2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题21坐标系与参数方程热点难点突破理含解析

不等式选讲【2019年高考考纲解读】本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想． 【重点、难点剖析】1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式． 3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1na 2i )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n b 2i ≥(∑i ＝1na ib i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立． 5．绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.需要灵活地应用． 6．不等式的性质，特别是基本不等式链 11a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等. 【题型示例】题型一 含绝对值不等式的解法【例1】（2018年全国Ⅱ卷理数） [选修4－5：不等式选讲] 设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）,(2)【解析】（1）当时，可得的解集为． （2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．【变式探究】已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4，当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|， 得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，由f (x )≥4－|x －4|，无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|， 得2x －6≥4，解得x ≥5.故不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)令h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a ，由|h (x )|≤2，当x ≤0或x ≥a 时，显然不成立． 当0<x <a 时，由|4x －2a |≤2， 解得a －12≤x ≤a ＋12.又知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.【感悟提升】(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．3．求解绝对值不等式恒成立问题的解析(1)可利用绝对值不等式的性质求最值或去掉绝对值号转化为分段函数求最值．(2)结合“a ≥f (x )恒成立，则a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立，则a ≤f (x )min ”求字母参数的取值范围． 【举一反三】已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1， 即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.【举一反三】已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． 题型二 不等式的证明【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋||x －3. (1)解不等式f (x )≤x ＋1；(2)设函数f (x )的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0，b >0，a ＋b ＝c ，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1.(2)证明 由绝对值不等式的性质， 得|x －1|＋||x －3≥||－x ＋b\lc(rc\(a\vs4al\co1(x －3)))＝2，当且仅当(x －1)(x －3)≤0，即1≤x ≤3时，等号成立， ∴c ＝2，即a ＋b ＝2.令a ＋1＝m ，b ＋1＝n ，则m >1，n >1，a ＝m －1，b ＝n －1，m ＋n ＝4， a 2a ＋1＋b 2b ＋1＝()m －12m＋n －2n＝m ＋n ＋1m ＋1n－4＝4mn ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝1，当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立，∴原不等式得证．【感悟提升】(1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力． (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．【变式探究】已知函数f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|，M 为不等式f (x )<6的解集． (1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，求证：|ab ＋1|>|a ＋b |. (1)解 f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|<6. 当x <－13时，f (x )＝－3x －1－3x ＋1＝－6x ，由－6x <6，解得x >－1，∴－1<x <－13；当－13≤x ≤13时，f (x )＝3x ＋1－3x ＋1＝2，又2<6恒成立， ∴－13≤x ≤13；当x >13时，f (x )＝3x ＋1＋3x －1＝6x ，由6x <6，解得x <1，∴13<x <1.综上，f (x )<6的解集M ＝{x |－1<x <1}． (2)证明()ab ＋12－(a ＋b )2＝a 2b 2＋2ab ＋1－(a 2＋b 2＋2ab )＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)． 由a ，b ∈M ，得|a |<1，|b |<1， ∴a 2－1<0，b 2－1<0， ∴(a 2－1)(b 2－1)>0， ∴||ab ＋1>|a ＋b |.【变式探究】【2017课标II ，理23】已知。

