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考研数学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的值。
A. 3x^2-6xB. 3x^2-6x+2C. 3x^2-6x-2D. 3x^2+6x-2答案：A2. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的行列式值。
A. -2B. 2C. -4D. 4答案：B3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B4. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an，求数列的通项公式。
A. an=2^nB. an=2^(n-1)C. an=nD. an=n^2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数g(x)=x^2+3x+2，求g(-1)的值。
答案：02. 计算极限lim(x→0) (sinx/x)。
答案：13. 已知等比数列{bn}的公比为2，且b3=8，求b1的值。
答案：14. 设函数h(x)=ln(x+1)，求h'(x)的值。
答案：1/(x+1)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的极值点。
解答：首先求导f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
由于x=11/3不在区间[1,3]内，故只考虑x=1。
计算f(1)=0，f(3)=0，因此函数f(x)在区间[1,3]上没有极值点。
2. 证明：若a>0，b>0，则a+b≥2√(ab)。
证明：由基本不等式可知，对于任意正数a和b，有(a-b)^2≥0，即a^2-2ab+b^2≥0。
将不等式两边同时加上2ab，得到a^2+2ab+b^2≥4ab，即(a+b)^2≥4ab。
由于a>0，b>0，所以a+b≥2√(ab)。
数学考研试题大全及答案# 数学考研试题大全及答案## 一、高等数学### 1.1 函数、极限与连续例题：设函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，求 \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \)。
解答：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处不连续，因此\( \lim_{x \to 0^+} f(x) \) 不存在。
### 1.2 导数与微分例题：求函数 \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) 的导数。
解答：\( f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \)。
### 1.3 微分中值定理例题：设 \( f(x) \) 在闭区间 [1, 2] 上连续，在开区间 (1, 2) 内可导，且 \( f(1) = f(2) \)，证明存在 \( c \in (1, 2) \) 使得 \( f'(c) = 0 \)。
解答：由罗尔定理可知，由于 \( f(1) = f(2) \)，故存在 \( c \in (1, 2) \) 使得 \( f'(c) = 0 \)。
## 二、线性代数### 2.1 矩阵与向量例题：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的逆矩阵。
解答：\( A \) 的逆矩阵为 \( A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} \)。
### 2.2 线性方程组例题：解线性方程组：\[\begin{cases}x + y = 1 \\2x + 3y = 5\end{cases}\]解答：解得 \( x = 1 \)，\( y = 0 \)。
### 2.3 特征值与特征向量例题：求矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix} \) 的特征值和特征向量。
数学考研攻略五大重点知识点让你事半功倍数学是许多考生在考研过程中最头疼的科目之一，尤其是对于非数学专业的考生来说。
然而，只要掌握了一些重点知识点和解题技巧，就能在考试中事半功倍。
本文将介绍数学考研中的五大重点知识点，帮助考生更有效地备考。
一、高等代数高等代数是数学考研中最重要的一个模块，也是考生必须掌握的基础。
高等代数的知识点包括矩阵与行列式、线性方程组、特征值与特征向量等，考研中常考的题型有解线性方程组、计算矩阵的特征值等。
在备考中，考生应重点复习相关公式和定理，并通过大量的练习题来提升解题能力。
二、数学分析数学分析是考研数学中另一个重要的知识点。
在考研中常考的数学分析内容包括函数极限、连续性、导数与微分、积分等。
考生应重点掌握函数的极限运算法则、导数运算法则和积分运算法则等基本概念和性质。
