2019人教版 高中数学【选修 2-1】习题：221椭圆及其标准方程

人教版高中数学精品资料2.2.1 椭圆及其标准方程课时演练·促提升A组1.若F1,F2是两个定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段解析:由椭圆定义知,点M的轨迹是椭圆.答案:A2.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:方程可化为=1,表示焦点在y轴上的椭圆时,应满足>0,即m>n>0.所以是充要条件.答案:C3.设P是椭圆=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8.又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=2c=2=4,∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形.答案:B4.已知椭圆的焦点坐标为(0,-1),(0,1),且过点,则椭圆方程为()A.=1B.=1C.+y2=1D.+x2=1解析:由已知椭圆焦点在y轴上,设方程为=1(a>b>0).则2a==4,故a=2.又c=1,则b2=a2-c2=3,故椭圆方程为=1.答案:B5.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.抛物线解析:由题意,得|PF1|+|PF2|=2a(a>0是常数).∵|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a,∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,2a为半径的圆,故选A.答案:A6.若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是.解析:将方程化为=1,依题意,得8>2-m>0,解得-6<m<2.答案:-6<m<27.若椭圆=1的焦距为6,则k的值为.解析:由已知,得2c=6,∴c=3,∴c2=9,∴20-k=9或k-20=9,∴k=11或k=29.答案:11或298.若椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为.解析:由已知,得2a=8,2c=2,∴a=4,c=,∴b2=a2-c2=16-15=1,故椭圆的标准方程为+x2=1.答案:+x2=19.已知椭圆=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.解:(1)依题意知c=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,所以a2-a2=1,即a2=1.所以a2=4.因此b2=3.从而椭圆方程为=1.(2)因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4.又|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理,得cos ∠F1PF2==.即∠F1PF2的余弦值等于.10.已知圆A:x2+(y+6)2=400,圆A内有一定点B(0,6),动圆C过点B且与圆A内切,求动圆圆心C的轨迹方程.解:设动圆C的半径为r,则|CB|=r.因为圆C与圆A内切,所以|CA|=20-r,所以|CA|+|CB|=20>12,所以点C的轨迹是以A,B两点为焦点的椭圆.因为2a=20,2c=|AB|=12,所以a=10,c=6,b2=64.因为点A,B在y轴上,所以点C的轨迹方程为=1.B组1.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则三角形PF1F2的面积等于()A.24B.26C.22D.24解析:因为a2=49,所以|PF1|+|PF2|=2a=14.又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6.又因为|F1F2|=2c=2=10,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2.故△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.答案:A2.设F1,F2是椭圆C:=1的焦点,在曲线C上满足=0的点P的个数为()A.0B.2C.3D.4解析:∵=0,∴PF1⊥PF2.∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且此圆的半径为c==2.∵b=2,∴点P为该椭圆y轴的两个端点.答案:B3.F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.解析:∵|OF2|=c,∴由已知得,∴c2=4,c=2.设点P的坐标为(x0,y0),由△POF2为正三角形,∴|x0|=1,|y0|=,代入椭圆方程得=1.∵a2=b2+4,∴b2+3(b2+4)=b2(b2+4),即b4=12,∴b2=2.答案:24.已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.解:如图,M是AQ的垂直平分线与CQ的交点,连接MA,则|MQ|=|MA|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,且|AC|=2,∴动点M的轨迹是椭圆,且其焦点为C,A.易知2a=5,2c=2,∴a=,c=1,∴b2=a2-c2=-1=,故动点M的轨迹方程为=1.5.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若△PF1F2的面积为2,求点P坐标.解:(1)由题意知,2c=4,c=2,|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,∴a=4.∴b2=a2-c2=16-4=12.∵椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的方程为=1.(2)设点P坐标为(x0,y0),依题意知,|F1F2||y0|=2,∴|y0|=,y0=±.代入椭圆方程=1,得x0=±2,∴点P坐标为(2)或(2,-)或(-2)或(-2,-).6.已知P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆上的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4且F1(-,0),F2(,0).①在△F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°.②由①②得|PF1|·|PF2|=.所以|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得<0,即(x+,y)·(x-,y)<0.又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<.所以点P横坐标的范围是。

