四川省达州市大竹县文星中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题

四川省大竹县文星中学2015届高三下期期中检测数学（文）试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合M ＝{－1}，N ＝{1＋cos m π4，log 0.2(|m |＋1)}，若M ⊆N ，则集合N 等于( )A ．{2}B ．{－2,2}C ．{0}D ．{－1,0}D因为M ⊆N 且1＋cos m π4≥0，log 0.2(|m |＋1)<0，所以log 0.2(|m |＋1)＝－1，可得|m |＋1＝5，故m ＝±4，N ＝{－1,0}．2．(2015·广州执信中学期中)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．命题“∀x ≥0，x 2＋x －1＜0”的否定是“∃x 0＜0，x 20＋x 0－1＜0”C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题D ．若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题 D“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 错；否命题既否定条件，又否定结论；而命题的否定只否定命题的结论．“∀x ≥0，x 2＋x －1<0”的否定是“∃x 0≥0，使x 20＋x 0－1≥0”，故B 错；命题“若A ，则B ”的逆否命题是“若綈B ，则綈A ”，因此“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为“若sin x ≠sin y ，则x ≠y ”，这是一个真命题；“p ∨q ”为真命题时，p 与q 中至少有一个为真命题，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9的值等于( ) A ．54 B ．45 C ．36 D ．27A∵2a 8＝a 5＋a 11,2a 8＝6＋a 11，∴a 5＝6， ∴S 9＝9a 5＝54.4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )D当几何体上、下两部分都是圆柱时，俯视图为A ；当上部为正四棱柱，下部为圆柱时，俯视图为B ；当几何体的上部为直三棱柱，其底面为直角三角形，下部为正四棱柱时，俯视图为C ；无论何种情形，俯视图不可能为D .5．曲线x 216＋y 212＝1与曲线x 216－k ＋y 212－k ＝1(12<k <16)的( )A ．长轴长与实轴长相等B ．短轴长与虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 C对于椭圆x 216＋y 212＝1，c ＝2，对于双曲线x 216－k －y 2k －12＝1，c 21＝(16－k )＋(k －12)＝4，∴c 1＝2，故选C.6．(2014·绵阳市南山中学检测)在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于1的概率为( )A.49B.13 C.12 D.25A在矩形内取一点Q ，由点Q 分别向AD 、AB 作垂线，垂足依次为E 、F ，由S △ABQ ＝S △ADQ ＝1知，QF ＝1，QE ＝23，设直线EQ 、FQ 分别交BC 、CD 于M 、N ，则当点P 落在矩形QMCN 内时，满足要求，∴所求概率P ＝S 矩形QMCNS 矩形ABCD ＝(3－1)×(2－23)3×2＝49.7．(文)(2015·江西赣州博雅文化学校月考)运行如图的程序框图，则输出s 的结果是( )A.16B.2524 C.34 D.1112B程序运行过程为：开始→s ＝0，n ＝2，n <10成立→s ＝0＋12＝12，n ＝2＋2＝4，n <10成立→s ＝12＋14，n ＝4＋2＝6，n <10成立→s ＝12＋14＋16，n ＝6＋2＝8，n <10成立→s ＝12＋14＋16＋18，n ＝8＋2＝10，n <10不成立，输出s 的值后结束，∴s ＝12＋14＋16＋18＝2524. 8．如图，偶函数f (x )的图象如字母M ，奇函数g (x )的图象如字母N ，若方程f (f (x ))＝0，f (g (x ))＝0的实根个数分别为m 、n ，则m ＋n ＝( )A ．18B ．16C ．14D ．12A由图象知，f (x )＝0有3个根，0，±32，g (x )＝0有3个根，其中一个为0，设与x 轴另两个交点横坐标为±x 0(0<x 0<1)．由f (g (x ))＝0，得g (x )＝0或±32，由图象可知g (x )所对每一个值都能有3个根，因而m ＝9；由g (f (x ))＝0，知f (x )＝0或±x 0，由图象可以看出f (x )＝0有3个根，而f (x )＝x 0有4个根，f (x )＝－x 0只有2个根，加在一起共有9个根，即n ＝9，∴m ＋n ＝9＋9＝18，故选A.9．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点(包括端点)，则AD →·BC →的取值范围是( )A ． B. C ． D.D∵D 是边BC 上的一点(包括端点)，∴可设AD →＝λAB →＋(1－λ)AC →(0≤λ≤1)．∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，∴AB →·AC →＝2×1×cos120°＝－1. ∴AD →·BC →＝·(AC →－AB →)＝(2λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋(1－λ)AC →2 ＝－(2λ－1)－4λ＋1－λ＝－7λ＋2， ∵0≤λ≤1， ∴(－7λ＋2)∈，∴AD →·BC →的取值范围是．故选D.10．在下面四个图中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13B.－13C.73D.－13或53Bf ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，其图象开口向上，故图形不是(2)，(3)；由于a ≠0，故图形不是(1)，∴f ′(x )的图象为(4)，∴f ′(0)＝0，∴a ＝1或－1，由图知a ≠1，∴a ＝－1，∴f (x )＝13x 3－x 2＋1，∴f (－1)＝－13，故选B. 11．函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在的图象大致为()Cf (x )＝(1－cos x )sin x ＝4sin 3x 2cos x2，∵f (π2)＝1，∴排除D ；∵f (x )为奇函数，∴排除B ；∵0<x <π时，f (x )>0，排除A ，故选C.12．(2015·湖北教学合作联考)已知由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －kx ≤2，y －x －4≤0.