§6.4 自然边界条件泛函的极值

泛函和泛函的极值泛函和泛函的极值泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。

变分法的基本问题是求解泛函的极值。

作为变分法的简单例题。

考察x,y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y(x)中最短曲线。

设P(x，y)和P(x，y)为平面上给定的两点，y(x)为连接两点的任意曲111222 线。

于是，这一曲线的长度为连接P，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。

满1 足边界条件的(xy)称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。

根据上式，L [y]依赖于y(x)，而y(x)是x的函数，因此称y(x)为自变函数;L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。

求解最短程线问题，即在满足边界条件在x=x时， y(x)=y y'(x)= y' 1111在x=x时， y(x)=y y'(x)= y' 2211的函数y(x)中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。

因此 y(x)称为容许函数。

上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件 y(x)=y, y(x)=y2的极小值问题。

112假设函数y(x)是使得泛函L [y]为最小的特定函数(真实的)。

变分法有兴趣研究的是邻近于y(x)的任意容许函数引起泛函L []的改变。

设其中, 为小参数，而, (x)为边界值为零的任意函数。

当x固定时，容许函数与y(x)的差 , y 称为泛函自变函数的变分，即类似地，容许函数的斜率与y(x)斜率的差, y', 称为泛函自变函数斜率的变分，即应该注意 , y 与函数y(x)的微分dy之间的差别，dy是自变量x的改变量dx 引起的y(x)的无穷小增量。

而变分, y 是 y(x)的任意一个微小的改变量。

设泛函增量按泰勒级数展开，则设泛函的增量由泛函的变分表示，有分别定义为泛函的一阶，二阶或k阶变分，分别为, 的一次，二次或者k次齐次式。

泛函极值问题的求解泛函极值问题的求解使用变分法。

泛函极值问题是指在给定约束条件下，求一个泛函的极值。

泛函是一个函数的函数，即输入是函数，输出是一个实数。

假设有一个泛函J[f]，其中f是一个函数，我们要求使得J[f]取得极小值或极大值。

解决这个问题的方法是通过变分法，变分法的基本思想是将函数f沿着任意变化，并计算J[f]的变化。

如果变化很小，那么我们可以认为J[f]的变化主要来自于f的变化。

为了使用变分法求解泛函极值问题，需要定义一个变分算子δ，表示函数f的变分。

变分算子的定义如下：δ[f(x)] = εh(x)其中，ε是一个很小的实数，h(x)是一个任意函数。

使用变分算子之后，泛函的变化可以表示为：δJ[f] = J[f + εh(x)] - J[f]对δJ[f]进行展开，再取ε趋近于0的极限，得到以下关系：δJ[f] = 0这个关系成为欧拉方程，它是求解泛函极值问题的基本方程。

根据具体的泛函形式和约束条件，可以使用欧拉方程得到具体的解。

需要注意的是，在变分法中，要求函数f满足一定的边界条件。

边界条件是泛函极值问题中的附加条件，通过这些条件可以得到具有特定特征的解。

总结起来，求解泛函极值问题的步骤如下：1. 定义泛函J[f]以及函数f满足的边界条件；2. 引入变分算子δ并计算δJ[f]；3. 使用欧拉方程δJ[f] = 0 求解得到f的表达式；4. 检验解是否满足边界条件，如果不满足，则舍去；5. 找到所有满足边界条件的解，分别计算J[f]，选择其中极小值或极大值作为泛函的极值。

