极值和极值点的概念

函数极值的判定法则一、极值的概念设函数f (x )在点x 0的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内去掉x 0点的任意一点x ，都有f (x )<f (x 0)或f (x )>f (x 0)成立，则称函数f (x )在点x 0处取得极大值或极小值，简称f (x 0)是函数f (x )的一个极值，点x 0称为函数f (x )的一个极值点。

如果函数f (x )在点x 0处取得极大值，则称f (x 0)是函数f (x )的一个局部最大值，点x 0称为函数f (x )的一个局部最大点。

如果函数f (x )在点x 0处取得极小值，则称f (x 0)是函数f (x )的一个局部最小值，点x 0称为函数f (x )的一个局部最小点。

二、极值的判定条件1. 导数判定法如果函数f (x )在点x 0处可导，且f ′(x 0)=0，则点x 0是函数f (x )的一个驻点。

驻点是函数f (x )的极值点的必要条件，但不是充分条件。

为了判断驻点是否为极值点，还需要考察函数f (x )在驻点两侧的变化情况，有以下两种方法：2. 极值第一充分条件如果函数f (x )在点x 0处连续，且在x 0的某个去心邻域内满足f (x )−f (x 0){或f (x )−f (x 0){则f (x 0)是函数f (x )的一个极值，x 0是函数f (x )的一个极值点。

3. 极值第二充分条件如果函数f (x )在点x 0处n 阶可导，且f ′(x 0)=f ′′(x 0)=⋯=f (n −1)(x 0)=0，f (n )(x 0)≠0，则有一阶导数法：如果函数f (x )在点x 0的某个去心邻域内可导，且f ′(x 0)=0，则有如果f ′(x )在x 0的左侧为正，右侧为负，则f (x 0)是函数f (x )的一个局部最大值，x 0是函数f (x )的一个局部最大点；如果f ′(x )在x 0的左侧为负，右侧为正，则f (x 0)是函数f (x )的一个局部最小值，x 0是函数f (x )的一个局部最小点；如果f ′(x )在x 0的左右两侧同号，则f (x 0)不是函数f (x )的极值，x 0不是函数f (x )的极值点。

