舒城中学2018届高三仿真试题（三）理科数学命题： 审题：时间：120分钟 分值：150分注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡相应的位置.3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R U =,{}022≤--=x x x A ，{}12<-=x x B ，则=⋃B A C U )(（ ）A ．()3,∞-B ．()32，C ．[)+∞-,1D ．1,2]（ 2.已知复数i a z 5-=在复平面上对应的点在直线520x y +=上，则复数zi25+=（ ） A ．B ．1-C ．i -D ． 3.下列说法正确的是（ ）A ．命题1sin :≤∈∀x R x p ，的否定为1sin >∈∀x R x ，B.CD4.已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组：（）08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 7740243236 00210 45521 64237 29148 66252 36936 8720376621 13990 68514 14225 46427 56788 96297 78822已知甲班有60位同学,编号为01-60号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，由于样本容量小于99，所以只用随机数表中每组数字的后两位，得到下列四组数据，则抽到的4位同学的编号不可能是（）A. 08,01,51,27B. 27,02,52,25C. 15,27,18,74D. 14,22,54,275.（）A B C D6. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.7.若θθπθ2sin 3)4cos(2cos 2=+，则=θ2sin（ ） A ．31-B ．32-C ．31 D ．32 8.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤02012y x y x ，若my x z +=的最大值为10，则=m（ ） A ．B ．2C ．D ．49.在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．10.在正三棱锥ABC S -中，34=SA ，6=AB ，现有一球与三棱锥ABC S -相切，则该球的半径为（ ）A.2113-B.34-C. 4D.34+11.已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,1P 在抛物线)0(2:2>=p px y E的准线上，过点P 作抛物线的切线，若切点A 在第一象限F 是抛物线的焦点，点M 在直线AF 上，点N 在圆1)2()2(:22=+++y x C 上，则MN 的最小值为（ ） 舒中高三仿真理数 第2页 (共6页)是①否）ABCD第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.14.2046，则条件①可以为_________.15._________.16._________.三、解答题：共70分。
舒城中学2018届高三仿真试题（三）理科数学命题： 审题：时间：120分钟 分值：150分注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡相应的位置.3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R U =,{}022≤--=x x x A ，{}12<-=x x B ，则=⋃B A C U )(（ ）A ．()3,∞-B ．()32，C ．[)+∞-,1D ．1,2]（ 2.已知复数i a z 5-=在复平面上对应的点在直线520x y +=上，则复数zi25+=（ ） A ．B ．1-C ．i -D ．3.下列说法正确的是（ ）A ．命题1sin :≤∈∀x R x p ，的否定为1sin >∈∀x R x ， B ．设”则“b a R b a 22log log ,,>∈是“12>-ba ”的充要条件.C ．若命题q p ∧为假命题，则q p ,都是假命题D ．命题“若2320,1x x x -+==则”的逆否命题为“若21320xx x ≠-+≠，则” 4.已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组：（ ）08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 77402 43236 00210 45521 64237 29148 66252 36936 87203 76621 13990 68514 14225 46427 56788 96297 78822已知甲班有60位同学,编号为01-60号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，由于样本容量小于99，所以只用随机数表中每组数字的后两位，得到下列四组数据，则抽到的4位同学的编号不可能是（ ） A. 08,01,51,27B. 27,02,52,25C. 15,27,18,74D. 14,22,54,275.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则mm m m m S S S S S 232,,--的公差为（ ） A ．dB ．mdC ．d m 2D ．md6. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ） A.32 B. 34C. 38D. 47.若θθπθ2sin 3)4cos(2cos 2=+，则=θ2sin （ ）A ．31-B ．32-C ．31D ．32 8.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤02012y x y x ，若my x z +=的最大值为10，则=m（ ） A ．