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西南交通大学数值分析上机实习

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目录解题： (1)题目一： (1)1.1计算结果 (1)1.2结果分析 (1)题目二： (2)2.1计算结果 (2)2.2结果分析 (3)题目三： (4)3.1计算结果 (4)3.2结果分析 (5)总结 (5)附录 (6)Matlab程序： (6)题目一： (6)第一问Newton法： (6)第二问Newton法： (6)第一问Steffensen加速法： (7)第二问Steffensen加速法： (7)题目二 (8)1、Jacobi迭代法 (8)2、Causs-Seidel迭代法 (8)题目三： (9)题目一：分别用牛顿法，及基于牛顿算法下的Steffensen 加速法(1)求ln(x +sin x )=0的根。

初值x0分别取0.1, 1,1.5, 2, 4进行计算。

(2)求sin x =0的根。

初值x0分别取1，1.4，1.6, 1.8，3进行计算。

分析其中遇到的现象与问题。

1.1计算结果求ln(x +sin x )=0的根，可变行为求解x-sinx-1=0的根。

1.2结果分析从结果对比我们可发现牛顿—Steffensen 加速法比牛顿法要收敛的快，牛顿法对于初值的选取特别重要，比如第（1）问中的初值为4的情况，100次内没有迭代出来收敛解，而用Steffensen 加速法，7次迭代可得；在第（2）问中的初值为1.6的情况，收敛解得31.4159，分析其原因应该是x x f cos )('=，x0=1.62π≈,0)('≈x f ；迭代式在迭代过程中会出现分母趋近于0，程序自动停止迭代的情况，此时得到的x 往往非常大，而在第一问中我们如果转化为用x+sinx=1,则可以收敛到结果。

用雅格比法与高斯－赛德尔迭代法解下列方程组Ax=b，研究其收敛性，上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。

(1)A行分别为A1=[6,2,-1],A2=[1,4,-2],A3=[-3,1,4]；b1=[-3,2,4]T,b2=[100,-200,345]T,(2) A行分别为A1=[1,0,8,0.8],A2=[0.8,1,0.8],A3=[0.8,0.8,1]；b1=[3,2,1]T,b2=[5,0,-10]T,(3)A行分别为A1=[1,3],A2=[-7,1]；b=[4,6]T2.1计算结果初值均为0矩阵带入(1)A行分别为A1=[6,2,-1],A2=[1,4,-2],A3=[-3,1,4]；b1=[-3,2,4]T,b2=[100,-200,345]T2) A行分别为A1=[1,0,8,0.8],A2=[0.8,1,0.8],A3=[0.8,0.8,1]；b1=[3,2,1]T,b2=[5,0,-10]TT2.2结果分析ρ小于1,故方程组雅可比迭代收第一小题的经计算谱半径为5427B(=).0敛。

ρ0.3535小于1,故原方程组高斯－而经计算高斯－赛德尔迭代的谱半径为=(B)赛德尔迭代矩阵收敛。

第二小题的经计算谱半径为=)(B ρ 1.6大于1,故方程组雅可比迭代发散。

而经计算高斯－赛德尔迭代的谱半径为=)(B ρ0.7155小于1,故原方程组高斯－赛德尔迭代矩阵收敛。

第三小题谱半径为=)(B ρ 4.5826大于1,故方程组雅可比迭代发散。

而高斯－赛德尔迭代的谱半径为=)(B ρ21大于1,故原方程组高斯－赛德尔迭代矩阵发散。

从2.1中的结果列表中可以看到，Causs-Seidel 迭代法比Jacobi 迭代法收敛速度要快很多。

题目三：用Ru n ge-Kutt a 4阶算法对初值问题y /=-20*y ，y (0)=1按不同步长求解，用于观察稳定区间的作用，推荐两种步长h=0.1,0.2。

注：此方程的精确解为：y =e -20x 3.1计算结果3.2结果分析λ,h=0.2时，λh=-4,而Ru n ge-Kutt a 4阶算法的绝对稳定区间是20=-[-2.78,0],故h=0.2时计算不稳定；而h=0.1时，λh=-2，在绝对稳定区间内，计算稳定，结果可靠。