此外，考生还需通过大量的练习题来熟悉各种求导、求极限和求定积分的方法。
三、概率论与数理统计概率论与数理统计是数学考研中的另一个重点部分。
考生需要理解概率和统计的基本概念，包括样本空间、随机事件、概率、独立性等。
常考的题型有概率计算、随机变量的分布函数和概率密度函数的求解等。
在备考中，考生应掌握各种常见的概率分布，如二项分布、正态分布等，并了解各种分布函数和概率密度函数的性质和特点。
四、常微分方程常微分方程是数学考研中的一道难题，但也是一个重点知识点。
考生应熟悉常微分方程的基本概念和基本解法，包括常微分方程的一阶与高阶、齐次与非齐次、线性与非线性方程等。
常见的题型包括求解一阶常微分方程和二阶常微分方程等。
在备考中，考生应掌握各种求解常微分方程的方法，如变量分离法、齐次方程的解法等，并通过大量的练习题来提高解题能力。
五、离散数学离散数学在数学考研中的重要性逐渐提升。
离散数学的知识点包括集合论、图论、代数结构等。
考生需要了解图的基本概念和性质，如路径、回路、连通性等。
在备考中，考生应重点复习离散数学的相关定理和算法，并通过大量的习题来巩固知识。
考研数学一大纲完整版一、线性代数部分1.1 矩阵与行列式•矩阵的定义和基本运算•线性方程组及其求解•行列式及其性质•特征值与特征向量1.2 向量空间•向量空间的概念和性质•子空间及其判定•基与维数1.3 线性变换•线性变换的定义与性质•线性变换的矩阵表示•线性变换的相似性二、概率统计部分2.1 随机事件与概率•随机试验与样本空间•随机事件及其概率•分类求概率法•条件概率与乘法定理2.2 随机变量与分布律•随机变量与分布函数•离散型随机变量及其概率分布•连续型随机变量及其概率密度函数•边缘分布和条件分布2.3 数理统计•抽样与抽样分布•参数估计与点估计•区间估计与假设检验•正态总体的统计推断三、高等代数部分3.1 线性方程组•线性方程组的解的存在唯一性•线性方程组的参数表示与齐次线性方程组•等价方程组与初等变换•向量方程组与矩阵方程3.2 线性空间•线性空间的概念与性质•子空间与线性子空间•基与维数•对偶空间与线性映射3.3 线性变换•线性变换的定义与性质•标准和矩阵表示•相似矩阵与对角化四、高等数学（第一册、第二册）部分4.1 极限与连续•数列极限•函数极限•连续与间断点•无穷小与无穷大4.2 导数与微分•函数的导数及其计算•高阶导数与导数的应用•微分与微分中值定理•函数的连续性4.3 积分与应用•不定积分和定积分•牛顿—莱布尼茨公式•反常积分•定积分的应用五、数学分析部分5.1 实数与数列函数•数列极限和函数极限•函数的连续性•实数的完备性与相关定理•紧致性与连续函数的性质5.2 导数与微分•函数的导数与微分•导数与函数的几何应用•函数的高阶导数•泰勒公式与函数的局部性质5.3 积分与应用•不定积分和定积分•回顾微积分基本公式•牛顿—莱布尼茨公式•表达式与变量替换法以上为考研数学一大纲的完整内容，包括线性代数、概率统计、高等代数、高等数学和数学分析的各个知识点。
通过学习这些内容，将有助于考生全面掌握数学知识，提高考试的综合能力。
考研初试数学试题及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = e^x \)答案：B2. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的结果是？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) 答案：C4. 以下哪个选项是二阶常系数非齐次线性微分方程的通解？A. \( y = e^{2x} \)B. \( y = e^{-x} + \sin(x) \)C. \( y = x^2 + 3x + 2 \)D. \( y = \cos(x) + \sin(x) \)答案：B5. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的结果是？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B二、填空题（每题6分，共30分）6. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值是 _______。
答案：07. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式是 _______。
考研数学公式大全数学是考研的核心科目之一，而掌握必要的数学公式则是取得好成绩的关键。
以下是一份考研数学公式大全，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计中的重要公式，希望能对备考研究生入学考试的同学有所帮助。