0
几点说明： F F 1、F1、F2是两个不同的定点； 2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数； 3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c＞0； 4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
1
2
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
X

x
2
1
25
16
例7：动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离 之和为8，则动点P的轨迹为---------（ B ）
A.椭圆
B.线段F1F2
C.直线F1F2
D.不能确定
练习： 平面内两个定点的距离是8，写出到这两个
定点距离之和是10的点的轨迹方程 解： 这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F1、 F2表示，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2 的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系. 2a=10，2c=8， a=5，c=4. b2=a2-c2=52-42=25-16=9，即b=3. 因此这个椭圆的标准方程是：
y a
2 2

x b
2 2
1( a b 0 )
椭圆的标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
快速练习：判定下列椭圆的焦点在那条坐标 轴上?并指出焦点坐标。
x 5
2 2

y 3
2 2
1
即
x
2

y 9
2
1
25

§2.2.1（1）椭圆及其标准方程1、椭圆1121322=+y x 上任一点P 到两个焦点的距离的和为（ ） A 、26 B 、24 C 、2 D 、1322、椭圆2211625x y +=的焦点坐标（ ） A 、(4,0)± B 、(0,4)± C 、(3,0)± D 、(0,3)±3、 椭圆2211625x y +=的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则ABC ∆ 的周长为（ ）A 、10B 、12C 、16D 、204、椭圆的两个焦点分别是)0,8()0,8(21F F 和-，且椭圆上一点到两个焦点距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（ ）A 、1122022=+y xB 、13640022=+y xC 、13610022=+y xD 、=+1003622y x 1 5、已知定点1F 、2F ，且12||8FF =，动点P 满足12||||8PF PF +=，则动点P 的轨迹是（ ）A 、椭圆B 、圆C 、直线D 、线段6、如果方程22216x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ） A 、3a > Ｂ、2a <-C 、3a >或2a <-D 、3a >或62a -<<-7、焦点在x 上，10a =，6b =的椭圆的标准方程为 ；焦点在y 轴上，且6,1a c ==的椭圆标准方程为 ； 焦点在y 轴上，且6,3b c ==的椭圆标准方程为 ；8、椭圆2212516x y +=上一点P 一椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为 ；9、椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，则k = ；10、焦点为12(0,4)(0,4)F F -和，且过点-的椭圆方程为 ； 11、已知椭圆的两个焦点坐标为12(2,0),(2,0)F F -，且12122||||||FF PF PF =+，求椭圆的方程。

