浙江省台州市五校2018-2019学年高二上学期期中联考数学试题含答案

台州中学2018学年第一学期第二次统练试题高二 数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线221x y a b-=在y 轴上的截距是 （ ） A ． b B ． 2b C ． 2b - D ． b ±2．抛物线220y x =的焦点坐标为 （ ） A ． (5,0) B ． (0,5) C ． 1(,0)80 D ． 1(0,)803．已知椭圆222212:1,:1,124168x y y x C C +=+=则 （ ）A ．1C 与C 2长轴长相同B ．1C 与C 2焦点相同 C ．1C 与C 2短轴长相同D ．1C 与C 2焦距相等4．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是2，则该点的坐标可能为（ ）A ．()1,1,1B ．C ．(D ．(5．设b a ,为两条直线，βα,为两个平面，则“b a //”的充分条件是 （ ）A ．b a ,与α所成角相等B ．//,//a b ααC ．βα//，,a b αβ⊂⊂D ．,a b αα⊥⊥6．已知圆锥的母线长为2，且两母线所成的角的最大值是60︒,则圆锥的体积是 （ ）A C7．直三棱柱(侧棱和底面垂直的三棱柱)111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 （ ） A ．30° B．45° C．60° D．90°8．如图，12,F F 是双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于,A B 两点．若 22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A C ．2 D 9．已知直线l 交椭圆2212016x y +=于M ，N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若MBN ∆ 的重心恰好是椭圆的右焦点F ，直线l 的方程 （ ） A ． 6+580x y -= B ． 6+5280x y -= C ． 65280x y --= D ． 6580x y --=10．已知P 是棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -的底面ABCD 所在平面上任意一点，E 是AB 的中点，且P 到E 的距离与到平面11ADC B PB 的最小值是（ ） A ．1 B ．32D ．2 二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分．11．已知圆的一般方程为222440x y x y +-+-=，则圆心为______，半径为______ ． 12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2，体积是______cm 3． 13．已知抛物线22y x =的焦点为F ，定点(3,2)A ．若抛物线上存在一点M ，使||||MA MF +最小，则点M 的坐标 为 ，最小值是 ．AxOF 1 F 2（第8题图）y B第12题图14．已知椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线y x m =+与椭圆交于点,A B ，当FAB ∆周长最大时，则m = ，||=AB ．15．若椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上离顶点(0,)b 最远的点恰好是另一个顶点(0,)b -，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ．16．在正四面体P ABC -中，M 是直线AB 上动点，N 是棱BC 的中点，平面PMN 与平面ABC 所成锐二面角余弦值的最大值是 ．17．已知(){,A x y y ==，(),B x y y ax ⎧⎫⎪⎪==+⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若A B 中恰好是三个元素，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分)已知p ：“原点在圆2222210x y ax ay a a +++++-=外”，q ：“方程222132x ya a-=-表示焦点在y 轴上的椭圆”．若p 和q 都正确，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分15分)如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是AB 的中点．（Ⅰ）证明：直线1BC //平面1A EC ； （Ⅱ）求二面角1E CA A --大小．20. （本小题满分15分)第19题图EA 1B 1C 1D 1D ABC已知曲线C 上任意一点到直线2x =-的距离与到点(1,0)P 的距离的差为1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过点()12Q ，，求证：直线l 过定点T ，并求点T 的坐标．21．（本小题满分15分）四面体ABCD 中，△BCD1AB AD ==，AC ，E 为AB 的中点．（Ⅰ）求证：BD AC ⊥；（Ⅱ）求EC 与平面BCD 所成角的正弦值． 22．（本小题满分15分)已知椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的短轴长为2，且过点1)2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若在椭圆上有相异的两点,A B ，||2AB =，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积的最大值．台州中学2018学年第一学期第二次统练试题CA高二 数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分．11.(1,2)- 3 12.80 40 13.(2,2) 72 14.1-24715.(0,216.13 17.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.:p 21a -<<-或1223a <<，:q 3a -<<2a -<<19.（本小题满分为15分）（Ⅰ）证明：连1AC 交1AC 于O ，连OE ， 因为,E O 分别是1,AC AB 的中点， 所以//OE 1BC ，又OE ⊄平面1A EC ，1BC ⊂平面1A EC ， 所以//OE 平面1A EC ．（Ⅱ）在正方体1111ABCD A BC D -中，易得1EA EC =，所以1EO AC ⊥， 平面1A AC ⊥平面ABCD ，过E 作EF ⊥AC 于F ，连,EO FO ，EF ∴⊥平面1A AC ，EO 在平面1A AC 内的射影是FO1FO AC ⊥因此，EOF ∠就是二面角1E AC A --的平面角．设1AB =，在△AEC 中，144EF BD ==，2EC =，在△1A EC 中，2EO ==， 在△EOF 中，1sin 2EF EOF OE ∠==，二面角1E CA A --大小是6π． 20．（1）解：设(,)M x y 是C 上任意一点，所以|2|1x +=，|2|1x =+-① 当2x ≥-时，222(1)(1)x y x -+=+ 24y x =② 当2x <-时，222(1)(3)x y x -+=--化简得288y x =+由于2880y x =+≥得1x ≥-，矛盾，舍去 综上，曲线C 方程是24y x = （2）设:l x my n =+代入24y x =2440y mx n --=设11()A x y ,，11()A x y ,， 则12124,4y y m y y n +==-，1112412AQ y k x y -==-+，242BQ k y =+ 以AB 为直径的圆经过点Q ，等价于AQ BQ ⊥，1244122y y ⋅=-++， 所以12122()200y y y y +++=，48200n m -++= 即25n m =+所以直线:25l x my m =++过定点(5,2)T - 21.（本小题满分为15分）（Ⅰ）证明：取BD 的中点F ，连接,AF FC ，由AB AD =，得AF BD ⊥， 由△BCDFC BD ⊥， 而AFFC F =，故BD ⊥平面AFC ，而AC ⊂平面AFC ，故BD AC ⊥．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BD ⊥平面AFC ，而BD ⊂平面BCD ，故平面AFC ⊥平面BCD ． 