需要注意的是，求解泛函极值问题需要具备一定的数学知识和技巧，对欧拉方程的求解以及边界条件的选择都有一定的要求。

因此，在具体求解时可能需要借助一些数学工具和方法。

泛函极值的必要条件泛函极值啊，就像是在一个超级大的数学迷宫里找宝藏。

这个宝藏可不是一般的金银财宝，而是泛函的极值，那可是数学世界里超级神秘又超级有魅力的存在。

想象一下，泛函就像一个超级大的魔法函数家族，每个成员都有着独特的魔法能力。

而我们要找的极值呢，就像是这个家族里最闪亮的魔法之星。

这时候，必要条件就像是一把神秘的钥匙，没有这把钥匙，你就只能在这个魔法家族的外面干瞪眼，怎么也找不到那颗最闪亮的星星。

泛函极值的必要条件，就像是在黑暗森林里的指南针。

你要是在泛函的森林里乱转，没有这个指南针，那可就惨咯。

你可能会像一只无头苍蝇一样，到处乱撞，永远也找不到通往极值的道路。

它又像是一场冒险中的魔法咒语。

如果不掌握这个咒语，那些隐藏着极值的神秘大门就不会为你打开。

你就只能对着那些紧闭的大门，干着急，就像一个小馋猫看着橱柜里的美食，却怎么也打不开橱柜一样。

这个必要条件还是通向泛函极值城堡的秘密通道。

要是找不到这个通道，你只能在城堡外面绕圈子，看着城堡里那散发着迷人光芒的极值宝藏，却没办法进去拿。

这就好比你知道宝藏就在眼前的小岛上，但是你没有船，只能在岸边干跺脚。

泛函极值的必要条件有时候又像一个超级挑剔的守门员。

只有满足了它的要求，你才能进入泛函的核心区域去寻找极值这个超级大明星。

如果不满足，就会被这个守门员一脚踢回原点，让你所有的努力都白费，就像你辛辛苦苦堆的沙堡，被一个调皮的小孩一脚给踩平了。

它也像一个神秘的密码锁。

只有输入正确的密码，也就是满足必要条件，才能打开泛函极值这个装满宝藏的宝箱。

要是密码输错了，宝箱就会一直紧闭着，你就只能对着宝箱做白日梦，想象着里面的宝贝了。

泛函极值的必要条件还像是数学世界里的魔法桥梁。

没有这座桥，你就无法跨越泛函的河流，到达极值所在的对岸。

你只能在河这边望洋兴叹，看着对岸的极值美景，却无法身临其境。

在这个奇妙的泛函世界里，必要条件就是那盏照亮通往极值之路的明灯。

没有它，你就会在这个黑暗又神秘的世界里迷失方向，永远也找不到那珍贵的泛函极值宝藏。

泛函积分极限是一个重要的数学概念，它涉及到函数、积分和极限等概念。

泛函积分极限是指在一定条件下，对函数f(x)进行积分，当积分上限和下限趋近于某个值时，积分的值也会趋近于某个值。

这个概念在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

首先，我们需要了解什么是泛函积分。

泛函积分是将函数f(x)对自变量x进行积分，得到一个与x无关的常数C，这个常数C就是泛函积分的值。

泛函积分的计算方法是将函数f(x)对自变量x从某个小的上限值趋近于下限值进行积分，得到一个无穷小的积分和一个小于1的数值。

因此，泛函积分的值是一个极限值，只有在一定条件下才会趋近于某个特定的数值。

接下来，我们来分析一下泛函积分极限的性质和特点。

首先，泛函积分极限是一个极限概念，它涉及到函数、积分和极限等概念。

在一定条件下，当积分上限和下限趋近于某个值时，积分的值也会趋近于某个值。

其次，泛函积分极限具有可加性，即两个函数的泛函积分的和仍然是函数本身的一个泛函积分。

此外，泛函积分极限还具有单调性，即对于同一个函数f(x)，如果上限函数是单调递增的，那么它的泛函积分值也会随着上限值的增大而增大。

最后，泛函积分极限还具有连续性，即对于任意小的误差ε，都存在一个足够大的N，使得当n>N 时，函数f(x)的泛函积分的值与它的近似值之间的误差小于ε。

在实际应用中，泛函积分极限具有广泛的应用价值。

它可以用于解决许多实际问题中的数学问题，如求解微分方程、求解偏微分方程、求解概率统计等。

此外，泛函积分极限还可以用于研究一些物理现象和工程问题中的数学模型，如电磁场、热传导、流体动力学等。

总之，泛函积分极限是一个重要的数学概念，它涉及到函数、积分和极限等概念。

在实际应用中具有广泛的应用价值，可以帮助我们解决许多实际问题中的数学问题。

只有在一定条件下才会趋近于某个特定的数值，具有一定的规律性和应用价值。

同时，对于初学者来说，掌握泛函积分极限的概念和方法是非常重要的。

泛函数求极值
泛函数求极值是数学中一个重要的概念，它涉及到函数的极值的求解问题，是一个有趣的研究课题。

本文旨在为读者介绍泛函数求极值的基本知识，包括极值的概念、极值的计算方法以及极值在应用中的重要作用。

1.值概念
极值是指函数值在满足某些条件时能够等于或超过特定值或者