2.2.1 椭圆的标准方程（二）1．已知a ＝13，c ＝23，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 213＋y 212＝1B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1C.x 213＋y 2＝1D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 [解析]选D.由a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝13－12＝1.分焦点在x 轴和y 轴上写标准方程．2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6C ．7 D ．8[解析]选D.∵a ＝5，|PF 1|＝2.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2×5－2＝8.3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 [解析]选A.c ＝1，a ＝12()2＋12＋0＋2－12＋0＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1[解析]选B.由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4. 5．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]选C.mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m ＋y 21n ＝1，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1n，因此椭圆焦点在y 轴上，反之亦成立．6．椭圆x 2m ＋y 215＝1的焦距等于2，则m 的值是________． [解析]当焦点在x 轴时，m －15＝1，m ＝16；当焦点在y 轴时，15－m ＝1，m ＝14.[答案]16或147．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．[解析]原方程可化为x 22＋y 22k ＝1，因表示焦点在y 轴上的椭圆．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，2k ＞2.解得0＜k ＜1. ∴k 的取值范围是(0,1)．[答案](0,1)8．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为__________．[解析]由题设知|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，∴2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[答案]x 24＋y 23＝1 9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆上一点P (3,2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.解：(1)①若焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意知2a ＝8，∴a ＝4，又点P (3,2)在椭圆上，∴916＋4b 2＝1，得b 2＝647. ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1. ②若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵2a ＝8，∴a ＝4. 又点P (3,2)在椭圆上，∴416＋9b 2＝1，得b 2＝12.∴椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. 由①②知椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1或y 216＋x 212＝1. (2)由题意知，2c ＝16,2a ＝9＋15＝24，∴a ＝12，c ＝8，∴b 2＝80.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，∴所求方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 10．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2是椭圆左、右焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆方程；(2)△PF 1F 2的面积．解：(1)由PF 1⊥PF 2，可得|OP |＝c ，即c ＝5.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1代入P (3,4)， 得9a 2＋16a 2－25＝1，解得a 2＝45，a 2＝5(舍去)．∴椭圆方程为x 245＋y 220＝1. (2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y P |＝5×4＝20. 能力提升1．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形[解析]选B.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，且已知|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2.所以有|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2.因此∠MF 2F 1＝90°，△MF 1F 2为直角三角形．2．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．[解析]当△PF 1F 2面积取最大时，S △PF 1F 2＝12×8b ＝12，∴b ＝3.又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. [答案]x 225＋y 29＝1 3．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程． 解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1， 即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5， 故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1， 解得a 2＝15(a 2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 4. 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，如下图，求圆心P 的轨迹方程．解：设|PB|＝r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距|P A|＝10－r，即|P A|＋|PB|＝10，而|AB|＝6，∴|P A|＋|PB|＞|AB|，∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴圆心P的轨迹方程为x225＋y216＝1.。

