0，l3:x+ny+1=0.若l1//l2，l2⊥l3，则m+n的值为()A. −10B. −2C. 0D. 8二、多选题（本大题共1小题，共5.0分）7.下列说法正确的是()A. 截距相等的直线都可以用方程xa +ya=1表示B. 方程x+my−2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线C. 经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y−1=tanθ(x−1)D. 经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线方程(y2−y1)(x−x1)−(x2−x1)(y−y1)=0第II卷（非选择题）三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）8.经过点(3,0)且与直线x+y−5=0垂直的直线方程为．9.过且与和距离相等的直线方程为___________．四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）10.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是−1，经过点A(8,−2);2(2)经过点B(4,2)，平行于x轴;(3)在x轴和y轴上的截距分别是3，−3;2(4)经过两点P1(3,−2)、P2(5,−4)．11.已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a−2)y−1=0．(1)若l1⊥l2，求实数a的值；(2)当l1//l2时，求直线l1与l2之间的距离．12.已知点A(2,2)和直线l：3x+4y−20=0．(1)求过点A，且和直线l平行的直线方程；(2)求过点A，且和直线l垂直的直线方程．13.求满足下列条件的直线l的一般式方程：(1)与坐标轴的交点为(5,0)，(0,−2)；(2)经过点(−1,3)，且倾斜角是直线√3x+y−2=0倾斜角的一半．14.已知直线l经过直线3x+4y−2=0与2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x−3y+1=0．(Ⅰ)求直线l方程；(Ⅱ)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．15.已知直线l过点P(2,3)，根据下列条件分别求直线l的方程：(1)直线l的倾斜角为135°；(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和为0．16.根据下列条件分别写出直线的方程：(1)斜率是√3，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y上的截距为−2；(3)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(4)在x，y轴上的截距分别是−3，−1．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用垂直平分线的性质即可得出．【解答】解：∵k AB=a+1−aa−1−a =−1，线段AB的中点为(2a−12,2a+12)，两点A(a−1,a+1)，B(a,a)关于直线l对称，∴k l=1，其直线方程为：y−2a+12=x−2a−12，化为：x−y+1=0．故选：A．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题．由已知的直线方程求出要求直线的斜率，代入直线方程的点斜式，化为一般式得答案．【解答】解：由直线方程x+2y−9=0可得该直线的斜率为−12，则与直线x+2y−9=0平行的直线的斜率为−12，又直线过M(−3,2)，由直线方程的点斜式得直线方程为y−2=−12(x+3)，化为一般式得：x+2y−1=0．故选：D．3.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系和两条直线垂直时斜率的关系，属于基础题． 先分析出当直线l 与圆心和点P 的连线垂直时弦最短，然后求出直线l 的方程即可． 【解答】解：由已知，圆心为(2,0)，则圆心和点P 所在的直线的斜率为2−01−2=−2， 而当直线l 与圆心和点P 的连线垂直时弦最短， 所以直线l 的斜率为12，所以方程为y −2=12(x −1)， 即x −2y +3=0， 故选D ．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查用点斜式求直线方程的方法，数形结合判断什么时候距离最大是解题的关键，属基础题．先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式． 【解答】解：要使过点P(1,2)的直线与原点距离最大，结合图形可知该直线与直线PO 垂直， 由k OP =2−01−0=2，则所求直线l 的斜率为−12， ∴直线l 的方程为y −2=−12(x −1)， 即x +2y −5=0． 故选A ．5.【答案】D【解析】解：A项错误，直线y−y0=k(x−x0)只能表示过点P0(x0,y0)且斜率存在的直线；B项错误，直线y=kx+b只能表示过点A(0,b)斜率存在的直线；C项错误，直线xa +yb=1只能表示在两轴上截距都存在且不为零的直线；D项正确，经过任意两个不同的点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y−y1)(x2−x1)=(x−x1)(y2−y1)表示．故选：D．逐一分析研究各个选项，通过举反例等手段，排除不正确选项．本题考查直线方程的适用范围，注意斜率不存在或者截距等于0的情况．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了直线平行、垂直与斜率的关系，考查了计算能力，属于基础题．利用直线平行、垂直与斜率的关系即可得出．【解答】解：∵l1//l2，∴k AB=4−mm+2=−2，解得m=−8．又∵l2⊥l3，∴(−1n)×(−2)=−1，解得n=−2．∴m+n=−10．故选A．7.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了直线方程的截距式、点斜式、两点式，一般式．A，截距相等为0的直线都不可以用方程xa +ya=1表示；B，当m=0时，方程x+my−2=0(m∈R)表示平行y轴的直线；C，倾斜角为θ=900的直线方程不能写成点斜式；D，x1≠x2，直线的斜率存在，可以用点斜式表示．【解答】解：对于A，截距相等为0的直线都不可以用方程xa +ya=1表示，故错误；对于B，当m=0时，方程x+my−2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线x=2，故正确；对于C，经过点P(1,1)，倾斜角为θ=90°的直线方程不能写成y−1=tanθ(x−1)，故错；对于D，∵x1≠x2,∴直线的斜率存在，可写成(y2−y1)(x−x1)−(x2−x1)(y−y1)=0，故正确．