专题21 坐标系与参数方程【命题热点突破一】极坐标系与简单曲线的极坐标方程例1、【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【答案】2【解析】直线10x -=过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此 2.AB =【变式探究】[2015·全国卷] 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程是θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【特别提醒】根据直角坐标化为极坐标的公式，可以把直线、曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，反之亦然．使用直线、曲线的直角坐标方程和极坐标方程解题各有利弊，要根据情况灵活选取．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝4t 2－6(t 为参数)．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，l 与C 相交于A ，B 两点． (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程；(2)设线段AB 的中点为M ，求点M 的极坐标．解：(1)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t (t 为参数)．曲线C 的普通方程为y ＝x 2－6.(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ，代入y ＝x 2－6，得t 2－2 3t －24＝0，∴Δ＝108>0，t 1＋t 2＝2 3，∴t 1＋t 22＝3，即点M 所对应的参数为3， ∴点M 的直角坐标为(32，32)， ∴点M 的极坐标为(3，π3)． 【命题热点突破二】简单曲线的参数方程例2、【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）． 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa 若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ， 可得0cos sin 8cos 162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【变式探究】已知直线l 经过点P(1，1)，倾斜角α＝π6. (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．【特别提醒】直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(其中t 为参数，α为直线的倾斜角)中t 的几何意义是点P(x 0，y 0)到参数t 对应的点的有向线段的数量，解题中注意使用直线参数方程的几何意义，同时注意直线的参数方程中t 的系数是否符合上述参数方程．【变式探究】已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝2 3＋t(t 为参数)． (1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A(1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．解：(1)C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，l ：x －3y ＋9＝0. (2)设P(2cos θ，3sin θ)，则|AP|＝（2cos θ－1）2＋（3sin θ）2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92. 由|AP|＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P(－85，3 35)． 【命题热点突破三】极坐标与参数方程的综合例3、【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程。

坐标系与参数方程1．在极坐标系中，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( ) A ．ρ＝2 B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2 解析 先将极坐标化成直角坐标表示，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2化为(0，2)，过(0，2)且平行于轴的直线为y ＝2，再化成极坐标表示，即ρsin θ＝2.故选D.答案 D2．在直角坐标系Oy 中，已知点C (－3，－3)，若以O 为极点，轴的正半轴为极轴，则点C 的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________．解析 依题意知，ρ＝23，θ＝－5π6. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫23，－5π6 3．在直角坐标系Oy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝sin α，y ＝cos α＋1(α为参数)，若以O 为极点，轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________．答案 2 3 12．在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________． 解析 依题意知，点M 的直角坐标是(2，23)，曲线的直角坐标方程是＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋（3）2＝2. 答案 213．在平面直角坐标系下，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2t ＋2a ，y ＝－t (t 为参数)， 曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝2sin θ，y ＝1＋2cos θ(θ为参数)，若曲线C 1，C 2有公共点，则实数a 的取值范围是________． 解析 曲线C 1的直角坐标方程为＋2y －2a ＝0，曲线C 2的直角坐标方程为2＋(y －1)2＝4，圆心为(0，1)，半径为2，若曲线C 1，C 2有公共点，则有圆心到直线的距离|2－2a |1＋22≤2， 即|a －1|≤5， ∴1－5≤a ≤1＋5， 即实数a 的取值范围是[1－5，1＋5]．答案 [1－5，1＋5] 14．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，曲线C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．15．已知点P (，y )在曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈R )上，则y x 的取值范围是________． 解析 消去参数θ得曲线的标准方程为(＋2)2＋y 2＝1，圆心为(－2，0)，半径为1.设y x ＝，则直线y ＝，即－y ＝0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d ＝|－2k |k 2＋1＝1，即|2|＝k 2＋1，平方得42＝2＋1，2＝13，解得＝±33， 由图形知的取值范围是－33≤≤33， 即y x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 16．在平面直角坐标系Oy 中，曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)． (1)将C 1的方程化为普通方程；(2)以O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C 2的极坐标方程是θ＝π3，求曲线C 1与C 2的交点的极坐标．解 (1)C 1的普通方程为(－2)2＋y 2＝4.(2)设C 1的圆心为A ，∵原点O 在圆上，设C 1与C 2相交于O ，B ，取线段OB 的中点C ，∵直线OB 倾斜角为π3，OA ＝2， ∴OC ＝1，从而OB ＝2，∴O ，B 的极坐标分别为O (0，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. 17．已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |的值．18．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．解 (1)y 2＝2a ，y ＝－2.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)， 代入y 2＝2a ，得到t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0，则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )，∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2，即a 2＋3a －4＝0.解得a ＝1或a ＝－4(舍去)．19．在直角坐标系Oy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos α＋sin αy ＝23sin αcos α－2sin 2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22t (t 为参数)． (1)求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程；(2)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围．解 (1)由＝3cos α＋sin α得2＝(3cos α＋sin α)2＝2cos 2α＋23sin αcos α＋1，所以曲线M 可化为y ＝2－1，∈[－2,2]，由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22t 得22ρsin θ＋22ρcos θ＝22t ， 所以ρsin θ＋ρcos θ＝t ，所以曲线N 可化为＋y ＝t .(2)若曲线M ，N 有公共点，则当直线N 过点(2,3)时满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立⎩⎨⎧ x ＋y ＝t ，y ＝x 2－1，得2＋－1－t ＝0， 由Δ＝1＋4(1＋t )＝0，解得t ＝－54. 即|OP ||OQ |的取值范围是[2,3]．。