B ．2C ．D ．49.在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（）A ．B ．C ．D ．正视图 侧视图俯视图10.在正三棱锥ABC S -中，34=SA ，6=AB ，现有一球与三棱锥ABC S -各条棱都相切，则该球的半径为（ ） A.2113-B.34-C. 4D.34+11.已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,1P 在抛物线)0(2:2>=p px y E的准线上，过点P 作抛物线的切线，若切点A 在第一象限，F 是抛物线的焦点，点M 在直线AF 上，点N 在圆1)2()2(:22=+++y x C 上，则MN 的最小值为（ ）A.B.C.D.1-12.我市某高中学生足球队假期集训，集训前共有6个足球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．则第二次训练时恰好取到一个新球的概率（ ）A .B .7533C .7538D .53 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.设向量(2,1)=-a ，(,3)m +=-a b ，(3,1)=c ，若()+⊥a b c ，则c o s ,<>=ab ______. 14.如图所示的程序框图输出的S 是2046，则条件①可以为_________. 曲线Γ的渐近线分别交于B A ,两点，其中点A 在第二象限，若AB AF 23=，则双曲线Γ的离心率为_________.16.已知R n m ∈,，且22=+n m ，则1222+⋅+⋅n m n m 的最小值为_________. 舒中高三仿真理数 第2页 (共6页)三、解答题：共70分。
安徽省六安市第一中学2016届高三数学下学期第三次模拟考试试卷理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}01≥-=x x x M ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫⎝⎛==0,21x y y N x，则M N ⋂= （ ） A ．[]0,1 B ．{}0 C ．()0,1 D ．(]0,1 【答案】C 【解析】试题分析：{}10<≤=x x M ，{}10≤<=y y N ，{}10<<=x x N M I ，故选C. 考点：集合的运算 2.已知复数21iz i-=+（i 为虚数单位），则复数z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.3.下列函数中，既是偶函数，又在区间()5,3--内单调递增的为（ ）A ．2223y x x =-- B ．2xy = C ．2x xe e y --= D ．13log y x =【答案】D 【解析】试题分析：A.不是偶函数；B.是偶函数，但在()3-5-，内是单调递减函数；C.奇函数，D.偶函数，并且满足在()3-5-，内单调递增，故选D. 考点：函数的性质 4.若随机变量()2~,Z Nμσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()28P x <<=（ ）A ．0.8185B ．0.6826C ．0.9544D ．0.2718 【答案】A考点：正态分布5.已知双曲线M2，则双曲线M 的标准方程可以是 （ ）A ．22144x y -=B ．22124y x -=C ．22214x y -= D ．22142y x -= 【答案】B 【解析】试题分析：焦点在x 轴时，渐近线方程0=±ay bx ，()0,c F ，焦点到渐近线的距离222==+=b b a bcd ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==22232cb a ac b ，解得4,222==b a ，即方程是14222=-x y ，若焦点在y 轴方程就是14222=-y x ，故选B. 考点：双曲线标准方程6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足数列{}2na 是等比数列，若23201410094=++a a a ，则2017S 的值是 （ ） A ．20172B ．1008C ．2015D ．2016 【答案】A考点：等差数列的性质7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5-，则判断框中可以填入的条件为（ ）A ．10?z >B ．10?z ≤C ．20?z >D ．20?z ≤ 【答案】D 【解析】试题分析：321,2,1=+===z y x ，满足条件，532,3,2=+===z y x ，满足条件，853,5,3=+===z y x ，满足条件，1385,8,5=+===z y x 满足条件，21138,13,8=+===z y x ，有题意，此时该不满足条件，推出循环，输出5138-=-=-y x ，所以判断框内可填入的条件是20≤z ?,故选D.考点：循环结构8.设2000:,20,:p x R x x m q ∃∈-+->函数()3212413f x x x mx =-++在R 内是增函数，则p ⌝是q 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：0:>∆p ，04-4>m ，解得：1<m ；()m x x x f q 44:2+-='，01616≤-=∆m ，解得：1≥m ，1:≥⌝m p ，根据两个集合相等，即p ⌝是q 的充要条件，故选C. 考点：命题9.函数()y g x =的图像是由函数()sin 23cos 2f x x x =-的图像向左平移6π个单位而得到的，则函数()y g x =的图像与直线20,,3x x x π==轴围成的封闭图形的面积为 （ ） A ．0 B ．32 C ．2 D ．52【答案】D考点：1.三角函数图像变换；2.定积分.10.