极值定义

一、引言在管理科学，经济学和许多工程、科技问题中，常常需求一个多元函数的最大值或最小值，他们统称为最值问题。

通常我们称实际问题中出现的需求最值的函数为目标函数，该函数的自变量称为决策变量，相应的问题在数学上可称为优化问题，在经济管理科学中非常重要的运筹学。

最值（最优化）问题占有较大比重。

最值问题涉及工业、农业、交通运输、军事、商品经济等诸多方面，与人们的生活息息相关。

二、极值定义如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。

如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。

该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。

定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。

如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点。

这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。

设函数f（x）在x。

附近有定义，如果对x。

附近的所有的点都有f（x）<f（x。

），则f（x。

）是函数f（x）的一个极大值。

如果附近的所有的点，都有f（x）>f（x。

），则f （x）。

是函数f（x）的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。

三、多元函数1、多元函数的定义设D为一个非空的n 元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。

若对于每一个有序数组（x1,x2,…,xn）∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。

记为y=f （x1,x2,…,xn），（x1,x2,…,xn）∈D 。

变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。

（xi,其中i是下标。

下同）当n＝1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D;当n＝2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D.二元及以上的函数统称为多元函数。

其他定义为：设D是n维空间的一个点集，f为某一确定的对应法则。

如果对于每个点P(x1,x2,…,xn)∈D，变量z按照对应法则f总有唯一确定的值和它对应，则称z是变量x1,x2,…,xn的n元函数。

记为z＝f（x1,x2,…,xn），(x1,x2,…,xn) ∈D，或z＝f（P），P∈D。

若函数f的定义域D是实数集R的一个子集，即只依赖于一个自变量，就说f是一元函数。

若函数f的定义域D是n个R的笛卡尔（R. Descartes）积R×R×…×R=R^n的子集,即依赖于n个独立自变量，就说f是n元函数。

当n≥2时，n元函数泛称为多元函数。

二元函数的定义域通常是由平面上的一条或几条光滑曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线称为区域的边界，包括边界在内的区域称为闭区域，否则称为开区域。

2．多元函数的三要素1．定义域集合D＝{（x1,x2,…,xn）| y=f（x1,x2,…,xn）}，称为函数的定义域，也可以记为D（f）或Df（f是下标）。

2．对应规则对应规则（也称对应关系、对应法则，对应规律）f可以用数学表达式（包括解析式）、图象、表格等表示。

3．值域对于（x10,x20,…,xn0）∈D,所对应的y值，记为y0＝f（x10,x20,…,xn0）称为当（x1,x2,…,xn）=（x10,x20,…,xn0）时，函数y=f（x1,x2,…,xn）的函数值。

全体函数值的集合｛y∣y=f（x1,x2,…,xn），（x1,x2,…,xn）∈D｝称为函数的值域，记为Z或Z（f）。

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量x1,x2,f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2。

于是容易得出对于任意(0,1)中有理数p,f(px1+(1-p)x2)≤pf(x1)+(1-p)f(x2)。

如果f连续，那么p可以改成任意(0,1)中实数。

若这里凸集C即某个区间I,那么就是：设f为定义在区间Ｉ上的函数，若对Ｉ上的任意两点Ｘ１，Ｘ２和任意的实数λ∈（０，１），总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),则f称为Ｉ上的凸函数。

判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数对于实数集上的凸函数，一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上恒大于等于0，就称为凸函数。

（向下凸）如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凸函数。

3.多原函数的性质定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。

如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。

一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调递减。

一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) ≥f(x) + f '(x) (y − x)。

特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x)的最小值。

一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。

如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。

例如，f(x) = x4的二阶导数是f "(x) = 12 x2，当x = 0时为零，但x4是严格凸的。

更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是正定的。

凸函数的任何极小值也是最小值。

严格凸函数最多有一个最小值。

对于凸函数f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤a}（a ∈R）是凸集。

然而，水平子集是凸集的函数不一定是凸函数；这样的函数称为拟凸函数。

3 延森不等式对于每一个凸函数f都成立。

如果X是一个随机变量，在f的定义域内取值，那么（在这里，E表示数学期望。

）4．微积分如果f和g是凸函数，那么m(x) = max{f(x),g(x)}和h(x) = f(x) + g(x)也是凸函数。

如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x) = g(f(x))是凸函数。

凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果f(x)是凸函数，那么g(y) = f(Ay + b)也是凸函数，其中如果f(x,y)在(x,y)内是凸函数，且C是一个凸的非空集，那么在x内是凸函数，只要对于某个x，有。

函数f(x) = x&sup2;处处有，因此f是一个（严格的）凸函数。

绝对值函数f(x) = | x | 是凸函数，虽然它在点x = 0没有导数。

当1 ≤ p时，函数f(x) = | x | p是凸函数。

定义域为[0,1]的函数f，定义为f(0)=f(1)=1，当0函数x3的二阶导数为6x，因此它在x ≥ 0的集合上是凸函数，在x ≤ 0的集合上是凹函数。

每一个在内取值的线性变换都是凸函数，但不是严格凸函数，因为如果f是线性函数，那么f(a + b) = f(a) + f(b)。

如果我们把“凸”换为“凹”，那么该命题也成立。

每一个在内取值的仿射变换，也就是说，每一个形如f(x) = aTx + b的函数，既是凸函数又是凹函数。

每一个范数都是凸函数，这是由于三角不等式。

如果f是凸函数，那么当t > 0时，g(x,t) = tf(x / t)是凸函数。

单调递增但非凸的函数包括和g(x) = log(x)。

非单调递增的凸函数包括h(x) = x2和k(x) = − x。

函数f(x) = 1/x2，f(0)=+∞，在区间(0,+∞)内是凸函数，在区间(-∞,0)内也是凸函数，但是在区间(-∞,+∞)内不是凸函数，这是由于x = 0处的奇点。

凹函数是一个定义在某个向量空间的凹子集C（区间）上的实值函数f设f为定义在区间Ｉ上的函数，若对Ｉ上的任意两点Ｘ１，Ｘ２和任意的实数λ∈（０，１），总有f(1/2(λx1+(1-λ)x2))≤(≥)1/2(λf(x1)+(1-λ)f(x2)), 则f称为I上的下(上)凸函数,且凹函数是指下凸函数判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上恒小于等于0，就称为凹函数。

如果其二阶导数在区间上恒小于0，就称为严格凹函数。

凹函数性质的证明设函数f(x)在定义域内连续可导且满足f''(x)>0设x1<x2,0<a<1证明f[ax1+(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2)因ax1+(1-a)x2-x1=(1-a)(x2-x1)>0则x1<ax1+(1-a)x2根据拉格朗日中值定理必存在x1<μ< ax1+(1-a)x2使f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)= (1-a)(x2-x1)f'(μ)同理存在ax1+(1-a)x2<ξ<x2使f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]= a(x2-x1)f'(ξ)故a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}=a (1-a)(x2-x1)[f’(μ)- f’(ξ)]根据拉格朗日中值定理有μ<δ<ξf'(μ)- f'(ξ)=(μ-ξ)f''(δ)因f''(x)>0则f'(μ)- f'(ξ)<0则a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}<0整理后得f[ax1+(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2)若f''(x)<0结果相反四．求极值的方法极值一般分为无条件极值和条件极值两类。

（1）：无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；（2）：条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件 限制的极值问题。

1、求解无条件极值常用的方法1、利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型定理1(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下：(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值；(2) AC -B 2<0时没有极值；(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值。