1．1椭圆及其标准方程(一)明目标、知重点 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．1．椭圆的定义我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程探究点一椭圆的定义思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？答固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键．思考2在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？答到两个定点的距离和等于常数．小结平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c.若设M为椭圆上的任意一点，则|MF1|＋|MF2|＝2a.思考3在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？答当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．探究点二椭圆的标准方程思考1观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．答(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c,0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c，0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫作椭圆的标准方程．思考2建系时如果焦点在y轴上会得到何种形式的椭圆方程？答焦点在y轴上，椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)．思考3怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？答看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y轴上．思考4椭圆方程中的a、b以及参数c有什么意义，它们满足什么关系？答椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.例1 (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程． 解 (1)方法一 因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．由椭圆的定义知 2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋ ⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫－322＝210， 所以a ＝10.又因为c ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.方法二 设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b 2＝1a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10b 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2)方法一 当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)、(0,1)，∴⎩⎨⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，与a >b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.方法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0， m ≠n )．∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.反思与感悟 求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．(2)待定系数法，即设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a 2、b 2的值，可归纳为“先定型，再定量”，其一般步骤是：①定类型：根据条件判断焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两种情况都有可能，并设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)；也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )． ②确定未知量：根据已知条件列出关于a 、b 、c 的方程组，解方程组，可得a 、b 的值，然后代入所设方程即可．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点(63，3)和点(223，1)． 解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9. ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)方法一 ①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． ∵点(63，3)和点(223，1)在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(63)2a 2＋(3)2b2＝1，(223)2a 2＋12b2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝9.而a >b >0.∴a 2＝1，b 2＝9不合题意，即焦点在x 轴上的椭圆的方程不存在．②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． ∵点(63，3)和点(223，1)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(63)2b 2＝1，12a 2＋(223)2b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为y 29＋x 2＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵点(63，3)和点(223，1)都在椭圆上， ∴⎩⎨⎧m ·(63)2＋n ·(3)2＝1，m ·(223)2＋n ·12＝1，即⎩⎨⎧2m3＋3n ＝1，8m9＋n ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19.∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1. 例2 已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________．答案 7<k <10解析 化成椭圆标准形式得x 2k －4＋y 210－k＝1，根据其表示焦点在x 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，解得7<k <10.反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式． (2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎨⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是( )A ．m >0B ．0<m <1C ．－2<m <1D ．m >1且m ≠ 2答案 B解析 ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1.探究点三 椭圆的定义及标准方程的应用例3 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积． 解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4.解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.反思与感悟 (1)椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的三角形称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)的方程求得|PF 1|(或|PF 2|)的长度；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量． (2)焦点三角形的周长等于2a ＋2c .跟踪训练3 如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积． 解 在椭圆x 25＋y 24＝1中，a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1.又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，① 由余弦定理知：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30° ＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4，② ①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，③ ③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－4 3.1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 D解析 由椭圆定义知点P 到另一个焦点的距离是10－2＝8.2．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >8答案 B解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m >0m ＋9>0m ＋9>25－m，解得8<m <25，即实数m 的取值范围是8<m <25.3．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段答案 D解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2，故选D.4．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________. 答案 48解析 依题意a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5， |F 1F 2|＝2c ＝10，由于PF 1⊥PF 2， 所以由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝100， 即196－2|PF 1|·|PF 2|＝100. 解得|PF 1|·|PF 2|＝48. [呈重点、现规律]1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论达到了简化运算的目的．一、基础过关1．已知焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，且a ＝6的椭圆方程是( ) A.x 236＋y 220＝1 B.x 220＋y 236＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 216＋y 236＝1 答案 B2．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定 答案 B解析 △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c .因为2a ＝10，c ＝25－9＝4，所以周长为10＋8＝18.3．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，所以1<m <3；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．4．设P 是椭圆 x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B 解析 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3.又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于______________． 答案 4或8解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 10－m >0m －2>0，得2<m <10， 由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.6．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________． 答案 a >3或－6<a <－2解析 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0，a >－6. ⇔a >3或－6<a <－2.7．已知椭圆两焦点为F 1、F 2，a ＝32，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，求△ABF 2的周长．解 如图所示，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)， 又∵a ＝32. ∴△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝6.二、能力提升8．设椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点Q 恰好在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍答案 A9．设定点F 1(0，－3)、F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段答案 D解析 ∵a ＋9a ≥2a ·9a＝6， 当且仅当a ＝9a，a ＝3时取等号， ∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0，且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆． 10．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF |＋|ME |＝10，∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线，∴|ON |＝12|ME |＝4. 11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1. 12．椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．解 如图所示，以F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝5与椭圆x 29＋y 24＝1交于A 、B 、C 、D 四点，则∠F 1AF 2＝∠F 1BF 2＝∠F 1CF 2＝∠F 1DF 2＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝54x 2＋9y 2＝36. 得x ＝±355，如果点P 在椭圆弧AB 及CD 上，即在圆的内部，那么∠F 1PF 2是钝角，故－355<x <355. 三、探究与拓展13．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变，求曲线E 的方程．解 如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝322， ∵|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋322＝22， 且|P A |＋|PB |>|AB |，∴由椭圆定义知，动点P 的轨迹E 为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝1.∴所求曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.。

整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
两边除以 a 2 (a 2 c 2 ) 得
x2
y2
a2 a2 c2 1.
新知探究
问题3：观察椭圆，你能从图中 的线段吗？
a—长半轴长
b—短半轴长
找出 a , c , a 2 c 2 代表
c—半焦距
-10
-5
长轴长：2a 短轴长：2b 焦 距：2c
新知探究
例1：用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆. (1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹.
是 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹.
不是 (3)到F1(-2,0)、F2(0，2)的距离之和为3的点的轨迹.
是
新知探究
问题二：椭圆方程的推导
问题1：根据椭圆的形状，如何建立直角坐标系？ yy y
y
M
M
y F2
F1 O O OF2 x x xO来自xOx
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
新知探究
问题2：如何求椭圆的方程呢？
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设M(x, y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上!
相同点
人教版高中数学选修2-1
第2章 圆锥曲线与方程
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PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲授人：XXX 时间：202X.6.1