第十四章坐标系与参数方程考纲解读分析解读坐标系与参数方程是高考数学的选考部分,其中极坐标与直角坐标的互化,直线与圆的参数方程及应用是高考的重点,难度不大,题型一般为解答题,分值为10分,但部分省份可能以填空题的形式出现.本章也是对前面所学的解析几何、平面几何、三角函数等知识的综合应用和进一步的深化,考查学生的转化与化归思想的应用.(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得-消去k得x2-y2=4(y≠0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).联立--得cos θ-sin θ=2(cosθ+sinθ).故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=,代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.五年高考考点一坐标系1.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,则曲线C的直角坐标方程为.答案x2+y2-2y=02.(2014陕西,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点到直线ρsin-=1的距离是.答案 13.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.解析(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·-=2--≤2+.当α=-时,S取得最大值2+.所以△OAB面积的最大值为2+.4.(2016课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解析(1)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.(4分)(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组--(6分)若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcosθ+1-a2=0,(8分)由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcosθ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.所以a=1.(10分)5.(2013辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos-=2.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.解析(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解--得所以C1与C2交点的极坐标为,.(6分)(注:极坐标系下点的表示不唯一.)(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=x-+1,所以-解得a=-1,b=2.(10分)考点二参数方程1.(2014湖南,12,5分)在平面直角坐标系中,曲线C:(t为参数)的普通方程为.答案x-y-1=02.(2017课标全国Ⅰ,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为-(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.解析(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由-解得或-从而C与l的交点坐标为(3,0),-.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sinθ)到l的距离为d=--. 当a≥-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=8;当a<-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.3.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.(6分)于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=-=-.(8分)由|AB|=得cos2α=,tan α=±.(9分)所以l的斜率为或-.(10分)4.(2016课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解析(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sinα).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==-.(8分)当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)5.(2016江苏,21C,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.解析椭圆C的普通方程为x2+=1.将直线l的参数方程代入x2+=1,得+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=.6.(2015课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解析(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立--解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2α,α).所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4-.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.教师用书专用(7—11)7.(2013湖南,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:(s为参数)和直线l2:-(t为参数)平行,则常数a的值为.答案 48.(2015陕西,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解析(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsinθ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|=-=,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).9.(2014课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C:+=1,直线l:-(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sinθ)到l的距离为d=|4cos θ+3sinθ-6|,=|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,则|PA|=°且tan α=.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.10.(2014课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.解析(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tan t=,t=.故D的直角坐标为,即.11.(2013课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.