极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。

极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。

求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。

对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，。

5.3.2函数的极值与最大(小)值第一课时函数的极值课标要求素养要求1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 通过理解函数的极值及其应用导数的求解过程，发展学生的直观想象与数学运算素养.新知探究横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在此山中.在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部，山谷中的最低处是所有谷底的最低者的底部.问题观察下图中的函数图象，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，应用什么数学语言来描述？提示有，应用函数的极大值和极小值来描述.1.极值点与极值的概念极值与单调性一样，都是函数的局部性质(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.拓展深化[微判断]1.导数为0的点一定是极值点.(×)提示反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.2.函数的极大值一定大于极小值.(×)提示反例：如图所示：极大值f(x1)小于极小值f(x2).3.函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.(×)提示反例：f(x)＝x3既没有极大值，也没有极小值.[微训练]1.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有()A.两个极大值，一个极小值B.两个极大值，无极小值C.一个极大值，一个极小值D.一个极大值，两个极小值解析由图可知导函数f′(x)有三个零点，依次设为x1<0，x2＝0，x3>0，当x<x1时，f′(x)<0，当x1<x<0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝x1处取得极小值；当x1<x<x2时，f′(x)>0，当x2<x<x3时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝x2处无极值；当x>x3时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝x3处取得极大值，故选C.答案 C2.(多空题)函数f(x)＝13x3－x2－3x＋6的极大值为________，极小值为________.解析f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，得x<－1或x>3，令f′(x)<0得－1<x<3，故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单增，在(－1，3)上单减，故f(x)的极大值为f(－1)＝233，极小值为f(3)＝－3.答案233－3[微思考]1.对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的什么条件？提示必要不充分条件.2.函数f(x)可以有多个极大值和极小值吗？提示可以，如函数f(x)＝sin x，f(x)＝cos x在R上有无数多个极大值和极小值.题型一不含参数的函数求极值【例1】求下列函数的极值：(1)f(x)＝(x3－1)2＋1；(2)f(x)＝3x＋3ln x.解(1)∵f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，∴f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴当x＝(2)函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3（x－1）x2.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)无极大值.规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值. 【训练1】 求函数f (x )＝x 2e －x 的极值. 解 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·e －x ·(－x )′＝2x e －x －x 2·e －x ＝x (2－x )e －x . 令f ′(x )＝0，得x (2－x )·e －x ＝0，解得x ＝0或x ＝2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此当当x ＝2时，f (x )取得极大值， 且极大值为f (2)＝4e －2＝4e 2.题型二 含参数的函数求极值【例2】 已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，当实数a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值.解 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2， 由a ≠23知－2a ≠a －2. 分以下两种情况讨论： ①若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a ，函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2. ②若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2，函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a .规律方法 讨论参数应从f ′(x )＝0的两根x 1，x 2是否相等入手进行. 【训练2】 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R ).(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值.解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0), ∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1,∴y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1), 即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0.①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a;∵x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值.综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a－a ln a ，无极大值.题型三 利用函数极值确定参数的值【例3】 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点，∴x ＝±1是方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1，1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.【训练3】 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值.解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎨⎧f ′（－1）＝0，f （－1）＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0.解之得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去. 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3). 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)时，f (x )为增函数， 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.一、素养落地1.通过学习极值与极值点的概念，培养数学抽象素养，通过学习求函数的极值以及利用函数的极值求参数，提升数学运算素养.2.函数的极值是函数的局部性质，可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反，所以求函数的极值时要严格按其步骤进行.3.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性. 二、素养训练1.下列函数中存在极值的是( ) A.y ＝1x B.y ＝x －e x C.y ＝2D.y ＝x 3解析对于y＝x－e x，y′＝1－e x，令y′＝0，得x＝0.在区间(－∞，0)上，y′>0；在区间(0，＋∞)上，y′<0.故x＝0为函数y＝x－e x的极大值点.答案 B2.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是()A.在(1，2)上函数f(x)为增函数B.在(3，4)上函数f(x)为减函数C.在(1，3)上函数f(x)有极大值D.x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点解析根据导函数图象知，x∈(1，2)时，f′(x)>0，x∈(2，4)时，f′(x)<0，x∈(4，5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点.故选D.答案 D3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A.(－1，2)B.(－3，6)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)解析f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.答案 D4.函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________.解析f′(x)＝3x2－6，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝ 2.因为当x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x )>0， 当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0， 所以f (x )极大值＝f (－2)＝a ＋42， f (x )极小值＝f (2)＝a －4 2. 