极限值的情况总称。

极值又分为最大值和最小值，又可分为本质极值和无穷极值。

本质极值是指函数在某点上达到最高点。

无穷极是指函数在某一区间上收敛于某一值，接近极限。

2.值的计算
计算泛函数极值，可以利用微积分的基本知识，如泰勒公式、全微分等，计算出函数的极点。

例如，求解函数f(x) = x3+x2-6x+8在实数域上的最大值，可以采用微积分中的全微分法，根据全微分法的原理，可以求出f`(x) = 3x2+2x-6=0，得到全微分的根，即x=-2，从而求出函数的最大值f(-2) = 4。

3.值的应用
极值的解决方法在工程、管理以及控制等领域中都有着重要的应用。

在工程中，极值的求解常常用来求解最优解，即满足目标的最佳解；在管理方面，极值求解可以帮助企业计算出最优的运营方案；此外，极值也可以用来控制机器人的运动，应用于自然语言处理等方面。

4.论
极值是函数性质的重要属性，研究极值的求解算法和方法，对于求解函数的最优解，推进工程、管理、控制等各方面的研究，都有着重要的意义。

本文主要介绍了泛函数求极值的基本知识，同时也简单介绍了极值在实际应用中的重要作用。

求泛函的极值曲线
求泛函的极值曲线是一种数学方法，它对互联网和相关领域特别有用。

以前，传统的分析决策方法都无法满足实际应用的需要，但随着新技术的出现，求泛函的极值曲线的运用极大地拓展了分析决策的范围。

求泛函的极值曲线主要用于寻求在给定条件下函数的最大值或最小值。

它是由约束条件和对离散变量和连续变量之间关系的非线性优化组合而成的。

使用求泛函的极值曲线，研究者就可以根据不同状况，将函数中可变的因素（如限制条件、变量）有效地组合起来，从而让功能的约束条件变得更加明确。

在互联网应用中，求泛函的极值曲线可以有效解决许多问题。

例如，在考虑了许多因素的情况下，决定一个商业状态下的投资流量，这是一项优先考虑的任务，此时，求泛函的极值曲线能够有效求得具有最大收益的投资流量。

此外，在搜索引擎效率方面，也可以使用求泛函的极值曲线来寻找最优化的策略，使搜索的结果具有更高的可靠性。

总之，求泛函的极值曲线是一种非常实用的数学方法，其在互联网应用中应用十分广泛。

通过求泛函的极值曲线，研究者可以运用多变量来有效组合函数，并获得满足各种不同条件的最佳解决方案，从而提升网络应用的效率。

第二章 泛函极值及变分法（补充内容）2.1 变分的基本概念2.1.1 泛函和变分泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。

例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到：dx dx dy J BAx x ⎰+=2)/(1 （2.1.1）显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。

图2.1.1 两点间任一曲线的长度例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。

设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。

图2.1.2 最速降线问题选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为：dsv dt ==其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是：dt =设重力加速度为g ，则gy v 2=。

因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为：1[()]x x J y x =⎰211/2211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ⎧⎫'+=⎨⎬-⎩⎭⎰（2.1.2）则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。

回顾函数的微分：对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量：),()()()(x x x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆ρ （2.1.3） 其中A （x ）与∆x 无关，且有∆x →0时ρ（x ,∆x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=∆=∆，函数的微分就是函数增量的主部。

