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2019-2020学年高二数学上学期 2.2《等差数列》导学案 沪教版学习过程一、课前准备（预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处） 复习1：什么是数列？复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：等差数列的概念问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？ ① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5④ 10072，10144，10216，10288，10366新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =探究任务二：等差数列的通项公式问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： 21a a -= ，即：21a a =+32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 典型例题例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.例2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数.※ 动手试试练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ . 课后作业1. 在等差数列n a 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ；⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ；⑶已知112a =，627a =，求d ；⑷已知d ＝－13，78a =，求1a .2012—2013学年上学期高二年级数学学科 使用时间：2012年9月编写教师：朱艳玲 审核组长： 审核主任：韩培银§2.2等差数列（2）思想学要经验的积累，学识需要不断的学习。
第二中学2021-2021学年高二数学上学期开学考试试题〔含解析〕考生注意：1.本卷一共3页，22小题，满分是100分，分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，考试时间是是90分钟.2.请在答题卡规定的正确位置上答题，在本套试题卷上答题无效.第一卷〔选择题，一共36分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题3分,一共36分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.以下五个关系：{}{},,a b b a ⊆，{}0∅∈，0∈∅，{}{}0∅⊆，{}0∅，其中正确的个数是〔〕 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】∅是集合，0是元素，注意集合与集合、元素的关系表示符号.【详解】{}{},,a b b a 、是相等的集合，具有子集关系，故正确；∅与{}0是集合与集合的关系，不能使用∈符号，故错误；0与∅是元素与集合的关系，但是∅中不包含元素0，故错误；{}∅表示集合中包含的元素也是集合，且是∅，而{}0表示集合中包含的是元素是数字0，两者之间没有关系，故错误；根据空集是任何非空集合的真子集，故正确.正确的有2个.应选：B.【点睛】此题考察元素与集合、集合与集合的关系判断，难度较易.注意空集是任何非空集合的真子集.{}23M y y x ==-，{}21N y y x ==+，那么MN =〔〕A. {}2B. ()(){}1,2,1,2-C. {}1,1-D. []1,3【答案】D 【解析】 【分析】分析每个集合中表示元素的范围，然后求交集.【详解】因为233y x =-≤，所以(,3]M =-∞；因为211y x =+≥，所以[1,)N =+∞；那么M N =[]1,3.应选：D.【点睛】注意{}23M y y x==-与{}2(,)3M x y y x ==-中的表示元素不同，{}23M y y x ==-表示y 的取值范围，{}2(,)3M x y y x ==-表示23y x =-图象上点的坐标.1，2，3，4，5中，假设随机取出三个数字，那么剩下两个数字都是奇数的概率〔〕A.310B.320C.15D.14【答案】A 【解析】 【分析】先通过列举法得到取三个数的总的可能数，然后看其中满足剩余两个数字都是奇数的种数，利用古典概型概率计算公式求解.【详解】以(,,)a b c 表示可能出现的情况：(1,2,3)(1,2,4)(1,2,5)(1,3,4)(1,3,5)(1,4,5)(2,3,4)(2,3,5)(2,4,5)(3,4,5)、、、、、、、、、一共10种；满足条件的有：(1,2,4)(2,3,4)(2,4,5)、、一共3种，所以310P =， 应选：A.【点睛】此题考察古典概型的概率计算，难度较易.列举的时候注意不要遗漏.4.一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，假设求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，那么原来数据的平均数和方差分别是〔 〕【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差的公式性质求解，原数据的平均数为加80，方差不变，可得答案. 【详解】解：设这组数据为12,,,n x x x ，平均数为x ，方差为2s ；那么新数据为1280,80,,80n x x x ---它的平均数是()()()12808080n x x x x n-+-++-'=()1280n nx x x n+++-=80x =- =1.2， 81.2x ∴=；方差为()()()222212180 1.280 1.280 1.2n s x x x n ⎡⎤'=------+⎦+⎣+()()()22212n 181.281.281.2x x x n ⎡⎤=-+--++⎣⎦24.4s ==应选：A ．【点睛】此题主要考察平均数与方差的计算，关键是要掌握平均数与方差的性质和计算公式.,a b ∈R ，定点()2,0P 到动直线0ax by +=的间隔 最大值是〔〕A. 2B. 3C. 2D. 22【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，给定倾斜角，利用倾斜角表示间隔 ，再计算最大值.【详解】sin AB d OA θ==，考虑到过原点直线的对称性，取[0,]2πθ∈，所以max 2sin 22d π==，此时的直线方程为：0x =， 应选：C.【点睛】此题考察点到直线的间隔 的最值，难度较易.处理点到直线间隔 最值的问题，可采用图示法也可以采用公式直接计算.()2cos 2y x θ=+是偶函数，且在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，那么实数θ可能是〔〕A. 2π-B. 0C.2π D. π【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数得到θ的表达式，再根据单调性确定θ的可能取值.【详解】因为函数是偶函数，所以,k k Z θπ=∈，排除A ，C ；当0θ=时，函数在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，故排除B ， 应选：D.【点睛】三角函数的奇偶性，求解函数中参数时，可借助诱导公式的“奇变偶不变〞的原那么去判断.{}n a 的前项和为n S ，41S =，83S =，那么9101112a a a a +++=〔〕A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的前n 项和性质可知：232n n n n n S S S S S --、、成等比数列，再根据9101112128a a a a S S +++=-计算出结果.【详解】因为484128S S S S S --、、成等比数列， 所以()()2844128S S S S S -=-代入数值所以127S =，那么9101112128734a a a a S S +++=-=-=.【点睛】〔1〕形如1...m m n a a a ++++的式子，可表示为12...()m m n n m a a a S S n m +++++=->；〔2〕等比数列中前n 项和为n S ，那么有232n n n n n S S S S S --、、成等比数列，其中公比1q ≠-或者1q =-时且n 不为偶数.2535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2525c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么〔〕A. b c a <<B. c b a <<C. a c b <<D.b ac <<【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性判断数值大小.【详解】因为25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递减，所以32552255⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么b c <； 又因为25y x =在(0,)+∞上单调递增，所以22553255⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c >；那么b c a <<，应选：A.【点睛】指对数比拟大小常用的方法：〔1〕利用单调性比拟；〔2〕借助中间值比拟〔比方中间值‘1’〕.ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EB 〔 〕A.1344AB AC B.3144AB AC C.1344AB AC D.3144AB AC【答案】B 【解析】 【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量． 【详解】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，12EB AB AE AB AD =-=-1122AB =-⨯〔AB AC +〕3144AB AC =-， 应选：B ．【点睛】此题考察向量的加减运算和向量中点表示，考察运算才能，属于根底题．R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0]2，上是增函数，那么 A. (25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<- C. (11)(80)(25)f f f <<- D. (25)(80)(11)f f f -<<【答案】D 【解析】 【分析】由()()4f x f x -=-，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进展判断大小.【详解】因为()f x 满足()()4f x f x -=-，所以()()8f x f x -=， 所以函数()f x 是以8为周期的周期函数，那么()()()()()()251,800,113f f f f f f -=-==.由()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()4f x f x -=-，得()()()()11311f f f f ==--=.因为()f x 在区间[]02，上是增函数，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()f x 在区间[]22-，上是增函数， 所以()()()101f f f -<<，即()()()258011f f f -<<. 【点睛】在比拟()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比拟大小．()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是减函数，那么a 的取值范围是〔〕A. ()0,1B. ()0,2C. ()1,2D.()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先根据复合函数的单调性以及2y ax =-的单调性判断出a 的根本范围，然后再根据真数大于零计算出a 的最终范围.【详解】因为0a >，所以2y ax =-在[]0,1上是减函数，又因为()f x 在[]0,1上是减函数，所以log a y x =是增函数，所以1a >；又因为对数的真数大于零，那么2020a >⎧⎨->⎩，所以2a <；那么(1,2)a ∈.应选：C.【点睛】复合函数单调性的判断根据：“同増异减〞，即内外层函数单调性一样时，整个函数为增函数，内外层函数单调性相反时，整个函数为减函数.y=2x上存在点〔x，y〕满足约束条件30230x yx yx m+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，那么实数m的最大值为A. -1B. 1C. 32D. 2【答案】B【解析】【详解】由，可求得交点坐标为，要使直线上存在点满足约束条件，如下图，可得，所以最大值为1，应选B.第二卷〔非选择题，一共64分〕二、填空题：本大题一一共5个小题，每一小题4分，满分是20分，请把答案填在答题卡相应位置.()(lg f x x =为奇函数，那么a =__________；【答案】1 【解析】 【分析】根据()()f x f x -=-求解出a 的值. 【详解】因为(()()lg lg lg f x x f x ⎛⎫⎛⎫-=-==-=，那么=0x ≠，所以1a =.【点睛】函数为奇函数，可通过定义法：()()f x f x -=-()00f =，因为定义域未知.