答案 a ＋42 a －4 25.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________. 解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1， 所以a ＝9，经验证此时Δ>0，符合题意. 答案 9基础达标一、选择题1.(多选题)定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是( )A.－3是f (x )的一个极小值点B.－2和－1都是f (x )的极大值点C.f (x )的单调递增区间是(－3，＋∞)D.f (x )的单调递减区间是(－∞，－3)解析 当x <－3时，f ′(x )<0，x ∈(－3，＋∞)时f ′(x )≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3).故选ACD. 答案 ACD2.函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( )A.－eB.1－eC.－1D.0解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1.令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.答案 C3.若函数f(x)＝x3－3bx＋3在(－1，2)内有极值，则实数b的取值范围是()A.(0，4)B.[0，4)C.[1，4)D.(1，4)解析f′(x)＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f(x)在(－1，2)内有极值，∴f′(x)在(－1，2)内有变号零点，∴0≤b<4.当b＝0时，f(x)＝x3＋3在R上单调递增，没有极值，故选A.答案 A4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的增区间是(－2，0)，(2，＋∞)B.函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)C.x＝－2是函数的极小值点D.x＝2是函数的极小值点解析由题意，当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2，f′(x)>0；当－2<x<0时，f′(x)<0；当x<－2时，f′(x)>0；即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，因此函数f(x)在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值；故A错，B正确；C错，D正确.故选：BD.答案BD5.若函数f (x )＝e x －ax －b 在R 上有小于0的极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，0) B.(0，1) C.(－∞，－1)D.(1，＋∞)解析 由题意知f ′(x )＝e x －a .当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，则f (x )在R 上单调递增，不符合题意. 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ln a ，∴当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 可知x ＝ln a 为f (x )的极值点，∴ln a <0，∴a ∈(0，1).故选B. 答案 B 二、填空题6.(多空题)函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为a ＝________，b ＝________.解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，又当x ＝1时有极值－2， ∵f ′(1)＝3a ＋b ＝0，① a ＋b ＝－2，②联立①②，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3，∴故答案为1，－3.答案 1 －37.函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令f ′(x )＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)8.函数f (x )＝ax －1－ln x (a ≤0)在定义域内的极值点的个数为________. 解析 因为x >0，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ， 所以当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上是减少的， 所以f (x )在(0，＋∞)上没有极值点.答案0 三、解答题9.求函数f(x)＝2xx2＋1－2的极值.解函数的定义域为R.f′(x)＝2（x2＋1）－4x2（x2＋1）2＝－2（x－1）（x＋1）（x2＋1）2.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.10.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由. 解(1)∵f(x)＝a ln x＋bx2＋x，∴f′(x)＝ax＋2bx＋1.由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且a2＋4b＋1＝0，解得，a＝－23，b＝－16.(2)由(1)可知f(x)＝－23ln x－16x2＋x，且其定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－（x －1）（x －2）3x .当x ∈(0，1)∪(2，＋∞)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，2)时，f ′(x )>0；所以，x ＝1是函数f (x )的极小值点， x ＝2是函数f (x )的极大值点.能力提升11.函数f (x )＝e x (x －a e x )恰有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵函数f (x )＝e x (x －a e x )，∴f ′(x )＝(x ＋1－2a e x )e x .∵函数f (x )恰有两个极值点x 1，x 2，∴x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个不相等的实数根.令x ＋1－2a e x ＝0，可知a ≠0， ∴x ＋12a ＝e x .设y 1＝x ＋12a (a ≠0)，y 2＝e x ，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示.要使这两个函数有两个不同的交点，应满足12a >1，解得0<a <12，所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 12.已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方.(1)解 易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝（x ＋1）（x －1）x .令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去). 当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0，1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 因此函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数.故x ＝1是f (x )的极小值，所以f (x )在x ＝1处取得极小值12. (2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3， 则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x ＝－（x －1）（2x 2＋x ＋1）x .显然由2x 2＋x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78及x >0可知，当x >1时，F ′(x )<0，故F (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，又F (1)＝－16<0，所以在区间[1，＋∞)上，F (x )≤F (1)<0，即F (x )<0恒成立，即f (x )<g (x )恒成立.因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方.创新猜想13.(多选题)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是( ) A.xf (x )在(1，＋∞)单调递增 B.xf (x )在(1，＋∞)单调递减 C.xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12 D.xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12解析由x2f′(x)＋xf(x)＝ln x得x>0，则xf′(x)＋f(x)＝ln xx，即[xf(x)]′＝ln xx，设g(x)＝xf(x)，由g′(x)＝ln xx>0得x>1，由g′(x)<0得0<x<1，即xf(x)在(1，＋∞)单调递增，在(0，1)单调递减，即当x＝1时，函数g(x)＝xf(x)取得极小值g(1)＝f(1)＝1 2，故选AD.答案AD14.(多选题)设x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是()A.a＝－3，b＝2B.a＝－3，b＝－3C.a＝－3，b>2D.a＝1，b＝2解析记f(x)＝x3＋ax＋b，那么f′(x)＝3x2＋a.当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一实根，D项满足题意；当a<0时，由于选项中只有a＝－3，故只考虑a＝－3即可.此时f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故x∈(－∞，－1)，(1，＋∞)时，f(x)单调递增；x∈(－1，1)时，f(x)单调递减，故f(x)极大值＝f(－1)＝b＋2，f(x)极小值＝f(1)＝b－2，只有一个实根，则需满足f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，则b<－2或b>2，B、C项满足.故选BCD. 答案BCD高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