确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为(1，－2)，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM →·ON →的最小值是( )A ．－8 B.－7 C ．－6 D.－4B依题意，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －4≤0.所表示的平面区域(如图所示)可知其围成的区域是等腰直角三角形，面积为8，由直线y ＝kx ＋2恒过点B (0,2)，且原点的坐标恒满足y －kx ≤2，当k ＝0时，y ≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6<7，由此可得k <0.由⎩⎪⎨⎪⎧y －kx ＝2，y －x －4＝0，可得D (2k －1，4k －2k －1)，依题意应有12×2×|2k －1|＝1，因此k ＝－1(k ＝3舍去)，故有D (－1,3)，设N (x ，y )，故由z ＝OM →·ON →＝x －2y ，可化为y ＝12x －12z ，∵12<1，∴当直线y ＝12x －12z 过点D 时，截距－12z 最大，即z 取得最小值－7，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．若α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则sin α的值为________．3＋226∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3.又∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13>0，∴0<α－π6<π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝32sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋12cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝32×13＋12×223＝3＋226. 14．设等差数列{a n }前n 项和为S n ，若S m －1＝－1，S m ＝0，S m ＋1＝2，则m ＝________. 3解法1：∵等差数列{a n }前n 项和为S n ，满足S m －1＝－1，S m ＝0，S m ＋1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2d ＝－1，ma 1＋m (m －1)2d ＝0，(m ＋1)a 1＋(m ＋1)m 2d ＝2，解得m ＝3.解法2：a m ＝S m －S m －1＝1，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝2，d ＝a m ＋1－a m ＝1， a m ＝a 1＋(m －1)d ＝a 1＋m －1＝1，∴a 1＝2－m ，∴S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝m (2－m )＋m (m －1)2＝0，∴m ＝3.15．点M (x ，y )是不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤3y ≤3x ≤3y表示的平面区域Ω内的一动点，使z ＝y －2x 的值取得最小的点为A (x 0，y 0)，则OM →·OA →(O 为坐标原点)的取值范围是________．作出可行域Ω为如图四边形OBCD 区域，作直线l 0：y －2x ＝0，平移l 0，当平移到经过点B (3，1)时，z 取最小值，∴A 为B 点，即A (3，1)，∵M 在平面区域Ω内运动，|OA →|为定值， OM →·OA →＝|OA →|·(|OM →|·cos 〈OA →，OM →〉)，∴当M 与O (或C )重合时，|OM →|cos 〈OA →，OM →〉取到最小值(或最大值)，且M 与O 重合时，OM →·OA →＝0，M 与C 重合时，OM →·OA →＝(3，3)·(3，1)＝6，∴0≤OM →·OA →≤6.16．给出下列命题(1)对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0； (2)m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件； (3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08；(4) 若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )，则f (2016)＝0. 其中真命题的序号是________．(把所有真命题的序号都填上) (3)(4)(1)“<”的否定应为“≥”，∴(1)错误；(2)两直线互相垂直时，m (m ＋3)－6m ＝0，∴m＝0或m ＝3，因此m ＝3是此二直线垂直的充分不必要条件，故(2)错误；由回归直线过样本点的中心知(3)为真命题；(4)∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的周期函数，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (2016)＝f (4×504)＝f (0)＝0，∴(4)为真命题．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(cos φ，sin φ)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin φ，－cos φ)，其中0<φ<π，且函数f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x 的图象过点(π6，1)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在上的最大值和最小值．(1)∵a ·b ＝cos φcos x ＋sin φsin x ＝cos(φ－x )， b ·c ＝cos x sin φ－sin x cos φ＝sin(φ－x )， ∴f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x ＝cos(φ－x )cos x ＋sin(φ－x )sin x ＝cos(φ－x －x )＝cos(2x －φ)， 即f (x )＝cos(2x －φ)， ∴f (π6)＝cos(π3－φ)＝1，而0<φ<π，∴φ＝π3.(2)由(1)得，f (x )＝cos(2x －π3)，于是g (x )＝cos ， 即g (x )＝cos(x －π3)．当x ∈时，－π3≤x －π3≤π6，所以12≤cos(x －π3)≤1，即当x ＝0时，g (x )取得最小值12，当x ＝π3时，g (x )取得最大值1.18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a >0)，且a 3是6a 1与a 2的等差中项．