一、高等数学1、求导法则本文1)链式法则：f(u)f'(u)=f'(u)du本文2)乘积法则：f(u)g(u)=f'(u)g(u)+f(u)g'(u)本文3)指数法则：f(u)^n=nu'f(u)/(n-1)!2、求极值本文1)极值条件：f'(x)=0本文2)极值定理：f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=03、积分公式本文1)牛顿-莱布尼茨公式：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F'(x)=f(x)本文2)微分定理：d/dx∫f(x)dx=f(x)本文3)积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点c∈[a,b]，使得∫f(x)dx=f(c)(b-a)4、不定积分公式本文1)幂函数积分：∫x^n dx=(n+1)/n+1 x^(n+1)/n+1+C本文2)三角函数积分：∫sinx dx=cosx+C，∫cosx dx=-sinx+C 5、定积分公式本文1)矩形法：若a<=x<=b，a<=y<=b，则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+y^2)/2本文2)梯形法：若a<=x<=b，a<=y<=b，则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+[by]+[ax])/3二、线性代数6、行列式公式本文1)行列式展开式：D=a11A11+a12A12+...+an1An1，其中Aij为行列式中第i行第j列的代数余子式本文2)范德蒙行列式：V=(∏i=1n[(x-a)(i-1)]^(n-i)) / (∏i=1n[(x-a)(i-1)])，其中ai为行列式中第i行第i列的元素7、矩阵公式本文1)矩阵乘法：C=AB，其中Cij=∑AikBkj，k为矩阵乘法的维数本文2)逆矩阵：A^-1=(1/∣A∣)A，其中∣A∣为矩阵A的行列式值，A为矩阵A的伴随矩阵8、向量公式本文1)向量内积：〈a,b〉=a1b1+a2b2+...1、求导法则本文1)链式法则：若f是一个包含x和函数u=u(x)，则f' = f'[u(x)] * u'(x)。
考研数学试题及答案一、选择题（本题共10分，每小题2分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = x^2B. y = sin(x)C. y = e^xD. y = ln(x)答案：B2. 已知函数f(x) = 3x - 5，求f(2)的值。
A. -1B. 1C. 7D. 11答案：A3. 以下哪个选项是二阶微分方程的解？A. y = e^(2x)B. y = x^2C. y = sin(2x)D. y = cos(3x)答案：A4. 若矩阵A为3x3矩阵，且|A| = 2，则A的伴随矩阵的行列式是：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：C5. 根据泰勒公式，函数f(x) = e^x在x=0处展开的前两项是：A. 1 + xB. 1 + x + x^2/2C. 1 + x - x^2/2D. 1 + x + x^2答案：A二、填空题（本题共20分，每小题4分）6. 若a > 0，b > 0，且a + b = 1，则ab的最大值是________。
答案：1/47. 已知曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x在点(1,0)处的切线斜率为________。
答案：-28. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，P(X=k) = e^(-λ) * λ^k / k!，其中k=0,1,2,...。
则P(X=1) =________。
答案：λ * e^(-λ)9. 一个圆的半径为r，其内接矩形的面积最大时，矩形的边长比为________。
答案：1:√310. 已知函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，若f(x)在x=1处取得极小值，则a = ________。
答案：-3三、解答题（本题共70分）11. 求函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 6x + 2的极值点。
答案：首先求导数f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 10x - 6。
令f'(x)= 0，解得x = 1, 2。
考研数学和高考数学
考研数学和高考数学的区别
考研数学和高考数学是两个不同的考试科目，它们在知识点、难度和要求上存在一些显著的差异。
首先，考研数学对知识点的覆盖更为广泛。
高考数学通常涵盖了高中数学知识体系，而考研数学则包括了高中数学和本科数学的内容。
因此，考研数学的难度会相对较高，需要考生具备更深入的数学理解和丰富的解题经验。
其次，考研数学对解题能力的要求更高。
高考数学注重基础知识的掌握和应用，大多数考题是相对简单的计算题或应用题。
而考研数学则更加注重对数学概念和定理的理解以及解题方法的掌握，考题通常具有一定的难度和灵活度，需要考生具备较强的分析和推理能力。
此外，考研数学对解题速度有着更高的要求。
考研数学考试的时间比高考更为紧张，考生需要在有限的时间内解答更多的题目。
因此，解题速度的提升对考研数学成绩的影响较大。
最后，考研数学的命题方式也有所不同。
高考数学通常采用较为传统的命题方式，考察考生对已知理论的应用能力。
而考研数学则更加注重对数学思想和方法的理解，考题更加注重考生的创新和综合运用能力。