函数极值点定义函数极值点，是数学中一个重要的概念。

在函数的图像中，极值点处的函数值相对于邻近的点来说是最大或是最小的。

极值点的存在与函数的连续性和可导性有关，它们可以帮助我们研究函数的性质和变化趋势。

本文将深入探讨函数极值点的定义、求解方法以及其在实际问题中的应用。

我们来明确一下函数的极值点的定义。

对于函数f(x)，如果在某个点x=a处，存在一个邻域N(a)，使得对于N(a)中的任意x，都有f(x)≤f(a)，则称a为函数f(x)的极大值点；如果对于N(a)中的任意x，都有f(x)≥f(a)，则称a为函数f(x)的极小值点。

极大值点和极小值点统称为极值点。

接下来，我们来看一下如何求解函数的极值点。

求解函数的极值点的方法有很多，其中一种常用的方法是借助导数。

对于可导的函数，极值点一定是导数为零的点或者导数不存在的点。

因此，我们可以通过求解函数的导数来找到极值点的候选点，然后再通过一些额外的条件来判断它们是否为真正的极值点。

假设我们要求解函数f(x)的极值点，首先我们需要求解函数的导数f'(x)。

然后，我们找出f'(x)=0的解，这些解即为候选的极值点。

接下来，我们需要对这些候选点进行进一步的判断。

一种常用的方法是利用导数的符号来判断极值点的类型。

具体来说，如果在候选点的左侧导数的符号与右侧导数的符号相反，那么该候选点就是一个极值点。

如果在候选点的左侧导数的符号与右侧导数的符号相同，或者导数不存在，那么该候选点不是一个极值点。

除了使用导数的符号来判断极值点的类型之外，我们还可以通过求解函数的二阶导数来判断极值点的类型。

具体来说，如果在候选点处的二阶导数大于零，那么该候选点为函数的极小值点；如果二阶导数小于零，那么该候选点为函数的极大值点；如果二阶导数等于零，那么该候选点可能是一个极值点，但需要进一步的判断。

函数的极值点在实际问题中有着广泛的应用。

以经济学为例，经济学中的需求函数和供给函数通常都存在极值点。

一、引言在管理科学，经济学和许多工程、科技问题中，常常需求一个多元函数的最大值或最小值，他们统称为最值问题。

通常我们称实际问题中出现的需求最值的函数为目标函数，该函数的自变量称为决策变量，相应的问题在数学上可称为优化问题，在经济管理科学中非常重要的运筹学。

最值（最优化）问题占有较大比重。

最值问题涉及工业、农业、交通运输、军事、商品经济等诸多方面，与人们的生活息息相关。

二、极值定义如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。

如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。

该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。

定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。

如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点。

这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。

设函数f（x）在x。

附近有定义，如果对x。

附近的所有的点都有f（x）<f（x。

），则f（x。

）是函数f（x）的一个极大值。

如果附近的所有的点，都有f（x）>f（x。

），则f （x）。

是函数f（x）的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。

三、多元函数1、多元函数的定义设D为一个非空的n 元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。

若对于每一个有序数组（x1,x2,…,xn）∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。

记为y=f （x1,x2,…,xn），（x1,x2,…,xn）∈D 。

变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。

（xi,其中i是下标。

下同）当n＝1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D;当n＝2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D.二元及以上的函数统称为多元函数。

极值的概念及运用极值是数学中一个非常基础的概念，它指的是一个函数在给定区间内取得最大值或最小值的点。

这个概念在数学中被广泛运用，尤其是在优化、微积分和概率统计等领域。

下面我们将对极值的概念及运用进行简单介绍。

一、最大值和最小值在数学中，若函数f(x)在区间[a,b]内存在一点x0，且在x0的一个邻域内的任意一点x，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)在x0处取得极大值，称x0为f(x)的极大值点；若在x0的一个邻域内的任意一点x，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)在x0处取得极小值，称x0为f(x)的极小值点。

有些函数在区间[a,b]内并不一定存在最大值或最小值，例如函数f(x)=x^2在实数轴上并不存在最小值，因为x^2>=0，取遍所有实数。

但是，如果只考虑f(x)在[a,b]内的取值，则f(x)的最小值为0，取在x=0处；同时最大值为b^2，取在x=b处。

二、求解极值的方法一般情况下，我们可以通过求函数f(x)在极值点处的导数来判断函数的极值。

求导数的过程如下：1. 首先求出f(x)的导数f’(x)；2. 然后令f’(x)=0，得到方程f’(x)=0；3. 解出方程f’(x)=0的根，为f(x)的极值点。

但是，还有一些特殊情况需要注意：1. 有些函数在极值点处导数不存在，例如函数f(x)=|x|在x=0处不存在导数。

此时需要通过其他方法进行求解。

2. 极值点有可能是非常值点，例如函数f(x)=x^3在x=0处取得极小值，但是f(x)在x=0处不是最小值。

三、极值在实际问题中的应用极值在实际问题中有广泛的应用，尤其是在优化问题中。

例如，在企业的生产中，需要确定最佳的生产方案，即在满足各项限制条件的前提下，最大化或最小化某个目标函数的值。

这个问题可以转化为求函数的极值问题，对应的极值点即为最佳的生产方案。

另外，在经济管理、社会科学等领域中，也有许多问题可以归结为极值问题。

例如，在投资组合中，需要确定最优的资产组合；在市场需求预测中，需要确定最佳的价格策略；在劳动力市场中，需要确定最合适的薪酬政策等。

极值数学概念极值是指遍布某一数学函数曲线的极点，即函数值最大值或最小值的点。

极值可帮助我们研究函数在某一区域内的变化趋势，并给出关于函数的有用信息。

一般来说，在实际中极值一般存在两种形态，分别是局部极小值和局部最大值。

局部极小值是指该函数在某一特定点处值最小，而四周的函数值大于该特定点处的函数值；局部最大值即是指函数在某一特定点处的函数值最大，而四周的函数值都小于该点处的函数值。