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . (1)当n ＝1时，S 1＝a (S 1－a 1＋1)，∴a 1＝a .当n ≥2时，S n ＝a (S n －a n ＋1)① S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)② ①－②得，∴a n ＝a ×a n －1， 即a na n －1＝a ， 故数列{a n }是首项为a 1＝a ，公比为a 的等比数列， ∴a n ＝a ×a n －1＝a n ，故a 2＝a 2，a 3＝a 3，由a 3是6a 1与a 2的等差中项可得2a 3＝6a 1＋a 2，即2a 3＝6a ＋a 2， 因为a >0，所以2a 2－a －6＝0，即(2a ＋3)(a －2)＝0， 解得a ＝2或a ＝－32(舍去)．∴a ＝2. 故a n ＝2n .(2)把a n ＝2n 代入b n ＝a n log 2a n ，得b n ＝2n log 22n ＝n ·2n ， ∴T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，① ∴2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，②①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴T n ＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n －1)·2n ＋1＋2.19．(本小题满分12分)已知几何体A －BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A －BCED 的体积为16.(1)求实数a 的值；(2)将直角三角形△ABD 绕斜边AD 旋转一周，求该旋转体的表面积．(1)由该几何体的三视图知AC ⊥平面BCED ，且EC ＝BC ＝AC ＝4，BD ＝a ，体积V ＝13×4×(a ＋4)×42＝16，∴a ＝2.(2)在Rt △ABD 中，AB ＝42，BD ＝2，∴AD ＝6， 过B 作AD 的垂线BH ，垂足为H ，易得BH ＝423，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为BH ＝423，所以圆锥底面周长为C ＝2π·423＝82π3，两个圆锥的母线长分别为42和2，故该旋转体的表面积为S ＝12×82π3(2＋42)＝(32＋82)π3.20．(本小题满分12分) 某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：(1)试分析估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.参考数据：(1)甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.(2)因为K 2＝100×(30×25－20×25)50×50×55×45＝10099≈1.010， 所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －a x. (1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性；(2)若f (x )在上的最小值为32，求a 的值； (3)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．(1)由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a x2，a >0， ∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)由(1)可知，f ′(x )＝x ＋a x 2. ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在上恒成立，此时f (x )在上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去)． ②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在上恒成立，此时f (x )在上为减函数．∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，∴a ＝－e 2(舍去)， ③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0得x ＝－a ，当1<x <－a 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1，－a )上为减函数；当－a <x <e 时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－a ，e)上为增函数，∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，∴a ＝－ e. 综上所述，a ＝－ e.(3)∵f (x )<x 2，∴ln x －a x<x 2. 又x >0，∴a >x ln x －x 3，令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2，h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x. ∵x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数． ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0，∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数．g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立．22．(本小题满分14分)已知椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点到两焦点F 1，F 2距离之和为23，离心率为33，动点P 在直线x ＝3上，过F 2作直线PF 2的垂线l ，设l 交椭圆于Q 点． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值．(1)由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝23，e ＝c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2.解得：a ＝3，c ＝1，b ＝2，所以椭圆E 的方程为：x 23＋y 22＝1.(2)设P (3，y 0)，Q (x 1，y 1)，∵PF 2⊥F 2Q ，∴PF 2→·F 2Q →＝0，∴2(x 1－1)＋y 0y 1＝0，又∵y 21＝2(1－x 213)， ∴k PQ k OQ ＝y 1x 1·y 1－y 0x 1－3＝y 21－y 1y 0x 21－3x 1＝2(1－x 213)＋2(x 1－1)x 21－3x 1＝23(3x 1－x 21)x 21－3x 1＝－23.。