总结本次上机实习过程中使用matlab编写了牛顿法、牛顿-Steffensen法方程求解的程序和雅格比法、高斯－赛德尔迭代法求解方程组的程序、Ru n ge-Kutt a 4阶算法。

深刻了解了matlab这一软件的基本功能与应用。

在上机中我深刻明白了，在所面临的实际问题，大多烦琐复杂的计算必须基于一定的数值算法，用计算机编程来实现。

而人的手工计算是远远不可行的。

这就要求我们寻找一种稳定性好，收敛速度快，又满足要求精度的数值算法。

所以上机实习和这门课程使我了解了一些普遍应用的基本算法，使我在以后工程计算中能够进行广泛的应用。

通过这次上机练习，让我对数值分析所介绍的迭代求解方法及其理论有了更深层次的理解，了解了各种方法之间的优缺点，并且认识到了自己在以前的学习中所存在的问题，及时的修补了自己知识上的漏洞。

同时也提高了我在编写程序上的熟练程度，所以，我认为这次上机实习是非常有收获的，给予我学习数值分析的帮助也是非常大的。

附录Matlab程序：题目一：第一问Newton法：function [x,n]=Newton(xi) %牛顿法求解x=xixi=xi-0.1n=0y=sym('log(x+sin(x))')f=inline(y)f1=diff(y)f2=inline(f1)while(abs(x-xi)>=0.000001)xi=xx=x-f(x)/f2(x)n=n+1if n>100errorbreakendendend第二问Newton法：function [x,n]=Newton1(xi) %牛顿法求解x=xixi=xi-0.1n=0y=sym('sin(x)')f=inline(y)f1=diff(y)f2=inline(f1)while(abs(x-xi)>=0.000001)xi=xx=x-f(x)/f2(x)if n>100errorbreakendendend第一问Steffensen加速法：function [x,n]=Steffensen(xi) %Steffensen加速法x=xixi=xi-0.1n=0y=sym('log(x+sin(x))')f=inline(y)f1=diff(y)f2=inline(f1)while(abs(x-xi)>0.000001)xi=xy=x-f(x)/f2(x)z=y-f(y)/f2(y)x=x-(y-x)*(y-x)/(z-2*y+x)n=n+1if n>100errorbreakendendend第二问Steffensen加速法：function [x,n]=Steffensen1(xi) %Steffensen加速法x=xixi=xi-0.1n=0y=sym('x-sin(x)/cos(x)')f=inline(y)while(abs(x-xi)>0.000001)xi=xz=f(y)x=x-(y-x)*(y-x)/(z-2*y+x)n=n+1if n>100errorbreakendendend题目二1、Jacobi迭代法function [x,n]=jacobi(A,b)[m,n]=size(A)x=zeros(n,1)e=ones(n,1)x0=x+eI=eye(n)a=diag(A)D=diag(a)n=0while norm(x0-x,inf)>0.000001 if n>200;errorbreakendx0=xB=I-inv(D)*Ax=B*x+inv(D)*bn=n+1end2、Causs-Seidel迭代法function [x,n]=gaussseidel(A,b) [m,n]=size(A)x=zeros(n,1)e=ones(n,1)x0=x+ea=diag(A)D=diag(a)M=triu(A)N=tril(A)L=A-MU=A-Nn=0while norm(x0-x,inf)>0.000001 if n>200errorbreakendx0=xC=D+LG=-inv(C)*Ux=G*x+inv(C)*bn=n+1end题目三：function A=Runge(x,h)a=x/hy=1x=0for i=1:ak1=h*-20*yk2=h*-20*(y+1/2*k1)k3=h*-20*(y+1/2*k2)k4=h*-20*(y+k3)y=y+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6A(i)=yx=x+hf=exp(-20*x)B(i)=fd=abs(f-y)C(i)=dend。