2.2.1 椭圆及其标准方程一、选择题1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段 [答案] D[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6，∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|，∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( ) A ．5B ．3或8C ．3或5D ．20 [答案] C[解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1，∴m ＝5或m ＝3，故选C.3．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( )A ．(±a －b ，0)B ．(±b －a ，0)C ．(0，±a －b )D ．(0，±b －a )[答案] D[解析] ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a ＝1， ∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a ，∴焦点坐标为(0，±b －a )．4．(2014·长春市高二期末调研)中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( )A.x 281＋y 245＝1 B ．x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 272＝1 D ．x 281＋y 236＝1 [答案] C[解析] 由长轴长为18知a ＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c ＝13(2a )＝6，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，故选C.5．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A ．95B ．3C ．977D ．94 [答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7.∵△PF 1F 2为直角三角形．且b ＝3>7＝c .∴F 1或F 2为直角三角形的直角顶点，∴点P 的横坐标为±7，设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94. 6．(2014·洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1 C.x 220＋y 25＝1 D ．x 25＋y 220＝1 [答案] C[解析] 由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C.二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1 [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1. 故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 8．如图所示，F1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________________. [答案] 2 3[解析] 由题意S △POF 2＝34c 2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋4.∴点P 坐标为(1，3)，把x ＝1，y ＝3代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得， 1b 2＋4＋3b 2＝1，解得b 2＝2 3. 三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b 2＝1，又a ＝3b ，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1. 当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1. 故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1. 10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2，∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |，∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，∴a ＝1，c ＝12，b 2＝34. ∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1.一、选择题11．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <2D ．m <－1或1<m <32[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |m |－1>0，2－m >0，2－m >|m |－1.即⎩⎪⎨⎪⎧ m >1或m <－1，m <2，m <32.∴1<m <32或m <－1，故选D. [点评] 解答本题应注意，方程表示椭圆，分母应取正值，焦点在y 轴上，含y 2项的分母较大，二者缺一不可．12．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 29＝1 B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0) [答案] D[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.13．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线 [答案] A[解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ，又∵F 1、P 、Q 三点共线，∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |，∴|F 1Q |＝2a .即Q 在以F 1为圆心，以2a 为半径的圆上．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0，－2)和C (0,2)，顶点B 在椭圆y 212＋x 28＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值是( ) A. 3B ．2C ．2 3D ．4[解析] 由椭圆定义得|BA |＋|BC |＝43，又∵sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝434＝3，故选A. 二、填空题15．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，若|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是________．[答案] x 24＋y 23＝1 [解析] 由题意得2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，∴4c ＝2a ，∵c ＝1，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 16．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.[答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知，|P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35. [点评] 对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决与焦点有关的问题时，要结合图形看能否运用定义．三、解答题17．(2013·四川省绵阳中学月考)求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)a c ＝13 5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. (2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5， 所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1. [点评] 用待定系数法求椭圆的标准方程时，要首先进行“定位”，即确定焦点的位置；其次是进行“定量”，即求a 、b 的大小，a 、b 、c 满足的关系有：①a 2＝b 2＋c 2；②a >b >0；③a >c >0.若不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)的形式．18．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122， ∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144，∴mn ＝2563， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2 ＝12×2563×32＝6433.。

1．已知命题甲：动点P 到两定点A ,B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a ，其中a 为大于0的常数；命题乙：P 点的轨迹是椭圆.命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若P 点的轨迹是椭圆，则一定有|PA |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，P 点的轨迹不一定是椭圆，所以甲不是乙的充分条件.综上，甲是乙的必要不充分条件．答案：B2．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1,F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．答案：B3．若方程x 24＋y 28sin α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是( )A ．(π3，π2)B ．[π3，π2)C ．(π6，π2)D ．[π6，π2)解析：∵方程x 24＋y 28sin α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴8sin α>4，sin α>12.∵α为锐角，∴π6<α<π2.答案：C4．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段解析：∵a ＋9a ≥2 a ·9a ＝6，当且仅当a ＝9a ，a ＝3时取等号，∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|， 点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0，且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|， 点P 的轨迹是椭圆． 答案：D5．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上.若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：∵a 2＝9，b 2＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴|F 1F 2|＝27.又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 2|＝2.由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝22＋42－(27)22×2×4＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°6．设P 为椭圆x 24＋y 29＝1上的任意一点，F 1,F 2为其两焦点，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是________．解析：由已知得a ＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝3时，取等号． 故|PF 1|·|PF 2|的最大值为9.答案：97．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2.(1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1得8x 281＋436＝1，即x 2＝9. ∴x ＝±3，即M 的横坐标为3或－3. (2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5， 故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.把M 点的坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15.故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.8．一动圆过定点A (2,0)，且与定圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：将圆的方程化为标准形式为(x ＋2)2＋y 2＝62， ∴圆心坐标为B (－2,0)，半径为6，如图. 由于动圆M 与已知圆B 内切，设切点为C .∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC |－|MC |＝|BM |. 而|BC |＝6，|CM |＝|AM |， ∴|BM |＋|AM |＝6.根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点的椭圆，且2a＝6. ∴a＝3，c＝2，b＝a2－c2＝5，∴所求圆心的轨迹方程为x29＋y25＝1.。