()2f x 的定义域是()1,2-，那么函数()f x 的定义域是__________；【答案】[)0,4 【解析】 【分析】由(())f g x 的定义域求解()f x 的定义域，()f x 的定义域相当于()g x 的值域. 【详解】因为()2f x的定义域是()1,2-，所以2[0,4)x∈，那么()f x 中[0,4)x ∈，即()f x 的定义域是[)0,4.【点睛】此题考察抽象函数的定义域问题，难度较易.注意由(())f g x 的定义域求解()f x 的定义域、由()f x 的定义域求解(())f g x 的定义域，两者的区别.ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，假设其面积()22214S b c a =+-，那么A ∠=__________.【答案】4π【解析】 【分析】根据三角形的面积公式1sin 2S bc A =与条件()22214S b c a =+-相等，结合余弦定理可得cos sin A A =，即tanA 等于1，根据A 的范围利用特殊角的三角函数值即可得到A 的度数． 【详解】由得：()22211sin 24S bc A b c a ==+-变形为：222 sin 2b c a A bc+-=，结合余弦定理可得cos sin A A =，即tan 1A =， 又()0,A π∈， 那么4A π=，故答案为4π. 点睛：此题主要考察学生灵敏运用三角形的面积公式及余弦定理化简求值，是一道根底题．16.()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，1a b -=，那么a ，b 的夹角是__________； 【答案】3π【解析】 【分析】根据模长得到三角函数关系式，再利用数量积公式计算夹角. 【详解】因为1a b -=，所以222||(cos cos )(sin sin )22cos()1a b αβαβαβ-=-+-=--=，所以1cos()2αβ-=，又1cos ,cos()2||||a b a b a b αβ⋅<>==-=，所以,3a b π<>=.【点睛】此题考察向量数量积公式的坐标表示的运用，难度一般.对于向量加法或者者减法形式的模长，可以通过平方的方法将其转变为数量积的表示形式.{}n a 中，11a =，21a a -，32a a -，……，1n n a a +-，……构成2为首项，2为公比的等比数列，那么数列的通项公式为n a =__________. 【答案】21n - 【解析】 【分析】根据等比数列得到：1n n a a +-的递推公式，然后再计算{}n a 的通项公式.【详解】由题意知：12nn n a a +-=，所以112211()()...()(2)n n n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥，那么1211(12)22...2121(2)12n n n n n a n ---=++++==-≥-，当1n =时，11a =符合2n ≥.那么21nn a =-.【点睛】此题考察利用数列递推公式求解数列通项公式，难度一般.利用累加法求解数列通项公式的时候，要注意由112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+求解出数列通项公式后，一定要验证1a 是否符合，假设不符合那么写成分段数列的形式.三、解答题：本大题一一共5个小题，满分是44分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.18.〔1〕计算21log 323log 3log 4lg0.012+⋅+-； 〔2〕121tan α=-，求11sin cos αα+的值；【答案】〔1〕112；〔2〕57【解析】 【分析】〔1〕利用对数运算法那么直接化简计算；〔2〕将11sin cos αα+表示成tan α的形式表示出来再计算. 【详解】〔1〕2211log 3log 321223lg 32lg 2log 3log 4lg 0.01ln 2lg10ln 22lg 2lg 3e +-⋅+-=⋅+-+⋅1112(2)2322=+--+⨯=；〔2〕因为121tan α=-，所以1tan 2α=，又2222221sin cos 1tan 51sin cos sin sin cos cos 1tan tan 7ααααααααααα++===+++++. 【点睛】〔1〕巧用对数换底公式：lg lg lg log log log lg lg lg a b a b c cb c c a b a⋅=⋅==； 〔2〕同角的三角函数中“齐次〞问题的解法：sin cos tan sin cos tan a b a ba b a bαααααα++=--〔分子分母同除cos α〕；222222sin cos tan sin cos tan a b a ba b a bαααααα++=--〔分子分母同除2cos α〕.19.O 为坐标原点，()22cos ,1OA x =，()1,2OB x m =+，〔x ∈R ，m R ∈，m 是常数〕，假设()f x OA OB =⋅，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为2，〔1〕求m 的值；〔2〕ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b c +=，()1f A =，边长b ，a ，c 成等比，试求ABC ∆的外接圆半径长； 【答案】〔1〕1m =-；〔2〕1 【解析】 【分析】〔1〕根据()f x OA OB =⋅化简()f x 表达式，再根据最大值求解m 的值；〔2〕根据()1f A =求解A ，再利用余弦定理求解a 的值，再根据正弦定理求解外接圆半径. 【详解】〔1〕()22cos 2f x OA OB x x m=⋅=+1cos 222sin(2)16x x m x m π=++=+++，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以7(2)[,]666x πππ+∈，那么max ()2sin 122f x m π=++=且此时6x π= ，那么1m =-. 〔2〕因为()2sin(2)6f x x π=+，()1f A =，所以2sin(2)16A π+=且(0,)A π∈，那么3A π=，由222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-且a bc =2，可得：a =又2sin aR A=，所以1R =. 【点睛】正弦定理与外接圆的半径R 之间的关系：2sin sin sin a b cR A B C===.这是求解三角形外接圆的半径或者面积的有效方法.20.()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，假如曲线()f x 在定义域区间上任意两点连线的斜率均大于零.〔1〕判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并证明它； 〔2〕解不等式()()21f x f x -<；〔3〕假设()221f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕单调递增，证明见解析〔2〕{}01x x ≤<；〔3〕{}2,0,2m m m m ≤-=≥或或 【解析】 【分析】〔1〕利用定义法证明单调性；〔2〕根据单调性将函数值之间的关系转变为自变量之间的关系；〔3〕将恒成立问题转变为一次函数在给定区间大于等于max ()f x ，从而求解参数范围.【详解】〔1〕任取12,[1,1]x x ∈-且12x x <，据题意有：1212()()0f x f x x x ->-，因为120x x -<，所以12())0(f x f x -<，那么()f x 在[]1,1-上单调递增；〔2〕因为()f x 在[]1,1-上单调递增，根据()()21f x f x -<可得：12111121x x x x -≤-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-<⎩解得：{|01}x x ≤<；〔3〕因为()221f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立，所以()2max 21f x m am ≤-+，因为max ()(1)1f x f ==，所以2121m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立，那么：222020m m m m ⎧+≥⎨-≥⎩ ，解得：{}2,0,2m m m m ≤-=≥或或.【点睛】〔〕定义法判断函数单调性的变形：1212()()0(0)f x f x x x -><-可判断是单调增〔减〕函数；1212()(()())0(0)x x f x f x --><可判断是单调增〔减〕函数； 〔2〕()()f x g m ≤的恒成立问题，只要：max ()()f x g m ≤即可.{}n a 中，11a =，()*121n n a a n N +=+∈〔1〕求n a 的通项公式；〔2〕设()()21log 1n n n b a a =+⋅+，求{}n b 的前n 项和；【答案】〔1〕21nn a =-，〔2〕()1122n n +-+【解析】 【分析】〔1〕根据递推公式构造等比数列求通项公式；〔2〕利用错位相减法对数列求和. 【详解】〔1〕因为()*121n n a a n N+=+∈，所以112(1)n n aa ++=+，那么数列{1}n a +是首项为2公比为2的等比数列，那么：12nn a +=即21n n a =-；〔2〕()()21log 12nn n n b a a n =+⋅+=⋅，记{}n b 的前n 项和为n S ，那么：123122232...2n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，那么23412122232...2n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减：1231112(12)1222...2222(1)212n n n n n n S n n n +++-=-⋅----+⋅=-+⋅=+-⋅-.那么{}n b 的前n 项和为：12(1)2n n ++-⋅.【点睛】〔1〕形如()11,0n n a pa q p q +=+≠≠的递推公式，可采用构造等比数列的方法求解数列通项公式；〔2〕错位相减法一般适用于：等差乘以等比形式的数列求和.()2f x +为偶函数，曲线()f x 与x 轴交于两点A ，B ，2AB =，与y 轴交于点()0,3，〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕过曲线()f x 上任意一点P 作与直线:230l x y ++=夹角为30的直线，交l 于点A ，求PA 的最小值.【答案】〔1〕()243f x x x =-+〔2〕25【解析】 【分析】〔1〕先分析得出()f x 是二次函数，然后根据条件求解函数解析式；〔2〕数形结合进展分析，找到PA 最小值对应的位置，然后计算.【详解】〔1〕由条件可知()f x 为二次函数，故设2()f x ax bx c =++且(0)3f =，那么3c =，又由()2f x +为偶函数可知()f x 对称轴2x =，又因为2AB =，所以()f x 图象过(1,0)(3,0)、，那么309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩，所以2()4+3f x x x =-；〔2〕作出()f x 与:230l x y ++=的图象，d 表示P 到直线:230l x y ++=的间隔 ，根据条件可知：||2sin 30dPA d ==︒，故d 有最小值时，||PA 有最小值.将直线:230l x y ++=平移至与()f x 相切，此时切点到直线:230l x y ++=的间隔 最小，即d 最小，此时||PA 有最小值.设切线方程为：1:20l x y t ++=，联立2204+3x y m y x x ++=⎧⎨=-⎩可得：2230x x m -++=，44(3)0m ∆=-+=，2m =-，那么1l 与l 的间隔 d ==，那么min ||2PA d ==.【点睛】直线与曲线相离时，求曲线上一点到直线的最小间隔 ，可将直线平移至与曲线相切，此时的切点到直线的间隔 即为曲线上点的到直线的最短间隔 〔平移至相切〕.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
§2.1 数列的概念和简单表示法班级： .组名： . 姓名： .时间：年月日【本卷要求】：1.动脑思考2.听懂是骗人的，看懂是骗人的，做出来才是自己的3.该背的背，该理解的理解，该练习的练习，该总结的总结，勿懈怠！4.多做多思，孰能生巧，熟到条件反射，这样一是能见到更多的出题方式，二是能提高做题速度5.循环复习6.每做完一道题都要总结该题涉及的知识点和方法7.做完本卷，总结该章节的知识结构，以及常见题型及做法8.独立限时满分作答9.步骤规范，书写整洁10.明确在学习什么东西，对其中的概念、定律等要追根溯源，弄清来龙去脉才能理解透彻、应用灵活11.先会后熟：一种题型弄懂了，再多做几道同类型的，总结出这种题型的做法，直到条件反射【一分钟德育】不勤奋就是最大的不聪明“这个孩子很聪明，就是不够勤奋”。
这句话，相信很多家长都听过。
这句话也多出于老师的口中。
晚上，有外地的家长跟我聊天，探讨孩子的学习。
他说，孩子上高一，成绩不突出，家长苦口婆心地讲道理，孩子都能听进去，可是，就是落实不到行动上。
他给孩子读了我写的“刻苦学习”系列，孩子读得血脉倴张，豪言壮志一番后，到了学习上，很快又疲沓了。
这位家长跟老师交流孩子的学习情况，老师说：这个孩子很聪明，就是不够勤奋。
我禁不住说了一句让家长扫兴的话。
我说，你家孩子哪里是聪明呢？不勤奋就是最大的愚笨，勤奋才是最大的聪明，刻苦就是最好的学习方法。
如果这个孩子内心没有自省的话，那就要认命了。
如果没有方法做他心灵的手术，那么，他的成绩不会改观。
要知道，一个孩子由懒散状态，改变成拼命苦读的态度，那得在心灵上遭遇剧烈的刺激才行。
我想起了贺舒婷的《你凭什么上北大》。
作者在高一那年“真的差点就把自己废成了一块锈铁”，但是，“当时没有任何人来指着我的鼻尖骂我，说你是不是就想这样破罐子破摔，就想这样玩完你的一辈子。