解析(1)依题意有P(2cos α,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cos α+cos2α,sinα+sin2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)M点到坐标原点的距离d==(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一坐标系1.(人教A选4—4,一,3,A5,变式)已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0),则曲线C1与曲线C2交点的极坐标为.答案,-(k∈Z)2.(2018衡水中学、郑州一中12月联考,22)已知直线l的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程;(2)若直线θ=与曲线C交于点A(不同于原点),与直线l交于点B,求|AB|的值.解析(1)ρ=2cosθ可化为ρ2=2ρcosθ,根据极坐标与直角坐标的互化公式可得x2+y2=2x,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x.直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程为x-y-1=0,化为极坐标方程为ρcos=.(2)将θ=代入ρ=2cosθ,可求得|OA|=1,将θ=代入ρcos=,可求得|OB|=1+,根据题意可知O、A、B三点共线,且|AB|=|OA|+|OB|=2+,∴|AB|=2+.3.(2018广东广州12月调研,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),将曲线C1经过伸缩变换后得到曲线C2,在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-10=0.(1)说明曲线C2是哪一种曲线,并将曲线C2的方程化为极坐标方程;(2)已知点M是曲线C2上的任意一点,求点M到直线l的距离的最大值和最小值.解析(1)因为曲线C1的参数方程为(α为参数),伸缩变换为所以曲线C2的参数方程为所以C2的普通方程为x'2+y'2=4.表示圆心在坐标原点的圆.所以C2的极坐标方程为ρ2=4,即ρ=2.(2)直线l的普通方程为x-y-10=0.由(1)知曲线C2表示圆心为原点,半径为2的圆,且圆心到直线l的距离d==5,因为5所以圆C2与直线l相离.所以圆C2上的点M到直线l的距离的最大值为d+r=5+2,最小值为d-r=5-2.4.(2017山西太原模拟,22)设直线l的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox轴为极轴,选择相同的单位长度建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;(2)若直线l与曲线C交于A、B两点,求|AB|.解析(1)由ρ=得ρsin2θ=8cosθ,∴ρ2sin2θ=8ρcosθ,∴y2=8x,∴曲线C表示顶点在原点,焦点在x轴正半轴的抛物线.(2)由(t为参数)得y=2x-4,代入y2=8x,得x2-6x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1·x2=4,∴|AB|=·|x1-x2|=·-·=×=10.考点二参数方程5.(2018山西康杰中学等六校12月联考,22)在直角坐标系xOy中,已知点P(0,),曲线C的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos-=.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.解析(1)由2ρcos-=得ρcosθ+ρsinθ=,即x+y-=0.由(φ为参数)得+=1.所以曲线C的普通方程为+=1,直线l的直角坐标方程为x+y-=0.(2)由(1)知:直线l的倾斜角为,所以直线l的参数方程为-(t为参数),代入曲线C的普通方程可得t2+2t-8=0.设方程的两根为t1,t2,则|PA|·|PB|=|t1t2|=8.6.(2018河南洛阳一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t参数,m∈R),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=-(0≤θ≤π).(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知点P是曲线C2上一点,若点P到曲线C1的最小距离为2,求m的值.解析(1)由曲线C1的参数方程消去参数t,可得C1的普通方程为x-y+m=0.由曲线C2的极坐标方程得3ρ2-2ρ2cos2θ=3,θ∈[0,π],∴曲线C2的直角坐标方程为+y2=1(0≤y≤1).(2)设曲线C2上任意一点P(α,sinα),α∈[0,π],则点P到曲线C1的距离d==.∵α∈[0,π],∴cos∈-,∴2cos∈[-2,],当m+<0时,m+=-4,即m=-4-;当m-2>0时,m-2=4,即m=6.∴m=-4-或m=6.7.(2017安徽黄山二模,22)已知曲线C的极坐标方程为ρ=,过点P(1,0)的直线l交曲线C于A,B两点.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求|PA|·|PB|的取值范围.解析(1)由ρ=得ρ2(1+sin2θ)=2,故曲线C的直角坐标方程为+y2=1.(2)由题意知,直线l的参数方程为(t为参数),将代入+y2=1得(cos2α+2sin2α)t2+2tcos α-1=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=-,则|PA|·|PB|=|t1t2|==∈,∴|PA|·|PB|的取值范围为.8.(2017广东广州联考,22)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为(t为参数,0<θ<π),曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当θ变化时,求|AB|的最小值.解析(1)由(t为参数)消去t得xcos θ-ysin θ+sinθ=0.所以直线l的普通方程为xcos θ-ysin θ+sinθ=0,由ρcos2θ=4sinθ得(ρcosθ)2=4ρsinθ,把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,得x2=4y,所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y.(2)将直线l的参数方程代入x2=4y,得t2sin2θ-4tcos θ-4=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-,所以|AB|=|t1-t2|=-==,∵0<θ<π,∴当θ=时,|AB|取最小值4.9.(2016辽宁五校协作体联考,23)已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为-(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ=0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离d的取值范围.解析(1)直线l的参数方程为-(t为参数),将t=x+3代入y=t,得直线l的普通方程为x-y+3=0.曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ=0,将x=ρcosθ,ρ2=x2+y2代入即得曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)设点P(2+2cos θ,2sinθ),θ∈R,则d=-=,∵θ∈R,∴d的取值范围是-.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:40分钟)解答题(每小题10分,共50分)1.(2018河南百校联盟12月联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为-(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C2:ρ=2sin.