但很可能当把函数曲线在不同的比例上拉伸或收缩时，函数的局部极小值可能变成局部最大值，反之亦然。

极值的定义从定义上讲，函数极值就是使函数在一定区域内的值达到最大或最小的点。

通常，一个函数f（x）等于零时，即为函数极值点。

如果满足f(x) = 0，就可以表明这个点是函数的极值点。

在求函数极值时，可以通过求解函数的一阶导数来确定是局部最大值点还是局部最小值点。

极值求解极值求解一般都可以分为有理数极值求解和无理数极值求解。

有理数极值求解就是把函数表示成有理数形式，通过对其导数求解来确定极值的位置。

而无理数极值的求解则是通过图形法来求解。

可以先找到函数的改变趋势，然后再确定极值的位置。

极值应用极值理论在数学和实际应用中都有广泛的应用。

数学方面，函数的极值可以用来分析函数在不同点处的性质，以把握函数的总体变化趋势；实际应用方面，函数的极值可以用来分析微积分问题，求解物理量的变化趋势，设计智能控制系统，探索生物系统的过程，研究社会和经济的动态特性，以及分析组织的管理状态等。

总结极值数学概念是数学中的一种基本概念，它主要涉及极值的定义、极值求解以及极值在数学和实际应用中的广泛应用。

极值理论的使用可以帮助我们分析函数的变化趋势，求解实际问题，以及指导实践。

第4章 微分中值定理和导数的应用【第4章导语】我们学习了导数与微分的概念，并掌握了初等函数与某些特殊函数的求导运算．本章主要介绍导数在研究函数性态和解决有关实际问题中的应用，给出利用导数解决一些具体问题的一般方法．由于导数只是反映了函数在一点的性质，为了将其与函数在某个范围上的性态联系起来，就需要寻找它们之间的一座桥梁，微分中值定理就承担了桥梁的作用，它是导数应用的理论基础．§4.1 极值与极值点【导语】【正文】一、极值与极值点概念定义1 设函数()f x 在0x x =的某个邻域0(,)U x δ中有定义． 如果对任意0(,)x U x δ∈，都有()()0f x f x ≥成立，则称0x 是函数()f x 的一个极小值点，0()f x 称为函数()f x 的一个极小值；如果对任意0(,)x U x δ∈，都有()()0f x f x ≤成立，则称0x 是函数()f x 的一个极大值点，0()f x 称为函数()f x 的一个极大值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．函数定义区间的端点不会是函数的极值点．函数的极值是一个局部性的概念，它的大小只是与极值点0x 附近其他点的函数值作比较，函数的极大值不一定大于其极小值．如图，1()f x 和3()f x 是函数()y f x =的极大值，2()f x 和4()f x 是函数()y f x =的极小值，而1()f x <4()f x ．二、费马（Fermat ）定理在图中，假设连续曲线()y f x =除了端点外，处处都有切线．从图中可以看出在局部最高点11(,())x f x 和33(,())x f x ，以及在局部最低点22(,())x f x 和44(,())x f x ，曲线的切线都是水平的．定理1 如果函数)(x f 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么函数)(x f 在0x 处的导数为零，即0)(0=′x f ．证 不妨假设0()f x 是极大值．因为函数()f x 在点0x 处可导，所以0()f x −′与+0()f x ′均存在，且00+0()()()f x f x f x −′′′==． 当0x x −→时，因为0()()0f x f x −≤，00x x −<，所以根据极限的局部保号性，可知0000()()()lim 0x x f x f x f x x x −−→−′=−≥． 当0x x +→时，因为0()()0f x f x −≤，00x x −>，所以根据极限的局部保号性，可知0000()()()lim 0x x f x f x f x x x ++→−′=−≤．综上可知 0()0f x ′=．导数等于零的点称为函数的驻点或临界点． 费马定理说明，函数的可导极值点一定是驻点．驻点是否一定是极值点呢？函数3()f x x =在0x =处的导数为零，但0x =却不是它的极值点！导数不存在的点是否可以是极值点？函数()||f x x =在0x =处的导数不存在，但0x=却是它的极小值点！函数)(x f 的极值点在()0f x ′=或()f x ′不存在的点中．例1 求函数32()215241f x x x x =−++的驻点。

