实验报告七 常微分方程初值问题的数值解法

贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告课程名称： 数值分析 班级： 实验日期： 年 月 日 学 号： 姓名： 指导教师： 实验成绩： 一、实验名称实验六: 常微分方程初值问题数值解法 二、实验目的及要求1. 让学生掌握用Euler 法, Runge-Kutta 法求解常微分方程初值问题.2. 培养Matlab 编程与上机调试能力. 三、实验环境每人一台计算机，要求安装Windows XP 操作系统，Microsoft office2003、MATLAB6.5(或7.0). 四、实验内容1. 取步长h=0.1,0.05,0.01, ,用Euler 法及经典4阶Runge-Kutta 法求解初值问题⎩⎨⎧=≤≤++-=1)0()10(2222'y t t t y y 要求:1) 画出准确解(准确解22t e y t +=-)的曲线,近似解折线;2) 把节点0.1和0.5上的精确解与近似解比较,观察误差变化情况.2. 用 Euler 法,隐式Euler 法和经典4阶R-K 法取不同步长解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∈-=21)0(],1,0[,50'y x y y 并画出曲线观察稳定性. 注：题1必须写实验报告五、算法描述及实验步骤Euler 法：输入 000),(,,,),,(y a x x h b a y x f = 输出 Euler 解y步1 ),,2,1(;m n h n a x hab m n =⨯+=-⇐步2 对1,,2,1,0-=m n 执行),(1n n n n y x f h y y ⨯+⇐+ 步3 输出T m y y y y ),,,(21 = 经典4阶R-K 法：输入 000),(,,,),,(y a x x h b a y x f = 输出 4阶R-K 解y 步1 ),,2,1(;m n h n a x hab m n =⨯+=-⇐步2 对1,,2,1,0-=m n 执行),(1n n y x f K ⇐，)5.0,(15.02hK y x f K n n +⇐+， )5.0,(25.03hK y x f K n n +⇐+，),(314hK y x f K n n +⇐+ )22(643211K K K K hy y n n ++++⇐+ 步3 输出T m y y y y ),,,(21 =六、调试过程及实验结果>> shiyan6Y1 =0.8000 0.6620 0.5776 0.5401 0.5441 0.5853 0.6602 0.7662 0.9009 1.0627 Y2 =0.8287 0.7103 0.6388 0.6093 0.6179 0.6612 0.7366 0.8419 0.9753 1.1353e1 =0.0287e2 =4.2469e-006 e1 =0.0738e2 =1.1609e-005注：至于h=0.05、0.01的情况将程序中的h值作相应的改动即可得。

常微分方程初值问题的数值解法在自然科学、工程技术、经济和医学等领域中，常常会遇到一阶常微分方程初值问题：(,),,(),y f x y a x b y a y '=≤≤⎧⎨=⎩ (1) 此处f 为,x y 的已知函数，0y 是给定的初始值。

本章讨论该问题的数值解法，要求f 在区域{(,)|,}G x y a x b y =≤≤<∞内连续，并对y 满足Lipschitz 条件，从而初值问题(1)有唯一的连续可微解()y y x =，且它是适定的。

1 几个简单的数值积分法1.1 Euler 方法（1）向前Euler 公式（显式Euler 公式）10(,),0,1,2,,(),n n n n y y hf x y n y y a +=+=⎧⎨=⎩(2) 其中h 为步长。

由此便可由初值0y 逐步算出一阶常微分方程初值问题(1)的解()y y x =在节点12,,x x 处的近似值12,,y y 。

该公式的局部截断误差为2()O h ，是一阶方法。

（2）向后Euler 公式（隐式Euler 公式）1110(,),0,1,2,,(),n n n n y y hf x y n y y a +++=+=⎧⎨=⎩(3) 这是一个隐格式，也是一阶方法。

这类隐格式的计算比显格式困难，一般采用迭代法求解。

首先用向前Euler 公式提供迭代初值，然后迭代计算：(0)1(1)()111(,),(,),0,1,2,n n n n k k n n n n y y hf x y y y hf x y k +++++⎧=+⎨=+=⎩ (4)1.2 梯形方法1110[(,)(,)],2(),(0,1,2,)n n n n n n h y y f x y f x y y y a n +++⎧=++⎪⎨⎪=⎩= (5) 这也是一个隐格式，是二阶方法。