又 平面AFC 平面=BCD FC ．过A 作AH FC ⊥，交FC 延长线于点H ，所以AH ⊥平面BCD ， 连接BH ，取BH 的中点O ，连接EO 所以EO ⊥平面BCD ，因此，ECO ∠就是直线EC 与平面BCD 所成的角． 在△AFC中，2AF =，FC =，AC =222cos 2AF FC AC AFC AF FC +-==⋅sin 3AH AF AFC ==126EO AH == 在△ABC 中，1AB =，BC =AC =CA2ABC π∠=，32EC =，2sin 3EO ECO EC ∠===， 故直线EC 与平面BCD22.解析：（1）由题可知： 1b =，可设椭圆方程为221x y a 2+=，又因椭圆过点12⎫⎪⎭，则3114a 2+=，解得2a =，所以椭圆方程为2214x y +=. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当直线AB 的斜率存在时，设其方程y kx m =+，联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=， 则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+2216(41)k m ∆=+-，22224||(1)(41)AB k k ∆==++， 22222(41)414(1)k m k k +=+-+， 故原点O 到直线AB的距离为d =AOB S ∆=令2221434[1,4)11k u k k+==-∈++， 22211(2)144S u u u =-=--+，当2u =，即212k =时，max 1S =， 综上，AOB ∆面积的最大值是1.。

2018-2019学年浙江省台州市五校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）过A（﹣1，2），B（3，﹣2）两点的直线的倾斜角为（）A．135°B．120°C．60°D．45°2．（4分）在空间直角坐标系Oxyz中，点M（1，2，3）关于x轴对称的点N的坐标是（）A．N（﹣1，2，3）B．N（1，﹣2，3）C．N（1，2，﹣3）D．N（1，﹣2，﹣3）3．（4分）设a∈R，则“|a﹣1|＜3”是“a2﹣2a﹣3＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）在边长为1的正方形中裁去如图的扇形，再将剩余的阴影部分绕AB旋转一周，所得几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π5．（4分）已知实数x，y满足x2+y2﹣6x﹣4y+12=0，则的最大值为（）A．4B．5C．6D．76．（4分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm37．（4分）若二面角α﹣l﹣β的大小为，直线m⊥α，直线n⊂β，则直线m 与n所成的角取值范围是（）A．B．C．D．8．（4分）已知点A（4，0），B（0，2），若直线y=m（m＞2）上有且只有一个点P使得PA⊥PB，则m=（）A．B．3C．+1D．49．（4分）已知点A（4，0），B（0，4），M（1，0），O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则△MPQ的周长的最小值为（）A．4B．5C．6D．10．（4分）给定平面α及α同侧两点A，B，则平面α内使得PA，PB与平面α所成角相等的点P（）A．有且只有一个B．形成一个圆C．形成一条直线D．形成一条直线或一个圆二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卷相应的位置上）11．（5分）设△ABC的三个顶点的坐标为A（2，0），B（﹣1，3），C（3，﹣2），则AB边上的高线CD所在直线的方程为．12．（5分）一个圆的圆心在直线y=2x上，且与x轴的正半轴相切，被y轴截得的弦长为2，则该圆的标准方程为．13．（5分）如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中（底面是正三角形，侧棱与底面垂直），A1A=1，AB=，则直线A1B与CB1所成角的大小为．14．（5分）设m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β④若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β 其中正确的命题的序号是．15．（5分）过直线y=x上一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1，l2，当l1，l2关于直线y=x对称时，l1，l2的夹角的大小为．16．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=2，沿BD将△ABD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则CD与平面ABC所成的角的大小为．17．（5分）以点C（0，）为圆心的圆与抛物线y=x2有公共点，则半径r的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（15分）已知坐标平面上三点A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），过点C 作AB的平行线交x轴于点D，（Ⅰ）求点D的坐标；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．19．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E，F分别是PA，PB的中点，EH⊥PD（垂足为H），平面FEH⊥与侧棱PC交于点G．（Ⅰ）求证：CD∥平面FEH；（Ⅱ）求证：平面FEH⊥平面PCD（Ⅲ）若PA=AB=2，计算六面体EFGH﹣ABCD的体积．20．（15分）已知圆C k：（x﹣k）2+（y﹣3k）2=5k2，当k取遍所有正整数1，2，3…时，产生的一系列圆C k组成的集合记做E．分别判断下列命题的真假，并证明你的结论．①集合E中所有圆的圆心在同一直线上；②存在两条直线与集合E中所有圆均相切；③集合E中存在相互外切的两个圆．21．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，其中AB⊥AD，DC⊥AD，AB=AD=2，DC=1．侧面正△PAD所在平面与底面垂直．（1）求证：AC⊥PB．（2）在棱PB上取一点E，使直线PD∥平面ACE．①求的值；②求证：二面角P﹣AC﹣D与E﹣AC﹣B大小相等．22．（15分）已知过点A（0，3）且斜率为k的直线l与圆（x+3）2+y2=4交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设，求f（k）的解析式（其中O是坐标原点）；（Ⅲ）当f（k）最小时，求直线l的方程．2018-2019学年浙江省台州市五校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）过A（﹣1，2），B（3，﹣2）两点的直线的倾斜角为（）A．135°B．120°C．60°D．45°【分析】设过A（﹣1，2），B（3，﹣2）两点的直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．利用斜率计算公式可得tanθ=﹣1．即可得出θ．【解答】解：设过A（﹣1，2），B（3，﹣2）两点的直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．∴tanθ==﹣1．可得θ=135°．故选：A．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（4分）在空间直角坐标系Oxyz中，点M（1，2，3）关于x轴对称的点N的坐标是（）A．N（﹣1，2，3）B．N（1，﹣2，3）C．N（1，2，﹣3）D．N（1，﹣2，﹣3）【分析】根据所给的点的坐标，又知一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，写出点的坐标．【解答】解：∵点M（1，2，3），一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，∴点M（1，2，3）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2，﹣3）故选：D．【点评】本题考查空间中点的对称，是一个基础题，注意点在空间中关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标，这种题目通常单独作为一个知识点出现．