极值点的判定条件一、引言极值点是函数在其定义域内的点，函数在该点的导数或二阶导数出现变化。

确定极值点是研究函数性态的关键步骤之一。

通过对极值点的判定，我们可以理解函数的变化规律，了解函数在何处达到其最大值或最小值。

极值点的概念在实际应用中具有广泛的应用，如经济学、物理学、工程学等领域。

因此，掌握极值点的判定条件对于解决实际问题具有重要意义。

二、极值点的定义与分类极值点是函数在其定义域内的点，函数在该点的导数或二阶导数出现变化。

根据导数的符号变化，极值点可以分为极大值点和极小值点。

在极大值点，函数的一阶导数由负变正；在极小值点，函数的一阶导数由正变负。

此外，根据函数的二阶导数变化，极值点还可以分为鞍点、拐点、尖点和圆的界限点等类型。

这些不同类型的极值点对于函数性态的分析具有重要的意义。

三、一元函数的极值判定条件对于一元函数，其极值的判定条件主要包括：1.极值的必要条件：如果函数f在x0处可导，且x0为f的极值点，那么f’（x0）=0。

这个必要条件告诉我们，如果一个点是函数的极值点，那么该点的导数必定为零。

然而，需要注意的是，导数为零的点不一定是极值点。

2.极值的充分条件：如果函数f在x0处可导，且在x0的某邻域内：（i）若f’（x）在x0两侧的正负号改变，则x0为极值点。

这被称为“正负号检验法”。

（ii）若f’（x）在x0两侧的正负号不改变，则x0不是极值点。

（iii）若f’（x）在x0两侧的正负号由负变正，则x0为极大值点；若f’（x）在x0两侧的正负号由正变负，则x0为极小值点。

这被称为“变号检验法”。

在实际应用中，我们通常首先计算函数的一阶导数，然后令其一阶导数为零，解得可能的极值点。

然后使用正负号检验法或变号检验法来进一步确定这些可能的极值点是否为真正的极值点。

对于无法通过一阶导数直接判断的复杂函数，可能需要使用二阶导数或更高阶的导数来进行判断。

四、多元函数的极值判定条件对于多元函数，其极值的判定条件主要包括：1.极值的必要条件：如果函数f在点x0处可微，且x0为f的极值点，那么f’（x0）=0。

函数极值知识点总结一、函数极值的定义函数的极值包括最大值和最小值两种情况。

如果一个函数在某一点的函数值大于这一点邻近的函数值，那么这一点就是函数的极大值点；如果一个函数在某一点的函数值小于这一点邻近的函数值，那么这一点就是函数的极小值点。

二、函数极值的求解方法1. 求导数要确定一个函数的极值，最常用的方法是求导数。

利用导数求函数的极值，可以分为以下几个步骤：（1）求出函数的导数；（2）令函数的导数等于零，解出函数的驻点；（3）利用二阶导数的符号来判定这些驻点是极大值点还是极小值点。

2. 利用导数的性质在求函数的极值时，还可以利用导数的性质，即函数在极值点处的导数为零。

通过这一性质，可以帮助我们求出函数的极值点。

三、解决函数极值问题的常用方法1. 一元函数的极值对于一元函数来说，我们可以通过求导数的方法，根据导数的零点和符号来求函数的极值点，进而求出函数的极值。

同时，也可以利用函数的单调性来判定函数的极值点。

2. 二元函数的极值对于二元函数而言，函数的极值点可以通过偏导数的方法来求解。

通过求出函数的偏导数，并令偏导数等于零，可以求得函数的驻点，从而判定函数的极值。

3. 隐函数的极值当函数以隐式形式给出时，我们可以通过求导的方法来求解函数的极值。

需要注意的是，在求导的过程中，要将变量视为函数，将未知的函数视为自变量，从而利用导数的性质和求导法则来求解隐函数的极值。

四、函数极值的应用函数的极值在数学中有着广泛的应用，其中包括最优化问题和微积分问题等。

1. 最优化问题在经济学、物理学、工程学等领域中，最优化问题是十分常见的。

对于一个最优化问题来说，往往需要求解一个函数的最大值或最小值，而函数的极值就提供了一个很好的解决方法。

2. 微积分问题在微积分中，函数的极值也有着重要的应用。

对于曲线的凹凸性、函数的单调性等问题，都离不开函数的极值。

因此，深入理解函数的极值知识，可以对解决微积分问题有着重要的帮助。

五、函数极值问题的深入研究除了常见的函数极值概念和求解方法外，函数极值问题还有着许多深入的研究方向。