一般也采用迭代法求解。

迭代公式如下：(0)1(1)()111(,),[(,)(,)],0,1,2,2n n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k +++++⎧=+⎪⎨=++=⎪⎩ (6)1.3 改进的Euler 方法11110(,),[(,)(,)],0,1,2,,2(),n n n n n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y n y y a ++++⎧=+⎪⎪=++=⎨⎪=⎪⎩(7) 为了便于上机编程计算，(7)可改写为110(,),(,),0,1,2,,1(),2(),p n n n cn n p n p c y y hf x y y y hf x y n y y y y y a ++=+⎧⎪=+⎪⎪=⎨=+⎪⎪=⎪⎩(8) 该格式是显式，也是二阶方法。

常微分方程的数值解法专业班级：信息软件 姓名：吴中原 学号：120108010002 一、实验目的1、熟悉各种初值问题的算法，编出算法程序；2、明确各种算法的精度与所选步长有密切关系；通过计算更加了解各种 算法的优越性。

二、实验题目1、根据初值问题数值算法，分别选择二个初值问题编程计算；2、试分别取不同步长，考察某节点j x处数值解的误差变化情况； 3、试用不同算法求解某初值问题，结果有何异常； 4、分析各个算法的优缺点。

三、实验原理与理论基础（一） 欧拉法算法设计对常微分方程初始问题(6-1)(6-2)用数值方法求解时，我们总是认为(6-1)、(6-2)的解存在且唯一。

欧拉法是解初值问题的最简单的数值方法。

从(6-2)式由于y (x 0) = y 0已给定，因而可以算出),()('000y x f x y =。

设x 1 = h 充分小，则近似地有：),()(')()(00001y x f x y hx y x y =≈-(6-3)记 ,n ,,i x y y i i 10 )(== 从而我们可以取),(0001y x hf y y ==作为)(1x y 的近似值。

利用1y 及f (x 1, y 1)又可以算出)(2x y 的近似值：),(1112y x hf y y +=一般地，在任意点()h n x n 11+=+处)(x y 的近似值由下式给出),(1n n n n y x hf y y +=+(6-4)这就是欧拉法的计算公式，h 称为步长。

⎪⎩⎪⎨⎧==)( ),(d d 00y x y y x f x y（二）四阶龙格-库塔法算法设计：欧拉公式可以改写为：()111,i i i i y y k k hf x y +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，它每一步计算(),f x y 的值一次，截断误差为()2o h 。

改进的欧拉公式可以改写为：()()()11212112,,i i i i i i y y k k k hf x y k hf x h y k +⎧=++⎪⎪=⎨⎪=++⎪⎩，它每一步要计算(),f x y 的值两次，截断误差为()3o h 。

实验报告专用纸实验项目名称常微分方程初值问题的数值解课程名称计算机数值方法教师评语及成绩：实验成绩：教师签字：（请按照实验报告的有关要求书写，一般必须包括：1、实验目的；2、实验内容；3、实验步骤与方法；4、实验数据与程序清单；5、出现的问题及解决方法；6、实验结果、结果分析与体会等内容。

）1、实验目的（1）在计算机上实现Euler法及Runge-Kutta法求解一阶常微分方程初值问题；（2）通过求常微分方程初值问题的数值解，加深对其数值方法及有关基础理论知识的理解。