(1)求曲线C1的普通方程及C2的直角坐标方程;(2)设P(k,2k),若曲线C1与C2只有一个公共点Q(Q与P不重合),求|PQ|.解析(1)由-(t为参数)消去参数t得曲线C1的普通方程为x+y-3k=0.由ρ=2sin可得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,由ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y得C2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0.(2)曲线C1为直线,曲线C2表示以C2(1,1)为圆心,为半径的圆,若曲线C1与C2只有一个公共点Q,则圆心C2(1,1)到直线x+y-3k=0的距离为,即-=,解得k=0或k=.当k=0时,P,Q重合于点(0,0),不满足题意,舍去.当k=时,P的坐标为,易知点P在直线C1上,|PC2|=--=.所以|PQ|=-=.2.(2017豫北名校联盟联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数).(1)求曲线C的普通方程;(2)经过点M(2,1)(平面直角坐标系xOy中的点)作直线l交曲线C于A,B两点,若M恰好为线段AB的三等分点,求直线l的斜率. 解析(1)由曲线C的参数方程得(θ为参数),所以曲线C的普通方程为+=1.(2)设直线l的倾斜角为θ1,则直线l的参数方程为(t为参数).代入曲线C的普通方程,得(cos2θ1+4sin2θ1)t2+(4cos θ1+8sin θ1)t-8=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,所以--由题意可知t1=-2t2.所以12sin2θ1+16sin θ1cos θ1+3cos2θ1=0,即12tan2θ1+16tan θ1+3=0.解得tan θ1=-.所以直线l的斜率为-.3.(2017河北衡水中学二调,22)已知直线l:(t为参数),曲线C1:(θ为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值. 解析(1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1,联立得方程组-解得或-所以l与C1的交点为A(1,0),B-,所以|AB|=---=1.(2)由题意知C2的参数方程为(θ为参数),所以点P的坐标是,从而点P到直线l的距离d=--=-,因此当sin-=-1时,d取得最小值且最小值为(-1).4.(2016广东肇庆三模,23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-4=0.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).解析(1)由曲线C1的参数方程为(t为参数),可得C1的普通方程为y2=x,将代入上式整理得ρsin2θ=cosθ,即C1的极坐标方程为ρsin2θ-cos θ=0.(2)将曲线C2的极坐标方程ρ2+2ρcosθ-4=0化为直角坐标方程为x2+y2+2x-4=0,将y2=x代入上式得x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去),当x=1时,y=±1,所以C1与C2交点的平面直角坐标为A(1,1),B(1,-1),∵ρA==,ρB==,tan θA=1,tan θB=-1,ρ≥0,0≤θ<2π,∴θA=,θB=.故C1与C2交点的极坐标为,.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1.(2018湖北八校12月联考,22)已知曲线C的极坐标方程为ρ2=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的普通方程;(2)A,B为曲线C上两点,若OA⊥OB,求+的值.解析(1)由ρ2=得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入得曲线C的普通方程是+y2=1.(2)因为ρ2=,所以=+sin2θ,设A(ρ1,α),由OA⊥OB知B点的坐标可设为,所以+=+=+sin2α++cos2α=+1=.2.(2017四川广安等四市一模,22)在平面直角坐标系中,曲线C1:(α为参数)经过伸缩变换后的曲线为C2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C2的极坐标方程;(2)设曲线C3的极坐标方程为ρsin-=1,且曲线C3与曲线C2相交于P,Q两点,求|PQ|的值.解析(1)由题意得曲线C2的参数方程为(α为参数),则曲线C2的直角坐标方程为(x'-1)2+y'2=1,所以曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosα.(2)由(1)知曲线C2是以(1,0)为圆心,1为半径的圆,易知曲线C3的直角坐标方程为x-表示直线,所以曲线C2的圆心(1,0)到直线C3的距离d=--=,所以|PQ|=2-=3.(2017山西太原一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为其中φ为参数,曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)当0<α<时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.解析(1)C1的普通方程为+y2=1,C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0,C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(2)联立θ=α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2=,联立θ=α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2α,则|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4.令t=1+sin2α,则|OA|2+|OB|2=+4t-4,当0<α<时,t∈(1,2).设f(t)=+4t-4,易得f(t)在(1,2)上单调递增,∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).方法2 参数方程与普通方程的互化方法4.(2017江西南昌十校二模,22)已知曲线C的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C',过点F(,0)作倾斜角为60°的直线交曲线C'于A,B两点,求|FA|·|FB|.解析(1)直线l的普通方程为2曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4.(2)∵∴C'的直角坐标方程为+y2=1.易知直线AB的参数方程为(t为参数).将直线AB的参数方程代入+y2=1,得t2+则t1·t2=-,∴|FA|·|FB|=|t1·t2|=.方法3 与参数方程有关问题的求解方法5.(2018四川成都七中一诊,22)已知曲线C:(α为参数)和定点A(0,),F1、F2是此曲线的左、右焦点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线AF2的极坐标方程;(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点,求|MF1|-|NF1|的值.解析(1)可化为+=1,表示椭圆,焦点为F1(-1,0)和F2(1,0).经过A(0,)和F2(1,0)的直线方程为x+=1,即x+y-=0,∴极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=.(2)由(1)知,直线AF2的斜率为-,因为l⊥AF2,所以l的斜率为,∴l的倾斜角为30°,∴l的参数方程为-(t为参数),将其代入椭圆C的直角坐标方程,整理得13t2-12t-36=0. ∵M,N在点F1的两侧,∴|MF1|-|NF1|=|t1+t2|=.。

