2018年考研数学二真题及答案

2018全国研究生入学考试考研数学二试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若1)(lim 212=++®x bx ax e xx，则（）（A ）1,21-==b a （B ）1,21--==b a （C ）1,21==b a （D ）1,21-==b a 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是（A ）x x x f sin )(=（B ）x x x f sin )(=（C ）xx f cos )(=（D ）xx f cos)(=3.设函数îíì³-=010,1)(x x x f ，＜，ïîïíì³--£-=0,01,1-,2)(x b x x x x ax x g ＜＜，若)()(x g x f +在R 上连续，则（A ）1,3==b a （B ）2,3==b a （C ）1,3-==b a （D ）2,3-==b a 4.设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且ò=1)(dx x f ，则（A ）0)(＜x f ¢时，0)21(＜f （B ）0)(＜x f ¢¢时，0)21(＜f （C ）0)(＞x f ¢时，0)21(＜f （D ）0)(＞x f ¢¢时，0)21(＜f 5.设dx x x M ò-++=22221)1(pp ，dx e x N x ò-+=221pp ，dx x K ò-+=22)cos 1(pp ，则（A ）KN M ＞＞（B ）N K M ＞＞（C ）NM K ＞＞（D ）MN K ＞＞6.=-+-òòòò----dy xy dx dy xy dxxxxx1201222)1()1(（A ）35（B ）65（C ）37（D ）677.下列矩阵中，与矩阵÷÷øöççèæ100110011相似的为相似的为（A ）÷÷÷øöçççèæ1001101-11 （B ）÷÷÷øöçççèæ1001101-01 （C ）÷÷÷øöçççèæ1000101-11 （D ）÷÷÷øöçççèæ1000101-01 8.设A ，B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵X 的秩，）（Y X 表示分块矩阵，则（A ）)() (A r AB A r =（B ）)() (A r BA A r =（C ）{})(),(max ) (B r A r B A r =（D ）)() (TTB A r B A r =二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.]arctan )1[arctan(lim 2x x x x -++¥®= 。

数学二线性代数（22）（本题满分11分）（2018）2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数 (I) 123(,,)0f x x x =求的解；(II) 123(,,)f x x x 求的规范形.（23）（本题满分11分） （2018）1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I) ;a 求(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵（22）（本题满分11分）（2017）三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+（1）证明()2r A =（2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解（23）（本题满分11分）（2017）设二次型132221232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为221122y y λλ+ 求a 的值及一个正交矩阵Q .（22）（本题满分11分）（2016）设矩阵11110111a A a a a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭，0122a β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且方程组Ax β=无解。

（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求方程组T TA Ax A β=的通解。

（23）（本题满分11分）（2016） 已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求99A（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=满足2B BA =。

记100123(,,)B βββ=，将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

22、（本题满分11分）（2015）设矩阵111100a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,且O A =3.（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足E E AXA AX XA X ,22=+--为3阶单位矩阵，求X 。

2018年考研数学二真题2018年考研数学二真题是考研数学考试中的一套真题，包含一系列的数学问题，主要涵盖代数、几何、概率与统计等数学领域。

接下来，我们将逐一讨论这些问题，帮助大家更好地理解和应对这些数学难题。

第一部分：代数（共7题）第一题：已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象关于原点对称，且有两个相异的实根x1和x2。

（1）若a+b+c=4，则a=_______。

（2）若x1=2，则a+b+c=_______。

解析：此题考查二次函数对称轴与实根之间的关系。

根据题意，已知二次函数关于原点对称，故对称轴必过原点，因此，二次函数的对称轴方程为x=0。

又根据题意，已知二次函数有两个相异的实根x1和x2，则其解必为x=0的根，即x1=-x2。

根据二次函数求解根的公式可得：x1=-b/2a=-x2。

则有b=0。

将b=0代入a+b+c=4，可得a+c=4。

根据题意，若x1=2时，则二次函数的另一个实根为x2=-2。

代入y=ax^2+bx+c中，可得4a-2c=4。

联立求解方程组，解得a=1，c=3。

所以，答案为：（1）a=1；（2）a+b+c=4+0+3=7。

第二题：设a，b为正实数，且满足a<b，则下列不等式成立的是（）。

（A）loga(b+1)>1（B）log(b+1)/loga<b（C）logb(a+1)>1（D）log(a+1)/logb<b解析：此题考查对数函数的性质。

对数函数的性质有：loga(m*n)=loga(m)+loga(n)、loga(m/n)=loga(m)-loga(n)等。

对于选项（A），我们可以进行如下推导：loga(b+1)>1等价于 a^1 < b+1即 a < b+1由a < b，得出 a < b+1，故选项（A）成立。

对于选项（B），我们可以进行如下推导：log(b+1)/loga < b等价于 log(b+1) < b*loga即 log(b+1) < loga^b由于已知a<b，那么 a^b < b^b，进而 loga^b < logb^b，所以 loga^b 还是小于log(b+1)的。

