附录32点群

的反演面，
共2个
群只包含旋转反演轴的点群。 其中
共2个
群 —— 立方点群, 含有48个对称操作 群 —— 正四面体点群, 含有24个对称操作 群 —— 立方点群 的24个纯转动操作 群 —— 正四面体点群 的12个纯转动操作
群
群加上中心反演
晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的国际符号符号：
回转群
只包含一个旋转轴的点群 —— 下标表示是几源自旋转轴—— 4个双面群
包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群 —— 4个
群
群加上中心反演
群
群加上反演面
群
群加上与n重轴垂直的反演面，共4个
群
群加上含有n重轴的反演面，共4个
Dnh群
群
Dn群加上与n重轴垂直且过二重轴的反演面，
共4个
群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线
2.3 晶体的32种点群及其符号
一、晶体对称元素的组合：
任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称元素:
1, 2, 3, 4, 6, 1, 2, 3, 4, 6
晶体的对称元素间至少有一点重合。
晶体的全部对称元素对应的对称操作的集合——点群。 晶体对称元素组合的推导：
A类组合：高次轴（n > 2）不多于1个 B类组合：高次轴多于1个
二、晶体的32种点群：
理论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群 —— 晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的符号： 国际（Hermann-Mauguin）符号 熊夫利（Schoenflies）符号 C，D，S，T，O i，s，v，h，d
晶体点群的熊夫利符号：
—— 不动操作，只含一个元素，表示没有任何对称性的晶体

该图形显然具有一个对称中心
因此 3 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋转轴加上一个对称中心
3 3i
4 次倒转轴
相当于旋转90后再对中 心反演而图形不变。
这是一个独立的对称操 作。它既没有 4 次旋转 轴也没有对称中心，不 能分解成其他基本对称 要素的组合。
注意这里的 2、6、4、 8 这四个点是不存在的， 也是过渡点。
对称面
对称面是一个假想的平面，相应 的对称操作为对此平面的反映。对 称面就像一面镜子，把物体的两个 相同的部分以互成镜像反映的关系 联系起来。 垂直于对称面作任意直线，位于 直线两侧等距离的两点是性质完全 相同的对应点 晶体中如果存在有对称面，则必 定通过晶体的几何中心并将晶体分 为互成镜像反映的两个相同部分 在结晶学中，对称面一般用符号 “m” 表示。
倒转轴
倒转轴是一种复合对称 要素，由一根假想的直线 和在此直线上的一个定点 组成。相应的对称操作是 绕此直线旋转一定角度以 及对此定点的倒反。 根据晶体对称轴定律，倒 转轴也只有 1 次、2 次、 3 次、4 次和 6 次 5 种
倒反类倒转轴 中，只有 4 次倒转轴是一个独立的基本对称操
点群：在宏观晶体中存在的所有对称要素都必定 通过晶体的中心，因此不论如何进行对称操作，晶
体中至少有一个点是不变的，因此对称型也称为点
群。32点群
特征对称元素与7 大晶系
在32晶体学点群中，某些点群均含有一种相同的对称元素， 这样的对称元素叫做特征对称元素。
根据相应的对称性特征，晶体结构可以分为 7 类， 称为 7 大晶系。这 7 大晶系按对称程度增加的次序
在旋转操作中，使物体复原所需的最小旋转角 称为基转角。轴次 n 可以写成