最大收益：手把手教你解决泛函极值问题泛函极值问题是数学领域的一个热门话题，近年来受到越来越多的关注。

其实，泛函极值问题也是一道数学问题，主要是针对对应一些映射关系的函数中，找到最大（最小）值点的问题。

本文将介绍泛函极值问题的相关知识点和解决方法。

首先，我们需要了解的是泛函的概念。

泛函是一类将元素集合映射成某个数域上的元素的映射函数，其中元素集合可以是一个函数空间或若干个函数空间的笛卡尔积。

泛函可以看作是一种从函数空间到数域上的函数映射，常用于函数空间中的极值问题。

接下来，我们来讲解一下泛函求最值的方法。

通常情况下，我们使用变分法进行求解。

变分法，又叫变分原理，是一种数学、力学、物理用于求解函数极值问题的方法，是一种求变分的极值，即求泛函的最小值的方法，是泛函分析的基本工具。

使用变分法求解泛函极值问题，通常需要先写出泛函和变分定义式，再对变分定义式进行接下来的运算，求解出泛函极值。

具体步骤为：
1.将泛函用变分定义式进行表达
2.对变分定义式进行展开和简化
3.利用变分定义式求一阶变分
4.把一阶变分代入变分定义式
5.消去高阶无穷小
6.得到泛函极值条件
通过以上步骤，我们可以使用变分法轻松解决泛函极值问题。

总的来说，泛函极值问题是一道比较困难的数学问题，需要我们结合数学知识和实际应用场景进行解决。

通过本文的介绍，相信读者们能够深入了解泛函极值问题的相关概念和解决方法，进而提升自己的求解能力。

泛函极值与变分法7.2 泛函极值与变分法变分法是解决泛函极值的基本方法。

1. 泛函TJFxtutttSxT,，[(),(),]d[()]例指标的值 ,t0utttT(),[,],依xt()、是函数的函数,泛函 0xt()和ut()作为泛函的“自变量”，称为泛函的宗量例7.1 最短弧长问题:Axyx(,())Bxyx(,())yyx,()设过和 1122第 1 页共 27 页y B(x,y(x))22,若连续可微，则 yx()y(x)x22Jyx,，1d，(7.5) ,x1,A(x,y(x))11是的泛函. yx()ox图 7.12. 泛函极值yxY(){},,函数集设 JJyx,(())，若有，使 yY,,JyJy()min(),,JyJy()max(),,或，yY,yY,则称泛函J有极小值或极大值。

第 2 页共 27 页3. 变分 ,函数的微分宗量变分: 在处的增量,yxyxyx()()(),, yx() yx()yx()yx(),yxyxyx()()(),,OxOx第 3 页共 27 页泛函增量: ,JJyxJyx,,[()][()] ,，,JyxyxJyx[()()][()],泛函变分:若,,,JLyxyxryxyx,，[(),()][(),()],式中:Lyxyx[(),()],是,yx()的线性连续泛函，即LyxkyxkLyxyx[(),()][(),()],,,,,ryxyx[(),()],是,yx()的高阶无穷小项，则称泛函J是可微的，Lyxyx[(),()],而称为泛函的变分，第 4 页共 27 页记为。

,,JLyxyx,[(),()]引理7.1 若泛函可微，则变分,,,JJyxayx()(),，. ,,a,a,0证,,JJyxayx()(),，,lim ,,a,0a,aa,0Lyxayxryxayx[(),()][(),()],,,， limlimaa,,00aa第 5 页共 27 页aLyxyxryxayx[(),()][(),()],,,，limlim()yx,aa,,00aayx() ,。

瑞利-里兹法（Rayleigh-Ritz method）是一种常用于求解泛函的极值问题的数值计算方法。

它是通过将泛函的极值问题转化为一个变分问题，并通过适当的变分方法来逼近泛函的极值解。

在研究泛函的极值问题时，我们通常需要求解如下形式的泛函极值问题：\[J[y]=\int _{a}^{b}F(x,y,y')dx\]其中\(y=y(x)\)是未知函数，\(F(x,y,y')\)是关于\(y\)及其导数\(y'\)的已知函数，\(a\)和\(b\)为给定区间。

泛函\(J[y]\)的极值问题即为在满足一定边界条件的前提下，求解使泛函\(J[y]\)取极值的解函数\(y(x)\)。

解决这类问题通常会面临数学上的困难，因为泛函极值问题的解函数\(y(x)\)通常无法通过常规的微分或积分手段求解。

而瑞利-里兹法提供了一种可行的数值求解途径。

接下来，我们将详细介绍瑞利-里兹法的基本原理和数值求解步骤。

1. 基本原理瑞利-里兹法的基本思想是将未知函数\(y(x)\)进行一定形式的变分展开，并通过适当的变分参数来逼近泛函极值问题的解。

这意味着我们假设未知函数\(y(x)\)可以表示为一组已知函数的线性组合：\[y(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\varphi _{i}(x)\]其中\(\varphi _{i}(x)\)为已知的基函数，\(c_{i}\)为待定的系数。