3．（4分）设a∈R，则“|a﹣1|＜3”是“a2﹣2a﹣3＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】分别求解绝对值的不等式及一元二次不等式，然后结合充分必要条件的判定得答案．【解答】解：由|a﹣1|＜3，得﹣3＜a﹣1＜3，即﹣2＜a＜4．由a2﹣2a﹣3＜0，得﹣1＜a＜3．∴由|a﹣1|＜3不能得到a2﹣2a﹣3＜0，由a2﹣2a﹣3＜0能够得到|a﹣1|＜3．则“|a﹣1|＜3”是“a2﹣2a﹣3＜0”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查绝对值不等式及一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．4．（4分）在边长为1的正方形中裁去如图的扇形，再将剩余的阴影部分绕AB旋转一周，所得几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π【分析】由旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个半径为1的半球，利用圆柱和球的表面积公式进行计算即可．【解答】解：图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体为圆柱去掉一个半径为1的半球，半球的表面积为×4π×1=2π．圆柱的底面半径为1，高为1，∴圆柱的底面积为π×12=π，圆柱的侧面积为2π×1×1=2π，∴该几何体的表面积为2π+π+2π=5π．故选：C．【点评】本题主要考查旋转体的表面积，要求熟练掌握常见几何体的表面积公式．是基础题．5．（4分）已知实数x，y满足x2+y2﹣6x﹣4y+12=0，则的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】推导出（x﹣3）2+（y﹣2）2=1，从而，0≤α＜2π，由此能求出的最大值．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2﹣6x﹣4y+12=0，∴（x﹣3）2+（y﹣2）2=1，∴，0≤α＜2π，∴===，tanθ=，∴当sin（α+θ）=1时，取最大值6．故选：C．【点评】本题考查代数式的最大值的求法，考查圆的参数方程、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6．（4分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．7．（4分）若二面角α﹣l﹣β的大小为，直线m⊥α，直线n⊂β，则直线m 与n所成的角取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据二面角的平面角大小可知m与β所成的角的大小，考虑特殊位置可得β所在平面内的直线与m所成角，从而求出所求．【解答】解：由二面角α﹣l﹣β的大小为，直线m⊥α，得m与β所成的角的大小为，于是β所在平面内的直线与m所成的角的最小值为，而最大值为．故选：B．【点评】本题主要考查了二面角的应用，以及直线与平面所成角的求解，同时考查了空间想象能力，属于基础题．8．（4分）已知点A（4，0），B（0，2），若直线y=m（m＞2）上有且只有一个点P使得PA⊥PB，则m=（）A．B．3C．+1D．4【分析】可得以AB为直径的圆与直线y=m相切，根据点到直线的距离公式建立等式，解之即可．【解答】解：直线y=m（m＞2）上有且只有一个点P使得PA⊥PB，∴以AB为直径的圆与直线y=m相切其中圆心（2，1），r=，∵．故选：C．【点评】本题主要考查了向量的数量积，以及直线圆的位置关系，解题的关键是弄清PA与PB垂直，属于中档题．9．（4分）已知点A（4，0），B（0，4），M（1，0），O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则△MPQ的周长的最小值为（）A．4B．5C．6D．【分析】分别作点M关于AB和OB的对称点M1，M2，则周长的最小值就是M1与M2两点间的距离．【解答】解：过M（1，0）作直线AB的垂线，并延长到M1，连接PM1，；过M 作直线OB的垂线，并延长到M2，连接QM2，则PM=PM1，QM=QM2，所以△MPQ的周长为：PQ+PM+QM=PQ+PM1+QM2≥M1 M2，当且仅当M1、P、Q、M2四点共线时等号成立，依题意可求得M1（4，3），M2（﹣1，0）所以M1M2==故选：D．【点评】本题考查了点关于直线对称的问题．属基础题．10．（4分）给定平面α及α同侧两点A，B，则平面α内使得PA，PB与平面α所成角相等的点P（）A．有且只有一个B．形成一个圆C．形成一条直线D．形成一条直线或一个圆【分析】讨论当AB∥α时，A，B到α的距离相等，可得P的轨迹为一条直线；当AB所在直线不平行于α，可得P到两个定点的距离之比为不为1的常数，可得P的轨迹为一个圆．【解答】解：当AB∥α时，A，B到α的距离相等，可得平面α内使得PA，PB与平面α所成角相等的点P形成一条直线；当AB所在直线不平行于α，可设A到α的距离为n，B到α的距离为m，如右图，设PC=a，PD=b，由PA，PB与平面α所成角相等，可得=，即为=，可令==t（t＞0且t≠1），在平面α内，设P（x，y），C（x1，y1），D（x2，y2），可得=t，化为（t2﹣1）x2+（t2﹣1）y2+（2x1﹣2t2x2）x+（2y1﹣2t2y2）y+t2x22+t2y22﹣x12﹣y12=0，由于t＞0且t≠1，上式符合圆方程的形式，可得P的轨迹为圆．综上可得P的轨迹为一条直线或一个圆．故选：D．【点评】本题考查空间线面角的求法和应用，考查平面上动点轨迹的形状，考查分类讨论思想方法，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卷相应的位置上）11．（5分）设△ABC的三个顶点的坐标为A（2，0），B（﹣1，3），C（3，﹣2），则AB边上的高线CD所在直线的方程为x﹣y﹣5=0．【分析】利用两条直线垂直的条件，求得AB边上的高线CD所在直线的斜率，再用点斜式求得AB边上的高线CD所在直线的方程．【解答】解：AB直线的斜率为=﹣1，故AB边上的高线CD所在直线的斜率为1，故AB边上的高线CD所在直线的方程为y+2=1（x﹣3），即x﹣y﹣5=0，故答案为：x﹣y﹣5=0．【点评】本题主要考查两条直线垂直的条件，用点斜式求直线的方程，属于基础题．12．（5分）一个圆的圆心在直线y=2x上，且与x轴的正半轴相切，被y轴截得的弦长为2，则该圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．【分析】根据题意，设要求圆的圆心为（m，2m），分析可得其半径r=2m，又由该圆被y轴截得的弦长为2，则有4m2=3+m2，解可得m的值，将m的值代入圆的标准方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求圆的圆心在直线y=2x上，设其圆心为（m，2m），又由其与x轴的正半轴相切，则m＞0，则半径r=2m，则圆的标准方程为（x﹣m）2+（y﹣m）2=4m2，又由该圆被y轴截得的弦长为2，则有4m2=3+m2，解可得：m=±1，又由m＞0，则m=1，则该圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4；故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．【点评】本题考查圆的标准方程的计算，关键是设出圆心坐标以及半径，属于基础题．13．（5分）如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中（底面是正三角形，侧棱与底面垂直），A1A=1，AB=，则直线A1B与CB1所成角的大小为90°．【分析】由图形可得，则直线A1B与CB1所成角的大小可求．【解答】解：如图，，=，则==2﹣﹣1=0．∴直线A1B与CB1所成角的大小为90°．故答案为：90°．【点评】本题考查异面直线及其所成角，训练了利用空间向量求解异面直线所成角，是基础题．14．（5分）设m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β④若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β 其中正确的命题的序号是②③．【分析】由空间平面与平面之间位置关系的定义及判定方法，可以判断①的正误；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，可由垂直同一条直线的两个平面的关系判断；对于③，利用反证法，可得到α∥β；对于④，α∩β=a，m⊂α，n⊂β，m∥a，n ∥a，故m∥n，从而可判断．