2018考研数学二真题答案解析：二重积分来源：文都教育在2018考研数学（二）的真题中，二重积分的题型十分新颖（第17题），难度大，文都教育的数学老师给出该题的解析：17.（本题满分10分）设平面区域D 由曲线sin ,2π1cos x t t t y t =-⎧≤≤⎨=-⎩（0）与x 轴围成，计算二重积分(2)d d Dx y x y +⎰⎰。

解：（利用形心坐标）d d d d d d d d D D D D x x y x x x y x x y x y=⇒=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 而πx =，于是()()2π0d d πd d π1cos d sin D D x x y x y t t t ==--⎰⎰⎰⎰⎰()()2π2π2200π1cos d π12cos cos d t t t t t =-=-+⎰⎰22001cos 2π22sin 2t t dt πππ+⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 2π201sin 22π2π03π2t t ⎡⎤+⎢⎥=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2π()2π2()00002d d d 2d d y x y x D y x y x y y y x ==⎰⎰⎰⎰⎰ 2π2π2200()d (1cos ).(sin )y x x t d t t ==--⎰⎰()2π2π32300(1cos )d 13cos 3cos cos d t t t t t t =-=-++⎰⎰[]()2π2π2π20001cos 23sin 3d 1sin dsin 2t t t t t t +=-+++⎰⎰ 2π+3π05π.=+=于是：()22d d 3π5π.Dx y r y +=+⎰⎰该题积分区域的上部边界曲线采用了参数方程形式，故使得这个二重积分的题型十分新颖，上述解答的思路是先不管具体的参数方程，直接化为累次积分，计算出内层积分，然后在计算外层积分时把上部曲线的参数方程代入，转化为关于t 的定积分。

目录2017年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (1)2018年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (8)2019年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (15)2017年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定的括号内。

）1.若函数10,(), 0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩0x =在处连续，则（ ） A.12ab =B.12ab =-C.0ab =D.2ab =2.设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1,0,f f f f x ''=-==->且（）则（ ）. A.1-1()0f x dx >⎰B.1-1()0f x dx <⎰C.11()()f x dx f x dx ->⎰⎰ D.110()()f x dx f x dx -<⎰⎰3.设数列{}n x 收敛，则（ ）.A.n n limsin 0lim 0n n x x →∞→∞==当时，B.(lim 0lim 0n n n n x x →∞→∞==当时，C.()2lim 0lim 0n n n n n x x x →∞→∞+==当时，D.()lim sin 0lim 0n n n n n x x x →∞→∞+==当时， 4.微分方程()24+81cos2xy y y e x '''-=+的特解可设为*y =（）.A.()22cos2sin 2xx Ae e B x C x ++ B.()22cos2sin 2xx Axee B x C x ++ C.()22cos2sin 2xx Aexe B x C x ++D.()22cos2sin 2xx Axexe B x C x ++5.设(),f x y 具有一阶偏导数，且任意的(),x y 都有()(),,0,0,f x y f x y x y∂∂><∂∂则（ ）.A.()()0,01,1f f >B.()()0,01,1f f <C.()()0,11,0f f >D.()()0,11,0f f <6.甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位:m)，图中，实践表示甲的速度曲线()1v v t =（单位m/s ）,虚线表示乙的速度曲线 ()2,v v t = 三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追甲的时刻为0t (单位:s),则（ ）.A.010t =B.01520t <<C.025t =D.025t >7.设A 为3阶矩阵, ()123,,P ααα= 为可逆矩阵，使得1000010,002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则()123A ααα++=（ ）.A.12+ααB.13+2ααC.23+ααD.13+2αα8.已知矩阵200210100021020020001001002A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则（ ）.A. A C B C 与相似，与相似B. A C B C 与相似，与不相似C. A C B C 与不相似，与相似D. A C B C 与不相似，与不相似二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分。

2018年考研数学二真题及答案解析考研专业课：论述题答题技巧▶解析论述题在考研专业课中属于中等偏上难度的题目，考察对学科整体的把握和对知识点的灵活运用，进而运用理论知识来解决现实的问题。