2. 变分问题将未知函数\(y(x)\)的展开式代入泛函\(J[y]\)中，得到变分问题：\[J[c]=\int _{a}^{b}F(x,\sum _{i=1}^{n}c_{i}\varphi _{i},\sum_{i=1}^{n}c_{i}\varphi _{i}')dx\]其中\(c=[c_{1},c_{2},...,c_{n}]\)为变分参数向量。

3. 极小化问题通过对变分问题进行极小化处理，得到极小化问题：\[\min _{c}J[c]\]这样就将泛函极值问题转化为了一个常规的极小化问题，可以通过传统的最优化方法进行求解。

泛函求极值的必要条件泛函求极值可是个很有趣的事儿呢。

咱就像探索一个神秘的宝藏一样去研究它的必要条件。

你想啊，泛函就像是一个超级复杂的魔法函数，它可不是普通函数那么简单。

极值呢，就像是这个魔法世界里的特殊点，特别又神秘。

那求这个极值的必要条件，就好比是在寻找宝藏入口的钥匙。

这个条件啊，是我们了解泛函在什么时候会达到那种特殊的极值状态的关键。

就像我们在生活里找东西，要知道一些特定的线索才能找到我们想要的宝贝一样。

泛函的极值必要条件可不是随便就能琢磨透的。

它涉及到很多数学概念的纠缠和拉扯。

比如说，它可能会跟变分法有着千丝万缕的联系。

这就像是一个复杂的人际关系网，每一个概念都是网里的一个小节点，牵一发而动全身。

从某种角度看，泛函求极值的必要条件就像是一个严格的规矩。

泛函要想达到极值，就得按照这个规矩来。

就像我们玩游戏，也得遵守游戏规则才能获胜一样。

如果不遵守这个必要条件，泛函就别想达到极值啦。

在探索这个必要条件的道路上，我们可能会遇到好多挫折呢。

有时候你觉得自己已经很接近答案了，可突然又发现走进了死胡同。

不过这也是乐趣所在呀。

就像我们走迷宫，虽然可能会碰壁，但每次碰壁后重新找路的过程都是充满期待的。

我们在研究这个的时候，不能只是死板地按照公式来。

要带着一种好奇和探索的精神。

把那些数学符号都当成是有生命的小精灵，它们组合在一起就是在讲述一个关于极值的故事。

每一个等式，每一个推导，都是这个故事里的精彩情节。

泛函求极值的必要条件虽然难，但是当我们真正理解它的时候，就像是打开了一扇通往新世界的大门。

我们能看到数学的这个小角落里藏着的美妙风景，那种成就感是无法言喻的。

就像是你在沙漠里走了好久，突然看到了一片绿洲一样兴奋。

这也是数学的魅力所在呀，总是能在看似枯燥的背后给我们带来意想不到的惊喜。

第2章 泛函的极值在讨论泛函的极值以前, 我们先来回顾一下函数的极值问题。

2.1函数的极值性质2.1.1 函数的连续性任意一个多元函数12(),(,,...,)T nn f x x x R =∈x x , 0>∀ε, 如果0)(>=∃εδδ, 当0δ-<x x (或者说0(,)O δ∈x x )时, 有0()()f f ε-<x x那么, 我们称()f x 在0x 处是连续的, 记为00()lim ()f f →=x x x x 。

2.1.2 函数的可微性更进一步, 如果存在1(,,)T n n A A R ∃=∈A , 使得01000(,,,,)()lim,1i n i i if x x x f A i n x x →-=∀≤≤-x x x那么我们称()f x 在0x 处是可微的, 或者说存在(一阶)导数,记为'()f =x A或者记为12'(),,...,Tn f f f f f x x x ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭x ∇其中∇为梯度算子(或者Hamilton 算子, 见附1)。

同理, 可以定义该函数的两阶导数"()f x2222112122222122222222"()n n n n n ff f x x x x x f f f f f x x x x x f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥==∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦D x及更高阶导数。