某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图的矩形1111O A B C 如图②，其中11116,2,O A O C ==则该几何体的体积为 （ ）A ．162B ．2C ．32D ．64 【答案】B考点：1.三视图；2.斜二测画法.【方法点睛】本题主要考察了几何体的体积以及斜二测画法下的直观图，属于基础题型，根据图形可得该几何体是四棱锥，并且高等于4，所以重点转化为求底面面积，而在斜二测画法下，42=实际直观图S S ，这样根据直观图的面积，可以直接求实际图形的面积. 11.抛物线2:8C x y =的准线与y 轴交于点A ，焦点为F ，点P 是抛物线C 上的任意一点，令PAt PF=，当t 取得最大值时，直线PA 的斜率是 （ ） A ．1 B ．1± C ．2± D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：如图，抛物线上一点到焦点的距离等于抛物线上一点到准线的距离，根据抛物线的对称性，所以设点P 在第一象限PABPBPA PFPA t ∠===sin 1,当PAB ∠最小时，t 最大，所以当直线AP 与抛物线相切时，PAB ∠最小，设直线AP ：2-=kx y 与抛物线方程联立，01682=+-kx x ，064642=-=∆k ，解得1±=k ，故选B.考点：抛物线的几何性质【一题多解】本题主要考察了抛物线的几何性质，属于中档题型，抛物线有一条重要的性质：抛物线上任意一点到焦点的距离和其到准线的距离相等，这样就将到焦点的距离转化为到准线的距离，根据数形结合，可得本题就是求过点A 的抛物线的切线的斜率，法一，可以设直线，与抛物线联立方程，令0=∆，求斜率，或者设切点()00,y x P ，根据()0x f k PA '=，求切点，再求切线的斜率.12.已知定义域为R 的函数满足一下条件：①()()2,68x R f x x g x ∀∈-+-=；②()()2g x g x =+；③当[]2,3x ∈时，()221218g x x x =-+-.若方程()()a log 1g x x =+在区间()0,+∞内至少有4个不等的实根，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．50,5⎛ ⎝⎭【答案】D25log -=a ，解得55=a ，若要多于4个交点时，550<<a ，故选D.考点：1.函数的性质；2.函数图像的应用.【思路点睛】本题综合的考察了函数的性质与函数图像的应用，属于中档题型，本题的出题意图比较明显，最终转化为熟悉的两个函数的交点问题的题型，条件②③比较好理解，但对于条件①()()2,68x R f x x g x ∀∈-+-=的转化，因为()1386-22+--=-+x x x ，关于3=x 对称，所以满足()()x g x g -=+33，即转化为()x g 关于3=x 对称，这样本题的难点就突破了.谨记函数有关对称性的常用公式，若对于R x ∈∀，函数()x f y =满足：①()()x a f x a f -=+或()()x f x a f =-2，说明函数关于a x =对称，②()()x b f x a f -=+说明函数关于2ba x +=对称，③若满足()()x a f x a f --=+或()()x f x a f -=-2，都说明函数关于()0,a 对称.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等腰ABC Rt ∆的斜边2=BC ，则()AB AC BC BC BA +•+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.【答案】1考点：向量的运算14.将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配方法总数为a ，则二项式5313⎪⎭⎫⎝⎛-xax的展开式中含x项的系数为（用数字作答）.【答案】25-考点：1.二项式定理；2.排列组合.15.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+3213,1222xyxyxyx表示的平面区域的面积为 .【答案】π23【解析】试题分析：如图，阴影表示圆心角为π43的扇形，所以扇形面积是ππ232832=⨯⨯=S,故填：π23.考点：不等式组表示的平面区域【方法点睛】本题主要考察了不等式组表示的平面区域，属于基础题型，当0>a时，0>++cbyax表示直线的右侧区域，0<++cbyax表示直线的左侧区域，如果直线给的是斜截形式，b kx y +>表示直线的上方区域，b kx y +<表示直线的上方区域,这样就比较快速方便的找到不等式组表示的平面区域. 16.若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n 的前n 项和为n S ，不等式n n n t S n 2941+≤-+对任意的N n ∈恒成立，则实数t 的最小值为 . 【答案】161 考点：1.错位相减法求和；2.数列的函数特征.【易错点睛】本题主要考察了错位相减法求和以及数列的最值问题，属于中档题型，对于错位相减法求和是一个易错点，方法就是多练，再有整理后转化为max226⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥n n n t ，*N n ∈，除了本题所给的方法外，也可以求函数的导数，根据导数判断函数的单调性，同样需要带特殊值得到函数的最大值.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,若()(),cos ,cos cos ,1,2A C a A c n b m +==ϖϖ且n m ϖϖ//.（1）求角A 的值.（2）若ABC ∆的面积2，试判断ABC ∆的形状. 【答案】(1)3π=A ;(2)等边三角形.考点：1.正余弦定理；2.判断三角形的形状.18.2016年，我国诸多省市将使用新课标全国卷作为高考用卷.（以下简称A 校）为了调查该校师生对这一举措的看法，随机抽取了30名教师，70名学生进行调查，得到以下的22⨯列联表：（1）根据以上数据，能否有90%的把握认为A 校师生“支持使用新课标全国卷”与“师生身份”有关？