四川省大竹县文星中学2015年春高一下期4月月考数学试卷时间:120分钟;满分:150分第I 卷（选择题）一、单项选择：共12题 每题5分 共60分1.已知A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，定义集合A ，B 间的运算A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则集合A *B 等于( )A ．{1,2,3}B ．{2,3}C ．{1,3}D ．{2} 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1 (x ≤－1)x 2 (－1<x <2)2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值为( ) A ．2B ．2或32C ．±3 D. 33.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1六个面中，与面ABCD 垂直的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1x 2＋ax ，x ≥1，若f ＝4a ，则实数a 等于( ) A.12B ．45C ．2D ．95. 4．下列命题中，真命题是( ) A ．顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B ．底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C ．底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥D ．底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥6. 两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是( )A ．1B ．7C ．3或4D ．1或77. 水平放置的矩形ABCD 长AB ＝4，宽BC ＝2，以AB 、AD 为轴作出斜二测直观图A ′B ′C ′D ′，则四边形A ′B ′C ′D ′的面积为 ( )A ．4 2B ．2 2C ．4D ．28. 设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线的长度为5，体积为2，则1a ＋1b ＋1c等于( ) A.114 B.411 C.112 D.2119. 若直线l 1：y ＋1＝k (x ＋1)和直线l 2关于直线y ＝x ＋1对称，那么直线l 2恒过定点( )A ．(2,0)B ．(1，－1)C ．(1,1)D ．(－2,0)10.设m >0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切 11. 函数f (x )＝log2(－x 2＋1)的单调递增区间为( ) A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－1,00,1)12. 已知圆x 2＋y 2－2x ＋my ＝0上任意一点M 关于直线x ＋y ＝0的对称点N 也在圆上，则m 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2第II 卷（选择题）二、填空题:共4题 每题5分 共20分13. 一棱柱有10个顶点，侧棱长相等，且所有侧棱长的和为100，则其侧棱长为________．14.Rt △ABC 所在平面α外一点P 到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是610，那么点P 到平面α的距离等于__________．15. 直线l ：4x －3y ＋12＝0与两坐标轴相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为__________．16．下列关于长方体的说法中，正确的是________．①长方体中有3组对面互相平行；②长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AB 垂直的只有棱AD 、BC 和AA 1；③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；④长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1、BB 1、CC 1、DD 1平行且相等．三、解答题17. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点，如图所示．(1)求证：E 、F 、B 、D 四点共面；(2)求证：平面AMN ∥平面EFBD .18. 已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线BC 的方程．19. 如图所示，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．(1)若BM MA ＝BN NC，求证：无论点P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊥MN ； (2)棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．20. 已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)当实数t 变化时，求其中面积最大的圆的方程．21. 已知函数f (x )＝lg(m x －2x )(0<m <1)．(1)当m ＝12时，求f (x )的定义域； (2)试判断函数f (x )在区间(－∞，0)上的单调性并给出证明；(3)若f (x )在(－∞，－1g (x 2)g (x 1)上也为减函数，∴f (x )在(－∞，－1上恒取正值， 只需f (－1)＝lg(m －1－2－1)>0，即m －1－2－1>1，∴1m >1＋12＝32， ∵0<m <1，∴0<m <23. 22. ⊙C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心C (－1,2)，半径r ＝2.(1)若切线过原点设为y ＝kx ， 则|－k －2|1＋k 2＝2，∴k ＝0或43. 若切线不过原点，设为x ＋y ＝a ， 则|－1＋2－a |2＝2，∴a ＝1±22， ∴切线方程为：y ＝0，y ＝43x ， x ＋y ＝1＋22和x ＋y ＝1－2 2.(2)x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝x 20＋y 20， ∴2x 0－4y 0＋1＝0，|PM |＝x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝5y 20－2y 0＋14 ∵P 在⊙C 外，∴(x 0＋1)2＋(y 0－2)2>4，将x 0＝2y 0－12代入得5y 20－2y 0＋14>0， ∴|PM |min ＝510.此时P ⎝⎛⎭⎫－110，15.。