这里f D 也称为Jacobi 矩阵。

如果函数()f x 在某点0x 足够光滑, 那么我们就可以在该点附近把函数作以下的展开221002!020(d )()d d (d )d d ()d d ()d T T f f f f o f f f f +=+++==x x x x x x x D x x∇其中()o ⋅为高阶小量, 2d ,d f f 分别为函数()f x 的一阶微分和两阶微分。

泛函数求极值泛函数求极值是一个经典的数学理论。

它涉及数学中的函数解析、微积分、解析几何等多种学科，无论是在研究运动中的动能定理、利用有限差分法进行数值计算，还是研究机器学习算法，都用到了泛函数求极值理论。

什么是泛函数求极值？泛函数求极值，就是求解泛函数在某一区域上取极值的问题。

一般来说，泛函数求极值的求解方法可以分为定义域上的求极值和定义域外的求极值。

在定义域内求极值指的是在定义域内，函数值一定是取极值点，这个点就是极值点。

而定义域外求极值，指的是求解极限函数在某一点上取极值的问题。

为了求解泛函数极值，数学家们引入了多种方法，其中最常用的方法包括等高线图法、图形插值法和极限法等。

首先介绍等高线图法，它是一种求解泛函数极值的最简单有效的方法。

等高线图法通过绘制函数的函数图像，即等高线图，来确定泛函数的极值点，从而求解极值问题。

具体的做法是：（1）画出函数的等高线图；（2）从等高线图中找出等高线的交点；（3）检查这些交点是否是极值点；（4）由于泛函数可能存在多个极值，所以需要进一步讨论函数在它们附近的行为，以确定多个极值点中的最大值或最小值；（5）在某一极值点处，找出此点的函数值以及此点的梯度，从而得出极值点的函数值及其斜率，确定极值点的性质。

其次介绍图形插值法，这种方法常用于求解定义域外的极值问题。

图形插值法通过插值函数将函数的凸区域划分为若干个子区域，利用中点判别法或极限判别法求解每个子区域中极大值点或极小值点，从而获得泛函数在定义域外的极值。

最后介绍极限法，这种方法可以在定义域内求函数的极值点和定义域外的极值点，是一种最常用的泛函数求极值的方法。

它的基本原理是，如果函数在某点取得最大值（最小值），则这个点的极限趋于无穷，而极限的值就是函数的极值。

以上就是泛函数求极值的基本内容，它充分反映了数学理论在求解实际问题中的重要作用。

它不仅仅是一种概念，更是一项科学技术，可以帮助我们解决许多有用的实际问题。

§6.3 泛函的条件极值一、泛函条件极值问题的提出（等周问题）求在连接A 、B 长度为L 的所有曲线中与直线AB所围成面积最大的曲线？AB 弧长：dx y L ba ∫+=2'1 （1） 曲线AB 与直线AB 所围成面积：()∫=ba dx x y S （2） 边界条件：()()0,0==b y a y （3）在满足约束条件（1）和边界条件（3）的情况下，寻找满足由方程（2）的构成泛函问题的极小曲线函数。

二、一般泛函条件极值的E-L 方程泛函[]()∫=ba dx y y x F y J ',,，约束条件()L dx y y x G ba =∫',,， 其中[][]()(){}2120,,,y b y y a y b a C y y y D ==∈=。

设()x y 是所求泛函的极值函数，取任意光滑函数()[]b a C x ,20∈η ()()()x x y x y εη+=1，()()0,0==b a ηη从而构成一元函数()[]()∫++=+=ba dx y y x F y J '',,εηεηεηεϕ ()L dx y y x G ba =++∫'',,εηεη 利用拉格朗日乘子法，定义新的泛函()()()[]∫+++++=Φba dx y y x G y y x F '',,'',,,εηεηλεηεηλε （4） 其中，λ为常数。

泛函()λε,Φ取极值，即需()0,0=Φ=εελεd d()()0'''',''''''''''0=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=⋅−++⋅−+=+++=+++=Φ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫=b a y y y y b a y b a y b ay ba yb a y b a y b a y b a y b a y b a y bay y y y dx G dx d G F dx d F dx G dx d G dx G dx F dx d F dx F dx G dx G dx F dx F dx G G F F d d ηλληληληληηηηληληηηληληηελεε由变分引理得（5） E-L 方程。