2019年高考一轮复习热点难点精讲精析：选修系列（第1部分：坐标系与参数方程）一、坐标系（一）平面直角坐标系中的伸缩变换〖例〗在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换''3:.2x x y yϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （1）求点1(,2)3A -经过ϕ变换所得的点A '的坐标；（2）点B 经过ϕ变换得到点1(3,)2B '=-，求点B 的坐标；（3）求直线:6l y x =经过ϕ变换后所得到直线的l '方程；（4）求双曲线22:164y C x -=经过ϕ变换后所得到曲线C '的焦点坐标。

思路解析：解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解。

解答：331(1)(,),,(,)(,2),12321131,(2)1,(1,1).32x x x x A x y A x y y y y y x y A ϕ'=⎧'=⎧⎪'''-⎨⎨''==⎩⎪⎩'''=⨯==⨯-=-∴-设由伸缩变换：得到由于为于是为所求 13(2)(,),322111(,)(3)1,21,232(1,1).x x x x B x y y y y y B x y x y B ϕ⎧''==⎧⎪⎨⎨'=⎩⎪'=⎩'''=⨯-=-=⨯=∴-设由伸缩变换：得到，由于为(-3,),于是为所求22222222'1(3)(,),63212=6(),,.31(4)(,)1364241,-=1964916-=1916x x l P x y y x y y y x y x y x x x y P x y x y y x y x y x y C ⎧'=⎪''''=⎨⎪'=⎩''''⨯==⎧'=⎪''''-=⎨⎪'=⎩''''-=设直线上任意一点由上述可知，将代入得所以即为所求设曲线C 任意一点，由上述可知，将代入得化简得，即为曲线的方程，可见仍是双曲线，且焦点12(5,0),(5,0).-F F 为所求 （二）极坐标与直角坐标的互化〖例2〗在极坐标系中，如果5(2,),(2,)44A B ππ为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<。