”当一个孩子内心真正警醒的时候，发自内心的力量是无比强大的。
后来，作者“表现得无比耐心沉稳，踏实得象头老黄牛”，“高中五本历史书我翻来覆去背了整整六遍”，她“边背边掉眼泪，真的我是差一点就背不下去了就要把书扔掉了。
2012年辽宁省普通高中学生学业水平考试前测数 学1．考试采用书面答卷闭卷方式，考试时间90分钟，满分100分； 2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 参考公式：柱体体积公式，锥体体积公式（其中为底面面积，为高）；球的表面积公式 (其中为球的半径)．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1） 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D.（2）直线的斜率是3，且过点A(1,-2),则直线的方程是（ ） A. B. C. D ．（3）不等式的解集为 （ ） A. B. C. D.（4）已知平面向量，，且，则的值为（ ）A.－3B.-1C.1D.3 （5）按右图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值是（ ）A.3B.4C.5D.6 （6）若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示,则此多面体的体积是（ ）A. B.C. D.（7）已知角的终边上一点的坐标为(,)，则角的最小正值为（ ）A. B. C. D. （8）的内角的对边分别为，若，,则等于（ ）A. B.2C.D.正视图侧视图俯视图(第6题)（9）设用二分法求方程在区间（1，2）上近似解的过程中，计算得到，则方程的根落在区间（）A.（1,1.25）B. (1.25，1.5)C.(1.5, 1.75)D. (1.75,2)（10）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为，则球的表面积为（）A. B. C. D.（11）完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付日工资每人50元，请瓦工需付日工资每人40元，现有日工资预算2 000元，设每天请木工x人、瓦工y人，则每天请木、瓦工人数的约束条件是( )A. B.C. D.（12）从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是（）A. B. C.D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.（13）若集合，，且，则实数取值的集合为．（14）某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为．（15）设函数，则的最大值为_ _ ．（16）在集合上定义两种运算○+和○*（如下图），则○*○+ ______．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）已知一条曲线上的点到定点的距离是到定点距离的二倍，求这条曲线的方程．（18）（本小题满分10分）一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10﹪衰减.（Ⅰ）求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；（Ⅱ）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需要的时间）．（精确到0.1；参考数据：）（19）（本小题满分10分）记等差数列{}的前n项和为，已知，.（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{}的前项和．（20）（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，，．棱上有两个动点E，F，且EF= a(a为常数)．（Ⅰ）在平面ABC内确定一条直线，使该直线与直线CE垂直；（Ⅱ）判断三棱锥B—CEF的体积是否为定值．若是定值，求出这个三棱锥的体积；若不是定值，说明理由．（21）（本小题满分12分）已知，写出用表示的关系等式，并证明这个关系等式．2012年辽宁省普通高中学生学业水平考试前测数学参考答案二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分） （13）{﹣1,0,1} （14）50 （15）8 （16）三、解答题(共5小题，满分52分)（17）解：设M （x,y ）是曲线上任意的一点，点M 在曲线上的条件是. -------4分 由两点间距离公式，上式用坐标表示为，两边平方并化简得所求曲线方程------10分（18）解：（Ⅰ）最初的质量为500g ，经过1年，ω=500（1-10﹪）=500×， 经过2年，ω=500×， ……，由此推出，t 年后，ω=500×. ------5分 （Ⅱ）解方程500×=250. =， ， ，所以，这种放射性元素的半衰期约为年. ------10分（19）解：（Ⅰ）设等差数列{}的公差为d ，由已知条件得1234131********,4,224,1,6,6,246,1.{{{{a a a a a a a d a a a a a a d d +++=+=+==+=+=+==⇒⇒⇒可得数列{}的通项公式为=n . ------4分 （Ⅱ）=-= = ------10分（20）解： （Ⅰ）取AC 中点D ，连接BD ．，D为底边AC中点，∴．∵．又，∴直线．∵∴．------5分（Ⅱ）直线,．EF上的高为线段，由已知条件得，故由（Ⅰ）可知，．在等腰三角形ABC中，可求得BD=，．------10分（21）解：------2分证明：如图，在平面直角坐标系Array xoy内作单位圆O，以Ox为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为A，B．则，．由向量数量积的定义，有．由向量数量积的的坐标表示，有于是．①------7分对于任意的，总可选取适当的整数k，使得=+或=－+成立．故对于任意的，总有成立，带入①式得对，总有成立．------12分另证：由于都是任意角，也是任意角．由诱导公式，总可以找到一个角．当时，，则有，带入①既得．当时，，就是的夹角，则有，带入①既得．综上，对，总有．------12分注：1、解答题其他解、证方法可参照以上参考答案酌情给分；2、解答题各题解、证过程的给分点，可酌情细化．。
卜人入州八九几市潮王学校一中二零二零—二零二壹高二数学上学期开学考试试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.已如集合，，那么A. B.C.或者D.2.向量，，，假设，那么实数x的值是A. B. C. D.3.，，那么A. B. C. D.4.等比数列满足，且，那么A.8B.16C.32D.645.对于实数a，b，cA.假设，那么B.假设，那么C.假设，那么D.假设，那么6.过两直线：，：的交点且与平行的直线方程为A. B.C. D.7.是公差为1的等差数列，为的前n项和，假设，那么A. B. C.10 D.128.设m，nA.，，且，那么B.，，且，那么C.，，，那么D.，，，，那么9.的内角A，B，C所对的边分别为，c，且，，A. B. C. D.10.直线与圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.相交或者相切11.圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，假设圆锥的轴截面为正三角形，那么圆锥的体积与球的体积之比为A.27：32B.3：8C.：16D.9：3212.在R上定义运算：假设不等式对任意实数x成立，那么A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题〕13.函数的定义域为______．14.假设，，，那么的最小值为______．15.设，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，假设是偶函数，那么的最小值为______16.如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，假设，那么．三、解答题〔本大题一一共4小题〕17.等差数列中，，，Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．18.圆C：，直线：，：假设，，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，务实数k的值线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程19.如图，正方体切掉三棱锥后形成多面体，过的截面分别交，于点E，F．证明：平面；求异面直线与EF所成角的余弦值．20.如图，某城有一块半径为单位：百米的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处图中阴影局部只有一块绿化地，后来有众多民建议在绿化地上建一条小路，便于民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，．应选：D．可以求出集合A，B，然后进展交集的运算即可．此题考察了描绘法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考察了计算才能，属于根底题．2.【答案】A【解析】解：，，即，向量，，，，即，解得，应选：A．根据向量垂直和向量数量积的关系，建立方程关系即可得到结论．此题主要考察平面向量垂直于向量数量积之间的关系，利用向量坐标的根本运算是解决此题的关键，考察学生的计算才能．3.【答案】D【解析】解：由，，得到，所以，那么．应选：D．由cos x的值及x的范围，利用同角三角函数间的根本关系求出sin x的值，进而求出tan x的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tan x的值代入即可求出值．此题考察了同角三角函数间的根本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sin x和tan x时注意利用x的范围断定其符合．4.【答案】A【解析】解：等比数列满足，且，那么，解得，，应选：A．先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式公式即可求出的值此题考察了等比数列的通项公式，考察了运算求解才能，属于根底题5.【答案】BA，当时，有故A错误；B假设，那么，；，，故B正确；C假设，取，，可知，故C错误；D假设，取，，可知，故D错误．应选：B．6.【答案】D【解析】解：两直线：，：的交点为，解得，即；设与平行的直线方程为，那么，解得，所求的直线方程为．应选：D．求出两直线、的交点坐标，再设与平行的直线方程为，代入交点坐标求出m的值，即可写出方程．此题考察了直线方程的应用问题，是根底题．7.【答案】B【解析】解：是公差为1的等差数列，，，解得．那么．应选：B．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．此题考察了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：对于A，，，且，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线与垂直，又，得到，又，得到，所以；故A正确；对于B，，，且，那么m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者者异面；故B错误；对于C，，，，那么与可能平行；故C错误；对于D，，，，，那么与可能相交；故D错误；应选：A．利用线面垂直、面面垂直的性质定理和断定定理对选项分别分析选择．此题考察了线面垂直、面面垂直的性质定理和断定定理的运用；关键是由条件，正确运用定理的条件进展判断．9.【答案】B【解析】解：，由正弦定理角化边得：，化简得：，，又，，应选：B．对等式利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求出角A．此题考察三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考察运算才能，属于根底题．10.【答案】D【解析】解：表示圆心为，半径，，，由，，得，，代入成立，所以点为圆上的定点，所以直线与圆相切或者者相交，应选：D．求出直线上的定点，判断点与圆的关系，求出即可．此题主要考察直线和圆的位置关系的判断，根底题．11.【答案】D【解析】解：取圆锥的轴截面如以下列图所示，设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，那么圆锥的母线长为2r，结合图形可得，所以，，圆锥的高为，所以，圆锥的体积为，因此，圆锥的体积与球的体积之比为．应选：D．设球的半径为2R，用R表示圆锥的底面圆半径以及高，再利用锥体体积公式得出圆锥的体积的表达式，然后再结合球体的体积公式可得出答案．此题考察球体体积的计算，考察圆锥体积的计算，解决此题的关键在于利用球体的半径来表示圆锥中的几何量，考察计算才能，属于中等题．12.【答案】C【解析】解：，即任意实数x成立，故，应选：C13.【答案】【解析】解：要使原函数有意义，那么：；；原函数的定义域为：．故答案为：．可看出，要使得原函数有意义，那么需满足，解出x的范围即可．考察函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域．14.【答案】【解析】解：假设，，，那么，当且仅当时，取等号，那么的最小值为．故答案为：．利用柯西不等式求出即可．此题考察了柯西不等式的应用，属于根底题．15.【答案】【解析】解：因为，所以，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，那么，又是偶函数，所以，即，又，所以的最小值为，故答案为：．