【解答】解：对于①，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交，也可能平行，故①错误；对于②，因为由m⊥α，m⊥β，可得出α∥β，故命题正确；对于③，若α∩β=a，则因为m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，所以m∥a，n∥a，∴m∥n，这与m、n是异面直线矛盾，故结论正确对于④，α∩β=a，m⊂α，n⊂β，m∥a，n∥a，∴m∥n，故结论不正确故正确的命题为：②③故答案为：②③【点评】本题考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系判定及命题的真假判断与应用，其中熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定方法是解答本题的关键．15．（5分）过直线y=x上一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1，l2，当l1，l2关于直线y=x对称时，l1，l2的夹角的大小为．【分析】过圆心M作直线l：y=x的垂线交于N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角．【解答】解：圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的圆心（5，1），过（5，1）与y=x垂直的直线方程：x+y﹣6=0，它与y=x的交点N（3，3），N到（5，1）距离是2，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为60°．故答案为：60°．【点评】本题主要考查直线和圆的方程等基础知识，考查空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．16．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=2，沿BD将△ABD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则CD与平面ABC所成的角的大小为．【分析】只须证明BD⊥BC，DA⊥平面ABC，即可得∠DCA即为CD与平面ABC 所成角θ．【解答】解：由于BD=BC=，从而BD2+BC2=CD2，故BD⊥BC，∵平面ABD⊥平面CBD，平面ADB∩平面DBC=BD，BC⊂平面DBC，从而得BC⊥平面ABD，即BC⊥DA，∵DA⊥AB，∴DA⊥平面ABC∴∠DCA即为CD与平面ABC所成角θ．sinθ==，∴．故答案为：．【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查化归与转化思想，是中档题．17．（5分）以点C（0，）为圆心的圆与抛物线y=x2有公共点，则半径r的最小值为3．【分析】设出圆的方程，与抛物线联立，利用判别式列出不等式求解即可．【解答】解：以点C（0，）为圆心的圆设为：x2+（y﹣）2=r2，与抛物线y=x2联立．可得：y2﹣y+﹣r2=0，当抛物线与圆相切时r最小，此时△=﹣+4r2=0，解得r=3．故答案为：3．【点评】本题考查抛物线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（15分）已知坐标平面上三点A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），过点C 作AB的平行线交x轴于点D，（Ⅰ）求点D的坐标；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．【分析】（Ⅰ）根据题意，求出直线AB的斜率，由直线平行的性质可得k CD=﹣2，进而可得直线CD的方程，令y=0，求出x的值，即可得D的坐标；（Ⅱ）根据题意，求出|AB|、|CD|，分析可得四边形ABCD为梯形，进而计算点A（5，1）到直线CD的距离，由梯形面积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，A（5，1），B（7，﹣3），则，又由AB∥CD知，k CD=﹣2，则直线CD的方程为y+8=﹣2（x﹣2），即2x+y+4=0．令y=0，解可得x=﹣2，则D（﹣2，0）；（Ⅱ）因，AB∥CD，故四边形ABCD为梯形，点A（5，1）到直线CD：2x+y+4=0的距离为，所以四边形ABCD的面积．【点评】本题考查直线的斜率计算以及两点间距离和点到直线距离公式，注意分析四边形ABCD的形状，属于基础题．19．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E，F分别是PA，PB的中点，EH⊥PD（垂足为H），平面FEH⊥与侧棱PC交于点G．（Ⅰ）求证：CD∥平面FEH；（Ⅱ）求证：平面FEH⊥平面PCD（Ⅲ）若PA=AB=2，计算六面体EFGH﹣ABCD的体积．【分析】（Ⅰ）先证明CD∥EF，然后证明CD∥平面EFH．（Ⅱ）证明CD⊥平面PAD，推出CD⊥EH，结合EH⊥PD证明EH⊥平面PCD，即可推出平面FEH⊥平面PCD．（Ⅲ）设四棱锥P﹣ABCD，P﹣EFGH的体积分别为V，V1．则，求出，即可求解六面体EFGH﹣ABCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵EF∥AB，AB∥CD，∴CD∥EF故CD∥平面EFH．………………………………4分（Ⅱ）∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD…………………………（6分）∴CD⊥EH…………………………（7分）又EH⊥PD，∴EH⊥平面PCD…………………………（8分）故平面FEH⊥平面PCD…………………………（9分）（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知CD∥平面EFH．而GH是过CD的平面PCD平面EFH的交线∴CD∥GH．………………………………10 分设四棱锥P﹣ABCD，P﹣EFGH的体积分别为V，V1．则………………………………（11分）由知直角梯形EFGH的面积为……………（13分）显然PH⊥平面FEH所以…………………………（14分）六面体EFGH﹣ABCD的体积．…………………………（15分）【点评】本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（15分）已知圆C k：（x﹣k）2+（y﹣3k）2=5k2，当k取遍所有正整数1，2，3…时，产生的一系列圆C k组成的集合记做E．分别判断下列命题的真假，并证明你的结论．①集合E中所有圆的圆心在同一直线上；②存在两条直线与集合E中所有圆均相切；③集合E中存在相互外切的两个圆．【分析】①是真命题，求出圆C k的圆心坐标（k，3k），适合方程3x﹣y=0，推出结果．②是真命题，通过设直线l：x﹣2y=0，m：2x+y=0．利用圆心到直线的距离判断即可．③是假命题，用反证法证明即可．【解答】解：①是真命题……………………………（1分）证明：圆C k的圆心坐标（k，3k），适合方程3x﹣y=0所以圆心均在直线3x﹣y=0．…………………………（5分）②是真命题…………………………（6分）证明：设直线l：x﹣2y=0，m：2x+y=0．则圆C k的圆心（k，3k）到l，m的距离分别为．它们均等于圆C k的半径，所以这两条直线与集合E中所有圆相切．………………（10分）（注：如参考答案所示，探讨两条公切线的过程可以不写）③是假命题………………………………（11分）证明：用反证法）．假设存在集合E中相互外切的两个圆C m，C n（m＞n，m，n∈N+则两圆圆心之间的距离等于半径之和，即．也就是．………………………………（14分）但是而却是无理数，矛盾．这表明假设不成立，所以集合E中不存在相互外切的两个圆．………………（15分）【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，反证法的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，其中AB⊥AD，DC⊥AD，AB=AD=2，DC=1．侧面正△PAD所在平面与底面垂直．（1）求证：AC⊥PB．（2）在棱PB上取一点E，使直线PD∥平面ACE．①求的值；②求证：二面角P﹣AC﹣D与E﹣AC﹣B大小相等．【分析】（1）取AD中点O，由已知条件得PO⊥AD，PO⊥平面ABCD，连结OB，设OB∩AC=H，由已知条件推导出△BAO≌△ADC，由此能够证明AC⊥PB．（Ⅱ）①连结BD交AC于F，连结EF，由已知条件推导出PD∥EF，由此能求出的值．