2014-2015学年四川省达州市大竹县文星中学高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合M＝{﹣1}，N＝{1+cos，log0.2（|m|+1）}，若M⊆N，则集合N等于（）A．{2}B．{﹣2，2}C．{0}D．{﹣1，0} 2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．命题“∀x≥0，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x0＜0，x02+x0﹣1≥0”C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为假命题D．若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8＝6+a11，则S9的值等于（）A．54B．45C．36D．274．（5分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．5．（5分）曲线+＝1与曲线+＝1（12＜k＜16）的（）A．长轴长与实轴长相等B．短轴长与虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等6．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于1的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）运行如图的程序框图，则输出s的结果是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，偶函数f（x）的图象形如字母M（图1），奇函数g（x）的图象形如字母N（图2），若方程f（g（x））＝0．g（f（x））＝0的实根个数分别为a，b，则a+b＝（）A．18B．21C．24D．279．（5分）△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]10．（5分）下面四个图象中，有一个是函数f（x）＝x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R）的导函数y＝f'（x）的图象，则f（﹣1）等于（）A．B．﹣C．D．﹣或11．（5分）函数f（x）＝（1﹣cos x）sin x在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）已知由不等式组，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M的坐标为（1，﹣2），若N∈Ω，O为坐标原点，则的最小值是（）A．﹣8B．﹣7C．﹣6D．﹣4二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．）13．（4分）若α为锐角，且sin（α﹣）＝，则sinα的值为．14．（4分）设等差数列{a n}前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣1，S m＝0，S m+1＝2，则m＝．15．（4分）点M（x，y）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，使Z＝y﹣2x的值取得最小的点为A（x0，y0），则（O为坐标原点）的取值范围是．16．（4分）给出下列命题（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0；（2）m＝3是直线（m+3）x+my﹣2＝0与直线mx﹣6y+5＝0互相垂直的充要条件；（3）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为＝1.23x+0.08；（4）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）＝f（x），则f（2016）＝0．其中真命题的序号是．（把所有真命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知平面向量＝（cosφ，sinφ），＝（cos x，sin x），＝（sinφ，﹣cosφ），其中0＜φ＜π，且函数f（x）＝（•）cos x+（•）sin x的图象过点（，1）．（1）求φ的值；（2）将函数y＝f（x）图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在[0，]上的最大值和最小值．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n+1＝2S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的各项均为正数，且b n是与的等比中项，求b n的前n 项和T n．19．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．20．（12分）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：（Ⅰ）打满4局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ．21．（12分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）＝0，导函数f′（x）＝，g（x）＝f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．22．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k2的值．2014-2015学年四川省达州市大竹县文星中学高三（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合M＝{﹣1}，N＝{1+cos，log0.2（|m|+1）}，若M⊆N，则集合N等于（）A．{2}B．{﹣2，2}C．{0}D．{﹣1，0}【解答】解：∵集合M＝{﹣1}，N＝{1+cos，log0.2（|m|+1）}，且M⊆N，∴﹣1∈N；∴选项D满足条件．故选：D．2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．命题“∀x≥0，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x0＜0，x02+x0﹣1≥0”C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为假命题D．