（2）现将这100名师生按教师、学生身份进行分层抽样，从中抽取10人，试求恰好抽取到持“反对使用新课标全国卷”态度的教师2人的概率；（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从A 校所有师生中，采用随机抽样的方法抽取4位师生进行深入调查，记被抽取的4位师生中持“支持新课标全国卷”态度的人数为X . ①求X 的分布列；②求X 的数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】(1) 没有%90的把握认为A 校师生“支持使用新课标全国卷”与“师生身份”有关；（2）14552=P ;(3)详见解析.所以X 的分布列为（10分） ②();512534=⨯==np X E （11分）()().2524525341-⨯⨯=-=p np X D （12分）考点：1.独立性检验；2.古典概型；3.二项分布.19.三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等边三角形，BC 的中点为O ，1A O ⊥底面ABC ，1AA 与底面ABC 所成的角为3π，点D 在棱1AA 上，且3,2AD AB ==.（1）求证：OD ⊥平面11BB C C ；（2）求二面角11B B C A --的平面角的余弦值.【答案】(1)详见解析；（2）1313-.又.,//111BB OD BB AA ⊥∴Θ,,,BC AO OC OB AC AB ⊥∴==Θ又O O A AO O A BC =⋂⊥11,Θ，⊥∴BC 平面O AA 1，又⊂OD Θ平面O AA 1，BC OD ⊥∴，又B BB BC =⋂1，⊥∴OD 平面C C BB 11.（6分）设平面C B A 11的法向量()z y x n ,,=，由11100n A B n A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r g u u u rg 得⎩⎨⎧=+=+-,03,03x y y x 令,3=x 则,1,3-==z y 则()1,3,3-=n ，cos ,13OD n OD n OD n•∴==u u u r u u u u u u r u u u r易知所求的二面角为钝二面角 ，∴二面角11A C B B --的平面角的余弦角值是1313-（12分） 考点：1.线面垂直的判定定理；2.空间向量的应用.20.设点P 是圆224x y +=上的任意一点，点D 是点P 在x 轴上的投影，动点M 满足2MD =u u r u u u u r.过定点()0,2Q 的直线l 与动点M 的轨迹交于,A B 两点.（1）求动点M 的轨迹方程；（2）在y 轴上是否存在点()0,E t ，使EA EB =？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 13422=+y x ；（2）存在符合题意的点E ，且实数t 的取值范围为1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0=x ，当E 与原点重合，即0=t 时，满足EB EA =. （6分)考点：1.轨迹法；2.直线与椭圆的位置关系. 21.已知函数()3221cos 32h x x x a =++，()ln g x a x =，其中a 为正实数. （1）设函数()()f x h x x '=-，若不等式()()g x f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：333444ln 2ln 3ln 2+23n n e++<…（其中e 为自然对数的底数）.【答案】(1) (]0,4e ;(2)详见解析. 【解析】试题分析：(1)首先求()x h '，再求()x f ，令()()()x g x f x u -=，()0>x ，根据导数求函数在定义域内的最小值，令最小值大于等于0，即求得a 的取值范围；（2）根据第一问当(]e a 4,0∈时，x a x ln 22≥，观察所证明的不等式，令e a 3=，化简为2432ln exx x ≤，令2,3,x =…,n,再将所得的1n -个不等式相加，最后采用放缩法，利用裂项相消法求和，即证明不等式.因此()2min2ln 0u x u a ==-≥⎝⎭⎝⎭，即1ln2≤，所以4a e ≤.（5分） 故实数a 的取值范围为(]0,4e .（6分）考点：1.导数与不等式的证明；2.导数与不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考察了导数与证明不等式问题以及根据不等式恒成立，求参数的取值范围，对于第一问恒成立的问题，除了本题所选择的方法外，也可以根据0ln 22≥-x a x 恒成立，转化为参变分离的问题，但需要分()∞+，1和()1,0两种情况下的参变分离，对于本题第二问，需要观察所证明的不等式，需要用累加法，通项是43ln x x ，而第一问得到x a x ln 22>，0>a 时，整理为a xx 12ln 2<，根据通项进行整理为24316ln x a x x ⨯<，这样就可设e a 3=，采用累加，放缩法证明不等式.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且180ADB ADC ∠+∠=o，CT 切圆O 于点C且交AB 的延长线于点T .（1）求证：AB AC =；（2）若4CT =，8AT =，135ADC ∠=o，试求圆O 的半径的长. 【答案】(1)详见解析；（2）32R =考点：1.圆内接四边形的性质；2.切割线定理.23.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程是12x ty t=-⎧⎨=+⎩（t是参数），曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为()1,2，直线l与曲线C的交点为A，B，试求AB及PA PB•的值.【答案】(1) 直线l的普通方程为30x y+-=；所以曲线C的直角坐标系方程为()()22228x y-+-=;(2)30=AB;7=PBPA.