②由已知条件推导出∠PHO，∠EHB分别是二面角P﹣AC﹣D与E﹣AC﹣B的平面角，由此能证明二面角P﹣AC﹣D与E﹣AC﹣B大小相等．【解答】（1）证明：取AD中点O，则PO⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，连结OB，设OB∩AC=H，∵AB=AD=2，DC=1，O是AD中点，AB⊥AD，DC⊥AD，∴△BAO≌△ADC，∴∠CAD=∠OBA，∴∠CAD+∠AOB=∠OBA+∠AOB=90°，∴∠AHO=90°，∴CA⊥PO，∴CA⊥平面POB，∴AC⊥PB．（Ⅱ）①解：连结BD交AC于F，连结EF，则EF是平面PBD与平面ACE的交线，∵直线PD∥平面ACE，∴PD∥EF，∴．②证明：∵CA⊥面POB，∴∠PHO，∠EHB分别是二面角P﹣AC﹣D与E﹣AC﹣B的平面角，作EG⊥OB于G，在Rt△OAB中，，∴OH=，HB=，又GB=，∴HG=HB﹣GB=，∴=，∴tan∠PHO=tan∠EHG，∴二面角P﹣AC﹣D与E﹣AC﹣B大小相等．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查两条线段的比值的求法，考查两二面角相等的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．（15分）已知过点A（0，3）且斜率为k的直线l与圆（x+3）2+y2=4交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设，求f（k）的解析式（其中O是坐标原点）；（Ⅲ）当f（k）最小时，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）写出直线l的方程为y=kx+3，带入圆的方程，整理可得（1+k2）x2+6（k+1）x+14=0，根据直线l和圆交于两点知△＞0，从而求出；（Ⅱ）可设M（x1，kx1+3），N（x2，kx2+3），从而求出+3k （x1+x2）+9，这样根据韦达定理即可得出；（Ⅲ）变形得出，要求f（k）的最小值，则需k﹣1＞0，令k ﹣1=t ，从而得出，这样即可得出，即k=时，f（k）最小，从而得出f（k）最小时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）将y=kx+3代入圆的方程（x+3）2+y2=4，整理得（1+k2）x2+6（k+1）x+14=0①；由于直线l与圆交于M，N两点，方程①的△＞0；即5k2﹣18k+5＜0；解得；第21页（共22页）（Ⅱ）设M（x1，kx1+3），N（x2，kx2+3），则②；其中x1，x2是方程①的两根，由韦达定理③；将③代入②得，其中；（Ⅲ）；要求最小值，只需在k﹣1＞0的情形下计算；令k﹣1=t ，则；当时，f（k ）最小，这里；故当f（k）最小时，直线l 的方程为．【点评】考查直线的点斜式方程，圆的标准方程，一元二次方程有两不同根时，判别式的取值，韦达定理，以及基本不等式求最小值．第22页（共22页）。

2019学年浙江省高二上学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若，，则一定有（_________ ）A ．________B ．________C ．________D ．2. 下列不等式中，与不等式解集相同的是（_________ ）A．________B ．C．______________D ．3. 已知数列满足：，，，，那么使成立的n的最大值为（________ ）A ． 4_________________________________B ． 5____________________________C ． 24____________________________D ． 254. 设是等差数列，下列结论中正确的是（_________ ）A．若，则________B ．若，则C．若，则________D ．若，则5. 已知直线，与平行，则实数a的值是（_________ ）A ． 0或1________B ． 1或________C ． 0或_________D ．6. 圆与圆的位置关系为（_________ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切7. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（________ ）A ．________B ．C ．________D ．8. 已知不等式组表示的平面区域为D ，若函数的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是（_________ ）A ．B ．C ．D ．9. 直线与圆的位置关系为（________ ）A ．相交_________B ．相切___________C ．相离___________D ．相交或相切10. 已知实数满足，，且，则下列结论正确的是（________ ）A．________B ．C．________D ．二、填空题11. 已知数列为等比数列，为其前n项和，，且，，则___________________________________ ．12. 直线与直线，直线分别交于P、Q两点， PQ中点为，则直线的斜率是___________ ．13. 已知数列的前n项和为，且有，，则___________________________________ ．14. 如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围______________ ．15. 已知直线与圆心为C的圆相交于A、B两点，且为等边三角形，则实数a=____________________________ ．16. 已知数列满足：，当时，，若数列满足对任意，有，则当时，______________ ．三、解答题17. ，，．（1）比较与的大小；（2）解关于x的不等式：．18. 已知为数列的前n项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．19. 如图，的顶点，的平分线CD所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为．（1）求顶点C的坐标；（2）求的面积．20. 已知圆，点P是直线上的一动点，过点P 作圆M的切线PA ， PB ，切点为A ， B ．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若的外接圆为圆N ，试问：当P在直线上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。

浙江省台州市联谊五校2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】因为直线的倾斜角为，所以的斜率是，故选D.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.2.过点且斜率为的直线方程为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用直线的点斜式方程写出所求直线方程，再化为一般式即可.【详解】直线过点且斜率为,则直线的方程为，即，故选B.【点睛】本题考查直线的点斜式方程的应用，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.3.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】若,，则或，即选项A错误；若，则或，即选项B错误；若，则平行或垂直或相交，即选项D错误；故选C.4.下列直线中，与直线垂直的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出选项中各直线的斜率，判断所求斜率与直线的斜率之积为是否为即可得结果.【详解】直线的斜率为，而直线的斜率为2 ,的斜率为，的斜率为,的斜率为，可得直线的斜率与的斜率之积为-1，与直线垂直的是，故选C.【点睛】本题考查了直线的一般式方程求直线斜率以及斜率与直线垂直的关系，考查了两直线垂直与斜率间的关系，是基础题.5.点到直线的距离是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】点到直线的距离，故选A .【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，意在考查利用所学知识解答问题的能力，属于基础题.6.