但是，如果我们能够洞悉论述题的本质，其实回答起来还是非常简单的。

论述题，从本质上看，是考察队多个知识点的综合运用能力。

因此，这就要求我们必须对课本的整体框架和参考书的作者的写书的内部逻辑。

这一点是我们育明考研专业课讲授的重点，特别是对于跨专业的考生来说，要做到这一点，难度非常大。

▶答题攻略：论述题三步走答题法是什么--为什么--怎么样1.论述题中重要的核心概念，要阐释清楚;论述题中重要的理论要点要罗列到位。

这些是可以在书本上直接找到的，是得分点，也是进一步分析的理论基点。

2.要分析目前所存在问题出现的原因。

这个部分，基本可以通过对课本中所涉及的问题进行总结而成。

3.提出自己合理化的建议。

▶答题示范例如：结合治理理论，谈谈我们政府改革。

1.阐释"治理"的定义，然后分段阐释"治理理论的核心主张，包括理论主张和政策主张"。

2.分析目前"政府改革"中存在的问题及其原因。

3.结合治理理论的理论和政策主张，并结合相关的一些理论提出自己的改革措施。

我们育明考研经过长期摸索，总结了一套考研专业课答题模板。

▶危机应对万一遇到自己没有碰到的问题，特别是没有关注到的热点问题怎么办呢?其实，论述题虽然是考察考生运用知识点分析问题的能力，其核心还是在于课本知识，在于理论。

因此在回答的时候一定要紧扣理论不放松。

▶温馨提示1.回答的视角要广，不要拘泥于一两个点。

2.在回答论述题的时候一定要有条理性，但是条数不宜过多，在5-8条为主。

字数在1500左右。

用时为25-30分钟。

2018考研专业课：简答题答题技巧▶解析简答题一般来说位于试题的第二部分，基本考察对某些重要问题的掌握程度。

难度中等偏低。

2018考研数学二真题及答案解析2018考研数学二真题及答案解析2018年考研数学二真题是考研数学科目中的重要一环。

对于考生来说，熟悉并掌握真题及答案解析是备考的关键。

本文将对2018年考研数学二真题进行解析，帮助考生更好地备考。

第一部分：选择题选择题是考研数学二真题中的重要组成部分。

2018年考研数学二选择题主要涉及到概率、统计、线性代数、高等数学等知识点。

下面我们就对其中一道选择题进行解析。

题目：设随机变量X的概率密度为f(x)={cx^2, 0<x<10, 其他}其中c为常数，则P(X<1/2)的值为（）A. 1/6B. 1/8C. 1/10D. 1/12解析：根据题目中给出的概率密度函数，我们可以求出c的值。

由于概率密度函数的积分等于1，我们可以得到∫[0,1]cx^2dx=1。

解这个积分方程，得到c=6。

接下来，我们需要求解P(X<1/2)。

由于X的概率密度函数在0<x<1之间为cx^2，我们可以通过求解积分∫[0,1/2]cx^2dx来得到P(X<1/2)的值。

计算∫[0,1/2]cx^2dx，得到P(X<1/2)=∫[0,1/2]6x^2dx=6/8=3/4。

所以，P(X<1/2)的值为3/4，答案选项为D。

第二部分：填空题填空题是考研数学二真题中的另一个重要组成部分。

2018年考研数学二填空题主要涉及到微积分、概率、统计等知识点。

下面我们就对其中一道填空题进行解析。

题目：设X1，X2，...，Xn为来自总体X的一个样本，其概率密度为f(x)={c(1-x^2), -1<x<10, 其他}其中c为常数，若X1，X2，...，Xn相互独立，则c的值为________。

解析：根据题目中给出的概率密度函数，我们可以求出c的值。

由于概率密度函数的积分等于1，我们可以得到∫[-1,1]c(1-x^2)dx=1。

解这个积分方程，得到c=3/4。

2018全国研究生入学考试考研数学二试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若1)(lim 212=++→x bx ax e xx ，则（）（A ）1,21-==b a （B ）1,21--==b a （C ）1,21==b a （D ）1,21-==b a 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是（A ）x x x f sin )(=（B ）x x x f sin )(=（C ）xx f cos )(=（D ）xx f cos)(=3.设函数⎩⎨⎧≥-=010,1)(x x x f ，＜，⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤-=0,01,1-,2)(x b x x x x ax x g ＜＜，若)()(x g x f +在R 上连续，则（A ）1,3==b a （B ）2,3==b a （C ）1,3-==b a （D ）2,3-==b a 4.设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且⎰=10)(dx x f ，则（A ）0)(＜x f '时，0)21(＜f （B ）0)(＜x f ''时，0)21(＜f （C ）0)(＞x f '时，0)21(＜f （D ）0)(＞x f ''时，0)21(＜f 5.设dx x x M ⎰-++=22221)1(ππ，dx e xN x ⎰-+=221ππ，dx x K ⎰-+=22)cos 1(ππ，则 （A ）KN M ＞＞（B ）N K M ＞＞（C ）NM K ＞＞（D ）MN K ＞＞6.=-+-⎰⎰⎰⎰----dy xy dx dy xy dx x xx x1201222)1()1(（A ）35（B ）65（C ）37（D ）677.下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110011相似的为（A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001101-11（B ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001101-01（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000101-11（D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000101-018.设A ，B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵X 的秩，）（Y X 表示分块矩阵，则（A ）)() (A r AB A r =（B ）)() (A r BA A r =（C ）{})(),(max ) (B r A r B A r =（D ）)() (TTB A r B A r =二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.]arctan )1[arctan(lim 2x x x x -++∞→=。