（2）直线l的参数方程化为标准型为12,22xy⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩（t'为参数）把l 的参数方程代入22440x y x y +--=，得270t ''+-=设,A B 对应参数分别为12,t t ''，则12,t t ''为方程的两个根.所以12127t t t t ''''+==-，（7分）点()1,2P 显然在l 上，由直线l 中参数t '的几何意义，知12AB t t ''=-==（9分）127PA PB t t ''==.（10分）考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标方程与直角坐标方程的互化；3.直线参数方程t 的几何意义.【方法点睛】主要考察了参数方程与极坐标方程，属于基础题型，当直线方程的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x ，()00,y x P ，当其与曲线的直角坐标方程联立后得到关于t 的一元二次方程，那么21t t AB -=，21t t PB PA =，但如果所给方程不是直线的标准参数方程形式，则可采用化为标准形式，αtan 0=--x x y y ，根据αtan 分别求αsin 和αcos ，得到直线的参数方程的标准形式.24.已知函数()11f x x x =-++，记()f x 的最小值为m . （1）解不等式()6f x ≤； （2）已知正数a ，b 满足11m a b+=，且()233a b a b -≥，试求ab 的值. 【答案】（1）[]3,3-；（2）2=ab .考点：1.含绝对值不等式的解法；2.基本不等式.。
2018年安徽省六安一中高考数学模拟试卷（6月份）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若，，则中的元素有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】解：，，则或，，其中元素有1个．故选：B．化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.已知为纯虚数，，则的虚部为A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】解：为纯虚数，，即．．的虚部为．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值，代入求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.已知等差数列的前n项和为，若，则A. B. 145 C. D. 175【答案】D【解析】解：设等差数列的公差为d，，，化为：．则．故选：D．利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是A. 虚轴长为4B. 焦距为C. 离心率为D. 渐近线方程为【答案】D【解析】解：双曲线的方程为，可得虚轴长为6，实轴长为4，离心率，渐近线方程为：．故选：D．求出双曲线的实轴长，虚轴长焦距以及渐近线方程，判断选项即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.某程序框图如图所示，则输出的n的值是A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】C【解析】解：执行程序框图，有，第1次执行循环体，有，不满足条件，第2次执行循环体，有，不满足条件，第3次执行循环体，有，满足条件，输出n的值为23．故选：C．执行程序框图，写出每次循环得到的n，p的值，当，时满足条件，输出n的值为23．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．6.已知直线m、n，平面、，给出下列命题：其中正确的命题是若，，且，则若，，且，则若，，且，则若，，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：若，，且，利用面面垂直的判定定理可得，因此正确；若，，且，则或相交，因此不正确；若，，且，则，因此不正确；若，，且，利用面面垂直的判定定理可得，因此正确．综上可知：只有正确．故选：D．利用面面垂直的判定定理即可判断出；利用线线、线面平行的判定与性质即可得出；利用线面平行于垂直的判定与性质定理即可得出；利用面面垂直的判定定理即可得出．本题考查了线线、线面与面面平行与垂直的判定与性质定理，属于基础题．7.函数为定义在R上的奇函数，当时，单调递增若，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：为定义在R上的奇函数，当时，单调递增．在时，也是增函数，则在R上是增函数，，，则等价为，即，则，即不等式的解集为，故选：B．根据函数奇偶性和单调性的性质，判断函数在R上的单调性，然后利用单调性进行解题即可．本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．8.设函数，若a，b是两个不相等的正数，且，，则下列关系式中正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数，可得，，，，则，即有．故选：B．运用对数函数的运算性质和基本不等式，即可得到大小关系．本题考查对数函数的运算性质和基本不等式的运用，考查推理能力和运算能力，属于中档题．9.如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，其中长方体的长为4，宽为1，高为1，半圆柱的底面半径为，高为，如图，该几何体的体积：．故选：D．由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，其中长方体的长为4，宽为1，高为1，半圆柱的底面半径为，高为，由此能求出该几何体的体积．本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图，考查推理能力与计算能力，考查空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．