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，求出与的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，在长方体中，，，，设异面直线与所成角的为，则，异面直线与所成角的余弦值为，故选B.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角以及空间向量的应用，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.7.对任意的实数，直线恒过定点( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由时,总有即可得结果.【详解】为任意实数时,若时,总有所以直线恒过定点,即定点,故选A.【点睛】判断直线过定点主要方程形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.8.已知直线过点且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为( )A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】先由的坐标求得直线和斜率,再根据直线的倾斜角为锐角或钝角加以讨论，将直线绕点旋转并观察倾斜角的变化，由直线的斜率公式加以计算，分别得到直线斜率的范围，从而可得结果.【详解】点、、直线的斜率，可得直线的斜率，直线与线段交于点，当直线的倾斜角为锐角时，随着从向移动的过程中，的倾斜角变大，的斜率也变大，直到平行轴时的斜率不存在，此时的斜率；当直线的倾斜角为钝角时，随着的倾斜角变大，的斜率从负无穷增大到直线的斜率，此时的斜率，综上所述，可得直线的取值范围为或，故选D.【点睛】本题通过经过定点的直线与线段有公共点，求的斜率取值范围，着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用，以及数形结合思想、转化思想的应用，属于中档题.9.如图，在三棱锥中，面，，点是的中点，且，，则当变化时，直线与面所成角的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，令直线与平面所成的角为，求出平面的一个法向量和，由向量夹角公式，得到，进而得到直线与平面所成角的取值范围.【详解】设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量，，，则由，得，可取，又，于是，，又，即直线与平面所成角的取值范围为,故选C.【点睛】本题主要考查利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.10.如图，设梯形所在平面与矩形所在平面相交于，若，，，则下列二面角的平面角大小为定值的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在等腰梯形中,过作于，作于,连接,可得为二面角的平面角，为二面角的平面角，由平面平面，可得二面角的平面角为，进一步求得得结果.【详解】如图，在等腰梯形中,过作于，作于,连接,在梯形中,由，可得，由三角形直角三角形，且，可得，则，，即，则平面，为二面角的平面角，同理可得为二面角的平面角，平面平面，则二面角的平面角为，与均为等腰三角形，，，，即二面角为，故选D.【点睛】本题主要考查二面角的求解法，意在考查数形结合思想、转化思想以及空间想象能力，属于难题.求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角，或者利用“互补法”、“分割法”、“公式法”求解.二、填空题:本大题共小题，多空题每题分，单空题每题分，共分.把答案填在题中的横线上.11.直线的倾斜角为_______；在轴上的截距为_________.【答案】(1). (2).【解析】【分析】由斜截式方程可知，直线的斜率为1，由可得；令，从而可得结果.【详解】由斜截式方程可知，直线的斜率为1，设倾斜角为，则，由可得；令，所以，直线在轴上的截距为，故答案为，.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系，以及直线的截距，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.12.已知，，则线段的中点坐标为________；_________.【答案】(1). (2).【解析】【分析】直接利用中点坐标公式可得线段的中点坐标，利用空间向量模的坐标表示可得的值.【详解】设线段的中点坐标为，由中点坐标公式可得，即线段的中点坐标为，可得，故答案为，.【点睛】本题主要考查中点坐标公式的应用以及空间向量模的坐标表示，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为_______；该四面体四个面的面积中最大的是________.【答案】(1). (2).【解析】【分析】由三视图还原几何体，利用三视图中数据，根据锥体的体积公式可得其体积，根据三视图的图形特征，判断四面体每一个面的形状，分别求出四面体四个面的面积，从而可得结果.【详解】三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图,该棱锥的底面是直角三角形，面积为，高为4，可得体积为；四个面都是直角三角形，由三角形面积公式可得，四个面的面积分别为，面积的最大值10，故答案为8，10.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.14.已知直线与，则直线与的交点坐标为_________；过直线与的交点且与直线平行的直线方程为______________.【答案】(1). (2).【解析】【分析】联立直线和的方程组成方程组，直接求解交点坐标；求出与直线平行的直线的斜率，利用点斜式方程求出过直线与的交点且与直线平行的直线方程.【详解】由，解得交点坐标为，所求直线与直线平行，则所求直线方程的斜率为，由点斜式方程可得，整理得，直线方程为，故答案为，.【点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.15.已知直线在两坐标轴上的截距相等.则实数的值为________.【答案】【解析】【分析】讨论直线过原点和直线不过原点两种情况，分别利用截距相等求出的值即可.【详解】当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距均为0 ,；当直线不过原点时,由截距相等且均不为0，求得直线轴上的截距为，直线轴上的截距为，由可得，故答案为2或0.【点睛】本题考査了直线的截距与直线方程，意在考查分类讨论思想的应用以及对基础知识掌握的熟练程度，是一道基础题.求解有关直线截距的问题时，一定要注意讨论截距是否为零，这是易错点.16.设，是直角梯形两腰的中点，于，如图所示，现将沿折起，使二面角为，此时点在面内的射影恰为点，则，的连线与所成角的大小为__________.【答案】【解析】【分析】先取的中点,可证明四边形为平行四边形，则，则锐角就是异面直线与所成的角,可证明三角形是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得结果.【详解】如图，取的中点,连接，，且，四边形为平行四边形，则，就是所求角可得三角形是等腰直角三角形，，所以，即的连线与所成的角大小等于，故答案为.【点睛】求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.17.如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足，设，则的取值范围是__________．【答案】【解析】当位于的中点，点与中点重合，．随点到点，由，，得平面，则．又，，则．因为，，所以，故．综上，的取值范围为．点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.三、解答题：本大题共小题，共分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18.如图，在三棱锥中，，，，.(Ⅰ)求证:；(Ⅱ)求直线与面所成角的正弦值.【答案】（1）将解析；（2）.【解析】【分析】（1）由，可证明平面从而可得结果；（2）设的中点为,由等边三角形的性质可得，由（1）可得平面可得，由此可得平面,就是直线与面所成角，在中利用直角三角形的性质可得结果.【详解】【点睛】求线面角的方法：（1）传统法：根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；（2）对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.19.已知直线经过点.