由三角函数图象的平移及三角函数的性质得：，又是偶函数，所以，即，又，所以的最小值为，得解．此题考察了三角函数图象的平移及三角函数的性质，属中档题．16.【答案】【解析】【分析】此题考察平面向量根本定理的运用，考察向量的加法运算，考察学生分析解决问题的才能，属于中档题，设，，那么，，利用平面向量根本定理，建立方程，求出，，即可得出结论．【解答】解：设，，那么，．由于，，且，解得，，，故答案为．17.【答案】解：设等差数列的公差为d，，解得，，【解析】由，，结合等差数列的通项公式可求，d，进而可求由，利用裂项求和即可求解此题主要考察了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易18.【答案】解：根据题意，圆C：，其圆心为，半径，点C到直线的间隔，那么直线被圆C截得的弦长，假设直线、，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，那么直线被圆C截得的弦长，那么点C到直线的间隔，直线：，即，那么；解可得：；根据题意，设，线段AB的中点为M，且，那么，又由端点A在圆C上运动，那么有，变形可得：；故线段AB的中点M的轨迹方程为．【解析】根据题意，由直线与圆的位置关系分析求出圆心C到直线的间隔和被圆C所截得的弦长，再求出直线被圆C所截得的弦长与圆心C到直线的间隔，列方程求出k的值，根据题意，设，由中点坐标公式可得A的坐标，将A的坐标代入圆C的方程，即可得答案．此题考察直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的求法，属于根底题．19.【答案】证明：，，，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．解：由得平面，又平面，平面平面，，是异面直线与EF所成的角或者所成角的补角，设正方休的棱长为a，那么，，，在中，，异面直线与EF所成角的余弦值为．【解析】推导出，，从而四边形是平行四边形，进而，由此能证明平面．推导出，从而是异面直线与EF所成的角或者所成角的补角，由此能求出异面直线与EF 所成角的余弦值．此题考察线面平行的证明，考察异面直线所成角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，考察数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设，，那么直线AB方程为，即．因为AB与圆C：相切，所以，化简得，即，因此，因为，，所以，于是．又，解得，或者，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以AB最小值为，此时．答：当A，B两点离道路的交点都为百米时，小道AB最短．【解析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系设，，求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：，求得a，b的关系，再由两点的间隔公式和根本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B的位置．此题考察根本不等式在最值问题中的运用，同时考察直线和圆相切的条件，考察化简整理的运算才能，属于中档题．。
2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期开学数学试题一、单选题1．椭圆的长轴的长等于（ ）22124x y +=AB ．C ．2D ．4【答案】D【解析】根据椭圆的方程，可求出长轴的长.【详解】椭圆中，，所以长轴的长.22124x y +=224,2a b ==24a =故选：D.2．已知复数，则复数的虚部为（ ）1+5i1+i z =z A ．B ．C ．D ．22-2i2i-【答案】A【分析】利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.【详解】,()()()()21+5i 1i 1+5i 14i 5i 32i1+i 1+i 1i 2z ⨯-+-====+⨯-所以复数的虚部为.z 2故选：A.3．经过两点A (﹣3,1)，B (0,﹣4)的直线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．143y x =-143y x =--543y x =-543y x =--【答案】D【分析】由两点坐标求得斜率，由斜截式写出直线方程．【详解】由已知直线斜率为，1(4)5303k --==---所以直线方程为．543y x =--故选：D ．4．双曲线的渐近线方程为（ ）22149x y -=-A ．B ．C ．D ．23y x=±32y x=±49y x=±94y x=±【答案】B【分析】利用双曲线的方程即可求出双曲线渐近线.【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，所以，即，y 229,4a b ==3,2a b ==所以双曲线的渐近线方程为.22149x y -=-32y x =±故选：B 5．若两条直线与相互垂直，则（ ）1:210l x ay +-=()2:2130l ax a y +-+==a A ．B ．12-0C ．或D ．或12-2-0【答案】C【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值.a a 【详解】因为，则，解得或.12l l ⊥()()221210a a a a a +-=+=12a =-0a =故选：C.6．作圆上一点处的切线，直线与直线平行，则直22:(2)(1)25C x y -+-=(2,4)P -l :30m ax y -=l 线与m 的距离为（ ）l A ．4B ．2C ．D ．85125【答案】A【分析】先求得的方程，根据平行求得，由此求得与的距离.l ,l m a l m 【详解】圆的圆心为，是圆上一点，C ()2,1C ()2,4P -，所以切线的斜率为，413224PC k -==---l 43直线的方程为，l ()442,432003y x x y -=+-+=由于与平行，所以，l m 3044320a a -=≠⇒=-即直线的方程为，m 430x y -=所以直线与.l m 4=故选：A7有实数解，则实数的取值范围是2x m =+mA ．B ．[[2,)⋃+∞[⋃C ．D ．(,[2,)-∞⋃+∞(,2][2,)-∞-+∞【答案】C【分析】由已知函数与图象有交点，作函数图象，观察可得实数的()f x =()2g x x m=+m 取值范围.有实数解等价于 与 图像有交点，2x m =+()f x =()2g x x m =+即表示等轴双曲线轴上方的部分，()f x =()2210x y y -=≥x 表示平行直线系，斜率都为2；()2g x x m=+当时，把向左平移到处，有最小值，即，故；0m ≥2y x =()1,0-m 202m m -+=∴=2m ≥当时，把向右平移到与双曲线相切时有最大值，联立化简可得0m <2y x =m 2221y x mx y =+⎧⎨-=⎩，令方程的判别式得223410x mx m +++=223410x mx m +++=24120m ∆=-=m =可得与右支相切时，故 m =m ≤综上：实数的取值范围是m [(),2,-∞⋃+∞故选：C.8．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆C 于点D ，且BF ，则椭圆C 的离心率为（ ）2BF FD =A B C ．D ．313【答案】A【分析】由题意设椭圆的焦点在轴上，，，设，由解得点坐标，x (c,0)F (0,)B b (,)D x y 2BF FD =D 代入椭圆方程，化简即可求得离心率.【详解】设椭圆的焦点在轴上，方程为，，，x 22221(0)x y a b a b +=>>(c,0)F (0,)B b 设，由，且，(,)D x y 2BF FD =(,),(,)BF c b FD x c y =-=- 故，，31,22c x y b ==-31,22c D b ⎛⎫- ⎪⎝⎭由点在椭圆上，D 故，整理得，222231221cb a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=2213c a =故离心率c e a ==故选：A.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式；ce a =②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．二、多选题9．已知平面上一点，若直线上存在点P 使，则称该直线为点M 的“相关直线”，(5,0)M l 4PM =下列直线中是点M 的“相关直线”的是（ ）A ．B ．C ．D ．1y x =+2y =430x y -=210xy -+=【答案】BC【分析】分别计算点M 到四条直线的距离,结合点M 相关直线的定义，即可得到答案.【详解】对于A ，,直线为,所以点到直线的距离为:,(5,0)M 1y x =+4d =>即点到直线的最小值距离大于4,所以直线上不存在点使成立.故A 错误，M P ||4PM =对于B ，,直线为,所以点到直线的距离为,(5,0)M 2y =M 24<所以点到直线的最小值距离小于4,M 所以直线上存在点使成立.故B 正确，P ||4PM =对于C ，,直线为,所以点到直线的距离为:,(5,0)M 430x y -=4d =所以点到直线的最小值距离等于4,M 所以直线上存在点使成立，故C 正确，P ||4PM =对于D ，,直线为,所以点到直线的距离为:,(5,0)M 210x y -+=4d =>即点到直线的最小值距离大于4,M 所以直线上不存在点使成立.故D 错误，P ||4PM =故选：BC.10．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平1:sin C y x =12移个单位长度，得到曲线，则下列结论正确的是（ ）6π2:()C y f x =A ．B ．()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．在上有2个零点D ．在上单调递增()f x [0,]π()f x ,312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】先求出的解析式，即可判断A;()f x 对于B:利用诱导公式直接证明；对于C:令 ，直接解方程即可得到答案；()sin 203f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭对于D ：直接判断单调区间即可.【详解】曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到；再把1:sin C y x =12sin 2y x =得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，所以.6π2:()C y f x =2:()sin 23C f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故A 错误.对于B: ，而.2sin 2sin 26633f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为，所以，即.故B 正确；22233x x πππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭对于C:当时，令，解得：或.即在上有2个零[0,]x π∈()sin 203f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭3x π=56x π=()f x [0,]π点.故C 正确；对于D ：当时，，所以在上单调递增.故D 正确.,312x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2,332x πππ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ,312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：BCD.11．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）,x y 22410x y x +-+=A ．B ．的最大值为y x -222x y +7+C ．D ．的最大值为yx x y +2【答案】ABC【分析】令，，，根据其几何意义求解即可.y x z -=t =yk x =m x y =+【详解】根据题意，方程，即，22410x y x +-+=22(2)3x y -+=表示圆心为(2,0)对于A ，设，即，y x z -=0x y z -+=直线与圆有公共点，0x y z -+=22(2)3x y -+=，解得≤22z -≤≤则，故A 正确；z y x =-2-对于B ，设上的点到原点的距离，t =22(2)3x y -+=所以的最大值为，t 2故的最大值为B 正确；22x y +22(27t ==+对于C ，设，则，直线与圆有公共点，yk x =0kx y -=0kx y -=22(2)3x y -+=，解得≤k ≤即C 正确；yx对于D ，设，则，直线与圆有公共点，m x y =+0x y m +-=0x y m +-=22(2)3x y -+=，解得：，≤22m ≤≤即，故D 错误；x y +2故选：ABC12．过抛物线的焦点F 作直线交抛物线于两点，M 为线段的中点，则下列结论正24y x =,A B AB 确的是（ ）A ．以线段为直径的圆与直线相交B ．以线段为直径的圆与y 轴相切AB 12x =-BM C ．当时，D ．的最小值为42AF FB = 9||2AB =||AB 【答案】ACD【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设，，在准线上的射影为，，，由抛物线A B M A 'B 'M '的定义和中位线定理、直线和圆的位置关系，即可判断A ；当直线的斜率不存在时，显然成立；当直线的斜率存在时，设为1，求得，，的横AB AB A B M 坐标，由直线和圆的位置关系可判断B ；以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，设，，，F x 21cos ρθ=-1(A ρ)θ2(B ρ，求得，，可判断C ；)πθ+||AF ||FB 考虑直线垂直于轴，取得最小值，可判断D ．