2、实验内容（1）用Euler法求解常微分方程初值问题；（2）用四阶Runge-Kutta求解常微分方程初值问题。

3、实验原理（1）Euler法：（2）改进的Euler法：（3）Runge-Kutta法：4、实验步骤（1）复习相关知识，为编写程序做准备；（2）编写调式程序（3）用调式好的程序解决实际问题（4）记录相关数据（5）进行结果分析（6）根据要求撰写论文5、实验程序%Ordinary_differential.mformat long;%步长h=1/20;%右边界xf=2;%设置步长x=0:h:xf;%已知函数Func=@(x,y)(y-((2*x)/y));%Euler%初始化y数组y_E=zeros(1,length(x));y_E(1)=1;%复现公式&迭代计算for i=1:(length(x)-1)y_E(i+1)=y_E(i)+Func(x(i),y_E(i))*h; end%Improve Euler%初始化y数组y_IE=zeros(1,length(x));y_IE(1)=1;%复现公式&迭代计算for i=1:(length(x)-1)p=y_IE(i)+h*Func(x(i),y_IE(i));c=y_IE(i)+h*Func(x(i+1),p);y_IE(i+1)=(1/2)*(p+c);end%Rung Kutta%初始化y数组y_RK=zeros(1,length(x));y_RK(1)=1;%复现公式&迭代计算for i=1:(length(x)-1)k1=Func(x(i),y_RK(i));k2=Func(x(i)+0.5*h,y_RK(i)+0.5*h*k1);k3=Func((x(i)+0.5*h),(y_RK(i)+0.5*h*k2));k4=Func((x(i)+h),(y_RK(i)+k3*h));y_RK(i+1)=y_RK(i)+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4) *h;end%Exact%使用ode45计算精确函数x0=0;y0=1;yspan=[x0xf];[x_ode45,y_ode45]=ode45(Func,yspan,y0);%绘图subplot(221)plot(x_ode45,y_ode45,'-');xlabel('x');ylabel('y');legend('Exact');subplot(222)plot(x,y_E,'-');xlabel('x');ylabel('y');legend('Euler');subplot(223)plot(x,y_IE,'-');xlabel('x');ylabel('y');legend('Improve Euler');subplot(224)plot(x,y_RK,'-');xlabel('x');ylabel('y');legend('Rung Kutta');%tableres=[round(transpose(x),8),round(transpose(y_E),8), round(transpose(y_IE),8),round(transpose(y_RK),8),round(y_ode45,8)];table=array2table(res,'VariableNames',{'x','Euler','Improve Euler','Rung Kutta','Exact'});table;6、实验结果及分析（1）实验结果table=41×5tablex Euler Improve Euler Rung Kutta Exact_______________________________________________ 011110.05 1.05 1.04886905 1.04880886 1.048810180.1 1.0977381 1.09556112 1.09544514 1.095445380.15 1.14351536 1.14034459 1.14017546 1.140174580.2 1.18757368 1.18343698 1.183216 1.183216060.25 1.23011131 1.22501749 1.22474493 1.22474526 0.3 1.27129351 1.26523585 1.26491113 1.26491111 0.35 1.31126017 1.30421877 1.30384056 1.30384029 0.4 1.3501313 1.34207454 1.34164088 1.34164095 0.45 1.38801111 1.3788967 1.37840498 1.37840509 0.5 1.42499118 1.41476663 1.41421368 1.41421362 0.55 1.4611528 1.44975574 1.44913781 1.44913769 0.6 1.49656893 1.48392711 1.48323985 1.48323991 0.65 1.53130567 1.51733679 1.51657526 1.51657529 0.7 1.56542352 1.55003492 1.54919353 1.54919345 0.75 1.59897836 1.58206653 1.58113904 1.58113897 0.8 1.63202233 1.61347233 1.61245178 1.61245182 0.85 1.66460451 1.64428925 1.64316793 1.64316793 0.9 1.69677156 1.67455096 1.67332034 1.673320260.95 1.72856823 1.7042883 1.70293895 1.702938891 1.76003786 1.73352962 1.73205115 1.73205117 1.05 1.79122279 1.76230109 1.76068206 1.76068204 1.1 1.82216476 1.79062697 1.78885479 1.78885471 1.15 1.85290524 1.81852981 1.81659066 1.8165906 1.2 1.8834858 1.84603071 1.84390938 1.84390939 1.25 1.91394844 1.87314942 1.87082923 1.87082919 1.3 1.94433584 1.89990456 1.89736719 1.89736709 1.35 1.97469176 1.92631373 1.92353905 1.92353898 1.4 2.00506125 1.95239363 1.94935958 1.94935956 1.45 2.03549101 1.9781602 1.97484254 1.97484247 1.5 2.06602967 2.0036287 2.00000085 2.00000073 1.55 2.09672813 2.0288138 2.0248466 2.0248465 1.6 2.12763984 2.05372973 2.04939117 2.04939111 1.65 2.15882113 2.07839027 2.07364525 2.073645151.72.19033159 2.10280892 2.09761891 2.097618771.752.22223435 2.12699893 2.12132168 2.121321541.82.2545965 2.15097339 2.14476252 2.144762411.852.28748942 2.17474529 2.16794994 2.167949781.92.3209892 2.19832764 2.19089198 2.190891781.952.35517701 2.22173348 2.21359628 2.213596082 2.39013954 2.24497601 2.23607008 2.2360699（2）结果分析根据数据及图像可以看出。

实验报告七常微分方程初值问题的数值解法浙江大学城市学院实验报告课程名称数值计算方法实验项目名称常微分方程初值问题得数值解法实验成绩指导老师(签名) 日期2０15/１2/16一、实验目得与要求1．用Ｍａｔlab软件掌握求微分方程数值解得欧拉方法与龙格-库塔方法;2．通过实例学习用微分方程模型解决简化得实际问题。

二、实验内容与原理编程题2－1要求写出Matlab源程序（m文件),并有适当得注释语句;分析应用题2－２,２-3,2-4,2－5要求将问题得分析过程、Ｍatlab源程序与运行结果与结果得解释、算法得分析写在实验报告上。