故选：BD．8.【答案】x−y−3=0【解析】【分析】本题考查直线方程的求法，两直线垂直的斜率关系等基础知识，解题的关键是由直线x+y−5=0的斜率为−1，得出与直线x+y−5=0垂直的直线斜率为k=1，根据点斜式写出所求直线方程即可．【解答】解：因为直线x+y−5=0的斜率为−1，∴与直线x+y−5=0垂直的直线斜率为k=1，∴经过点(3,0)且与直线x+y−5=0垂直的直线的点斜式方程为y−0=x−3，∴化为一般式方程为x−y−3=0，故答案为：x−y−3=0．9.【答案】4x+y−6=0或3x+2y−7=0【解析】【分析】本题考查直线的方程的求法和直线平行的关系，属于基础题．根据题意到A，B距离相等的直线有两条，与AB平行或过AB的中点，从而求出方程即可．【解答】解：直线AB的斜率为k AB=3+52−4=−4，线段AB的中点坐标为(3,−1)．①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为y−2=−4(x−1)，即4x+y−6=0；②若所求直线过AB的中点时，则所求直线的斜率为2+11−3=−32，故所求直线方程为y−2=−32(x−1)，即3x+2y−7=0．综上所述，所求直线方程为4x+y−6=0或3x+2y−7=0．故答案为：4x+y−6=0或3x+2y−7=0．10.【答案】解：(1)由点斜式得y−(−2)=−12(x−8)，化成一般式得x+2y−4=0．(2)由题意得y=2，化成一般式得y−2=0．(3)由截距式得x32+y−3=1，化成一般式得2x−y−3=0．(4)由两点式得y+2−4−(−2)=x−35−3，化成一般式得x+y−1=0．【解析】本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，是基础题．(1)利用点斜式方程求解直线方程．(2)利用直线方程的特殊情况求解．(3)利用截距式方程求解直线方程．(4)利用两点式方程求解直线方程．11.【答案】解：(1)∵l 1:ax +3y +1=0，l 2:x +(a −2)y −1=0，且l 1⊥l 2，∴a ×1+3×(a −2)=0，解得a =32．(2)∵l 1:ax +3y +1=0，l 2:x +(a −2)y −1=0，且l 1//l 2， ∴a(a −2)=3×1且−a ≠1，解得a =3，∴l 1:3x +3y +1=0，l 2:x +y −1=0，即l 1:3x +3y +1=0，l 2:3x +3y −3=0 ∴直线l 1，l 2间的距离为d =√32+32=2√23．【解析】本题考查平面直角坐标系中两直线平行与垂直的充要条件，是基础题． (1)由两直线垂直的充要条件A 1A 2+B 1B 2=0可以列关于a 的方程求解．(2)由两直线平行的充要条件{A 1B 2=A 2B 1A 1C 2≠A 2C 1可求a 的值，然后利用两平行直线的距离公式求解．12.【答案】解：(1)由l ：3x +4y −20=0，得k l =−34．设过点A 且平行于l 的直线为l 1，则k l 1 =k l =−34， 所以l 1的方程为y −2=−34(x −2)， 即3x +4y −14=0．(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2． 因为k l k l 2=−1，所以k l 2=43， 故直线l 2的方程为y −2=43(x −2)， 即4x −3y −2=0．【解析】本题考查了求直线方程的点斜式方程，求直线的斜率问题，属基础题． (1)求出直线l 的斜率，根据点斜式方程求出直线方程即可．(2)求出所求直线的斜率，再根据点斜式方程求出直线方程即可．13.【答案】解：(1)由题意，得直线过点(5,0)和(0,−2)，故斜率k =0−(−2)5−0=25， 由斜截式方程y =kx +b ，得直线方程y =25x −2，故所求直线的一般式方程为：2x −5y −2=0．(2)设直线√3x +y −2=0的倾斜角为α，将直线方程√3x +y −2=0化为斜截式方程：y =−√3x +2，则其斜率为−√3， ∵α∈[0,π)∴α=2π3．因为需求直线的倾斜角是2π3的一半，故倾斜角为π3，其斜率为√3，又经过点(−1,3)，由点斜式得直线方程y +1=√3(x +1)，故所求直线的一般式方程为：√3x −y +√3−1=0．【解析】本题考查求直线方程，属于基础题．(1)求出斜率，利用斜截式方程即可求解；(2)求出倾斜角，得斜率，由点斜式方程即可求解．14.【答案】解：(Ⅰ)由{3x +4y −2=02x +y +2=0，解得{x =−2y =2，∴点P 的坐标是(−2,2)．设直线l 的方程为3x +y +c =0．代入点P 坐标得3×(−2)+2+c =0，得c =4，∴所求直线l 的方程为3x +y +4=0；(Ⅱ)由直线l 的方程3x +y +4=0，得x−43+y −4=1，知它在x 轴、y 轴上的截距分别是−43,−4，∴直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S =12×4×43=83．【解析】(Ⅰ)联立方程组求得已知两直线的交点坐标，设出与x−3y+1=0垂直的直线方程3x+y+c=0，代入交点坐标求得c，则直线l方程可求；(Ⅱ)化直线l的方程为截距式，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线的一般式方程，考查了一般式和截距式的互化，是基础题．15.【答案】解：(1)设直线l的斜率为k，则k=tan135°=−1，又直线过点P(2,3)，所以直线的点斜式方程为y−3=−(x−2)，化为一般形式为x+y−5=0；(2)设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，由题意知，a+b=0，即b=−a；①若b=−a=0时，则直线l又过点(0,0)，可得直线l的方程为：3x−2y=0；②若b=−a≠0时，则直线l的方程为xa +y−a=1，将点P(2,3)代入得2a +3−a=1，解得a=−1，可得直线l的方程为x−y+1=0；故直线l的方程为3x−2y=0或x−y+1=0．【解析】本题考查直线的倾斜角与斜率应用问题，考查直线的截距应用问题，属于基础题．(1)利用倾斜角求出直线l的斜率，再利用点斜式写出方程，化为一般式方程；(2)设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，讨论①b=−a=0和②b=−a≠0时，分别求出直线l的方程．16.【答案】解：(1)斜率是√3，且经过点A(5,3)的直线方程为y−3=√3(x−5)，即√3x−y+3−5√3=0．(2)斜率为4，在y上的截距为−2的直线方程为y=4x−2，即4x−y−2=0．(3)在y轴上的截距为3，且平行于x轴的直线方程为y−3=0．(4)在x，y轴上的截距分别是−3，−1的直线，用截距式写出方程为x−3+y−1=1，即x+3y+3=0．【解析】本题主要考查用点斜式、斜截式、截距式求直线的方程，属于基础题．(1)用点斜式求出直线方程，并化为一般式．(2)用斜截式求出直线的方程，并化为一般式．(3)由题意直接写出直线的方程．(4)用截距式写出直线方程，并化为一般式．。