1.2.2 自然边界条件上节中待求函数的边界值是已知的，本节放松边界值为可随意变动的情况。

这里的问题是： 在b x a ≤≤的区间内，决定一个函数y(x)使泛函⎰'=badx y y x F V ),,( 取驻值由上节的变分过程可知： b a bay yF y d x y F dx d y F V |)]([⎰'∂∂+'∂∂-∂∂=δδδi/ Euler 方程仍必须成立，否则便能找到一个y δ使V δ大于（或等于）零。

在边界值中,y δ 也可任意，故必须有（道理同前）：在x=a 及x=b 处：0='∂∂yF(﹡)ii/ 边界条件（*）是根据取驻点的要求推导出来的，不是事先指定的。

所以，这类条件为自然边界条件。

（或）：在泛函的驻值寻找中，自变函数必须满足的条件（即在满足这些条件的函数中寻找泛函极值）称为基本/本质（Essential ）边界条件；而事先不必考虑，变分的结果自然满足的边界条件称自然边界条件(Natural )。

iii/ 推广至更广泛的一些问题在b x a ≤≤的区间内，决定一个函数y(x)使泛函)()(),,(b Qy a Py dx y y x F V ba++'=⎰取驻值，其中 P , Q 为已知数值。

求V 的变分 设：⎰⎰=='∂∂++'∂∂-+'∂∂-∂∂=++'=ba b x a x bab y yF Q a y y F P ydx y F dx d y F b y Q a y P dx y y x F V )(]|[)(]|[)]([)()(),,(δδδδδδδ道理同前，还可得如下自然边界条件：在 ,a x =P y F ='∂∂ b x =， Q yF-='∂∂ 1.2.3. 泛函的二阶变分如函数的二阶微分用于判定函数驻值性质一样，泛函的二阶变分可用来判定泛函的驻值性质，V ∆的一阶小量部分称为的V 一阶变分，记V δV ∆的二阶小量部分称为的V 二阶变分，记V 2δdx y yF y y F V ][⎰''∂∂+∂∂=δδδNote :)(0)(),,(),,,(='=''∂∂='∂∂'∂∂=∂∂y y y y x y Fy F y y x y F y F δδδδ⎰''∂'∂∂+∂'∂∂+''∂∂∂+∂∂∂=ba dx y y y y Fy y y F y y y y F y y y F V }][]{[22222δδδδδδδ⎰''∂∂+''∂∂∂+∂∂=ba dx y y F y y y y F y y F ])(2)([2222222δδδδ 极值性质结论：0=V δ 02<V δ V 取极大值 0=V δ 02>V δ V 取极小值0=V δ 02≥V δ V 取非极大的驻值（当为多元函数时） 0=V δ 02≤V δ V 取非极小的驻值0=V δ 02><V δ V 取非极值的驻值（不定或等于零）1.2.4. 涉及高阶导数的驻值问题 先考虑下列泛函的驻值问题：(,,,)baV F x y y y dx '''=⎰作法：i/ 求V 的一阶变分，设： dx y y F y y F y y F V ][''''∂∂+''∂∂+∂∂=⎰δδδδ ii/ 利用分步积分把上式第二项化成：b a bab a y y F ydx y F dx d dx y y F |)(⎰⎰'∂∂+'∂∂-=''∂∂δδδ iii/ 连续用两次分步积分，把上式第三项化为：b a bab a y y Fdx y y F dx d dx y y F |)(⎰⎰'''∂∂+'''∂∂-=''''∂∂δδδ⎰'''∂∂+''∂∂-''∂∂=ba ba b a y y F y y F dx d ydx y F dx d ||)()(22δδδ（近似取）代入 V δ式整理得：⎰'''∂∂+''∂∂-'∂∂+''∂∂+'∂∂-∂∂=ba ba b a y y F y y F dx d y F ydx y F dx d y F dx d y F V ||)]([)]()([22δδδδ iv/①由第一项可推出：Euler : 0)()(22=''∂∂+'∂∂-∂∂y Fdx d y F dx d y F否则可找到一个y δ，使V δ的第一次大于（或小于）零。