2-1编程编写用向前欧拉公式与改进欧拉公式求微分方程数值解得Ｍａtlab程序,问题如下:在区间内个等距点处，逼近下列初值问题得解,并对程序得每一句添上注释语句。

Euler法 y＝euleｒ(ａ,b，ｎ,y0，f,f1，ｂ1)改进Euler法y=eulerpro（ａ,b,ｎ,ｙ0，f,f1,b１)2-2分析应用题假设等分区间数,用欧拉法与改进欧拉法在区间内求解初值问题并作出解得曲线图形,同时将方程得解析解也画在同一张图上,并作比较,分析这两种方法得精度。

2-3分析应用题用以下三种不同得方法求下述微分方程得数值解,取画出解得图形,与精确值比较并进行分析。

1)欧拉法；２)改进欧拉法;3)龙格－库塔方法;2-4分析应用题考虑一个涉及到社会上与众不同得人得繁衍问题模型。

假设在时刻(单位为年）,社会上有人口人,又假设所有与众不同得人与别得与众不同得人结婚后所生后代也就是与众不同得人。

而固定比例为得所有其她得后代也就是与众不同得人。

如果对所有人来说出生率假定为常数,又如果普通得人与与众不同得人得婚配就是任意得,则此问题可以用微分方程表示为:其中变量表示在时刻社会上与众不同得人得比例,表示在时刻人口中与众不同得人得数量。

1）假定与,当步长为年时,求从到解得近似值,并作出近似解得曲线图形。

2)精确求出微分方程得解,并将您当时在分题(b)中得到得结果与此时得精确值进行比较。

班级： 学号： 姓名： 成绩：实验5 常微分方程初值问题的数值解法实验1实验目的1）熟悉欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法的原理。

2）根据以上方法，编程求解常微分方程初值问题。

2 实验内容（1）编写程序，用以上各种方法求解教材P232例7-1、习题6、11的初值问题。

(2) 使用系统自带的函数dsolve 和ode45求例7-1的符号解析解和数值解。

3实验原理求解微分方程初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩ （1） 欧拉法（显式）：10(,)n n n n n y y hf x y x x nh +=+⎧⎨=+⎩（2） 改进欧拉法(0)1(0)111(,)(,)(,)2n n n n n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y ++++⎧=+⎪⎨⎡⎤=++⎪⎣⎦⎩ （3） 经典龙格-库塔法（四阶）11234121324300(22)6(,)(,)22(,)22(,)()i i i i i i i i i i h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK y y x +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪=++⎪⎨⎪=++⎪⎪⎪=++⎪=⎪⎩4实验步骤1)建立函数文件，根据各公式编写程序；2)上机调试程序，运行程序进行计算，记录计算结果；3)分析各公式计算结果，比较各公式的优缺点。

5 程序设计欧拉法改进欧拉法function Euler1(x0,y0,h,n)%(x0,y0)：方程的初值%h：步长%n：计算的步数for i=1:nx=x0+h;yp=y0+h*f(x0,y0);yc=y0+h*f(x,yp);y=(yp+yc)/2;x %在屏幕显示每一步的x值y %在屏幕显示每一步计算的方程的数值解 x0=x;y0=y;end经典龙格-库塔法1）函数function f=f(x,y) f=y-2*x/y;end6总结注：若要更改matlab计算的数值类型，可以通过在matlab中设置实现：File -> Preferences ->Array Editor窗口中，Format 下方将Default array format设置为：long解微分方程的MATLAB命令MATLAB中主要用dsolve求微分方程的符号解析解，ode45求数值解。

第七章 常微分方程初值问题的数值解法--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。

在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。

在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。

常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。

在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。

通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。

在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。

二、本章知识梳理常微分方程初值问题的数值解法一般概念步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000'(,),()y f t y t t Ty t y =≤≤⎧⎨=⎩的数值解法的一般形式是1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-@显示单步法7.2.1 显示单步法的一般形式1(,,),(0,1,...,1)n n n n y y h t y h n M ϕ+=+=-定理7.2.1 设增量函数(,,)n n t y h ϕ在区域00{(,,)|,||,0}D t y h t t T y h h =≤≤<∞≤≤内对变量y 满足Lipschitz 条件，即存在常数K ，使对D 内任何两点1(,,)t u h 和2(,,)t u h ，不等式1212|(,,)(,,)|||t u h t u h K u u ϕϕ-≤-成立，那么，若单步法的局部截断误差1n R +与1(1)p h p +≥同阶，即11()p n R O h ++=，则单步法的整体截断误差1n ε+与p h 同阶，即1()p n O h ε+=。