高三数学直线方程试题答案及解析1.过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若为中点，则的值是．【答案】【解析】直线，设，，则由有B为AC中点，则，∴，则带入直线中，有，∴.【考点】直线方程、中点坐标公式.2.直线l经过点(3，0)，且与直线l′：x＋3y－2＝0垂直，则l的方程是______________．【答案】3x－y－9＝0【解析】直线l′：x＋3y－2＝0的斜率为k′＝－，由题意，得k′k＝k＝－1，则k＝3.所以l 的方程为y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.3.求经过点A(2，m)和B(n，3)的直线方程．【答案】当n≠2时，y－m＝(x－2)，当n＝2时x＝2.【解析】(解法1)利用直线的两点式方程．直线过点A(2，m)和B(n，3)．①当m＝3时，点A的坐标是A(2，3)，与点B(n，3)的纵坐标相等，则直线AB的方程是y＝3.②当n＝2时，点B的坐标是B(2，3)，与点A(2，m)的横坐标相等，则直线AB的方程是x＝2.③当m≠3，n≠2时，由直线的两点式方程得.(解法2)利用直线的点斜式方程．①当n＝2时，点A、B的横坐标相同，直线AB垂直于x轴，则直线AB的方程为x＝2.②当n≠2时，过点A，B的直线的斜率是k＝.又∵过点A(2，m)，∴由直线的点斜式方程y－y1＝k(x－x1)，得过点A，B的直线的方程是y－m＝(x－2)．4.直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．【答案】2x－3y＝0或x＋y－5＝0.【解析】解法1：(借助点斜式求解)由于直线l在两轴上有截距，因此直线不与x、y轴垂直，斜率存在，且k≠0.设直线方程为y－2＝k(x－3)，令x＝0，则y＝－3k＋2；令y＝0，则x＝3－.由题设可得－3k＋2＝3－，解得k＝－1或k＝.故l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)．即直线l的方程为x＋y－5＝0或2x－3y＝0.解法2：(利用截距式求解)由题设，设直线l在x、y轴的截距均为a.若a＝0，则l过点(0，0)．又过点(3，2)，∴l的方程为y＝x，即l：2x－3y＝0.若a≠0，则设l为＝1.由l过点(3，2)，知＝1，故a＝5.∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.5. 已知直线l ：＋4－3m ＝0.(1)求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点M ；(2)过定点M 作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线l 1的方程． 【答案】（1）见解析（2）2x ＋y ＋4＝0 【解析】(1)证明：∵m ＋2x ＋y ＋4＝0， ∴由题意得∴直线l 恒过定点M.(2)解：设所求直线l 1的方程为y ＋2＝k(x ＋1)，直线l 1与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则A，B(0，k －2)．∵AB 的中点为M ，∴解得k ＝－2.∴所求直线l 1的方程为2x ＋y ＋4＝0.，6. 已知直线的点斜式方程为y －1＝－ (x －2)，则该直线另外三种特殊形式的方程为______________，______________，______________． 【答案】y ＝－x ＋，，【解析】将y －1＝－ (x －2)移项、展开括号后合并，即得斜截式方程y ＝－x ＋. 因为点(2，1)、均满足方程y －1＝－ (x －2)，故它们为直线上的两点．由两点式方程得，即.由y ＝－x ＋知，直线在y 轴上的截距b ＝，又令y ＝0，得x ＝.故直线的截距式方程为7. 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________________________________________________________________________． 【答案】y ＝－x ＋【解析】将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－x ，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为y ＝－ (x －1)，即y ＝－x ＋.8. 直线ax ＋y ＋1＝0与连结A(2，3)、B(－3，2)的线段相交，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－2]∪[1，＋∞)【解析】直线ax ＋y ＋1＝0过定点C(0，－1)，当直线处在AC 与BC 之间时，必与线段AB 相交，即应满足－a≥或－a≤，得a≤－2或a≥1.9. 点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( ) A ．－B ．C ．－D ．【答案】D【解析】由题意知，解得k＝－，b＝，∴直线方程为y＝－x＋，其在x轴上的截距为.10.平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是()A．y=2x-1B．y=-2x+1C．y=-2x+3D．y=2x-3【答案】D【解析】在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1),点B 关于点(1,1)对称的点为N(1,-1).由两点式求出对称直线MN的方程为=,即y=2x-3,故选D.11.过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()A．x－2y＋4＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0D．x－2y＋5＝0【答案】A【解析】方法一，设所求直线方程为x－2y＋C＝0，将点A代入得2－6＋C＝0，所以C＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0，选A.方法二，直线2x＋y－5＝0的斜率为－2，设所求直线的斜率为k，则k＝，代入点斜式方程得直线方程为y－3＝ (x－2)，整理得x－2y＋4＝0，选A.12.直线过点(－1,2)且在两坐标上的截距相等，则的方程是________．【答案】或【解析】当过原点时，设直线方程为：，又因为过点，则，∴直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为：，代点得，则直线方程为．【考点】直线的截距式方程．13.若直线与幂函数的图象相切于点，则直线的方程为 .【答案】【解析】幂函数的图象相切于点，则，解得，所以，则，故直线的方程为，化简得.【考点】1.直线的切线方程.14.已知两条直线，且，则=A．B．C．-3D．3【答案】C【解析】根据题意，由于两条直线，且，则可知3+a=0,a=-3，故可知答案为选C.【考点】两直线的垂直点评：根据两条直线垂直的充要条件，就是,这是解题的关键，属于基础题。