课题：椭圆及其标准方程教材：普通高中课程标准试验教科书——《数学》选修2-1 一、教材分析：《椭圆及其标准方程》是高中数学新教材选修2—1第二章第二节的第一课时。

从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都是起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。

因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。

二、教学目标分析：（一）知识与技能目标: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导.（二）过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.（三）情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.三、教学重点、难点：（一）．重点：椭圆定义及其标准方程（二）．难点：椭圆标准方程的推导四、教学方法与教学手段采用启发和探究式教学相结合的教学模式，即在教师的引导下，创设情境，学生利用课前准备的工具亲自动手画出椭圆，并讨论椭圆上的点满足的条件，以此来充分调动学生学习的主动性和积极性，发展学生数形结合，等价转换等思想，培养学生综合运用知识解决问题的能力。

教学手段：计算机课件辅助教学。

五、教学过程：（一）认识椭圆，探求规律:1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师准备的有关椭圆的图片，让学生从感性上认识椭圆.2．通过演示动画，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹.（二）动手实验，亲身体会用上面所总结的规律，指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备细绳），并以此了解椭圆上的点的特征.请两名同学上黑板画（三）归纳定义，完善定义我们通过动画演示，实践操作，对椭圆有了一定的认识，下面由同学们归纳椭圆的定义.椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F =2c ）的点的轨迹叫做椭圆。

3 讲堂成效落实1.若平面内点 M 到定点 F 1(0，－ 1)、 F 2(0,1)的距离之和为 2，则 点M 的轨迹为()A ．椭圆B ．直线 F 1F 2C ．线段 F 1F 2D ．直线 F 1F 2 的垂直均分线分析： |MF 1|＋|MF 2|＝ 2＝|F 1F 2|，因此点 M 的轨迹为线段 F 1F 2.答案： C2．以下说法中，正确的选项是 ()A ．平面内与两个定点 F 1、F 2 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B ．与两个定点 F 1、F 2 的距离和等于常数 (大于 |F 1F 2|)的点的轨迹是椭圆x 2y 2 C ．方程 a 2＋a 2－c 2＝1(a>c>0)表示焦点在 x 轴上的椭圆x 2 y 2D ．方程 a 2＋b 2＝1(a>0，b>0)表示焦点在 y 轴上的椭圆分析：依照方程的构造特色知选 C.A 中没重申常数 >|F 1F 2|；B 中没重申平面内．答案： C3．椭圆 25x 2＋16y 2＝1 的焦点坐标为 ()1A ．( ±3,0)B ．( ±，0) 3 3 ，0) 3C ． ±D ．(0，±( 20 20)x2 y 2 分析： 椭圆方程可化为 1 ＋ 1 ＝1.25 16答案： Dx 2 y 24．椭圆 9＋ 2 ＝1 的焦点为 F 1，F 2，点 P 在椭圆上，若 |PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠ F 1PF 2＝________.x 2 y 2分析： 由椭圆 9 ＋ 2 ＝1 知 a ＝3，c ＝ a 2－b 2＝ 7，∵ |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴ |PF 2|＝6－|PF 1|＝2.在△ F 1PF 2 中，由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2 cos ∠F 1PF 2＝2|PF 1||PF 2| 42＋22－7 2 1 ＝ 2×4×2 ＝－ 2.又 0°<∠F 1PF 2<180°，∴∠ F 1PF 2＝ 120°.答案： 2 120°x 2 y 25．当 3<k<9 时，指出方程 9－k ＋k －3＝1 所表示的曲线．解： ∵3<k<9，∴ 9－k>0 且 k － 3>0.(1)若 9－k>k －3，即 3<k<6 时，则方程表示焦点在 x 轴上的椭圆；(2)若 9－k ＝k －3，即 k ＝6 时，则方程表示圆x 2＋y 2＝3； (3)若 9－k<k －3，即 6<k<9 时，则方程表示焦点在 y 轴上的椭圆．。