(Ⅰ)若直线与直线垂直，求直线的方程；(Ⅱ)若直线在轴上的截距是轴上的截距倍，求直线的方程；(Ⅲ)若直线与轴、轴的正半轴分别相交于、两点，求当的面积取得最小值时直线的方程.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(Ⅰ)利用直线与直线垂直，求得直线的斜率，由点斜式可求直线的方程；(Ⅱ)讨论两种情况：直线过原点时求得斜率，由斜截式可得直线方程；直线不过原点时，设出截距式方程，将代入方程，结合直线在轴上的截距是轴上的截距倍，列方程可得结果;(Ⅲ)设直线方程为，可得，利用基本不等式得，，当，从而可得结果.【详解】【点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.20.如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，，，面，，，点、分别是、的中点.(Ⅰ)证明:面；(Ⅱ)求面与面所成的二面角的正切值；(Ⅲ)若点是线段上任一点，设直线与面所成的角为，求的最大值.【答案】（1）见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】(Ⅰ)连接，由三角形中位线定理可得可证明是平行四边形，可得由线面平行的判定定理可得结果；(Ⅱ)由线面垂直的性质可得，结合可得平面，延长交于，作可证明就是面与面所成的二面角的平面角，利用直角三角形的性质求解即可；(Ⅲ)过作交于连接，可得就是与平面成的角，设，则，换元后，利用基本不等式可得结果.【详解】【点睛】本题主要考查线面角、面面角的求解方法以及线面平行的证明，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.21.如图，四边形为正方形，、分别为、的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.(Ⅰ)证明:面面；(Ⅱ)求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】(Ⅰ)翻折后结合可得平面，利用面面垂直的判定定理可得结论；可得平面，可得平面平面，从而可得平面，则就是二面角的平面角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】【点睛】本题主要考查面面垂直的证明以及二面角的求法，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.22.如图，已知圆的圆心在坐标原点，点是圆上的一点.(Ⅰ)求圆的方程；(Ⅱ)若过点的动直线与圆相交于，两点.在平面直角坐标系内，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(Ⅰ)设圆的方程为，将代入，求得，从而可得结果；(Ⅱ)先设，由可得，再证明对任意，满足即可，，则利用韦达定理可得，，由角平分线定理可得结果.【详解】【点睛】本题主要考查待定系数法求圆方程及韦达定理、直线和圆的位置关系及曲线线过定点问题.属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.。

2018-2019学年度第一学期高二理科数学期中联考试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22小题，共150分.共4页，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效. 注意事项：第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

)1．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x2．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．103．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（）A ．4BCD 4．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的 斜率k 的取值范围是（） A ．34k ≥B ．324k ≤≤ C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 5．过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为（） A ．(x －3) 2+(y+1)2=4 B ．(x －1)2+(y －1)2=4 C ．(x+3)2+(y －1)2=4 D ．(x+1)2+(y+1)2=46．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)7．点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( )A ．9B ．8C ．5D ．28．已知双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( ) A．BC ．32D ．439．椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A ．14 B．5C ．12 D2 10．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于M 、N 两点，若|MN|≥则k 的取值范围是（）A ．3[,0]4-B．[33C．[D ．2[,0]3-11.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（）A .72B .52C .3D .2 12．已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题（每小题5分，共20分）13．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为.14. 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的取值范围为 .15．过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB 的面积为.16.已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为. 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）（1）要使直线l 1：与直线l 2：x-y=1平行，求m 的值.（2）直线l 1：a x +(1-a)y=3与直线l 2：(a-1)x +(2a+3)y=2互相垂直，求a 的值.18．（本小题满分12分）已知圆O 以原点为圆心，且与圆22:68210C x y x y ++-+=外切． （1）求圆O 的方程；（2）求直线230x y +-=与圆O 相交所截得的弦长．19．（本小题满分12分）已知圆C:()()252122=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈ （1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．y m m x m m 2 ) ( ) 3 2 ( 2 2 = - + - +20．（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b +=a ＞b ＞0)，点P )在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．21．（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.22．（本小题满分12分）如图，椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率1e ．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．2(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．2018-2019学年度高二理科数学期中联考试卷参考答案第一题：A B D C B C D C B B C D 第二题： 13. y ＝33x －4 14.[3,3]-.15. 16..0x =17 .解 （1）∵ l 2的斜率k 2＝1， l 1‖l 2∴ k 1＝1，且l 1与l 2不重合 ∴ y 轴上的截距不相等∴ 由mm m m --+-2232＝1且02≠-m m 得m=-1. ………… 5分 （2）当a=1时，l 1：x=3，l 2：y=52∴ l 1⊥l 2 当a=23-时，l 1：5653+=x y ，l 2：54-＝x 显然l 1与l 2不垂直。