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wangcl@
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滑移面 slide
平移对称与对称面结合即形成“滑 移面”。滑移面操作为对此平面反 映后，再沿平行于此平面的某个方 向上平移二分之一或四分之一周期， 图形即可自身重合。滑移面的国际 符号为a、b、c、n、d等。
wangcl@
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例如，a表示沿a轴方向的滑移面， 平移a/2；n表示沿对角线方向的滑 移面，平移（a/2+ b/2），或 （b/2+ c/2）或（c/2+ a/2）；d 表示沿对角线方向的滑移面，但平 移为（a/4+ b/4），或（b/4+ c/4）或（c/4+ a/4）。
wangcl@
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立方晶系
晶轴。立方晶系的特点是具有四个三次旋转 轴（包括旋转倒反轴），同时不是有三个 相互垂直的四次旋转轴（包括旋转倒反 轴），就是有三个相互垂直的二次旋转轴， 分别选择这些四次或二次轴为a、b、c轴。 晶格常数大小为：a=b=c，晶轴之间夹角 为===90。
M Vujicic et al, J Phys A10 (1977)1271; I Bozovic et al, J Phys A11 (1978) 2133; I Bozovic et al, J Phys A14 (1981) 777
wangcl@
40
坐标轴（x、y、z）。目前都选择z轴与晶轴c重 合；x轴在晶轴a和c组成的平面内，并指向+a 方向；y轴垂直于ac平面，并指向+b方向， 如图1-23所示。
wangcl@
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图1-23 三斜晶系中的晶轴与坐标系
wangcl@
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单斜晶系
晶轴。单斜晶系的特点是具有一个二次旋转 轴或二次旋转倒反轴。选二次轴为b轴， 并在与b轴垂直的平面上选择相交的晶棱 方向作为c轴和a轴。晶格常数大小为： abc，a>c，晶轴之间夹角为==90， >90。单斜晶系的实例如图1-24所示。

表 1 32 种点群的符号及对称情况[2]
晶序
晶 类
符 号
系
号
熊夫利符号
国际符号 (全写)
国际符号 (简写)
三1
C1
1
1
斜2
Ci (S2)
1
1
对称素 —— γi
对称 素数目
具体对称操作
对称 操作数
—— E= 1
1
1
E= 1 反演
2
3
C s (C 1h)
m (= 2)
m
单
4
C2
2
2
斜5
C 2h
32 种点群按是否为纯旋轴对称, 可分为两类: 第一类是纯旋转轴点群; 第二类是除旋转轴外, 还可以 通过其它对称操作与自身重合.
第一类点群——纯旋转轴点群, 包括单轴点群 Cn, D n 点群和多面体群. Cn 点群指只有 1 根 n 次旋转 对称轴的点群. 由于晶体中只能有 5 种旋转轴, 所以它只有 5 种, 即 C1, C2, C3, C4, C6; D n 点群即指具有 n 次旋转轴及 n 个与之垂直的 2 次旋转轴, 共 4 种: D 2, D 3, D 4, D 6 (D 1 即 C2 已并入 Cn 群内) ; 多面体群只有 2 种: 即四面体群 T 和八面体群O. 四面体群 T 表示有 4 个 3 次旋转轴和 3 个 2 次轴. 八面体群O 表示 3 个 互相垂直的 4 次旋转对称轴及 6 个 2 次旋转轴, 4 个 3 次旋转轴. 至此, 我们已找出了点群中所有可能的 纯旋转群, 合计 11 种.
D nh点群是在 D n 群的基础上, 再加上 (n+ 1) 个平面形成的. (这些平面分别垂直主轴和 2 次轴) 共有 4 种: D 2h , D 3h , D 4h 和 D 6h (D 1h 等效于 C 2v).