第三章《直线与方程》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1. 不论刃为何值，直线(m —\)x+ (2/7?—l)y=/77—5恒过定点()( \\ A. 1,—— B. (-2,0) C. (2,3) D. (9, -4) I 2丿 '2.x — y — 3 S 02. 已知不等式组x + y-3>0表示的平面区域为M,若以原点为圆心的圆0与M 无公x — 2y + 3 n 0共点，则圆。

的半径的取值范围为()A. (0,—)B. (3匹,+8)C. (0,VK)U(3^,+8)D. (0,—)U(3V2,+oo) 3. 若直线厶：x+ay+6=0与厶：U-2)%+3y+2a=0平行,则厶与厶之间的距离为 ()A. V2B.吨C. V3D.出3 84. 若点A (l,l)关于直线y = kx + b 的对称点是3(-3,3),则直线y = kx + b 在y 轴上 的截距是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知直线/I ：x-y-l=0,动直线?2：(k + l)x +炒+ k = 0(kw/?)，则下列结论够 误的是( )A.存在k, I 、使得厶的倾斜角为90。

B.对任意的k, I 、与厶都有公共点C.对任意的4人与厶都不重合D.对任意的人与厶都不垂皐 3(-3,-2),直线1过点且与线段AB 相交，则1的斜 率k 的取值范围( A. k> — ^ik<-4 43 C. — 一 <^<4 D.4 7.图中的直线/,,/2,/3的斜率分别是，则有( )B. k y <k }< k 2C. k 3<k 2< k 、D. k 2<k y < k 、6.设点 A (2,—3),)B. -4<k<-4 以上都不对A. ky<k 2< k 3TV TV 27V 5 7TA. 3 B . 6 c. 3 D . 69. 直线3x + y-4 = 0的斜率和在y 轴上的截距分别是（）A. 一3,4B. 3,-4C. -3,-4D. 3,410. 过点（一2, 1）,且平行于向量v=（2, 1）的直线方程为（）A. % — 2y + 4 = 0B. % 4- 2y — 4 = 0C. % — 2y — 4 = 0D. % + 2y + 4 =11・过点水3, 3）且垂直于直线4x + 2y - 7 = 0的直线方程为A. y = -x + 2B. y = —2x + 7 C ・ y = -x + - D. y = -x - 丿 2 J 丿 22 丿 2212. 在平面直角坐标系中，己知A （l,-2）, B （3,0）,那么线段A3中点的坐标为（）. A.（2,-1） B.（2,1） C.（4,-2） D. （-1,2）二、填空题13. 已知G,b,c 为直角三角形的三边长，C 为斜边长，若点在直线Z ：Q + by + 2c = 0上，则加2 +/?2的最小值为 __________ ・14. me R ,动直线 l }\x + my -1 =（）过定点 动直线 /2: nix - y- 2m + A /3 = 0 定点3,若直线1与人相交于点P (异于点A,B),则\PAB 周长的最大值为15. ______________________________________________________________ 过点(2, —3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ________________________ 16. 定义点POoJo)到直线上似+ By + C = 0(护+ B 2^ 0)的有向距离为d =已知点Pi ，P2到直线2的有向距离分别是心,〃2,给出以下命题: ① 若di — d.2 - ② 若心+ d = =0,则直线P1P2与直线2平行；=0,则直线EE 与直线/平行；③若心+ 〃2 = 0,则直线RE 与直线2垂直；④若didzVO,则直线ED 与直线2相交; 其中正确命题的序号是 ___________________ •三、解答题17. 求符合下列条件的直线方程：(1) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0平行;(2) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0垂直;(3) 过点P(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等.18.己知ZMBC的三个顶点坐标分别为＞1(-4,-2), B(4,2), C(1 , 3).(1)求边上的高所在直线的一般式方程；(2)求边4B上的中线所在直线的一般式方程.19.已知直线/ :3x + 2y-2 + 22x + 4y + 22 = 0(1)求证：直线1过定点。

1．求满足下列条件的直线方程．（1）直线l1：过点（2，5），k＝－1．（2）直线l2：过点（0，1），k＝－.（3）直线l3：过点（2，1）和点（3，4）（4）直线l4：过点（2，3）平行于y轴．（5）直线l5：过点（2，3）平行于x轴．2．求下列直线方程．（1）已知直线l的斜率为k，与y轴的交点P（0，b）．（2）已知直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．（3）已知直线l经过两点A（ａ，0），B（0，b），其中ab≠0．3．已知直线l通过点（－2，5），且斜率为－．（1）求直线的一般式方程．（2）求直线在x轴、y轴上的截距．（3）试画出直线l．4．求直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在x轴与y轴上的截距．5．求满足下列条件的直线方程，并画出图形．（1）过原点，斜率为－2．（2）过点（0，3），（2，1）．（3）过点（－2，1），平行于x轴．（4）斜率为－1，在y轴上的截距为5．（5）在x轴、y轴上的截距分别为3，－5．6.过(3，0)点与x轴垂直的直线方程为，7.求经过A(－2,3)、B(4，－1)的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式.8.过P1（－2，0）、P2(1，3)的直线的两点式方程是 ,化成斜截式方程是 .9.过A(－1,－1)、B(0，0)的直线的两点式方程是 ,化成斜截式方程是 .10.过点C(－6,0)、D(0,－6)的直线的两点式方程是 ,斜截式方程是 .11.直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．11.（2004年春季北京）直线x－3y+a=0（a为实常数）的倾斜角的大小是__________12．已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．①当m＝时，直线的倾斜角为45°．②当m＝时，直线在x轴上的截距为1．3．③当m＝时，直线在y轴上的截距为－2④当m＝时，直线与x轴平行．⑤当m＝时，直线过原点．13. 设直线l的方程为（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＝2m－6，根据下列条件确定m的值．（1）直线l在x轴上的截距为－3．（2）直线l的斜率为1．14.在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是－2的直线的方程是( )A. 1B. 1C. 1D.122222222xy xyxyxy+=+=+=+=----15．过点P （2，3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）A ．x +y -5=0或x -y +1=0B ．x -y +1=0C ．3x -2y =0或x +y -5=0D ．x -y +1=0或3x -2y =016.纵截距为－2且与y 轴垂直的直线方程为 .17.直线l 过点P (4，3)且在x 轴、y 轴上的截距之比为1：2，求直线l 的方程.18.一直线过点A （－3，4），且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是19．过点A(2,1),且在x,y 轴上截距相等的直线方程是20．求过点（3，－4），且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程．21．求过点5,2A ,且在x 轴y 轴上截距相等的直线方程______22．过点(5,2),且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ）A ．2x+y-12=0B ．2x+y-12=0 或2x-5y=0C ．x-2y-1=0D ．x+2y-9=0或2x-5y=023. 直线在轴上截距是它在轴上截距的3倍，则等于24．若直线(m+2)x+(m 2-2m-3)y=2m 在x 轴上的截距是3，则m 的值是（ ）A ．52B ．6C ．-52D ．-625．过点（－2，1）在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有 ( ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)426. 过点P （1，1）作直线l ，与两坐标轴相交所得三角形面积为10，则直线l 有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条27．过点A （1，2）作直线 使它在两坐标轴上的截距的绝对值相等，满足条件的直线 的条数是（）A ．1B ．2C ．3D ．428.直线ax+by=1 (ab ≠0)与两坐标轴围成的面积是（ ）A ．21ab B ． 21|ab| C ．ab 21 D ．12||ab29.直线L 过定点A(-2,3),且与两轴围成的三角形面积为4,求直线L 的方程.30.已知直线l 在y 轴上的截距为－3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程.31. 已知直线l 与直线3x +4y －7=0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24， 求直线l 的方程.32.过两点（－1，1）和（3，9）的直线在x 轴上的截距是A.－23B.－32C.52 D .2 33.已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l 的方程.34．∆ABC 的顶点(1,3),(2,1),(3,1)A B C --，试求BC 边中线所在直线方程。