AB x 【详解】解：的焦点，准线方程为，24y x =(1,0)F =1x -设，，在准线上的射影为，，，A B M A 'B 'M '由，，，||||AF AA '=||||BF BB '=111||(||||)(||||)||222MM AA BB AF FB AB '''=+=+=可得线段为直径的圆与准线相切，与直线相交，故A 对；AB 12x =-当直线的斜率不存在时，显然以线段为直径的圆与轴相切；AB BM y 当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得AB AB y kx k =-24y x =，2222(24)0k x k x k -++=设，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y可得，，设12242x x k +=+121=x x 13x =+23x =-可得的横坐标为，的中点的横坐标为，，M 221k +MB 2212(1)2x k ++222||1|BM x k =--当时，的中点的横坐标为，显然以线段为直径的圆与轴相交，故1k =MB 521||22MB =BM y B 错；以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，F x 21cos ρθ=-设，，，，可得，，1(A ρ)θ2(B ρ)πθ+121cos ρθ=-2221cos()1cos ρπθθ==-++可得，又，可得，，则111cos 1cos 1||||22AF BF θθ-++=+=||2||AF FB =||3AF =3||2FB =，故C 正确；9||||||2AB AF FB =+=显然当直线垂直于轴，可得取得最小值4，故D 正确．AB x ||AB 故选：ACD ．三、填空题13．已知圆和圆外切，则_____222:(3)(0)C x y r r -+=>22:870D x y y +-+=r =【答案】2【分析】根据两圆外切列方程，化简求得.r 【详解】圆的圆心为，半径为.C ()3,0r圆的圆心为.D ()0,43=，5=由于两个圆外切，所以.352r r +=⇒=故答案为：214．直线与圆交于两点，则最小值为______.1y kxk =-+224x y +=,A B AB【答案】【分析】求出直线过定点，然后结合圆的性质分析出当直线与OA 垂直时，弦长1y kx k =-+()1,1A 最短，然后结合垂径定理即可求解.【详解】直线过定点过，因为点在圆的内部，且，由圆1ykx k =-+()1,1M ()1,1MOM 中弦的性质知当直线与OM 垂直时，弦长最短，此时结合垂径定理可得AB 故答案为：15．直线l 被两条直线l 1：4x +y +3＝0和l 2：3x ﹣5y ﹣5＝0截得的线段的中点为P （﹣1，2），则直线l 的斜率为 _____.【答案】3-【分析】先设一个交点，再表示另一个交点，接着联立方程求出A ，B 两()00,A x y ()002,4B x y ---点坐标，即可求出直线l 的斜率.【详解】设直线l 与的交点为，直线l 与的交点为.1l()00,A x y 2l B 由已知条件，得直线l 与的交点为，2l ()002,4B x y ---联立，()()0000430325450x y x y ++=⎧⎨-----=⎩即，解得，000043035310x y x y ++=⎧⎨-+=⎩0025x y =-⎧⎨=⎩所以，，，(2,5)A -()0,1B -直线l 的斜率，()1563022k ---===---故答案为：.3-16．已知是双曲线左右焦点，过的直线与双曲线的左右支分别交于12,F F 22221(0,0)x y a b a b -=>>1F l A 、B 两点，若＝2a ，，则________1AF 1223F AF π∠=122AF F ABF S S = 【答案】##0.512【分析】根据双曲线定义得,再根据三角形面积公式得结果.2||AF AB ，【详解】因为，所以，212AF AF a-=12,AF a =24AF a=因为,所以,122B F B F a-=1222,BA AF BF a BA BF +-==因为，所以，2123F AF π∠=22,||4||43F AB F A a AB aπ∠==∴= 因此122121221|||sin||2123,1|42|||sin 23AF F ABF AF AF S AF a S AF a AB AF ====2π|π|| 故答案为：.12四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.(1)若2b cos C ＝2a ﹣c ，求角B ；(2)若，求证：tan C ＝2tan A .22213a b c +=【答案】(1)；3B π=(2)证明见解析．【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用诱导公式、两角和的正弦公式化简后可得角；B （2）已知代入余弦定理得，再由正弦定理化边为角，由诱导公式、两角和的正弦公式变cos 3bC a =形后可证．【详解】（1）∵,∴由正弦定理得，2cos 2b C a c =-2sin cos 2sin sin B C A C =-，2sin cos sin 2sin 2sin()2(sin cos cos sin )B C C A B C B C B C +==+=+，是三角形内角，，，sin 2cos sin C B C =C sin 0C ≠1cos 2B =是三角形内角，∴；B 3B π=（2）∵，22213a b c +=所以，22222221()3cos 223a b a b a b c b C ab ab a +-++-===即，∴，sin cos 3sin BC A =3sin cos sin sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+，cos sin 2sin cos A C A C =，显然，，因此是锐角，，显然，22213a b c +=a c <A C <A cos 0A ≠cos 03b C a =≠所以．tan 2tan C A =18．在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，ABC BC 210x y -+=A ∠0y =若点的坐标为.B ()1,2(1)求点和点的坐标；A C (2)求边上的高所在的直线的斜截式方程.AC l 【答案】(1)，.(1,0)A -(5,6)C -(2)1y x =+【分析】（1）联立方程组求解即可；（2）由（1）得直线的斜率为即可解决.l 1k =【详解】（1）由已知应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，A BC A∠由，2100x y y -+=⎧⎨=⎩得，故，10x y =-⎧⎨=⎩(1,0)A -由，1AC AB k k =-=-1212BC k =-=-所以所在直线方程为，AC (1)y x =-+所在直线方程为，BC 22(1)y x -=--由，得(1)22(1)y x y x =-+⎧⎨-=--⎩(5,6)C -所以点和点的坐标为，.A C (1,0)A -(5,6)C -（2）由（1）知所在直线方程为，AC 10x y ++=所以直线的斜率为，l 1k =因为，()1,2B 所以直线所在的方程为，即，l 21y x -=-1y x =+所以直线的斜截式方程为.l 1y x =+19．如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.22(2)4x y -+=（1）求抛物线的方程；（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求A B C D 的值.||||AB CD +【答案】（1）圆 的圆心坐标为，(2,0)即抛物线的焦点为,……………………3分(2,0)F ∴ ∴抛物线方程为……………………6分4p = 1. 由题意知直线AD 的方程为…………………7分即代入得=0设，则，1122(,)(,)A x y D x y 、126x x +=……………………11分126410AD x x p =++=+=∴【分析】（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果；22y px =（2）先由题意得出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再由为圆的直径，AB AB AD CB 即可求出结果.【详解】（1）设抛物线方程为， 22(0)y px p =>圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴．()22222x y -+=4p =抛物线的方程为：；∴28y x =（2）依题意直线的方程为AB 24y x =-设，，则，得，()11,A x y ()22,D x y 2248x x y x =-⎧⎨=⎩2640x x -+=，．126x x ∴+=126410AD x x p =++=+=．1046AB CD AD CB +=-=-=【点睛】本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型.20．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线，22:21M x y +-=（）:20l x y -=P l P M PA ，切点为.PB ,A B (1)若，试求点的坐标；60APB ∠=︒P (2)求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.A P M 【答案】(1)，或.()0,084,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析，定点和()0,242,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用点在直线上及直角三角形中的锐角三角函数，结合两点间的距离公式即可求解；（2）根据已知条件及经过，，三点的圆是以为圆心，为半径的圆，进而得到该圆的A P M Q MQ 方程，根据其方程是关于的恒等式即可求解.m 【详解】（1）设，()2,P m m 因为是圆的切线，，PA M 60APB ∠=︒所以,，30APM ∠=︒12sin 30MP ==︒所以，解得， ，()22224m m +-=（）0m =45m =故所求点的坐标为，或.P ()0,084,55⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）设，的中点，()2,P m m MP ,12m Q m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为是圆的切线，PA M 所以经过，，三点的圆是以为圆心，为半径的圆。
山东省聊城市临清先锋中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，定义域是且为增函数的是（）A. B. C. D.参考答案：A2. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，，，则等于（）A. 132B. 66C. 110D. 55参考答案：A【分析】设等差数列的公差为d,根据题意明确公差，进而得到，又，从而得到结果.【详解】设等差数列的公差为d,则即，∴，∴，故选A【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，考查等差数列的性质，是基础题．3. 已知是等比数列，，则公比等于( )A．2 B．C．D．参考答案：A略4. i为虚数单位，若，则|z|=( )A．1 B．C．D．2参考答案：A考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数模的运算性质，将已知关系式等号两端取模，即可即可求得答案解答：解：∵，∴|||z|=||，即2|z|=2，∴|z|=1，故选：A．点评：本题考查了复数求模、熟练应用模的运算性质是关键，属于基础题．5. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（）A. B. 1 C. 2 D.参考答案：A【分析】作出不等式的可行域，的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率的倒数，由斜率的最大值即可得解.【详解】作出不等式组构成的区域，的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率的倒数，由图象知的斜率最大，由得，所以，此时.故选A.【点睛】常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：的几何意义为可行域内的点到直线的距离的倍的几何意义为可行域内的点到点的距离的平方。