第五章 32种结晶学点群 32种结晶学点群
这一章我们将学习32种结晶学点群 这一章我们将学习32种结晶学点群， 种结晶学点群， 它们的推演方案和它们的表示方法. 它们的推演方案和它们的表示方法.
推导方案：
从晶系的特征对称元素出发， 从晶系的特征对称元素出发 ， 在保持晶 系不变的前提下， 确定镜面， 系不变的前提下 ， 确定镜面 ， 反演中心 和二次旋转轴是否能够加到晶系的特征 对称元素上( 对称元素上(如果有主轴则加上垂直与主 轴的镜面, 轴的镜面 , 包含主轴的镜面或垂直与主轴 的二次旋转轴) 的二次旋转轴)， 把这种方法应用于每种晶系就将得到全 32种结晶学点群 种结晶学点群. 部32种结晶学点群.
这个点群对称操作的集合为 这个点群对称操作的集合为{1, 2, m, 集合为{ 2 ī }, 点群的国际符号为 m , 熊夫利符号为 点群的国际符号为 C2h, 分母上的 m 指这个镜面与二次旋转 分母上的m 2 轴垂直. 轴垂直. 这样 m 点群等效点的极射赤面 投影图应有4个点. 投影图应有4个点.
2 m
(C2h )。
3 正交晶系 正交晶系的特征对称元素是两个 互相垂直的二次旋转轴或两个互 相垂直的镜面. 相垂直的镜面.
由正交晶的特征对称元 素所要求， 素所要求 ， 正交晶系的晶胞 参数必须是
0，a≠b≠c. α=β=γ=90 a≠b≠c. α=β=γ=90
（为什么？） 为什么？）
定理: 定理 : 两个互相垂直的二次旋转轴 决定另一个二次旋转轴, 决定另一个二次旋转轴 , 三个二次 旋转轴互相垂直. 旋转轴互相垂直.
图5.1 极射赤面投影图
图5.1 极射赤面投影图
1. 三钭晶系
在我们学习七个晶系时知道, 在我们学习七个晶系时知道,三钭晶系 要求对称操作对晶轴和轴间角没有任何限 制,满足这个条件的对称操作有1(C1), ī(i). 因 满足这个条件的对称操作有1(C 三钭晶系拥有(而且只有)点群1(C ī(i). 此三钭晶系拥有(而且只有)点群1(C1), ī(i).

附录1. 32点群的命名 11
点群国际符号的定义
点群符号表示在三个特定方向 存在对称要素，对于不同的晶 系，特定方向均不同。
晶系 立方 六方 第一方向 第二方向 第三方向
a c c c c b
a+b+c a a a a
a+b 2a+b a+b 2a+b b
所谓对称面在某方向指的是其 四方 法线在某方向。若在某一方向 同时存在轴和面，用分数表示， 三方 分子为轴，分母为面。
附录1. 32点群的命名 7
三 方
三 方
三 方
三 方
C3i(S6):G3C C3v:G33P
光学材料与元件制造
D3:G33G2 D3d:G33G23PC
附录1. 32点群的命名 8
六 方
六 方
六 方
六 方
C6:G6 C6h:G6PC
光学材料与元件制造
C3h:Gi6六次反演轴 D6:G66G2
附录1. 32点群的命名 9
正交
4mm,四方晶系。表示在c轴方向 <001>有一个4次对称轴，a轴方 单斜 向<100>有一个对称面，a+b方 三斜 向<110>有一个对称面。
因为其中只包含1或i，故无特殊方 向
12
光学材料与元件制造
附录1. 32点群的命名
光学材料与元件制造
附录1. 32点群的命名
2
点群熊夫利斯符号的定义
下标中的小写字母表示点群中存在对称面的情况： h:垂直于高次轴必定有一个对称面m的存在。 v:表示反映面（对称面）通过主轴（高次轴）。对于轴系D，不会有下 标v。 d:表示反映面通过高次轴，但平分二次轴的夹角。轴系C不会有下标d。 i:表示有对称中心的存在 对称元素： 对称元素 Gn代表n次旋转轴，P代表反映面，C代表对称中心，Gi4代表4次反演轴。 符号前的数字代表这种元素的数量。

第四章 点群（Point group）
一、定义
若一个物质体系的某些对称操作构成群，且在该
群所有群元操作下，体系中至少有一个点的空间坐
标保持不变，则该群为该体系的一个点群。
（1）点群的所有群元都是点操作；
（旋转，反射，或它们的组合）
（2）两次反射的平面必须相交。旋转轴与反射面
必须有公共点。两个转轴必须相交（共点）；
1. 单轴旋转群Cn (5种)：C1 , C2 , C3 , C4 , C6（g = n）
2. Cnh 群(5种)：C1h , C2h , C3h , C4h , C6h （g = 2n）
Cn , Cnh 是Abel群
3. Cnv 群(4种)： C2v , C3v , C4v , C6v （g = 2n）
C