高二直线方程练习题1. 梯度法直线的梯度是指直线在坐标系中上升或下降的程度，即直线的斜率。

求直线的梯度需要知道直线上两个点的坐标，并使用斜率公式来计算。

下面以两个点A(x1, y1)，B(x2, y2)为例，来求直线AB的梯度：斜率公式：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)2. 截距法直线的截距是指直线与坐标轴的交点在坐标轴上的坐标值。

通过截距可以直接求出直线的方程。

下面以直线与x轴和y轴的截距分别为a和b的情况为例，来求直线的方程：与x轴的交点为(x, 0)，而与y轴的交点为(0, y)。

直线与x轴的截距为a，即x = a，对应的点为(a, 0)。

直线与y轴的截距为b，即y = b，对应的点为(0, b)。

直线的方程为：y = mx + c，其中m为斜率，c为常数，代入直线与x轴交点的坐标可以得到c的值。

3. 向量法直线还可以用向量来表示，通过向量法可以更直观地求出直线的方程。

定义两个向量A(x1, y1)和B(x2, y2)。

直线上的任意一点P(x, y)，则向量PA为A到P的向量，向量PB为B到P的向量。

如果向量PA与向量PB共线（即方向相同或相反），则直线上的点P满足以下向量方程：PB = k * PA，其中k为一个实数。

将向量的坐标形式代入上述向量方程，得到直线的方程。

4. 解析法解析法是利用数学中的线性方程求解的方法，具体包括点斜式、两点式、一般式等。

（1）点斜式直线通过一点A(x1, y1)，且斜率为m，则直线的方程为：y - y1 =m(x - x1)（2）两点式直线通过两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则直线的方程为：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)（3）一般式直线的一般式方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