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西南交通大学数值分析上机实验报告

西南交通大学数值分析上机实验报告

数值分析上机实习报告学号：姓名：专业：联系电话：任课教师：序 (3)一、必做题 (4)1、问题一 (4)1.1 问题重述 (4)1.2 实验方法介绍 (4)1.3 实验结果 (5)2、问题二 (7)2.1 问题重述 (7)2.2 实验原理 (7)雅各比算法：将系数矩阵A分解为：A=L+U+D，则推到的最后迭代公式为： (8)2.3 实验结果 (8)二、选做题 (10)3、问题三 (10)3.1 问题重述 (10)3.2 实验原理 (10)3.3 实验结果 (11)总结 (11)序伴随着计算机技术的飞速发展，所有的学科都走向定量化和准确化，从而产生了一系列的计算性的学科分支，而数值计算方法就是解决计算问题的桥梁和工具。

数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法。

为了提高计算能力，需要结合计算能力与计算效率，因此，用来解决数值计算的软件因为高效率的计算凸显的十分重要。

数值方法是用来解决数值问题的计算公式，而数值方法的有效性需要根据其方法本身的好坏以及数值本身的好坏来综合判断。

数值计算方法计算的结果大多数都是近似值，但是理论的严密性又要求我们不仅要掌握将基本的算法，还要了解必要的误差分析，以验证计算结果的可靠性。

数值计算一般涉及的计算对象是微积分，线性代数，常微分方程中的数学问题，从而对应解决实际中的工程技术问题。

在借助MA TLAB、JA V A、C++ 和VB软件解决数学模型求解过程中，可以极大的提高计算效率。

本实验采用的是MATLAB软件来解决数值计算问题。

MA TLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，其对解决矩阵运算、绘制函数/数据图像等有非常高的效率。

本文采用MATLAB对多项式拟合、雅雅格比法与高斯－赛德尔迭代法求解方程组迭代求解，对Runge-Kutta 4阶算法进行编程，并通过实例求解验证了其可行性，使用不同方法对计算进行比较，得出不同方法的收敛性与迭代次数的多少，比较各种方法的精确度和解的收敛速度。

西南交通大学2018-2019数值分析Matlab上机实习题

西南交通大学2018-2019数值分析Matlab上机实习题

西南交通⼤学2018-2019数值分析Matlab上机实习题数值分析2018-2019第1学期上机实习题f x，隔根第1题.给出⽜顿法求函数零点的程序。

调⽤条件：输⼊函数表达式()a b，输出结果：零点的值x和精度e，试取函数区间[,]，⽤⽜顿法计算附近的根，判断相应的收敛速度，并给出数学解释。

1.1程序代码：f=input('输⼊函数表达式：y=','s');a=input('输⼊迭代初始值：a=');delta=input('输⼊截⽌误差：delta=');f=sym(f);f_=diff(f); %求导f=inline(f);f_=inline(f_);c0=a;c=c0-f(c0)/f_(c0);n=1;while abs(c-c0)>deltac0=c;c=c0-f(c0)/f_(c0);n=n+1;enderr=abs(c-c0);yc=f(c);disp(strcat('⽤⽜顿法求得零点为',num2str(c)));disp(strcat('迭代次数为',num2str(n)));disp(strcat('精度为',num2str(err)));1.2运⾏结果：run('H:\Adocument\matlab\1⽜顿迭代法求零点\newtondiedai.m')输⼊函数表达式：y=x^4-1.4*x^3-0.48*x^2+1.408*x-0.512输⼊迭代初始值：a=1输⼊截⽌误差：delta=0.0005⽤⽜顿法求得零点为0.80072迭代次数为14精度为0.00036062⽜顿迭代法通过⼀系列的迭代操作使得到的结果不断逼近⽅程的实根，给定⼀个初值，每经过⼀次⽜顿迭代，曲线上⼀点的切线与x轴交点就会在区间[a,b]上逐步逼近于根。