几何意义为可行域内的点到点的直线的斜率.6. 已知，则A．B．C．D．参考答案：C略7. 对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为（）A．2.25，2.5 B．2.25，2.02 C．2，2.5 D．2.5，2.25参考答案：B【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】根据频率分布直方图，结合众数和中位数的定义进行求解即可．【解答】解：由频率分布直方图可知，数据在[2，2.5]之间的面积最大，此时众数集中在[2，2.5]内，用区间.2的中点值来表示，∴众数为2.25．第一组的频率为0.08×0.5=0.05，对应的频数为0.05×100=5，第二组的频率为0.16×0.5=0.08，对应的频数为0.08×100=8，第三组的频率为0.30×0.5=0.15，对应的频数为0.15×100=15，第四组的频率为0.44×0.5=0.22，对应的频数为0.22×100=22，第五组的频率为0.50×0.5=0.25，对应的频数为0.25×100=25，前四组的频数之和为5+8+15+22=50，∴中位数为第4组的最后一个数据以及第5组的第一个数据，则对应的中位数在5组内且比2大一点，故2.02比较适合，故选：B．【点评】本题考查频率分布直方图、利用频率分布直方图进行总体估计：求中位数以及众数的定义，比较基础．8. 从一批产品中取出三件产品，设三件产品全是正品，三件产品全是次品，三件产品不全是次品，则下列结论不正确的是（）A．A与B互斥且为对立事件B．B与C为对立事件C．A与C存在着包含关系D．A与C不是互斥事件参考答案：A略9. 已知复数z的模为2，则的最大值为（）A．1 B．2 C．D ．3参考答案：D10. 矩形两边长分别为、，且，则矩形面积的最大值是A. B. C. D.参考答案： B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数对于任意实数满足条件，若则______。
数学基础知识复习高二数学基础精练 （53）1）执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是（ ）（A ）8（B ）5（C ）3（D ）2（ 2）已知函数|lg |,010()16,102x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且 ()()()f a f b f c == ，则abc 的取值范围是（ ）（A ）(1,10)（B ）(5,6) （C ）(10,12) （D ）(20,24)（ 3）三个数21log ,)21(,33321===c b a 的大小关系为 ． （ 4）给出下列四个命题①平行于同一平面的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任何直线都平行；④如果一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直．其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）．（ 5）已知直线l :1y x =+和圆C:2212x y +=，则直线l 与圆C 的位置关系为 ．（ 6）近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车保有量急剧增加，我国许多大城市灰霾现象频发，造成灰霾天气的“元凶”之一是空气中的pm2.5（直径小于等于2.5微米的颗粒物）.右图是某市某月（按30天计）根据对“pm2.5”24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月有 天“pm2.5”含量不达标． （ 7）（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．（ 8）（本小题满分12分）如图，在三棱锥S －ABC 中，BC ⊥平面SAC ，AD ⊥SC ．（I ）求证：AD ⊥平面SBC ；（II ）试在SB 上找一点E ，使得BC //平面ADE ，并证明你的结论．数学参考答案答案 C C60分）（ 3）a b c <<； （ 4）②④； （ 5）相切； （ 6）276．该市当月“pm2.5”含量不达标有801001601206020()0.0053027333333+++++⨯⨯=（天）;AB C DSE(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是 3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ……………………（5分） ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6.…………………………………（7分） 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时， 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大值2. …………………………………………（9分） 综上，3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.……………………（10分）（ 8）（本小题满分10分）（I ）证明： BC ⊥平面SAC ，AD ⊂平面SAC ，∴BC ⊥AD ，又∵AD ⊥SC ，BC SC C =，BC ⊂平面SBC ， ⊂SC 平面SBC ，∴AD ⊥平面SBC ． …………（5分） （II ）过D 作DE //BC ，交SB 于E ，E 点即为所求． ∵BC //DE ，BC ⊄面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴BC //平面ADE ． …。
高二上数学练习册答案第一章函数与极限1.1 函数概念与函数实例问题1解答：函数的定义：设A、B为非空集合，如果按照某种确定的对应关系，对于A中的每一个元素a，都有唯一确定的B中的元素f(a)与它对应，那么就称f为从A到B的函数，记作：f：A→B，称A中每一个元素a为元素a的前象，称B中每一个元素b为元素b的后象。
函数的实例：以下是几个函数的实例1.线性函数：y = kx（k为常数）。
2.幂函数：y = x^k（k为常数）。
3.指数函数：y = a^x（a为底数）。
4.对数函数：y = log_a(x)（a为底数）。
1.2 二次函数与一次不等式问题1解答：设二次函数 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），其对称轴方程为 x = h。
则有以下结论：1.对称轴方程：x = -b/2a。
2.判别式：Δ = b^2 - 4ac。
3.若Δ = 0，则二次函数有一个实根；若Δ > 0，则二次函数有两个不相等的实根；若Δ < 0，则二次函数无实根。
问题2解答：一次不等式的解法如下：1.当 a > 0 时，不等式变号保持不变。
–若 a x + b < c，则 x > (c - b) / a；–若 a x + b > c，则 x < (c - b) / a；–若a x + b ≥ c，则x ≥ (c - b) / a；–若a x + b ≤ c，则x ≤ (c - b) / a。
2.当 a < 0 时，不等式变号改变。
–若 a x + b < c，则 x < (c - b) / a；–若 a x + b > c，则 x > (c - b) / a；–若a x + b ≥ c，则x ≤ (c - b) / a；–若a x + b ≤ c，则x ≥ (c - b) / a。
第二章三角函数基础2.1 三角比与三角函数问题1解答：三角比与三角函数的关系如下：1.正弦函数：sinθ = 对边 / 斜边。
第1章导数及其应用第1课时平均变化率教学过程一、问题情境现有某市某年3月和4月某天日最高气温记载如下:时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃“气温陡增”这一句生活用语,用数学方法如何刻画?二、数学建构问题1“气温陡增”是一句生活用语,它的数学意义是什么?(形与数两方面)[1]问题2如何量化(数学化)曲线上升的陡峭程度?[2]解通过讨论,给出函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率:.概念理解1.具体计算函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率可用==,应注意分子、分母的匹配.2.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势,从定义看,f(x)在区间上的平均变化率就是直线AB的斜率.巩固概念问题3回到问题情境中,从数和形两方面对平均变化率进行意义建构.解从数的角度:3月18日到4月18日的日平均变化率约为0.5;4月18日到4月20日的日平均变化率为7.4.从形的角度:比较斜率的大小.[3]三、数学运用【例1】设函数f(x)=x2-1,当自变量x由1变到1.1时,求:(1)自变量的增量Δx;(2)函数的增量Δy;(3)函数的平均变化率.[处理建议]根据定义来求解.[规范板书]解(1)Δx=1.1-1=0.1.(2) Δy=1.12-1-(12-1)=0.21.(3)==2.1.[题后反思]求平均变化率时关键在于理解定义,知道Δx与Δy分别指的是什么.【例2】(教材第7页例4)已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率.(见学生用书P2)[处理建议]可回顾“必修2”中关于直线斜率的内容,让学生体会的含义.[规范板书]解函数f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=2,函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为=2,函数g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=-2,函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为=-2.[题后反思]一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率就等于k.变式若质点运动规律为S=5t+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度等于5.【例3】如图所示,路灯距地面8m,一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走,求人影长度的变化速率.(结果以m/s为单位)(例3)[处理建议]首先理解题意,其次分析影子长度在图中变化的关系.[规范板书]解84m/min=1.4m/s.设人的影长为y,时间为x,根据相似三角形列式== ,得y=x,人影长度变化速率为v===.[题后反思]几何类应用题需观察图形,数形结合地考虑问题.*【例4】已知函数f(x)=2x2+1,分别计算函数f(x)在区间[1,4],[1,2],[1,1.5]上的平均变化率.[处理建议]引导学生利用平均变化率的概念解题.[规范板书]解在[1,4]上的平均变化率为=10,在[1,2]上的平均变化率为=6,在[1,1.5]上的平均变化率为=5.变式已知函数f(x)=,计算函数f(x)在区间[1,2]上的平均变化率.[规范板书]解在[1,2]上的平均变化率为=-.*【例5】求函数y=x3在x0到x0+Δx之间的平均变化率.[处理建议]本题与前面几个例题的区别在于:由字母代替具体区间,但是处理问题仍然只需抓住本质,利用平均变化率的概念解题.[规范板书]解当自变量从x0到x0+Δx时,函数的平均变化率为=3+3x0Δx+Δx2.变式求函数f(x)=在区间内的平均变化率.[规范板书]解===.四、课堂练习1.黄金周期间,若本市某大型商场的日营业额从1500万元增加到4300万元,则该商场黄金周期间日营业额的平均变化率是400.提示利用平均变化率的概念.2.函数f(x)=5x+4在区间[0,1]上的平均变化率是5.提示一次函数在区间上的平均变化率即为斜率.3.若函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则m的值为2.提示由=3,得m=2.4.已知正方形原来的边长为4m,现在边长以 2 m/s的速度增加,若设正方形的面积为S(单位:m2),时间为t(单位:s),则由时间t(s)到t+1(s)时正方形的面积增加了(20+8t)m2.提示S=(4+2t)2,则ΔS=(6+2t)2-(4+2t)2=20+8t(m2).五、课堂小结1.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为.2.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,是一种粗略的刻画.第2课时曲线上一点处的切线教学过程一、问题情境平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势,提出问题:如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?(点P附近的曲线的研究)提出“放大图形”的朴素方法.[3]展示下图:(图1)(图2)二、数学建构问题1观察“点P附近的曲线”,随着图形放大,你看到了怎样的现象?解曲线在点P附近看上去几乎成了直线;继续放大,曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l,这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线.问题2“几乎成了一条直线”,这么一条特殊的直线有明确位置么?又为什么说是“几乎”呢?(图3)解点P附近可以用这条直线l代替曲线,用直线l的斜率来刻画曲线经过P点时的变化趋势.问题3怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l呢?以右图为例.解随着点Q沿曲线向点P运动,直线PQ在点P附近越来越逼近曲线.[4]概念生成动画演示,观察点Q的运动,直线PQ的运动,直线PQ斜率的变化,从而生成概念.(图4)(图5) Q为曲线上不同于点P的一点,这时,直线PQ称为曲线的割线;当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l 就称为曲线在点P处的切线.[5]问题4对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型,在这里平均变化率表现为什么?我们又用怎样的数学模型来刻画曲线上P点处的变化趋势呢?由切线的概念来求切线斜率,割线斜率无限逼近即成切线斜率.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于点P(x,f(x))处切线的斜率.[6]三、数学运用【例1】用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线.