综上所述，考研数学和高考数学在知识点、难度、解题能力要
求和命题方式上存在差异。
因此，考生在备考时需根据考研数学的特点制定相应的复习计划，并注重培养数学思维和解题能力，在模拟考试中不断提高解题速度。
考研数学的试题及答案试题1：设函数f(x) = x^2 - 4x + c，求f(x)的最小值。
答案：首先对函数f(x)进行配方，得到f(x) = (x-2)^2 + c - 4。
由于(x-2)^2的最小值为0，所以f(x)的最小值为c - 4。
试题2：计算定积分∫(0,1) (2x^3 - 3x^2 + 1) dx。
答案：首先求出原函数，原函数F(x) = (1/2)x^4 - x^3 + x。
然后计算定积分的值，即F(1) - F(0) = (1/2) - 1 + 1 - 0 = 1/2。
试题3：设矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的行列式。
答案：矩阵A的行列式计算公式为|A| = ad - bc，其中a=1, b=2,c=3, d=4。
所以|A| = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2。
试题4：求极限lim(x→0) [sin(x) - x]/x^3。
答案：首先将分子进行泰勒展开，得到sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)。
代入极限表达式得到lim(x→0) [(x - x^3/6 + o(x^3)) - x]/x^3 = lim(x→0) (-x^3/6 + o(x^3))/x^3 = -1/6。
试题5：设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求P(X=2)。
答案：泊松分布的概率质量函数为P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!。
代入k=2和λ=λ得到P(X=2) = (λ^2 * e^(-λ)) / 2! = λ^2 *e^(-λ) / 2。
试题6：求函数y = ln(x)的导数。
答案：函数y = ln(x)的导数为y' = 1/x。
试题7：设函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f(x)的极值点。
答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1和x = 11/3。
考研数学精选试题及答案# 考研数学精选试题及答案## 一、选择题1. 题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求 \( f'(x) \)。
选项：A. \( 3x^2 - 6x + 2 \)B. \( x^3 - 3x + 2 \)C. \( 3x^2 - 6x + 1 \)D. 无解析解答案：A2. 题目：若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \)。
选项：A. 2B. 1C. 0D. 无法确定答案：A3. 题目：设 \( a, b \) 为实数，若 \( a^2 + b^2 = 1 \)，求\( (a + b)^2 \) 的最大值。
选项：A. 1B. 2C. \( \frac{1}{2} \)D. 无法确定答案：B## 二、填空题1. 题目：已知 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)。
答案：\( \frac{1}{4} \)2. 题目：设 \( \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1} = 0 \)，求 \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} \)。
答案：13. 题目：若 \( e^x = 1 + x \)，求 \( x \)。
答案：0## 三、解答题1. 题目：证明：对于任意正整数 \( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \)。
解答：首先，我们可以通过数学归纳法来证明这个等式。
对于 \( n = 1 \)，等式成立。
假设对于 \( n = k \)，等式成立，即 \( 1^3 + 2^3 + ... + k^3 = \left(\frac{k(k + 1)}{2}\right)^2 \)。
考研数学考题类型及解题技巧21、利用行列式定义的计算证明问题 注：（1）取自不同行不同列的n 个元素的乘积； （2）!n 项2、关于代数余子式的计算证明注：（1）余子式与代数余子式的定义。
（2）*A A ij ↔对应关系 3、行列式的计算，其步骤：（1）观察行列式的结构特点，注意高、低阶。
利用性质，化简整理。
（2）代公式。