【2019年高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识． 【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. (4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数). 【题型示例】题型一 极坐标方程和参数方程【例1】(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．【解析】(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1. 由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标． 题型二 参数方程与普通方程的互化【例2】(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|1＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4<α<3π4.【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．【变式探究】 【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为. 因为点P 在曲线C 上，设，从而点P 到直线l 的的距离，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l的距离取到最小值5. 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 【答案】（I ）圆,（II ）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组若0≠ρ，由方程组得，由已知2tan =θ，可得，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【变式探究】在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【解析】(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【变式探究】将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)由解得：1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩。

2019年考试大纲解读15 坐标系与参数方程选考内容（一）坐标系与参数方程1．坐标系（1）理解坐标系的作用.（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. （5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.2．参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义.（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查与参数方程、极坐标方程相关的互化与计算2．从考查内容来看，主要考查：（1）极坐标系中直线和圆的方程；（2）已知直线和圆的参数方程，判断直线和圆的位置关系.考向一 参数方程与普通方程的互化样题1（2018新课标III 卷理）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【答案】（1）(,)44π3π；（2）(α为参数，44απ3π<<)．（2）l 的参数方程为为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ， 则2A BP t t t +=，且A t ，B t 满足．于是，．又点P 的坐标(,)x y 满足所以点P 的轨迹的参数方程是(α为参数，44απ3π<<)．学-科网考向二 极坐标方程与直角坐标方程的互化样题2 （2018新课标I 卷理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程. 【答案】（1）；（2）．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，所以，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为．考向三 极坐标方程与参数方程的综合应用样题3 已知直线l 的参数方程为（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求OA OB ⋅．样题4 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,过点的直线的参数方程为为参数),直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程; (2)若,求的值.【解析】(1)由,得,所以曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程为.(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中, 得,设两点对应的参数分别为，则有,因为,所以,即,所以,解之得或(舍去), 所以的值为1.。

编写说明：考虑到复习实际，本书将选修4－5不等式选讲与前面第六章不等式、推理与证明整合编写。

选修4－4坐标系与参数方程高考分值比例12分左右，涵盖内容广、公式较多。

高考难易难度中等以上。

本章是所有考生容易忽略的章节，所以熟练比较重要。

本教案主要内容：备考基础查清+热点命题悟通。

下面内容是必记知识点+必明易错点+必会方法目录：选修4－4坐标系与参数方程第一节坐标系----------------------------2页第二节参数方程-------------------------6页选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ＞0)，y ′＝μ·y ，(μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：4.2ρρ1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．[试一试]1．点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为________．2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________．1．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．2．直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤(1)运用ρ＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)(2)在[0,2π)内由tan θ＝yx(x≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．[练一练]1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________．2．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝22，则极点到该直线的距离是________．平面直角坐标系中的伸缩变换1.(2014·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．2．函数y ＝sin(2x ＋π4)经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y 后的解析式为________．3．双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标为________．[类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)y ′＝μ·y ，(μ>0)下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．极坐标与直角坐标的互化[典例] 石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的方程为x 216＋y 24＝1，设P ，Q 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|PQ |的最小值．[类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](2013·安徽模拟)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．极坐标方程及应用[典例]⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．在本例3([类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． [针对训练](2013·荆州模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．第二节参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)注意：t 是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． [练一练]1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．A.23 B ．－23C.32 D ．－322．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为__________(填“线段”、“双曲线”、“圆弧”或“射线”)．1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. [练一练]1．已知P 1，P 2是直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是________．2．已知直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4相交于B ，C 两点，则|BC |的值为________．参数方程与普通方程的互化1.曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是________．2．(2014·西安质检)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值是________．3．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________.[类题通法]参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．参数方程的应用[典例] (2013·郑州模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．在本例线[类题通法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．[针对训练](2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P，Q在曲线C：⎩⎪⎨⎪⎧x＝2cos t，y＝2sin t(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α为(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．极坐标、参数方程的综合应用[(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l的极坐标方程为ρcos⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝1＋cos α，y＝sin α(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．[类题通法]涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．[针对训练](2013·石家庄质检)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与半圆C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．。