(见学生用书P3)(例1(1))(例1(2))(1)初中平面几何中圆的切线的定义是什么?(2)图(1)中和图(2)中切线与曲线公共点的个数分别是多少?公共点的个数是否适用于一般曲线的切线的定义的讨论?你能否用函数曲线的切线举出反例?[处理建议]让学生亲自作图,从图形观察出问题的答案,体现数形结合思想.[规范板书]解(1)与圆只有1个公共点的直线称为圆的切线.(2)图(1)中1个;图(2)中2个;不适用.[题后反思]强调曲线上一点处切线的斜率的定义,圆上一点处的切线只是曲线上一点处切线的特殊情况.[7]变式曲线y=x3在点(1,1)处的切线与曲线有几个交点?[规范板书]解2个.【例2】(教材第9页例1)已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率.(见学生用书P4)[处理建议]为求得在点(2,4)处的切线斜率,我们从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手.[规范板书]解设P(2,4),Q(2+Δx,(2+Δx)2),则割线PQ的斜率为k PQ==4+Δx,当Δx无限趋近于0时,k PQ无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.[题后反思]本题教学手法可以多样化,比如作出图象加强直观,还可取Δx<0进行比较.如有条件,可利用计算机分别演示数值逼近和图形逼近的过程,使数形结合更加紧密.变式已知f(x)=x-1,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率.[规范板书]解设P(-1,-1),Q-1+Δx,,则割线PQ的斜率为k PQ==,当Δx无限趋近于0时,k PQ无限趋近于常数-1,从而曲线y=f(x)在点P(-1,-1)处的切线斜率为-1.【例3】已知曲线y=在点(1,4)处的切线与直线l平行,且与l的距离等于,求直线l 的方程.(见学生用书P4)[处理建议]应用平行直线的斜率关系和距离公式.[规范板书]解==-.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-4,所以曲线在点(1,4)处的切线的斜率为-4,故切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0.设直线l的方程为4x+y+c=0,由题有=,解得c1=9,c2=-25,所以直线l的方程为4x+y+9=0或4x+y-25=0.[题后反思]进一步让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线的步骤:(1)求差商;(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=k(x-x0).变式若直线y=3x+1是曲线y=ax2的切线,求a的值.[处理建议]本题需注意切点既满足曲线方程,又满足切线方程.[规范板书]解设切点为(x,ax2),==2ax+aΔx.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2ax,所以曲线在切点处的切线的斜率为2ax.由可求得a=-.*【例4】试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.[处理建议]本题应设出切点(x 0,),求出相应的切线方程,再利用此方程过点P(3,5),用待定系数法求出x0.[规范板书]解设所求切线的切点坐标为(x 0,),==2x0+Δx,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2x0,所以曲线在切点处的切线的斜率为2x0,则所求切线方程可表示为y-=2x0(x-x0),因为切线过点P(3,5),所以5-=2x0(3-x0),解得x0=1或5,即所求的切线有两条,方程分别是y=2x-1和y=10x-25.[题后反思]本题会误以为点P(3,5)是切点,导致过点P(3,5)处的切线斜率为6的错误.变式求曲线y=x3的过点(-1,-1)的切线方程.[规范板书]解设所求切线的切点坐标为(x 0,),==3+3x0Δx+Δx2,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于3,所以曲线在切点处的切线的斜率为3,则所求切线方程可表示为y-=3(x-x0),因为切线过点(-1,-1),所以-1-=-3(x0+1),解得x0=-1或,即所求的切线有两条,方程分别是y=3x+2和y=x-.[题后反思]易误以为点(-1,-1)一定是切点,没有讨论点(-1,-1)是切点和不是切点两种情况.四、课堂练习1.在下列曲线中,可以用割线逼近切线的方法作出过点P的切线的有②②.(填序号)(第1题)2.求曲线y=在点(1,)处的切线的斜率.解设P(1,),Q(1+Δx,),则割线PQ的斜率为k PQ==.当Δx无限趋近于0时,k PQ无限趋近于常数,从而曲线y=f(x)在点(1,)处的切线斜率为.3.已知抛物线y=ax2+bx-7过点(1,1),过点(1,1)的抛物线的切线方程为y=4x-3,求a,b的值.解利用求切线斜率的方法可求出在(1,1)的斜率为2a+b,所以可得a=-4,b=12.五、课堂小结[8]1.知识层面:主要学习了曲线上一点处的切线.2.思想方法层面:利用“局部以直代曲”和“无限逼近”的思想,用割线来逼近切线.3.总结我们经历过的“以直代曲”“无限逼近”的生活实例和数学实例.[9]第3课时瞬时速度与瞬时加速度教学过程一、问题情境在物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度,它反映了物体在某段时间内运动的快慢程度,那么,如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢?先看实例.跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t s后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定t=2s时运动员的速度.[1]二、数学建构问题1求出运动员在2s到2.1s(即t℃[2,2.1])的平均速度.解==-13.59(m/s).问题2:利用计算器,请分组算出更短的时间内的平均速度.解t℃[2,2.01],==-13.149;t℃[2,2.001],==-13.1049;t℃[2,2.0001],==-13.10049;t℃[1.9,2], =-12.61;t℃[1.99,2],=-13.051;t℃[1.999,2],=-13.0951.问题3观察所得的数据,你能发现当Δt无限逼近于0时,平均速度无限逼近于什么?[2]解-13.1.概念生成一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.问题4类比瞬时速度的概念,你能否概括出瞬时加速度的概念?解一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率.[3]三、数学运用【例1】(教材第12页例2)已知一辆轿车在公路上作加速直线运动,假设t s时的速度为v(t)=t2+3,求当t=t0 s时轿车的瞬时加速度a.(见学生用书P5)[处理建议]利用瞬时加速度的定义,先求平均加速度.[规范板书]解在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均加速度为====2t0+Δt,当Δt→0时,→2t 0,即a=2t0.所以,当t=t0 s时轿车的瞬时加速度为2t0.变式物体运动的速度v与时间t的关系是v(t)=t2+4t,求t=2时物体的瞬时加速度.解在2到2+Δt的时间内,轿车的平均加速度为===8+Δt,当Δt→0时,→8,即a=8.所以,当t=2时轿车的瞬时加速度为8.【例2】一作直线运动的物体,其位移S与时间t的关系式是S=3t-t2.(见学生用书P6)(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;(3)求t=0到t=2的平均速度.[处理建议]初速度是t=0时的瞬时速度,本题需先求出平均速度,然后利用瞬时速度的定义进行求解.[规范板书]解在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均速度为===(3-2t0)-Δt,当Δt→0时,→3-2t0.所以,当t=t0时轿车的瞬时速度为3-2t0.(1)v(0)=3.(2)v(2)=-1.(3)==-2.[题后反思]本题应注意瞬时速度与平均速度的区别.变式一质点沿直线运动,运动方程为S=10+8t-4t2,其中t单位为s,S单位是m.(1)计算[t,t+Δt]内的平均速度;(2)求当t=0,1,2,3时刻的速度.[规范板书]解(1)在t到t+Δt的时间内,轿车的平均速度为===8-8t-4Δt.(2)由(1)知,当Δt→0时,→8-8t,所以t s时轿车的瞬时速度为8-8t(m/s).t=0s时的速度为8 m/s,t=1 s时的速度为0 m/s,t=2 s 时的速度为-8 m/s,t=3 s时的速度为-16 m/s.【例3】某容器里装有1 L纯酒精,现以每秒L的速度往容器里注水,求酒精浓度在某时刻t的变化率.(见学生用书P6)[处理建议]本题应找出浓度的瞬时变化率与瞬时速度的共同点,为导数的形式化定义作铺垫.[规范板书]解酒精浓度随时间变化的表达式为c(t)==,在t到t+Δt的时间内,酒精的平均浓度为===,当Δt→0时,→.所以,当t s时酒精的瞬时变化率为.[题后反思]通过本题的讲解,进一步让学生体会瞬时变化率的本质,更好地理解概念.变式设电量Q与时间t的函数关系为Q=2t2+3t+1,其中Q的单位为C,t的单位为s,求t=3s时的电流强度.[处理建议]赋予不同的实际背景,某时刻的电流强度即为电量的瞬时变化率.[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,电量的平均变化率为===2Δt+4t+3.当Δt→0时,→4t+3.所以3s时的电流强度为15A.*【例4】若一物体的运动方程是S=5t+t2(位移单位:m;时间单位:s),则下述结论中正确的是②②②.(填序号)②物体在时间段[0,1]内的平均速度是m/s;②物体在t=1s时的瞬时速度是8 m/s;②物体在时间段[0,1]内经过的位移是8m;②物体在时间段[0,1]内经过的位移是m.[处理建议]本题需注意平均速度与瞬时速度是两个不同的概念.变式若作直线运动的物体的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的关系为v(t)=t2,则在前3 s内的平均加速度是3 m/s2,在t=3 s的瞬时加速度是6 m/s2.提示前3s内的平均加速度是=3(m/s2).在t到t+Δt的时间内,物体的平均加速度为===2t+Δt,当Δt→0时,→2t.所以3s时的瞬时加速度为6 m/s2.[题后反思]易误以为前3 s内的平均加速度是=(m/s2).四、课堂练习1.若一质点沿直线运动的方程为y=-2x2+1(x表示时间,y表示位移),则该质点从x=1到x=2的平均速度为-6.提示==-6.2.已知一物体的运动方程是S=t3+2t(t(s)表示时间,S(m)表示位移),那么瞬时速度为14 m/s的时刻是2s.提示在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===3tΔt+3t2+2.当Δt→0时,→3t2+2,所以,时刻t s的瞬时速度为3t2+2.由题意得3t2+2=14,t=2 s.3.若某物体的运动方程为S=t4-3(t(s)表示时间,S(m)表示位移),则t=5 s时该物体的瞬时速度为125 m/s.提示在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===t3+(Δt)3+t(Δt)2+t2Δt,当Δt→0时,→t3.所以,时刻t s的瞬时速度为t3,由题意,当t=5s时,瞬时速度为125 m/s.五、课堂小结1.平均速度的定义.2.瞬时速度的定义.3.求瞬时速度和瞬时加速度的方法和过程.[4]第4课时瞬时变化率——导数(1)教学过程一、数学运用【例1】已知f(x)=,求曲线y=f(x)在x=处的切线斜率.(见学生用书P8)[处理建议]让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率的步骤:(1)求差f(x0+Δx)-f(x0);(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率为k.[规范板书]解==-.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-,所以曲线在x=处的切线斜率是-.[题后反思]本题应注意分子有理化,再用逼近思想处理.变式已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求点A处的切线的斜率与切线方程.[规范板书]解设A(1,2),B(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线AB的斜率为k AB==4+2Δx,当Δx无限趋近于0时,k AB无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点A(1,2)处的切线斜率为4,所求切线方程为4x-y-2=0.【例2】物体自由落体的运动方程为S=S(t)=gt2,其中位移S的单位为m,时间t的单位为s,g=9.8 m/s2,求t=3 s时的瞬时速度.(见学生用书P8)[处理建议]瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率.[规范板书]解取一小段时间[3,3+Δt],位移改变量ΔS==g(3+Δt)2-=g·32=(6+Δt)Δt,平均速度==g(6+Δt),当Δt→0时,g(6+Δt)→3g=29.4,即瞬时速度v=29.4 m/s.[题后反思]若求t=3s时的瞬时加速度呢?变式设一物体在t s内所经过的路程为S m,并且S=4t2+2t-3,试求物体分别在运动开始及第5s末的速度.