10.已知函数，将的图象向右平移个单位所得图象关于点对称，将的图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称，则的值不可能是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数，将的图象向右平移个单位长度，得函数，由函数的图象点对称，所以，，可得：，，时，，可得：，将的图象向左平移个单位所得图象解析式为：，由其关于y轴对称，可得：，，解得：，，解得：当时，，当时，，当时，，故选：B．将的图象向右平移个单位长度，得函数，由关于点对称，结合的范围，可得的值，可得：，利用函数的图象变换规律可求将的图象向左平移个单位所得图象解析式，由其关于y轴对称，可解得：，，逐一判断各个选项即可得解．本题考查三角函数的解析式的求法，函数的对称性的应用，考查函数的图象变换，求得函数图象平移后的解析式是关键，考查综合分析与运算能力，属于中档题．11.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红朱色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉大小忽略不计，则落在黄色图形内的图钉数大约为A. 866B. 500C. 300D. 134【答案】D【解析】解：如图，设勾为a，则股为，弦为2a，则图中大四边形的面积为，小四边形的面积为，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．落在黄色图形内的图钉数大约为．故选：D．设勾为a，则股为，弦为2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以1000得答案．本题考查几何概型，考查几何概型概率公式的应用，是基础的计算题．12.已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，若在上不单调，令，则函数与x轴在有交点，时，显然不成立，时，只需，解得：，故选：D．求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在有交点，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质判断即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量，的夹角为，且，，则______．【答案】【解析】解：，，故答案为：．由向量的模可以平方处理，得到与向量a，b有关的数量积，由数量积公式得到模是本题考查向量的模的处理方式和向量数量积公式．14.设x，y满足约束条件，则的最大值为______．【答案】【解析】解：x，y满足约束条件对应的平面区域如图：z的几何意义是区域内的点与原点的斜率，则由图象可知，OA的斜率最大，由，解得，此时OA的斜率，故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．15.设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是，，，则直三棱柱的高是______．【答案】【解析】解：如图底面三角形ABC的外心是，，，球心为O，球半径为R，球的表面积为，解得设，可得，在中，由正弦定理，由得，直三棱柱的高是．故答案为：．设，通过正弦定理求出底面外接圆的半径r，利用球的表面积求出球的半径，在利用勾股定理即可求解．本题三棱柱外接球的半径常用方法，属于中档题．16.已知数列对任意，总有成立，记，则数列前2n项和______．【答案】【解析】解：当时，，当时，两式相除得当时，适合上式，，，故答案为：由数列的递推公式即可求出通项公式，再裂项相消法求出，本题考查了数列的通项公式的求法，以及求和的方法，考查了运算能力和转化能力，属于中档题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天方图；由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；在空气质量指数分别属于和的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A”两天空气都为良“发生的概率．【答案】解：，解得，，解得，，，，．完成频率分布直方图如右图：由频率分布直方图知该组数据的平均数为：．的频率为，的频率为，该组数据的中位数为：．空气质量指数为和的监测天数中分布抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为的4天分别记为a，b，c，d，将空气质量指数为的1天记为e．从中任取2天的基本事件分别为：，，，，，，，，，，共10天，基其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为：，，，，，，共6天，事件A”两天空气都为良“发生的概率．【解析】利用统计表和频率分布直方图能求出n，m的值，并能完成频率分布直方图．由频率分布直方图能求出该组数据的平均数和中位数．空气质量指数为和的监测天数中分布抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为的4天分别记为a，b，c，d，将空气质量指数为的1天记为从中任取2天，利用列举法能求出事件A”两天空气都为良“发生的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是基础题．18.已知函数求函数的单调递减区间；在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且角A满足，若，BC边上的中线长为3，求的面积S．【答案】解：，由，，解得：，，函数的单调递减区间为：，．由，，得，可得：，，，可得，；如图，在中，设BC中点为D，，则，则，，，又，，联立以上各式求得：．．【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由，，即可解得函数的单调递减区间．