若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题【解答】解：对于A：否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；对于B：否定是“∃x0≥0，x02+x0﹣1≥0”，故B错误；对于C：逆否命题为：若“sin x≠sin y，则x≠y”，是真命题，故C错误；A，B，C，都错误，故D正确，故选：D．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8＝6+a11，则S9的值等于（）A．54B．45C．36D．27【解答】解：∵2a8＝a11+6由等差数列的性质可得，2a8＝a11+a5＝a11+6从而可得，a5＝6由等差数列的前n项和可得，故选：A．4．（5分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为C；若俯视图为D，则正视图中上图中间还有一条虚线，故该几何体的俯视图不可能是D故选：D．5．（5分）曲线+＝1与曲线+＝1（12＜k＜16）的（）A．长轴长与实轴长相等B．短轴长与虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【解答】解：曲线+＝1是焦点在x轴上的椭圆，半焦距＝2．曲线+＝1（12＜k＜16）表示焦点在x轴上的双曲线，半焦距c2＝＝2．∴两曲线的焦距相等．故选：C．6．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于1，＝AB×h＝h，由于S△ABP则三角形的高要h≥1，高即为P点到AB的距离要不小于1，同样，P点到AD的距离要不小于，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是2×＝，∴概率为＝．故选：A．7．（5分）运行如图的程序框图，则输出s的结果是（）A．B．C．D．【解答】解：当n＝2时，满足进入循环的条件，执行循环体后，S＝，n＝4；当n＝4时，满足进入循环的条件，执行循环体后，S＝，n＝6；当n＝6时，满足进入循环的条件，执行循环体后，S＝，n＝8；当n＝8时，满足进入循环的条件，执行循环体后，S＝，n＝10；当n＝10时，不满足进入循环的条件，故输出的S值为，故选：B．8．（5分）如图，偶函数f（x）的图象形如字母M（图1），奇函数g（x）的图象形如字母N（图2），若方程f（g（x））＝0．g（f（x））＝0的实根个数分别为a，b，则a+b＝（）A．18B．21C．24D．27【解答】解：由图象知，f（x）＝0有3个根，0，±，g（x）＝0有3个根，0，±（假设与x轴交点横坐标为±），由f（g（x））＝0，得g（x）＝0或±，由图象可知g（x）所对每一个值都能有3个根，因而a＝9；由g（f（x））＝0，知f（x）＝0 或±，由图象可可以看出0时对应有3个根，而时有4个，而﹣时只有2个，加在一起也是9个，即b＝9，∴a+b＝9+9＝18，故选：A．9．（5分）△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]【解答】解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设＝+（0≤λ≤1）．∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，∴＝2×1×cos120°＝﹣1．∴•＝[+]•＝﹣+＝﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ＝﹣7λ+2．∵0≤λ≤1，∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]．∴•的取值范围是[﹣5，2]．故选：D．10．（5分）下面四个图象中，有一个是函数f（x）＝x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R）的导函数y＝f'（x）的图象，则f（﹣1）等于（）A．B．﹣C．D．﹣或【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）＝x2+2ax+（a2﹣1）＝（x+a）2﹣1，则f′（x）的图象开口向上，排除（2）（4），若是（1）则，对称轴关于y轴对称，则2a＝0，即a＝0，f（x）＝x3﹣x+1，∴f（﹣1）＝﹣+1+1＝，若对应的图象应为（3），则函数过原点，a2﹣1＝0，解得a＝1，或a＝﹣1且对称轴x＝﹣a＞0，即a＜0，∴a＝﹣1∴f（x）＝x3﹣x2+1，∴f（﹣1）＝﹣﹣1+1＝﹣，故选：D．11．（5分）函数f（x）＝（1﹣cos x）sin x在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：f（﹣x）＝（1﹣cos x）sin（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故可排除B，又因为当x∈（0，π）时，1﹣cos x＞0，sin x＞0，故f（x）＞0，可排除A，又f′（x）＝（1﹣cos x）′sin x+（1﹣cos x）（sin x）′＝sin2x+cos x﹣cos2x＝cos x﹣cos2x，故可得f′（0）＝0，可排除D，故选：C．12．（5分）已知由不等式组，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M的坐标为（1，﹣2），若N∈Ω，O为坐标原点，则的最小值是（）A．﹣8B．﹣7C．﹣6D．﹣4【解答】解：依题意画出不等式组所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线y＝kx+2恒过点B（0，2），且原点的坐标恒满足y﹣kx≤2，当k＝0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6＜7，由此可得k＜0．由可得，依题意应有，因此k＝﹣1（k＝3，舍去）．故有D（﹣1，3），设N（x，y），由，可化为，∵，∴当直线过点D时，截距最大，即z取得最小值﹣7．故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．）13．（4分）若α为锐角，且sin（α﹣）＝，则sinα的值为．【解答】解：∵α为锐角，∴α﹣∈（，），又∵sin（α﹣）＝，∴cos（α﹣）＝＝，∴sinα＝sin[（α﹣）+]＝sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin＝＝故答案为：．14．（4分）设等差数列{a n}前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣1，S m＝0，S m+1＝2，则m＝3．【解答】解：解法一：∵等差数列{a n}前n项和为S n，满足S m﹣1＝﹣1，S m＝0，S m+1＝2，∴，解得m＝3．解法二：由等差数列的性质可得：为等差数列，∴2×＝+，解得m＝3．＝2，a m+1＝S m+1﹣S m＝3，解法三：a m＝S m﹣S m﹣1所以公差d＝a m+1﹣a m＝1，S m＝＝0，得a1＝﹣2，所以a m＝﹣2+（m﹣1）•1＝2，解得m＝5，故答案为3．15．