常用方法：○1 利用性质化为阶梯形；○2 按行列展开，常用在零比较多的情况； ○3 递推法； ○4 定义 1、 矩阵的运算：2、矩阵的逆的计算、证明 （1）用初等变换求逆矩阵：()()B E E A −−−→−初等行变换1()B A -=；⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛B E E A 初等列变换 1()B A -=（2）利用分块矩阵求矩阵的逆 （3）利用伴随矩阵求矩阵的逆：*11A AA=-○1 只适用于阶数比较低的矩阵 ○2 代数余子式 （4） 用逆矩阵定义求逆矩阵 3、求矩阵方程：解矩阵方程：已知()0,,=C B A f 求A 的一般步骤：○1 化简整理：()()C B h C B Ag ,,= ○2 利用矩阵的运算求出结果 4、求矩阵的秩：（1）利用初等变换将矩阵化为阶梯形,非零行向量的个数即为矩阵的秩 （2）利用矩阵秩的定义通过逐阶考查子行列式的值而得到矩阵的秩。
1、向量组线性相关性的命题：判断向量组12,,n ααα 的线性相关性的方法主要有：（1）向量的个数维数相等，用行列式来判断，行列式为0，相关否则无关； （2）个数与维数不等：○1 个数 > 维数： 相关； ○2 个数 < 维数 ： A 、用定义： 由02211=+++n n k k k ααα 判断是否存在不全为 0的数 n k k k 21使此式成立；B 、根据性质；C 、用向量组与矩阵的秩的关系2、求向量组的秩及极大无关组求向量组的秩及极大无关组的一般步骤：（1）由向量组写出矩阵（2）对矩阵施行初等行（列）变换，使之变成阶梯阵 （3）结论。
判定1r αα 与1s ββ 等价问题的步骤： （1）n 维向量1n αα 与n 维向量1n ββ110,0n n ααββ≠≠ 则等价 110,0n n ααββ≠= 则不等价110,0 n n ααββ== 判定1n αα 和1n ββ 是否能互相线性表示 （2）()11,n m m n ααββ< ， 若10n αα≠ ，则不等价 （3）()11,n m m n ααββ>()110,n m r n ααββ≠= 则等价 ()110,n m r n ααββ≠< 则不等价10n αα= ，判定11,n m ααββ 是否能互相线性表出（4）n 维向量1s αα 与1m ββ判定1s αα 和1m ββ 是否能互相线性表示 1、讨论齐次线性方程组解的问题： （1）求通解；（2）已知解的情况，求待定系数，步骤如下：① 先对系数矩阵A 作初等行变换，得到一个阶梯形矩阵，并写出对应的同解方程组（只能做行变换）；② 确定自由未知量（其个数s n r =-）()12,,,r r n x x x ++ ；③ 自由未知量取s 组线性无关的值()00,1,0,0 ，得到方程组s 组线性无关的解()010,0,21 ri i i i x x x =ξ，构成了方程组的一个基础解系，则通解为r n r n k k k --+++=ξξξξ 22112、讨论非齐次线性方程组解的问题： （1）求通解（2）已知解的情况，求待定常数① 对增广矩阵做初等行变换，得到一个阶梯阵，并写出一个对应的同解方程组 ② 利用阶梯阵，求出()r A 和()r A ，给出有解、无解的结论A 、A rank rankA ≠ 无解B 、A rank rankA = 有解（1）n A rank rankA == 有唯一解，由下到上逐步求解 （2）n A rank rankA <= 有无穷多解 ① 求出齐次的基础解系② 求出一特解：对同解方程组令自由未知量全为零边得特解 ③ 写出通解1、求n 阶方阵)ij a A （=的特征值和特征向量的一般步骤： （1）计算A 的特征多项式：E A f λλ-=)(；（2）由0=-E A λ，求出A 的特征值；（3）对每个特征值0λ，求出()00=-x E A λ的基础解系s ααα 、、21， 则 s s k k k ααα+++ 2211是对应于0λ的全部特征向量 注：A 不具体必用定义或通过其相似矩阵求解 2、将n 阶矩阵A 相似对角化的一般步骤： （1）求出矩阵A 的特征值j λλλ 21,;（2）若i λ是A 的k 重特征值，判定()i r A E λ-是否等于n k -。
不等于n k -，则不可相似对角化；否则可相似对角化；求出对应于i λ的线性无关的特征向量k ξξξ ，，21，令()12n P ξξξ= ，，（3）如求正交阵则按施密特正交化法将其正交化，再单位化；（4）以n 个正交规范化后的特征向量为列向量构成矩阵P ，此 即为所求的正交矩阵1PA P -=Λ注：()A P 的第i 列即为Λ的第i 个主对角线元素i λ对应的特征向量的单位化向量()B 实对称矩阵A 一定可相似对角化2、判定n 阶实对称矩阵A 正定的方法为：（1）A 的正惯性指数等于n ； （2）存在n 阶实可逆矩阵C ，使C C A T=； （3）A 的顺序主子式全部大于0； （4）A 的特征值全为正数； （5）A ~E ； （6）对任意非零向量x ，0>Ax x T3、化二次型为标准形()A 、将二次型化为标准型的方法：配方法，初等变换法，正交变换法 ()B 、正交变换法化二次型为标准形的一般步骤：（1）写出二次型的矩阵形式，注意非平方项j i x x 的系数应取其一半作ij a ； （2）求二次型矩阵的特征值和特征向量；（3）把特征向量正交规范化写出正交矩阵P 及正交变换； （4）写出二次型的标准形（C ）、用配方法将二次型化为标准形的一般步骤：（1）选出二次型中含有平方项的变量，为了说明方便，令其为n x x x ,,21； （2）集中含1x 的乘积项，对其配方；（3）在剩下的项中，集中含2x 的乘积项，对其配方； （4）重复上述步骤，直到n x ； （5）作线性变换，即可得标准型；注：单根仅有一个特征向量，k 重根有k 个必进行施密特正交.1、古典概率的计算，其一般步骤（1）将相关事件字母化 （2）用数学式子将要求结果表达出来 （3）运用公式、定义、性质计算 2、关于概率的性质及事件的运算命题注：（1）条件； （2）),(),(B A P B A P →； （3）公式。