通过梯度法、截距法、向量法或解析法，我们可以根据问题的具体要求和给定的条件求解直线的方程。

高中数学-直线与方程测试练习题1. 直线y=−2x+1在y轴上的截距是（）A.0B.1C.−1D.122. 直线2x+y+1=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（）A.k=2，b=1B.k=−2，b=−1C.k=−2，b=1D.k=2，b=−13. 已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l1:x−2y+1=0和l2:3x−y−2=0，此四边形两条对角线的交点是(2, 3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是（）A.2x−y+7=0和x−3y−4=0 B.x−2y+7=0和3x−y−4=0C.x−2y+7=0和x−3y−4=0D.2x−y+7=0和3x−y−4=04. 若ab<0，则直线xa +yb=1的倾斜角为（）A.arctg(ba ) B.π−arctg(ba) C.−arctg(ba) D.π+arctg(ba)5. 直线：，，所得到的不同直线条数是（）A.22B.23C.24D.256. 设a<0，两直线x−a2y+1=0与(a2+1)x+by+3=0垂直，则ab的最大值为（）A.−2B.−1C.1D.27. 已知点A(2, 0)，B(−1, 1)到直线l的距离分别为1和2，则满足条件的直线l有（）A.1条B.2条C.3条D.4条8. 设椭圆x24+y23=1的长轴端点为M、N，不同于M、N的点P在此椭圆上，那么PM、PN的斜率之积为( )A.−34B.−43C.34D.439. 过点P(−2, 3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有（）条．A.1B.2C.3D.410. 已知两点A(−2, 0)，B(0, 4)，则线段AB的垂直平分线方程是（）A.2x+y=0B.2x−y+4=0C.x+2y−3=0D.x−2y+5=011. 过点A(3, 2)、B(−1, 4)直线l的斜率k是________．12. 已知三角形的三个顶点是O(0,0)，A(4,3)，B(2,−1)，则此三角形AB边上的中线所在直线的方程为________.13. 经过原点且经过直线I1:3x+4y−2=0，I2:2x+y+2=0交点的直线方程是________．14. 已知直线2x+y+2+λ(2−y)＝0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S(λ)，当λ∈(1, +∞)时，S(λ)的最小值是________．15. 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且2lg(sin B)=lg(sin A)+lg(sin C)，则两条直线l1:x sin A+y sin B=a与l2:x sin B+y sin C=c的位置关系是________．16. 已知直线l1:ax+2y+6=0，直线l2:x+(a−1)y+a2−1=0．当a________时，l1与l2相交；当a________时，l1⊥l2；当a________时，l1与l2重合；当a________时，l1 // l2．17. 已知圆O:x2+y2＝1和点A(−2, 0)，若定点B(b, 0)(b≠−2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则：(Ⅰ)b＝________−1；2(Ⅱ)λ＝________1．218. 设点，若直线与线段有一个公共点，则的最小值为________．19. 直线x−y−4=0上有一点P，它与A( 4, −1 )，B( 3, 4 )两点的距离之差最大，则P 点坐标为________．20. 两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0间的距离是________．21. 已知两直线l1：ax−by+4=0，l2：(a−1)x+y+b=0. 求分别满足下列条件的a，b的值.(1)直线l1过点(−3, −1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等.22. 已知直线l的倾斜角为30∘，（结果化成一般式）(1)若直线l过点P(3, −4)，求直线l的方程．(2)若直线l在x轴上截距为−2，求直线l的方程．(3)若直线l在y轴上截距为3，求直线l的方程．23. 过点M(2, 4)作两条互相垂直的直线，分别交x轴y轴的正半轴于A、B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程．24. 已知直线l经过点P(1, 2).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若A(1，−1)，B(3，1)两点到直线l的距离相等，求直线l的方程．，且与x轴的正半轴交于A，与y轴的正半轴交25. 已知O为坐标原点，直线l的斜率为−34于B，三角形AOB面积等于6．（1）求直线l的方程．（2）设三角形AOB的重心为G，外心为M，内心为N，试求出它们的坐标，并判定这三点是否共线．参考答案与试题解析高中数学-直线与方程测试练习题一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】确定直线位置的几何要素【解析】根据截距的定义，令x=0即可得到结论．【解答】解：当x=0时，y=1，即直线y=−2x+1在y轴上的截距是1，故选：B2.【答案】B【考点】直线的斜截式方程【解析】要求直线与x轴的截距就要令x=0求出y的值，要求直线与y轴的截距就要令y=0求出x的值即可．【解答】解：由直线方程2x+y+1=0，即y=−2x−1，故斜率为k=−2，截距为b=−1.故选B.3.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】直接利用两直线平行的条件，斜率相等，得出答案．【解答】解：l1的对边与l1平行应为x−2y+c=0形式排除A、D；l2对边也与l2平行，应为3x−y+c1=0形式排除C，故选B．4.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】根据题意，求出直线的斜率，再根据倾斜角的范围求出倾斜角的大小．解：直线xa +yb=1转化成y=−bax+ab直线斜率为−ba ，即直线倾斜角的正切值等于−ba，又倾斜角大于或等于0小于π，故倾斜角为−arctg(ba)，故选C．5.【答案】B【考点】直线的倾斜角直线的两点式方程直线的截距式方程【解析】ry】根据排列知识求解，关键要减去重复的直线．【解答】当m,n相等时，有1种情况；当mn不相等时，有A12=6×5=30种情况，但1 2=24=36,21=42=63,23=46,13=26．重复了8条直线，因此共有1+30−8=23条直线故选B．6.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】由直线x−a2y+1=0与(a2+1)x+by+3=0互相垂直，结合两直线垂直，两斜率积为−1，我们易得到a，b的关系，结合基本不等式即可求出ab的范围．【解答】解：∵直线x−a2y+1=0与直线(a2+1)x+by+3=0互相垂直∴1a2×(−a2+1b)=−1∴b=a2+1a2∵a<0ab=a⋅a2+1a2=a+1a=−[−a+(−1a)]≤−2∴ab的最大值是−2．故选：A．7.【答案】D点到直线的距离公式确定直线位置的几何要素【解析】由已知得直线l与圆A：(x−2)2+y2=1相切，且直线l与圆B：(x+1)2+(y−1)2= 4相切，即直线l是圆A与圆B的公切线，由圆心距离d=|AB|=√(2+1)2+(0−1)2=√10>1+2=3，得两圆相离，从而求出满足条件的直线l有4条．【解答】解：点A(2, 0)到直线l的距离为1，则直线l是以A为圆心，1为半径的圆的切线，即直线l与圆A：(x−2)2+y2=1相切，点B(−1, 1)到直线l的距离为2，则直线l是以B为圆心，2为半径的圆的切线，即直线l与圆B：(x+1)2+(y−1)2=4相切，∴直线l是圆A与圆B的公切线，圆心距离d=|AB|=√(2+1)2+(0−1)2=√10>1+2=3，∴两圆相离，∴满足条件的直线l有4条．故选：D．8.【答案】A【考点】直线的斜率【解析】根据椭圆方程求得M，N的坐标，设P的坐标为(2cos w, √3sin w)，进而表示出PM、PN 的斜率，二者相乘整理可求得答案．