（4分）点M（x，y）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，使Z＝y﹣2x的值取得最小的点为A（x0，y0），则（O为坐标原点）的取值范围是[0，6]．【解答】解：满足约束条件的平面区域Ω如下图所示：由图可知，当x＝，y＝1时，Z＝y﹣2x取得最小值1﹣2故＝（，1）设＝（x，y）则＝x+y，则当M与O重合时，取最小值0；当M点坐标为（，3）时，取最大值6故则（O为坐标原点）的取值范围是[0，6]故答案为：[0，6]16．（4分）给出下列命题（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0；（2）m＝3是直线（m+3）x+my﹣2＝0与直线mx﹣6y+5＝0互相垂直的充要条件；（3）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为＝1.23x+0.08；（4）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）＝f（x），则f（2016）＝0．其中真命题的序号是（3）（4）．（把所有真命题的序号都填上）【解答】解：（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故（1）错误；（2）由m＝3，得两直线分别为6x+3y﹣2＝0和3x﹣6y+5＝0，两直线斜率互为负倒数，两直线垂直，由直线（m+3）x+my﹣2＝0与直线mx﹣6y+5＝0互相垂直，也可能m＝0，∴m ＝3是直线（m+3）x+my﹣2＝0与直线mx﹣6y+5＝0互相垂直的充分不必要条件，故（2）错误；（3）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，则回归直线方程为＝1.23x+a，代入样本点的中心（4，5），得a＝0.08，则回归直线方程为＝1.23x+0.08，故（3）正确；（4）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）＝f（x），则f（2016）＝f（504×4+0）＝f（0）＝0，故（4）正确．故答案为：（3）（4）．三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知平面向量＝（cosφ，sinφ），＝（cos x，sin x），＝（sinφ，﹣cosφ），其中0＜φ＜π，且函数f（x）＝（•）cos x+（•）sin x的图象过点（，1）．（1）求φ的值；（2）将函数y＝f（x）图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵…（1分）…（2分）∴f（x）＝（＝cos（φ﹣x）cos x+sin（φ﹣x）sin x＝cos（φ﹣x﹣x）＝cos（2x﹣φ），…（4分）即f（x）＝cos（2x﹣φ）∴f（﹣φ）＝1，而0＜φ＜π，∴φ＝．…（6分）（2）由（1）得，f（x）＝cos（2x﹣），于是g（x）＝cos（2（），即g（x）＝cos（x﹣）．…（9分）当x∈[0，]时，﹣，所以）≤1，…（11分）即当x＝0时，g（x）取得最小值，当x＝时，g（x）取得最大值1．…（12分）18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n+1＝2S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的各项均为正数，且b n是与的等比中项，求b n的前n 项和T n．【解答】解：（1）由a n+1＝2S n+2，得a n＝2S n﹣1+2（n≥2），）＝2a n，两式作差得：a n+1﹣a n＝2（S n﹣S n﹣1即．又a2＝2S1+2＝2a1+2＝6，∴．∴数列{a n}是以2为首项，以3为公比的等比数列．则；（2）∵数列{b n}的各项均为正数，且b n是与的等比中项，∴，．∴．．作差得：＝＝．∴．19．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．【解答】解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC＝BC＝AC＝4，BD＝a，体积V＝＝16，解得a＝2；（2）在RT△ABD中，，BD＝2，AD＝6，过B作AD的垂线BH，垂足为H，得，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为，所以圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，故该旋转体的表面积为．20．（12分）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：（Ⅰ）打满4局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ．【解答】（本小题满分14分）解：令A k ，B k ，∁k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知， 打满4局比赛还未停止的概率为： P （A 1C 2B 3A 4）+P （B 1C 2A 3B 4）＝＝．…（6分） （各3分）（Ⅱ）由题设知ξ的所有可能值为2，3，4，5，6， 且P （ξ＝2）＝P （A 1A 2）+P （B 1B 2）＝＝，P （ξ＝3）＝P （A 1C 2C 3）+P （B 1C 2C 3）＝＝，P （ξ＝4）＝P （A 1C 2B 3B 4）+P （B 1C 2A 3A 4）＝＝，P （ξ＝5）＝P （A 1C 2B 3A 4A 5）+P （B 1C 2A 3B 4B 5）＝＝，P （ξ＝6）＝P （A 1C 2B 3A 4C 5）+P （B 1C 2A 3B 4C 5）＝＝，…（11分）故ξ的布列为∴E ξ＝＝．…（14分）21．（12分）设函数f （x ）定义在（0，+∞）上，f （1）＝0，导函数f ′（x ）＝，g （x ）＝f （x ）+f ′（x ）． （Ⅰ）求g （x ）的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论g （x ）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x 0＞0，使得|g （x ）﹣g （x 0）|＜对任意x ＞0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题设易知f （x ）＝lnx ，g （x ）＝lnx +， ∴g ′（x ）＝，令g ′（x ）＝0，得x ＝1，当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，故g （x ）的单调递减区间是（0，1），当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区间是（1，+∞），因此x＝1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，∴最小值为g（1）＝1；（Ⅱ）＝﹣lnx+x，设h（x）＝g（x）﹣＝2lnx﹣x+，则h′（x）＝，当x＝1时，h（1）＝0，即g（x）＝，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）＝0，因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）＝0，即g（x）＞，当x＞1，时，h（x）＜h（1）＝0，即g（x）＜，（Ⅲ）满足条件的x0 不存在．