c
( )
c
,c
,...,c

e
P2 P1


m
m
m
m
m
m
P3
Rj
点群的一个循环子群
• P1 P1 轴是 cm 的转轴， m重轴；
O
.
P3'
• 点P1和P1' 称为极点，m重极点，
对应 m 个旋转；
P1'
P2'
• 单位元无极点，因其极点任意；
• 除了单位元，每个群元有两个极点，
分别重合。
d c '
2
n
2 2n
利用 c
(c2*)
*
σ
c


c
c
α
d
2 d
2 2 h c z 2 h
O
d
φ

全对称点群
1 2/m mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m
菱形
6(C6)或6(S35)
六方
立方
a = b≠c, = = 90o, = 120o
a = b = c, = = = 90o
四个三次轴
1(L1) 2(L2) 222(3L2) 4(L4) 1(C) m(P) mm2
(C1h)
6(C6)
6/m
(C6h)
3(C3)
23(T)
mm2
(C2v)
4/m
(C4h)
3m (C3v) m3 (Th)
2/m mmm 4mm
(C2h) (D2h) (C4v)
6mm
(C6v)
32(D3)
43m (Td)
432 (O)
32 种 点 群 符 号
4/mmm 6/mmm 3(S6)
(D4h) (D6h)
4 (C4, L4)
(C41, C42, C43, C44 )
4 (S43, Li4)
S4(43), S42(42), S43(4), S44(E)
6 (C6, L6)
(C61, C62, C63, C64 , C65, C66 )
6 (S35, Li6)
S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 6 5, 6 4, 6 3, 62 , 6, 66
t’ A t B
A’
B’
t’ = mt
参考轴： a, b, c (无需正交) r = xa + yb + zc r’ = x’a + y’b + z’c 对称算符
x’ y’ z’

单斜 2,m,2/m
， 正交 2，m
， 四方 4,4，4/m Z
三方 3,3 六方 6,6, 6/m
Z Z
无， 2，m ， 无， 2，m ，
X X
无 无， 2，m ，
立方 2,m,4, 4
X
3,3
， 体对 无， 2，m 角线
点群推导方法
• 外延推演法： 从7种晶系的主要点对称特征出发外延推演， 外延推演法： 种晶系的主要点对称特征出发外延推演， 种晶系的主要点对称特征出发外延推演 可以推导出32种点群。 可以推导出 种点群。优点在于点群与晶系的对应关系十 种点群 分明确。 分明确。 • 旋转群推导法：先推导出11种纯旋转晶体学点群，与反演 旋转群推导法：先推导出 种纯旋转晶体学点群 种纯旋转晶体学点群， 操作组合可得11种中心对称的晶体学点群，再推导出另外 操作组合可得 种中心对称的晶体学点群， 种中心对称的晶体学点群 10种非中心对称的点群。优点是速度快。 种非中心对称的点群。优点是速度快。 种非中心对称的点群 • 循环群推导法：先确定5种循环群，1、2、3、4、6，再在 循环群推导法：先确定 种循环群 种循环群， 、 、 、 、 ， 每种循环群上加上新对称操作， 代替n轴 每种循环群上加上新对称操作，或用 n 代替 轴。优点是 透彻了解各种点群的对称操作。 透彻了解各种点群的对称操作。 • 对称元素组合法：利用对称元素组合定律进行点群的推导。 对称元素组合法：利用对称元素组合定律进行点群的推导。
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群 外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群 32
1. 三斜晶系 对称操作是1(C1)或 1 (i) 对称操作是 或 则形成最简单的点群。 （1）如果只有对称操作 ）如果只有对称操作1(C1) ，则形成最简单的点群。 该点群的阶数h是 ，满足群的定义： 该点群的阶数 是1，满足群的定义： 一个元素只能自乘： 1(C1)，具有封闭性 封闭性； 一个元素只能自乘： 1(C1)· 1(C1)= 1(C1)，具有封闭性； 单元素也可有结合律： 单元素也可有结合律： 1(C1)· 1(C1) · 1(C1)=1(C1) · [1(C1)· 1(C1)]; 有单位元素： 有单位元素： 1(C1)· 1(E) = 1(E) · 1(C1)= 1(C1)； ； 1(C1)的逆阵仍是 的逆阵仍是1(C1)。 。 的逆阵仍是