上述例⼦中，通过给定初值x=1，经过14次迭代后，得到根为0.80072，精度为0.00036062。

数值分析第一次上机练习实验报告

数值分析第一次上机练习实验报告

数值分析第一次上机练习实验报告一、实验目的本次实验旨在通过上机练习，加深对数值分析方法的理解，并掌握实际应用中的数值计算方法。

二、实验内容1. 数值计算的基本概念和方法在本次实验中，我们首先回顾了数值计算的基本概念和方法。

数值计算是一种通过计算机进行数值近似的方法，其包括近似解的计算、误差分析和稳定性分析等内容。

2. 方程求解的数值方法接下来，我们学习了方程求解的数值方法。

方程求解是数值分析中非常重要的一部分，其目的是找到方程的实数或复数解。

我们学习了二分法、牛顿法和割线法等常用的数值求解方法，并对它们的原理和步骤进行了理论学习。

3. 插值和拟合插值和拟合是数值分析中常用的数值逼近方法。

在本次实验中，我们学习了插值和拟合的基本原理，并介绍了常见的插值方法，如拉格朗日插值和牛顿插值。

我们还学习了最小二乘拟合方法，如线性拟合和多项式拟合方法。

4. 数值积分和数值微分数值积分和数值微分是数值分析中的两个重要内容。

在本次实验中，我们学习了数值积分和数值微分的基本原理，并介绍了常用的数值积分方法，如梯形法和辛卜生公式。

我们还学习了数值微分的数值方法，如差商法和牛顿插值法。

5. 常微分方程的数值解法常微分方程是物理和工程问题中常见的数学模型，在本次实验中，我们学习了常微分方程的数值解法，包括欧拉法和四阶龙格-库塔法。

我们学习了这些方法的步骤和原理，并通过具体的实例进行了演示。

三、实验结果及分析通过本次实验，我们深入理解了数值分析的基本原理和方法。

我们通过实际操作，掌握了方程求解、插值和拟合、数值积分和数值微分以及常微分方程的数值解法等数值计算方法。

实验结果表明，在使用数值计算方法时，我们要注意误差的控制和结果的稳定性。

根据实验结果，我们可以对计算结果进行误差分析，并选择适当的数值方法和参数来提高计算的精度和稳定性。

此外，在实际应用中，我们还需要根据具体问题的特点和条件选择合适的数值方法和算法。

四、实验总结通过本次实验，我们对数值分析的基本原理和方法有了更加深入的了解。

西南交通大学-数值分析--报告

西南交通大学-数值分析--报告

数值分析课程上机作业计算报告班级：学号：姓名：专业：大地测量学及测绘工程指导老师：联系电话：西南交通大学-数值分析--报告序言通过数值分析的理论知识的学习，此次实验将我们学过的理论知识运用于实践之中。

本次实验，我选用的计算机语言为MATLAB，其主要有一下几个特点。

1．编程效率高MATLAB是一种面向科学与工程计算的高级语言，允许使用数学形式的语言编写程序，且比BASIC、FORTRAN和C等语言更加接近我们书写计算公式的思维方式，用MATLAB编写程序犹如在演算纸上排列出公式与求解问题。

因此，MATLAB语言也可通俗地称为演算纸式科学算法语言。

由于它编写简单，所以编程效率高，易学易懂2. 用户使用方便MATLAB语言与其他语言相比，较好的解决了上述问题，把编辑、编译、链接和执行融为一体。

它能在同一画面上进行灵活操作，快速排除输入程序中的书写错误、语法错误以至语义错误，从而加快了用户编写、修改和调试程序的速度，可以说在编程和调试过程中它是一种比VB还要简单的语言。

3. 方便的绘图功能MATLAB的绘图是十分方便的，它有一系列绘图函数（命令），例如线性坐标、对数坐标、半对数坐标及极坐标，均只需调用不同的绘图函数（命令），在图上标出图题、XY轴标注，格（栅）绘制也只需调用相应的命令，简单易行。

另外，在调用绘图函数时调整自变量可绘出不变颜色的点、线、复线或多重线。

这种为科学研究着想的设计是通用的编程语言所不能及的。

目录1.实验一 (1)1.1题目 (1)1.2计算思路 (1)1.3计算结果 (1)1.4总结 (6)2.第二题 (7)2.1题目 (7)2.2 松弛思想分析 (7)2.3问题的求解 (7)2.4总结 (10)3.第三题 (11)3.1题目 (11)3.2 Runge-Kutta法的基本思想 (11)3.3 问题的求解 (12)3.4问题的总结 (14)总结 (15)附件 (16)实验一程序设计 (16)实验二程序设计 (16)实验三程序设计 (17)实验一：插值问题1.1题目已知：a=-5,b=5, 以下是某函数f(x)的一些点（x k,y k）, 其中x k=a+0.1(k-1) ,k=1,..,101；（数据略）。