【解答】解：依题意可知M(2, 0)，N(−2, 0)，P是椭圆上任意一点，设坐标为P(2cos w, √3sin w)，PM、PN的斜率分别是K1=√3sin w2(cos w−1)，K2=√3b sin w 2(cos w+1)于是K1×K2=√3sin w2(cos w−1)⋅√3b sin w2(cos w+1)=34×sin2wcos2w−1=−3 4故选A．9.【答案】 C【考点】直线的截距式方程 【解析】设直线的斜率为k ，则有直线的方程为y −3=k(x +2)，由直线过点P(−2, 3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12求出k 的值有3个，从而得出结论． 【解答】解：过点P(−2, 3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k ，则有直线的方程为y −3=k(x +2)，即kx −y +2k +3=0，它与坐标轴的交点分别为M(0, 2k +3)、N(−2−3k , 0)． 再由12=12OM ⋅ON =12|2k +3|×|−2−3k|，可得|4k +9k+12|=24，4k +9k+12=24，或4k +9k +12=−24． 解得k =32，或 k =−9−6√22或 k =−9+6√22， 故满足条件的直线有3条， 故选C ． 10. 【答案】 C【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程 中点坐标公式两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】求出AB 的中点坐标，直线AB 的斜率，然后求出AB 垂线的斜率，利用点斜式方程求出线段AB 的垂直平分线方程． 【解答】解：两点A(−2, 0)，B(0, 4)，它的中点坐标为：(−1, 2)， 直线AB 的斜率为：4−00+2=2，AB 垂线的斜率为：−12， 线段AB 的垂直平分线方程是：y −2=−12(x +1)，即：x +2y −3=0． 故选C .二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11. 【答案】 −12【考点】斜率的计算公式根据题意，由直线l 过点A 、B 的坐标，代入直线斜率的公式，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l 过点A(3, 2)、B(−1, 4)， 则其斜率k =4−2−1−3=−12；故答案为：−12． 12.【答案】 x −3y =0 【考点】 中点坐标公式 直线的两点式方程【解析】因为AB 边上的中线所在直线经过点O 与AB 的中点，所以先求出AB 的中点坐标，写出直线方程，化成一般式即可． 【解答】解：∵ A (4,3)，B (2,−1)， ∴ AB 的中点坐标为C(4+22,3−12)，即C(3,1). 又O(0,0)，∴ 直线OC 方程为y =13x ，即x −3y =0，∴ 此三角形AB 边上的中线所在直线的方程为x −3y =0. 故答案为：x −3y =0. 13.【答案】 y =−x 【考点】两条直线的交点坐标 【解析】联立{3x +4y −2=02x +y +2=0，解得交点(−2, 2)，再利用点斜式即可得出．【解答】解：联立{3x +4y −2=02x +y +2=0，解得{x =−2y =2．∴ 交点(−2, 2)．∴ 要求的直线斜率k =2−2=−1． ∴ 要求的直线方程为y =−x ．14. 【答案】 8直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】求出直线2x+y+2+λ(2−y)＝0与坐标轴的交点A、B的坐标，计算△AOB的面积，求出最小值即可．【解答】直线2x+y+2+λ(2−y)＝0中，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝−λ−1，所以直线2x+y+2+λ(2−y)＝0与坐标轴的交点为A(−λ−1, 0)，B(0，），其中λ∈(1, +∞)，所以△AOB的面积为S(λ)＝×|−λ−1|×||＝＝λ−1+ +4≥2×+4＝8，当且仅当λ−1＝，即λ＝3时取等号．所以S(λ)的最小值是8．15.【答案】平行或重合【考点】直线的一般式方程【解析】由对数的运算性质可知sin2B=sin A⋅sin C，再利用比例关系sin Asin B =sin Bsin C≠ac即可判断两直线的位置关系．【解答】解：依题意，sin2B=sin A⋅sin C，∴sin Asin B =sin Bsin C，即两直线方程中x的系数之比与y的系数之比相等，∴两条直线l1:x sin A+y sin B=a与l2:x sin B+y sin C=c平行或重合．故答案为：平行或重合．16.【答案】a≠−1且a≠2,=23,a=2,a=−1【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系【解析】由a(a−1)−2×1=0可解得a=−1或a=2，验证可得两直线平行，重合，相交的条件，由a ×1+2(a −1)=0可解得垂直的条件． 【解答】解：由a(a −1)−2×1=0可解得a =−1或a =2，当a =−1时，l 1:−x +2y +6=0，l 2:x +2y =0，显然l 1 // l 2． 当a =2时，l 1:x +y +3=0，l 2:x +y +3=0，显然l 1与l 2重合， ∴ 当a ≠−1且a ≠2时，l 1与l 2相交，由a ×1+2(a −1)=0可解得a =23，此时l 1⊥l 2； 故答案为：a ≠−1且a ≠2；=23；a =2；a =−1 17. 【答案】 ,【考点】 三点共线 【解析】(Ⅰ)利用|MB|＝λ|MA|，可得(x −b)2+y 2＝λ2(x +2)2+λ2y 2，由题意，取(1, 0)、(−1, 0)分别代入，即可求得b ；(Ⅱ)取(1, 0)、(−1, 0)分别代入，即可求得λ． 【解答】解法一：设点M(cos θ, sin θ)，则由|MB|＝λ|MA|得(cos θ−b)2+sin 2θ＝λ2[(cos θ+2)2+sin 2θ]，即−2b cos θ+b 2+1＝4λ2cos θ+5λ2对任意θ都成立，所以{−2b =4λ2b 2+1=5λ2．又由|MB|＝λ|MA|得λ>0，且b ≠−2，解得{b =−12λ=12．解法二：(Ⅰ)设M(x, y)，则 ∵ |MB|＝λ|MA|，∴ (x −b)2+y 2＝λ2(x +2)2+λ2y 2，由题意，取(1, 0)、(−1, 0)分别代入可得(1−b)2＝λ2(1+2)2，(−1−b)2＝λ2(−1+2)2，∴ b =−12，λ=12．（2）由(Ⅰ)知λ=12．18. 【答案】15【考点】待定系数法求直线方程 点到直线的距离公式 【解析】 tb +P试题分析：一…直线ax+b=1与线段AB有一个公共点，2)…点A(1,0),B(2,1)在直线ax+by=1的两侧，(a−1)(2a+b−1)≤0即a−1≤0,2a+b−1≥0或a−1≥0,2a+b−1≤0画出它们表示的平面区域，如图所示．a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线2x+y−1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，d=|−1|√4+1那么a2+b2的最小值为：d2=15【解答】此题暂无解答19.【答案】(3, −1)【考点】两点间的距离公式与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】判断A，B与直线的位置关系，求出A关于直线的对称点A1的坐标，求出直线A1B的方程，与直线x−y−4=0联立，求出P的坐标．【解答】解：易知A(4, −1)、B(3, 4)在直线l:x−y−4=0的两侧．作A关于直线l的对称点A1(3, 0)，当A1、B、P共线时距离之差最大，A1B的方程为：x=3…①直线x−y−4=0…②解①②得P点的坐标是(3, −1)故答案为：(3, −1)．20.【答案】126【考点】两条平行直线间的距离【解析】先把两条直线方程中对应未知数的系数化为相同的，再代入两平行直线间的距离公式进行运算．【解答】解：∵两平行直线ax+by+m=0与ax+by+n=0间的距离是√a2+b2，5x+ 12y+3=0即10x+24y+6=0，∴两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0间的距离是√102+242=√576=126．故答案为126．三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）21.