台州市联谊五校2018学年第一学期高二期中考试数学试卷考试时间：120分钟命题：杜桥中学审题：杜桥中学一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l 的倾斜角为120，则直线l 的斜率为()2.过点()2,3-且斜率为2的直线方程为()A.270x y -+= B.270x y --= C.210x y -+= D.210x y --=3.设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，则下列命题正确的是()A.若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂B.若//l α，//αβ，则l β⊂C.若l α⊥，//αβ，则l β⊥ D.若//l α，αβ⊥，则l β⊥4.下列直线中，与直线210x y -+=垂直的是()A.230x y --= B.230x y -+= C.250x y ++= D.250x y +-=5.点()0,0到直线10x y +-=的距离是()C.1 6.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为()7.对任意的实数a ，直线30ax y +-=恒过定点()A.()0,3 B.()0,3- C.()3,0 D.()2,0-8.已知直线l 过点()1,1P 且与以()1,0A -、()3,4B -为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围为()9.如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥面ABC ，AC BC ⊥，点D 是AB 的中点，且AC BC a ==，()090PDC θθ∠=<< ，则当θ变化时，直线BC 与面PAB 所成角的取值范围为()10.如图，设梯形ABCD 所在平面与矩形AEBF 所在平面相交于AB ，若1AE =，，1AD DC CB ===，则下列二面角的平面角大小为定值的是()A.D AE B --B.A ED B-- C.E AD F--D.E CD F--二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上.11.直线1y x =-的倾斜角为_______；在y 轴上的截距为_________.12.已知()3,3,3A ---，()1,1,1B ，则线段AB 的中点坐标为________；AB ||=_________.13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为_______；该四面体四个面的面积中最大的是________.14.已知直线1:210l x y --=与2:3110l x y +-=，则直线1l 与2l 的交点坐标为_________；过直线1l 与2l 的交点且与直线10x y --=平行的直线方程为______________.15.已知直线()():120l a x y a a R +++-=∈在两坐标轴上的截距相等.则实数a 的值为________.16.设M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE AB ⊥于E ，如图所示，现将ADE ∆沿DE 折起，使二面角A DE B --为45 ，此时点A 在面BCDE内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成角的大小为__________.17.如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点.现将AFD ∆沿AF 折起，使面ABD ⊥面ABC ，在面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足，设AK t =，则t 的取值范围为_________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题14分)如图，在三棱锥B ACD -中，BC CD ⊥，BC AC ⊥，1AC CB CD ===，60ACD ∠= .(Ⅰ)求证:BC AD ⊥；(Ⅱ)求直线BD 与面ABC 所成角的正弦值.19.(本题15分)已知直线l 经过点()3,2P .(Ⅰ)若直线l 与直线3210x y --=垂直，求直线l 的方程；(Ⅱ)若直线l 在x 轴上的截距是y 轴上的截距3倍，求直线l 的方程；(Ⅲ)若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A 、B 两点，求当AOB ∆的面积取得最小值时直线l 的方程.20.(本题15分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC ∠=，PB ⊥面ABCD ，2PB BC ==，1AD AB ==，点M 、E 分别是PB 、PC 的中点.(Ⅰ)证明://DE 面PAB ；(Ⅱ)求面PCD 与面PBA 所成的二面角的正切值；(Ⅲ)若点N 是线段CD 上任一点，设直线MN 与面PBA 所成的角为θ，求sin θ的最大值.21.(本题15分)如图，四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，以DF 为折痕把DFC ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥.(Ⅰ)证明:面PED ⊥面BFP ；(Ⅱ)求二面角D PF B --的大小.22.(本题15分)如图，已知圆O 的圆心在坐标原点，点是圆O 上的一点.(Ⅰ)求圆O 的方程；(Ⅱ)若过点()0,1P 的动直线l 与圆O 相交于A ，B 两点.在平面直角坐标系xOy 内，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.台州市联谊五校2018学年第一学期高二期中考试数学参考答案一：选择题12345678910DBCCAB ADCD二：填空题11.45,1︒-；12.()1,1,1---，13.8,10；14.10x y -+=；15.20或；16.90︒；17.二：解答题18(1),,,BC CD BC AC AC CD C BC ACD AD ACD BC AD ⊥⊥=⊥⊂⊥ .由已知得：因为且所以平面因为平面，所以…………6分……8分()()1912303,21223-120x y m m l x y ++==-+=.设所求直线为将代入，得所以的直线方程为……………………………………4分……..5分…….6分……….4分……..4分--------------7分()20.1,PF BF PF DE PF ,PF ,ABCD PED BFP BFP ⊥⊥⊥⊥⊂⊥ 因为正方形所以DE//BF,因为，所以，易知PF PD ,PD DE=D所以平面因为平面所以平面PED 平面……6分……..9分………..5分分。

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台州市五校2019学年第一学期高二年级期中联考参考答案
化学 2019.11
命题：林文全、冯佳其（仙居中学）
审卷：林海斌（新河中学）
一、选择题（本大题共23小题，每小题2分，共46分。

每个小题列出的四个备选项中只有
一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
24.(4分)(1)x ＝496.4
(2)C 2H 2(g)＋5
2 O 2(g)＝2CO 2(g)＋H 2O(l) ΔH ＝－1300 mol·L —1
25.(14分) (1)①吸氧 O 2＋4e －
＋2H 2O == 4OH －
②N (1分) 牺牲阳极的阴极保护法 (2)C
(3)①a(1分) ②CH 4＋10OH －－8e －== CO 2－3＋7H 2O 280
26. (14分) (1) ①ΔH 1—ΔH 2 (1分) K 1/K 2(1分) 吸热(1分) ＞(1分) ②BF (2) ①2.0 1.0(有效数字不扣分)
②A ③（注：平衡时间在20min 之后给分）
27. (8分) (1)不 (2)11∶1 (3)ABC (4)c (Na +)＞c (HCO 3－)＞c (CO 32－)＞c (OH －)＞c (H +)
28. (14分)(1)检查装置的气密性 2MnO 4—+ 5H 2C 2O 4 + 6H + == 2Mn 2++10CO 2↑+ 8H 2O (2) A (3) D 当滴入最后一滴草酸溶液时，溶液颜色恰好由紫红色褪为无色且半分钟内不重新变红 (4) BE (5) 0.0560%。