4、条件概率注：（1）条件； （2）公式)()()|(A P AB P A B P =。
6、全概率公式 注：（1）完备事件组；（2）公式7、贝叶斯公式（后验概率公式）8、独立性及贝努里概型 1、关于分布律，分布密度，分布函数性质的命题2、求离散型随机变量分布律与分布函数及其关系（1）求出X 的所有可能取值； （2）求出每一取值的概率； （3）写出分布律； （4）分布函数（左闭右开区间）3、连续型随机变量分布密度，分布函数的关系{}()()x F x P X x P t dt -∞=≤=⎰注：如()P x 为分段函数，则()F x 一定是分段函数，且分段点一一对应。
4、常见分布的计算 5、随机变量函数及其分布 （1）离散型 已知求()y f x =的分布律。
其步骤：○1 求y 的所有可能取值i y ； ○2 求()i P y y = a 、 i i y x ↔ , ()()i i i P y y P x x P ====；b 、 12i i i ik y X X X ↔ ，12()i i i ik P y y P P P ==++ 。
（2）连续型~()X P x ，求()Y f X =的分布密度。
○1 求()Y f X =的分布函数{}{}()()Y F y P Y y P f x y =≤=≤ ○2 求'()()Y Y P y F y = 1、 关于分布律、分布密度、分布函数性质的命题 2、联合分布律 联合分布密度和分布函数关系 3、边缘分布律 边缘分布密度的命题 （1）离散（定义） （2）连续其步骤：10确定区域的不等式组表达形式20写出边缘分布密度的计算公式 4求条件分布律 分布密度（熟记定义） 5、求随机变量函数(,)Z f X Y =的分布（1）(,)X Y 为离散型，求(,)Z f X Y =的分布律。
其步骤：10 求出Z 的所有可能取值(,)k i j Z z f x y == 20 求{}k P Z z =○1 (,)k i j z x y ↔，{}k ij P Z z P ==○2 1122(,)(,)(,)k i j i j ik jk z x y x y x y ↔ ，{}1122k k k i j i j i j P Z z P P P ==+++ （2）(,)X Y 为连续型随机变量，求(,)Z f X Y =的分布密度 10求Z 的分布函数(){}{(,)}{(,)}(,)ZZ Z D F z P Z z P f X Y z P X Y D P x y dxdy=≤=≤=∈=⎰⎰1、求数学期望（1）利用定义 性质； （2）利用常见分布；（3）将随机变量分解成简单随机变量的和，然后利用性质 注：① 22()EXDX EX =+； ② 必先求分布律，分布密度或函数2、求方差 22()DX EX EX =- 3、求协方差，相关系数(,)Cov X Y EXY EXEY =-，XY ρ=1、关于切比雪夫不等式 大数定理{}21D XP X E X εε-<≥-或{}2D XP X E X εε->≤注：（1）X EX -的概率估计问题；（2） 符号不一致 2、中心极限定理(1) 独立同分布 (2) 随机变量序列和的概率(3) 一般形式∑∑∑-iii D E ξξξ （1）2χ分布：① 定义：设)1,0(~N X ，n X X X ,,21为X 的一个样本，则称∑=ni i X 12为服从自由度为n的2χ分布； ② 结构特点：.1 平方和结构；212,,n X X X 独立；3 (0,1)i X N ；4221~(1)X χ， 22212~(2)X X χ+③ 分布密度图； ④ 上α分位点； （2）T 分布：① 定义：设)1,0(~N X ，)(~2n Y χ且,X Y 相互独立，则nY X T =服从自由度为n 的t 分布，记为~()T t n ② 结构特点：01 商式结构且分母为根式；02,X Y 独立，不同分布)1,0(~N X ，)(~2n Y χ；③ 分布图；④ 上α分位点αα=>)}({n t T p 双侧分位点 （3）F 分布：① 定义：设21~()X n χ，)(~22n Y χ，且,X Y 相互独立，则12//X n F Y n =为服从自由度为12,n n 的F 分布， 记为12~(,)F F n n② 结构特点：1 商式结构，且分子分母结构一致；02 ,X Y 独立，同分布③ 分布密度图，同2χ分布；④ 上α分位点 1、求参数的矩估计 （1）确定待估参数的个数 （2）列方程 X EX =，221i E XX n=∑（3）解方程2、求参数的极大似然估计（1）构造似然函数111211()(,)(,)(,)k k k n k L P X P X P X λλλλλλλλ= ， （2）取对数 1ln ()k L λλ（3）求ln iLλ∂∂ （4）结论(连续直接代入,离散写出表达式合并代入) 3、估计量的评价标准。