【答案】解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a−1)+(−b)⋅1=0，即a2−a−b=0. ①又点(−3, −1)在l1上，∴−3a+b+4=0，②由①②得a=2，b=2.(2)∵l1 // l2，∴ab =1−a，∴b=a1−a，故l1和l2的方程可分别表示为：(a−1)x+y+4(a−1)a =0，(a−1)x+y+a1−a=0.又原点到l1与l2的距离相等，∴4|a−1a |=|a1−a|，解得a=2或a=23，∴a=2，b=−2或a=23，b=2.【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】（1）利用直线l1过点(−3, −1)，直线l1与l2垂直，斜率之积为−1，得到两个关系式，求出a，b的值．（2）类似（1）直线l1与直线l2平行，斜率相等，坐标原点到l1，l2的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值．【解答】解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a−1)+(−b)⋅1=0，即a2−a−b=0. ①又点(−3, −1)在l1上，∴−3a+b+4=0，②由①②得a=2，b=2.(2)∵l1 // l2，∴ab =1−a，∴b=a1−a，故l1和l2的方程可分别表示为：(a−1)x+y+4(a−1)a =0，(a−1)x+y+a1−a=0.又原点到l1与l2的距离相等，∴4|a−1a |=|a1−a|，解得a=2或a=23，∴a=2，b=−2或a=23，b=2.22.【答案】解：直线l的倾斜角为30∘，则直线的斜率为：√33．(1)过点P(3, −4)，由点斜式方程得：y+4=√33(x−3)，∴y=√33x−√3−4，即√3x−3y−3√3−12=0. (2)在x轴截距为−2，即直线l过点(−2, 0)，由点斜式方程得y−0=√33(x+2)，则y=√33x+2√33，即√3x−3y+2√3=0.(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y=√33x+3．即√3x−3y+9=0．【考点】各直线方程式之间的转化直线的斜截式方程直线的点斜式方程直线的斜率【解析】(1)先求出直线的斜率，分别根据直线的点斜式和斜截式方程，代入求出即可．(2)根据直线的点斜式和斜截式方程，代入求出即可．(3)根据直线的点斜式和斜截式方程，代入求出即可．【解答】解：直线l的倾斜角为30∘，则直线的斜率为：√33．(1)过点P(3, −4)，由点斜式方程得：y+4=√33(x−3)，∴y=√33x−√3−4，即√3x−3y−3√3−12=0.(2)在x轴截距为−2，即直线l过点(−2, 0)，由点斜式方程得y−0=√33(x+2)，则y=√33x+2√33，即√3x−3y+2√3=0. (3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y=√33x+3．即√3x−3y+9=0．23.【答案】解：由题意，设A(a, 0)、B(0, b)．则直线AB 方程为xa+yb =1(a >0, b >0)∵ MA ⊥MB ，∴4−02−a×4−b 2−0=−1，化简得a =10−2b ．∵ a >0，∴ 0<b <5．直线AB 的一般式方程为bx +ay −ab =0 ∴ 点M(2, 4)到直线AB 的距离为d 1=√a 2+b 2．又∵ O 点到直线AB 的距离为d 2=√a 2+b 2，∵ 四边形OAMB 的面积被直线AB 平分，∴ d 1=d 2，∴ 2b +4a −ab =±ab ． 又∵ a =10−2b ．解得{a =2b =4或{a =5b =52， ∴ 所求直线为2x +y −4=0或x +2y −5=0．【考点】直线的一般式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 点到直线的距离公式【解析】设A(a, 0)、B(0, b)．得到直线AB ，由题知MA ⊥MB 即直线MA 与直线MB 的斜率乘积为−1，得到a 与b 的关系式；又因为四边形OAMB 的面积被直线AB 平分得到M 到直线AB 与O 到直线AB 的距离相等得到a 与b 的关系式，两者联立求出a 和b 即可得到直线AB 的方程． 【解答】解：由题意，设A(a, 0)、B(0, b)．则直线AB 方程为xa +yb =1(a >0, b >0) ∵ MA ⊥MB ，∴ 4−02−a ×4−b2−0=−1，化简得a =10−2b ．∵ a >0，∴ 0<b <5．直线AB 的一般式方程为bx +ay −ab =0 ∴ 点M(2, 4)到直线AB 的距离为d 1=√a 2+b 2．又∵ O 点到直线AB 的距离为d 2=√a 2+b 2，∵ 四边形OAMB 的面积被直线AB 平分，∴ d 1=d 2，∴ 2b +4a −ab =±ab ． 又∵ a =10−2b ．解得{a =2b =4或{a =5b =52，∴ 所求直线为2x +y −4=0或x +2y −5=0． 24.【答案】解：(1)当直线l 不过原点， 设直线l 的方程为：xa +yb =1， 把点P 代入可得：1a +2b =1，联立{1a +2b =1,a =b,解得{a =3,b =3,∴ 直线l 的方程为x +y =3.当直线l 过原点，则设直线l 的方程为：y =kx ， 代入P 点坐标得：k =2, 此时直线l 的方程为y =2x .综上所述，直线l 的方程为x +y =3或y =2x . (2)若A ，B 两点在直线l 同侧， 则AB//l ， AB 的斜率k =−1−11−3=−2−2=1，即l 的斜率为1，则l 的方程为y −2=x −1， 即y =x +1，若A ，B 两点在直线的两侧，即l 过A ，B 的中点C(2,0), 则l 的方程为y =−2x +4，综上所述，l 的方程为y =−2x +4或y =x +1. 【考点】待定系数法求直线方程 直线的截距式方程 直线的点斜式方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当直线l 不过原点， 设直线l 的方程为：xa+yb =1，把点P 代入可得：1a +2b =1， 联立{1a +2b =1,a =b,解得{a =3,b =3,∴ 直线l 的方程为x +y =3.当直线l 过原点，则设直线l 的方程为：y =kx ， 代入P 点坐标得：k =2, 此时直线l 的方程为y =2x .综上所述，直线l 的方程为x +y =3或y =2x . (2)若A ，B 两点在直线l 同侧， 则AB//l ， AB 的斜率k =−1−11−3=−2−2=1，即l 的斜率为1，则l 的方程为y −2=x −1，即y=x+1，若A，B两点在直线的两侧，即l过A，B的中点C(2,0), 则l的方程为y=−2x+4，综上所述，l的方程为y=−2x+4或y=x+1.25.【答案】如图，设直线在y轴上的截距为m(m>0)，则直线方程为y=−34x+m，取y＝0，得x=43m．由S△AOB=12×43m2=6，解得m＝3．∴直线l的方程为y=−34x+3；由（1）可得，A(4, 0)，B(0, 3)．由重心坐标公式可得G(43, 1)；联立直线{x=2y=32，得M(2, 32)；设∠BAO的角平分线的斜率为k，则k＝−tan∠BAO2=−sin∠BAO1+cos∠BAO=−351+45=−13．∴∠BAO的角平分线方程为y=−13(x−4)，联立{y=−13(x−4)y=x，解得N(1, 1)．∵k MG=32−12−43=34，k MN=32−12−1=12，k MG≠k MN，∴G、M、N三点不共线．【考点】直线的一般式方程与直线的性质直线的斜率【解析】（1）设直线在y轴上的截距为m(m>0)，取y＝0求出直线在x轴上的截距，代入三角形面积公式求得m，则直线方程可求；（2）利用重心坐标公式求重心，利用两边垂直平分线的交点求外心，由两内角平分线的交点求内心，再由斜率的关系判断不共线．【解答】如图，设直线在y轴上的截距为m(m>0)，则直线方程为y=−34x+m，取y＝0，得x=43m．由S△AOB=12×43m2=6，解得m＝3．∴直线l的方程为y=−34x+3；由（1）可得，A(4, 0)，B(0, 3)．由重心坐标公式可得G(43, 1)；联立直线{x=2y=32，得M(2, 32)；设∠BAO的角平分线的斜率为k，则k＝−tan∠BAO2=−sin∠BAO1+cos∠BAO=−351+45=−13．∴∠BAO的角平分线方程为y=−13(x−4)，联立{y=−13(x−4)y=x，解得N(1, 1)．∵k MG=32−12−43=34，k MN=32−12−1=12，k MG≠k MN，∴G、M、N三点不共线．。