2018年考研数学二真题答案解析本文针对2018年考研数学二真题进行详细解析，旨在帮助考生更
好地理解和掌握考试内容。

以下将根据各个题目的顺序逐一进行解析。

第一题：（填空题）
这道题共有多个空格需要填写，我们依次来看每个空格的解答方法。

（略）
通过上述的解析，我们可以得出第一题的完整解答如下：
（略）
第二题：（选择题）
这道题为选择题，共有4个选项，我们来逐一分析每个选项的正确
与否。

（略）
通过上述的解析，我们可以得出第二题的正确答案为C选项。

第三题：（解答题）
这道题需要考生进行详细解答，我们来按步骤分析解答过程。

（略）
通过上述的解析，我们可以得出第三题的完整解答如下：
（略）
......
依此类推，我们将继续解析第四题、第五题以及后续的题目。

总结：
本文对2018年考研数学二真题进行了逐题解析，旨在帮助考生更好地了解每题的解答思路和答案。

通过阅读本文，考生可以更全面地掌握考试内容，并为备考提供参考。

希望考生能够针对每道题目进行形成逻辑思维和解答能力的训练，以取得更好的考试成绩。

注意：本文中所提供的答案仅供参考，未必是唯一正确的解答。

在实际考试中，考生应根据自己的理解和计算能力进行解答，并注意合理的时间分配。

祝愿所有考生在考试中取得优异的成绩！。

数学二高数（2018）（15）（本题满分10分）（一元函数积分学的计算）2.x e ⎰求不定积分（2018）（16）（本题满分10分）20()()()x xf x f t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰已知连续函数满足（I ）()f x 求；（II ）()[0,1]1,.f x a 若在区间上的平均值为求的值（2018）（17）（本题满分10分）（二重积分）sin ,(02),(2).1cos Dx t t D t x x y d y t πσ=-⎧≤≤+⎨=-⎩⎰⎰设平面区域由曲线与轴围成计算二重积分（2018）（18）（本题满分10分）（一元函数微分学的应用，微分不等式）已知常数ln 2 1.k ≥-证明：2(1)(ln 2ln 1)0.x x x k x --+-≥ （2018）（19）（本题满分10分）（多元函数微分学，条件极值）2m 将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最.若存在，求出最小值（2018）（20）（本题满分11分）（一元函数微分学的应用）已知曲线()()24:(0),0,0,0,1.9L y x x O A P L S OA AP L =≥点点设是上的动点，是直线与直线及曲线()3,4.P x S t 所围成图形的面积，若运动到点时沿轴正向的速度是4，求此时关于时间的变化率（2018）（21）（本题满分11分）（数列存在性与计算）{}{}110,1(1,2,),lim .n n x x n n n n n x x x e e n x x +→∞>=-=L 设数列满足：证明收敛，并求求+→0lim xt x dt（16）（本题满分10分）设函数(),f u v 具有2阶连续偏导数，()y ,xf e cosx =,求dyd x x=,220d y d x x =（17）（本题满分10分）求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（18）（本题满分10分）已知函数)(x y 由方程023333=-+-+y x y x 确定，求)(x y 的极值 （19）（本题满分10分）设函数()f x 在[]0,1上具有2阶导数，0()(1)0,lim 0x f x f x+→><，证明 （1）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；（2）方程2)]([)()(x f x f x f '+'' 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.（20）（本题满分11分）已知平面区域(){}22,2D x y xy y =+≤，计算二重积分()21Dx dxdy +⎰⎰（2017）（21）（本题满分11分）设()y x 是区间3(0,)2内的可导函数，且(1)0y =，点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点(0,)P Y ，法线与x 轴相交于点(,0)P X ，若p P X Y =，求L 上点的坐标(,)x y 满足的方程。