代入，结合A的范围求解A的值，分别在三角形ABC、三角形ADB、三角形ADC中运用余弦定理结合已知条件求得的值，代入三角形的面积公式得答案．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．19.如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为中点．求证：面；求二面角的大小；求点C到平面的距离．【答案】证明：法一：Ⅰ取BC中点O，连接为正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．连接，在正方形中，O，D分别为BC，的中点，，．在正方形中，，平面．Ⅱ设与交于点G，在平面中，作于F，连接AF，由Ⅰ得平面，为二面角的平面角．在中，由等面积法可求得，又，．所以二面角的大小为．Ⅲ中，，．在正三棱柱中，到平面的距离为．设点C到平面的距离为d．由得，点C到平面C 的距离为．法二：Ⅰ取BC中点O，连接AO．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．取中点，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则0，，1，，，，2，，，，．，，，．平面．Ⅱ设平面的法向量为y，．，．，，令得为平面的一个法向量．由Ⅰ知平面，为平面的法向量，．二面角的大小为．Ⅲ由Ⅱ，为平面法向量，．点C到平面的距离．【解析】法一：要证面，只需证明直线垂直面内的两条相交直线、即可；设与交于点G，在平面中，作于F，连接AF，说明为二面角的平面角，然后解三角形，求二面角的大小；利用等体积法，求点C到平面的距离．法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的数量积等于0证明垂直，求证：面；向量共线证明平行，向量数量积求出二面角的大小求二面角的大小；距离公式求出距离，解答求点C到平面的距离．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．20.已知椭圆C：的左、右焦点与其短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，点在椭圆上，直线与椭圆交于A，P两点，与x轴，y轴分别交于点N，M，且，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为，求椭圆C的方程；是否存在直线l，使得点N平分线段？若存在，求出直线l的方程，若不存在请说明理由．【答案】解：椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆C上，由题意得，解得，，椭圆C的方程为．假设存在这样的直线l：，，，，，，直线QM的方程为，设，由，得，，，设，由，得，，，点N平分线段，，，，，，解得，，，符合题意，直线l的方程为．【解析】由椭圆的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．假设存在这样的直线l：，则直线QM的方程为，由，得，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件，能求出直线l的方程．本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的探究与求法，考查推理谁论证能力、数据处理能力、运算求解能力，考查转化思想、化归思想，是中档题．21.已知函数，若，求曲线在处的切线方程；讨论函数在上的单调性；若存在，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ时，，，，所求切线方程为，Ⅱ，当即时，，此时，在上单调增；当即时，时，，在上单调减；时，0'/>，在上单调增；当即时，，此时，在上单调减；Ⅲ方法一：当时，在上单调增，的最小值为，当时，在上单调减，在上单调增，的最小值为，，，，，，当时，在上单调减；的最小值为，，，综上，；方法二：不等式，可化为，，且等号不能同时取，，即因而令，又当时，，，从而，仅当时取等号，在上为增函数，故的最小值为，的取值范围是【解析】Ⅰ当时可得，求导数值可得切线斜率，求函数值可得定点，可得直线方程；Ⅱ求导数可得结合，利用单调性和导数的关系以及分类讨论可得；Ⅲ方法一：结合Ⅱ的单调性，分类讨论分别求和以及时a的范围，综合可得方法二：不等式，可化为，可转化为因而，构造函数，求出函数的最值即可．本题考查导数的综合应用，涉及曲线的切线和函数的单调性最值以及分类讨论的思想，属难题．22.在平面直角坐标系xOy中，：为参数，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：．求的普通方程及的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；若P，Q分别为，上的动点，且的最小值为2，求k的值．【答案】解：：为参数，消去参数t可得：，表示经过点，斜率为k的一条直线．曲线：，由互化公式可得：，配方为，表示以为圆心，1为半径的圆．圆心到直线的距离，，化为：，解得或0．【解析】：为参数，消去参数t可得：，利用点斜式即可得出表示一条直线曲线：，由互化公式可得：，配方即可得出表示的曲线是圆．利用点到直线的距离公式公式可得圆心到直线的距离d，利用即可得出．本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标的互化、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知函数．当时，求不等式的解集；对于任意实数x，t，不等式恒成立，求m的取值范围．【答案】解：，当时，，由不等式，可得：时：得，所以不等式的解集为．不等式对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数x，恒成立，即，，，，又，．【解析】去掉绝对值符号，得到分段函数，然后求解不等式的解集．利用函数的恒成立，绝对值不等式的几何意义，转化求解即可．本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查计算能力．。