[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===8t+2+4Δt,当Δt→0时,→8t+2,所以,时刻t s的瞬时速度为8t+2,由题意,物体在第5s末的瞬时速度是42 m/s,在运动开始时的速度为2 m/s.【例3】如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.(见学生用书P8)[处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值.[规范板书]解设切点坐标为(x,x3+x-10),==3x2+1+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+1+3xΔx+(Δx)2→3x2+1,由题得,3x2+1=4℃x=1或-1.所以切点坐标为(1,-8),此时切线方程为4x-y-12=0;或切点坐标为(-1,-12),此时切线方程为4x-y-8=0.变式已知曲线y=x2上过某一点的切线分别满足下列条件,求此点:(1)平行于直线y=4x-5;(2)垂直于直线2x-6y+5=0;(3)与x轴成135°的倾斜角.[处理建议]利用导数的概念及两直线的位置关系来求解.[规范板书]解设P(x0,y0)是满足条件的点.==2x0+Δx,当Δx→0时,2x0+Δx→2x0.(1)因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4℃x0=2,y0=4,即P(2,4).(2)因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0·=-1℃x0=-,即P.(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=-1,即2x0=-1℃x0=-,即P-,.*【例4】设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),求a,b的值.[处理建议]利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程来求解.[规范板书]解利用导数的定义可得f'(x)=3x2-6ax+3b,由于函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f'(1)=-12,解得a=1,b=-3.变式已知f(x)=ax4+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,求a,b,c.[处理建议]利用导数的几何意义——函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率——来求解.[规范板书]解由题意有解得.二、课堂练习1.借助直尺,用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线:(第1题)解(第1题)2.质点沿x轴运动,设距离为x(m),时间为t(s),x=10+5t2,则当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均速度为10t0+5Δt(m/s);当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0(m/s);当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为10(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为10(m/s2).提示当t0≤t≤t0+Δt时,==10t0+5Δt(m/s);当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0(m/s);当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为=10(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为10(m/s2).3.已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为1.提示将点(2,8)代入切线方程可得a=1.三、课堂小结1.曲线上一点处的切线的求法.2.运动物体的瞬时速度和瞬时加速度,学会用运动学的观点理解和解决实际问题.3.导数的定义及几何意义.第5课时瞬时变化率——导数(2)教学过程一、问题情境跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t s后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定运动员在某个时刻t0的瞬时速度.如果将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?二、数学建构问题1高台跳水运动中,运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示?解如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移h(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.问题2将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?解如果当Δx无限趋近于0时,函数y=f(x)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为函数在x=x0处的瞬时变化率.概念生成设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0℃(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0).[1]巩固概念问题3导数f'(x0)的几何意义是什么?解导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.问题4通过概念中导数的形式能否概括出求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤?解②求Δy;②求;②当Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则常数A即为f(x)在x=x0处的导数.问题5f'(x)是不是一个函数?解若函数y=f(x)在区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f'(x).在不引起混淆时,导函数f'(x)也称为f(x)的导数.问题6运动物体的位移S(t)对于时间t的导数是什么?运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数是什么?解瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数,瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数.问题7如何理解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)?解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是函数f'(x)在x=x0处的函数值,而不是f(x0)的导数.三、数学运用【例1】(教材第13页例3)已知f(x)=x2+2.(见学生用书P9)(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a处的导数.[处理建议]本题要求学生表述格式规范化.[规范板书]解(1)因为===2+Δx,当Δx→0时,2+Δx→2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2)因为===2a+Δx,当Δx→0时,2a+Δx→2a,所以f(x)在x=a处的导数等于2a.[题后反思]巩固强化导数的内涵,使学生理解导数概念的本质.通过此例,我们由函数f(x)在x=x0处的导数引出函数在区间(a,b)上的导函数的概念.变式求函数y=在x=2处的导数.[规范板书]解因为===-,当Δx→0时,-→-,所以f(x)在x=2处的导数等于-.【例2】在曲线y=x3上一点P处作切线,使该切线与直线y=--5垂直,求此切线的方程.(见学生用书P10)[处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值,本题结合两垂直直线的斜率关系进行解题.[规范板书]解设点P(x,x3),===3x2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+3xΔx+(Δx)2→3x2,所以f(x)在点P处的导数等于3x2.由题可知,3x2=3℃x=1或-1,所以切线方程为3x-y-2=0或3x-y+2=0.[题后反思]本题应利用导数的几何意义解题.【例3】已知f(x)=x3-2x+1,求f'(x)及f'(2).(见学生用书P10)[处理建议]学生学习一种新的记号需要一个理解适应的过程,因此,对于本题,给予学生时间思考.[规范板书]解因为==3x2-2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2-2+3xΔx+(Δx)2→3x2-2,所以f'(x)=3x2-2,f'(2)=10.[题后反思]f(x)在x=2处的导数f'(2)就是函数f'(x)在x=2处的函数值.变式已知成本c与产量q的函数关系式为c(q)=3q+4q2,则当产量q=6时,求边际成本c'(6).[规范板书]解====3+8q+4Δq,当Δq→0时,3+8q+4Δq→3+8q,即c'(q)=3+8q,c'(6)=51.[题后反思]c(x)在x=a处的导数c'(a)称为生产规模为a时的边际成本值.*【例4】已知f(-x)=f(x)对任意实数x都成立,且f'(-x0)=-k(k≠0),求f'(x0).[处理建议]本题利用导数的概念进行推导.[规范板书]解=.当Δx→0时,上式无限逼近于-f'(x0),所以f'(x0)=k.变式已知f(x+1)-f(1)=2x2+x,求f'(1).[规范板书]解=2x+1,当x→0时,2x+1→1,所以f'(1)=1.四、课堂练习1.设f(x)=ax2+3,若f'(1)=2,则a=1.提示f'(x)=2ax,由f'(1)=2得a=1.2.函数f(x)=2x2+3x的导数为f'(x)=4x+3.提示因为==4x+3+2Δx.当Δx→0时,4x+3+2Δx→4x+3,即f'(x)=4x+3.3.若函数y=f(x)在点x℃(-1,1)内的导函数为f'(x),则下列说法正确的是②.(填序号)②在x=x0处的导数为f'(x0);②在x=1处的导数为f'(1);②在x=-1处的导数为f'(-1);②在x=0处的导数为f'(0).五、课堂小结1.导数的几何意义.2.导数的物理意义.3.由定义求导数的步骤.第6课时常见函数的导数教学过程一、问题情境前面我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念,那么,如何求函数的导数呢?二、数学建构问题1回顾前面所学内容,能否归纳出求导数的一般步骤?解给定函数y=f(x),计算=,令Δx→0时,→A(x),则f'(x)=A(x).活动1根据求导数的一般步骤,求下列函数的导数.②y=kx+b(k,b为常数).解因为===k,当Δx→0时,→k,所以f'(x)=k.引申:特别地,当k=0时,有f'(x)=0;当k=1,b=0时,有f'(x)=1.②f(x)=x2.解因为===2x+Δx,当Δx→0时,→2x,所以f'(x)=2x.②f(x)=x3.解因为===3x2+3x(Δx)+(Δx)2,当Δx→0时,→3x2,所以f'(x)=3x2.②f(x)=.解因为===,当Δx→0时,→-,所以f'(x)=-.②f(x)=.解因为===,当Δx→0时,→,所以f'(x)=.问题2你能根据上述②~②发现什么结论?几个常用函数的导数:②(kx+b)'=k(k,b为常数);②(C)'=0(C为常数);②(x)'=1;②(x2)'=2x;②(x3)'=3x2;②=-;②()'=.对于基本初等函数,有下面的求导公式(教师直接给出公式):②(xα)'=αxα-1(α为常数);②(a x)'=a x ln a(a>0,且a≠1);②(lo x)'=log a e=(a>0且a≠1);(e x)'=e x;(ln x)'=;(sin x)'=cos x;(cos x)'=-sin x.[1]三、数学运用【例1】求曲线y=cos x在点处切线的方程.(见学生用书P12)[处理建议]利用基本初等函数的求导公式求出在该点处的切线斜率,再利用点斜式求出切线方程.[规范板书]解y'=-sin x,所以在点处切线的斜率k=-sin==-,即切线方程为x+2y-π-1=0.[题后反思]对于一些常见函数的求导问题,可以直接利用公式解题.变式求曲线y=在点处的切线的方程.[规范板书]y'=-,故点处的切线斜率为-,切线方程为x+4y-4=0.【例2】若直线y=4x+b是函数y=x2图象的一条切线,求b及其切点坐标.(见学生用书P12)[处理建议]设出切点坐标,利用导数的几何意义解题.[规范板书]解设切点坐标为(x 0,),由f'(x0)=2x0=4得出x0=2,所以切点坐标为(2,4),故b=-4.[题后反思]本题应抓住切点的双重特性:点既在曲线上,也在切线上.变式若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,求a的值.[规范板书]解设切点坐标为(x 0,a),由f'(x0)=3a=3得出a=1,又因为点(x0,a)满足切线方程,所以a=3x0+1,x0=-,则a=4.【例3】在函数y=2x的图象上求一点,使过此点的切线平行于直线x ln 4-y+3=0.(见学生用书P12)[处理建议]利用常见函数的求导公式及导数的几何意义求出切线的斜率,再利用两平行直线之间斜率相等建构等式.[规范板书]解设切点坐标为(x 0,),由f'(x0)=ln 2=ln 4得出x0=1,即该点坐标为。