常微分方程初值问题数值解法初值问题：即满足初值条件的常微分方程的解y′=f(x,y),x∈[x0,b]y(x0)=y0.定理1（利普希茨条件）若存在正数L，使得对任意，y1，y2，有|f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|(y1−y2)|定理2（解存在性）①若函数f在方区域x∈[a,b],y∈R连续，②函数f关于y 满足利普希茨条件，则对任意x∈[a,b]，常微分方程存在唯一的连续可微数值解.两类问题：①单步法---计算下一个点的值yn+1只需要用到前面一个点的值yn②多步法---计算下一个点的值yn+1需要用到前面l个点的值yl1、欧拉法---下一个点的计算值等于前一个点的计算值加上步长乘以前一个点的函数值•具体过程一些批注：显式欧拉方程指下一步要计算的值，不在迭代方程中；隐式欧拉方程指下一步要计算的值，在迭代方程中。

怎么计算隐式欧拉方程----要借助显示欧拉迭代计算---一般用迭代法-----迭代---将微分方程在区间[xn,xn+1]进行积分，然后函数f进行近似，即可得到迭代方程-----迭代方程收敛性？由函数关于y满足利普希茨条件，可以推出迭代公式收敛。

•局部截断误差：假设前n步误差为0，我们计算第n+1步的误差，将次误差称为局部截断误差，且局部误差为O(hp+1)•p阶精度：由理论证明：若局部误差阶的时间复杂度为O(hp+1)，则整体误差阶为O(hp)我们称公式精度为p。

•显示欧拉法与隐式欧拉法•梯形方法----将显式欧拉迭代方程与隐式欧拉迭代方程做一下加权平均，构造的计算公式.•改进的欧拉方法---思想：因为梯形公式是隐式公式，将显式欧拉公式对下一步的计算值进行预估，用梯形公式对下一步的计算值进行校正.2、龙格-库塔方法思想：根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以前一个点的斜率；而这个斜率用该区间上的多个点的斜率的算数平均来逼近。

注意：怎么计算任意斜率Ki？第i个点的斜率Ki有微分方程可以算出f′=f(xn,yn)所以要算的f(xn,yn)值，由欧拉法即可算出, yn+1=yn+hf′•2阶-龙格-库塔方法----类似改进的欧拉法根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以斜率；而这个斜率用区间上的端点和中点的斜率的算数平均来逼近。

常微分方程初值问题的数值解法在实际应用中，对于某些微分方程，我们并不能直接给出其解析解，需要通过数值方法来求得其近似解，以便更好地理解和掌握现象的本质。

常微分方程初值问题（IVP）即为一种最常见的微分方程求解问题，其求解方法有多种，本文将对常微分方程初值问题的数值解法进行较为详细的介绍。

一、欧拉法欧拉法是最基本的一种数值解法，它采用泰勒级数展开并截断低阶项，从而获得一个差分方程近似求解。

具体来讲，设 t 为独立变量，y(t) 为函数 y 关于 t 的函数，方程为：$$y'(t) = f(t, y(t)), \qquad y(t_0) = y_0$$其中 f(t,y(t)) 为已知的函数，y(t_0) 为已知的初值。

将函数 y(t) 进行泰勒级数展开：$$y(t+h) = y(t) + hf(t, y(t)) + O(h^2)$$其中 h 表示步长，O(h^2) 表示其他高阶项。

为了使误差较小，一般取步长 h 尽可能小，于是我们可以用欧拉公式表示数值解：$$y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n), \qquad y_0 = y(t_0)$$欧拉法的优点是容易理解和实现，但是由于截取低阶项且使用的单步法，所以误差较大，精度较低，在具体应用时需要慎重考虑。

二、龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种多步法，比欧拉法更加精确。

龙格-库塔法的主要思想是使用不同的插值多项式来计算近似解，并且将时间步长分解，每次计算需要多次求解。

以下简要介绍二阶和四阶龙格-库塔法。

二阶龙格-库塔法将时间步长 h 分解成两步 h/2，得到近似解表达式：$$\begin{aligned} k_1 &= hf(t_n, y_n)\\ k_2 &= hf(t_n+h/2,y_n+k_1/2)\\ y_{n+1} &= y_n+k_2+O(h^3)\\ \end{aligned}$$四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法是龙格-库塔法中应用最为广泛的一种方法，其需要计算的中间值较多，但是具有更高的精度。