证明如下：证法一假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0，有，（*）但对上述x0，取时，有lnx1＝g（x0），这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．证法二假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜成立．由（Ⅰ）知，的最小值为g（1）＝1．又＞lnx，而x＞1 时，lnx的值域为（0，+∞），∴x≥1 时，g（x）的值域为[1，+∞），从而可取一个x1＞1，使g（x1）≥g（x0）+1，即g（x1）﹣g（x0）≥1，故|g（x1）﹣g（x0）|≥1＞，与假设矛盾．∴不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．22．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k2的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，．…（2分）解得，…（4分）所以b2＝a2﹣c2＝1，椭圆的方程为．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得过B点的直线为y＝kx+1，由得（4k2+1）x2+8kx＝0，…（6分）所以，所以，…（8分）依题意k≠0，．因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，所以|BE|2＝|BD||DE|，…（9分）所以b2＝（1﹣y D）|y D|，即（1﹣y D）|y D|＝1，…（10分）当y D＞0时，y D2﹣y D+1＝0，无解，…（11分）当y D＜0时，y D2﹣y D﹣1＝0，解得，…（12分）所以，解得，所以，当|BD|，|BE|，|DE|成等比数列时，．…（14分）。

四川省大竹县文星中学2015-2016学年高一12月月考数学试题一、单选题1．已知集合,集合,则A. B. C. D.2．函数的定义域为A. B. C. D.3．已知函数,其定义域是,则下列说法正确的是A.有最大值,无最小值B.有最大值,最小值C.有最大值,无最小值D.有最大值,最小值4．设,则二次函数的图象可能是A. B.C. D.5．已知函数为偶函数,那么在上是A.单调递增函数B.单调递减函数C.先减后增函数D.先增后减函数6．偶函数在区间上单调递减,则有A. B.C. D.7．若,,则A. B. C. D.8．已知函数和均为奇函数,在区间上有最大值5,那么在上的最小值为A.-5B.-9C.-7D.-19．下列哪组中的函数与是同一函数A.B.C.D.10．若,则不等式的解集是A. B. C. D.11．函数的大致图象是12．已知函数与函数的图象关于直线对称,函数的图象与的图象关于轴对称,若,则实数的值为A. B. C. D.二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数,当0x >时,,那么0x <时, . 14．设为常数且,是定义在上的奇函数,当时,,若对一切都成立,则的取值范围为_____________________. 15．已知奇函数在区间上是单调递增函数,且在区间上的最大值为8,最小值为,则16．设全集集合则___________.三、解答题17．计算下列各式的值:(1);(2).18．已知函数.(1)判断的奇偶性,并证明; (2)求使的的取值范围.19．某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车,已知该车每次拖4节车厢,一天能往返16次,如果每次拖7节车厢,则每天能往返10次.(注明：往、返各算一次)(1)若每天往返的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式;(2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人,问这列火车每天往返多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.20．设函数满足:①对任意实数都有;②对任意,都有恒成立;③不恒为0,且当时,.(1)求,的值;(2)判断函数的奇偶性,并给出你的证明;(3)定义: “若存在非零常数T,使得对函数定义域中的任意一个,均有,则称为以T为周期的周期函数”.试证明:函数为周期函数,并求出的值.21．已知.(1)当时，求;(2)若，求实数的取值范围.22．已知函数.(1)若为奇函数,求的值;(2)若在内有意义,求的取值范围;(3)在(2)的条件下,判断并证明的单调性.参考答案1-5 BBADA 6-10 ADBCA 11-12 BC13. 21x x-++14.15. －1516.17. (1)原式314242314113 [()]1(3)813.2(2)22 -=-+-=++-=-(2)原式239log(28)323 1.32=⨯⨯-=-=-18. (1)由,得.故的定义域为.∵∴是奇函数.(2)当时,由,得,所以,当时,由,得,所以故当时,的取值范围是;当时,的取值范围是.19. (1)设每天往返y次,每次挂x节车厢,由题意y=kx+b,当x=4时,y=16,当x=7时,y=10,得到16=4k+b,10=7k+b.解得:k=-2,b=24,∴y=-2x+24(2)设每天往返y次,每次挂x节车厢,由题意知,每天挂车厢最多时,运营人数最多,设每天运营S节车厢,则S=xy=x(-2x+24)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,所以当x=6时,S ma x=72,此时y=12,则每日最多运营人数为110×72=7920(人).答:这列火车每天往返12次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数为7920人.20. 解：(1)由于不恒为0,故存在,使,令,则,所以,令,由并令得:,结合以上结果可得又令(因为)所以,,故;(2)令,得:,以及有即有,即有为偶函数;(3)由并取得,又为偶函数, 则,即是以2为周期的周期函数;令,再令.而,解得,,由得,,所以又由于是以2为周期的周期函数,21(1)当时,; 因为,所以.(2)因为所以因为, 所以或.当时,,所以; 当时,或; 所以综上,或.22.(1)∵为奇函数，∴，∴a=1．(2)若在内恒有意义，则在上恒成立;而x+1＞0，∴＞0，∴在上恒成立，∴a＞5;(3)当a＞5时，在定义域上为减函数;由得定义域为(﹣1，a)．令﹣1＜＜＜a，由于﹣=,∵﹣1＜＜＜a，∴a﹣＞a﹣＞0，1+＞1+＞0，∴, 即，即;所以﹣＞0，即;∴在(﹣1，a)为减函数．。