04课后课时精练一、选择题1．命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)；命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵乙⇒甲且甲D ⇒/乙，∴甲是乙的必要不充分条件．答案：B2．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆＋y 2＝1上，顶点A 是椭x 23圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点F 在BC 上，则△ABC 的周长是( )A. 2B. 63C. 4D. 123解析：可知a ＝，由椭圆的定义得3|BF |＋|BA |＝|CF |＋|CA |＝2a ＝2，3∴(|BF |＋|CF |)＋|BA |＋|CA |＝|BA |＋|CA |＋|BC |＝4，即△ABC 的3周长为4，故选C.3答案：C3. 焦点在坐标轴上，且a 2＝13，c 2＝12的椭圆的标准方程为( )A. ＋＝1x 213y 212B. ＋＝1或＋＝1x 213y 225x 225y 213C. ＋y 2＝1x 213D. ＋y 2＝1或x 2＋＝1x 213y 213解析：显然，此题中并没有讲明椭圆的焦点在哪个轴上，题中也没有条件能够得出相应的信息，所以本题中的标准方程应有两种情况，所以排除A 和C ，又由于a 2＝13，c 2＝12，∴b 2＝1.答案：D4．[2014·铁岭高二检测]点A (a,1)在椭圆＋＝1的内部，则x 24y 22a 的取值范围是( )A ．－<a <B ．a <－或a >2222C ．－2<a <2D ．－1<a <1解析：由已知可得＋<1，∴a 2<2，即－<a <.a 241222答案：A5．设F 1、F 2是椭圆＋＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，x 216y 212且P 到F 1、F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形解析：由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.由题可得|PF 1|－|PF 2|＝2，则|PF 1|＝5，|PF 2|＝3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．答案：D6．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：将方程x 2＋ky 2＝2变形为＋＝1.∵焦点在y 轴上，∴>2x 22y 22k 2k 且k >0，∴0<k <1.答案：D 二、填空题7．椭圆＋＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．如果x 212y 23线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．解析：由已知椭圆的方程得a ＝2，b ＝，c ＝3，F 1(－3,0)，33F 2(3,0)．由于焦点F 1和F 2关于y 轴对称，∴PF 2必垂直于x 轴．∴P (3，)或P (3，－)，|PF 2|＝，323232|PF 1|＝2a －|PF 2|＝.732∴|PF 1|＝7|PF 2|.答案：78．已知F 1、F 2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F 1的直线交x 225y 29椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：|AB |＝|F 1A |＋|F 1B |＝(2a －|F 2A |)＋(2a －|F 2B |)＝4a －(|F 2A |＋|F 2B |)＝20－12＝8.答案：89．[2014·唐山高二检测]M 是椭圆＋＝1上的任意一点，x 29y 24F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，则|MF 1|·|MF 2|的最大值是________．解析：|MF 1|＋|MF 2|＝2a .|MF 1|·|MF 2|≤()2＝a 2＝9.|MF 1|＋|MF 2|2答案：9三、解答题10．已知圆A ：x 2＋(y ＋6)2＝400，圆A 内一定点B (0,6)，圆C 过B 点且与圆A 内切，求圆心C 的轨迹方程．解：设动圆C 的半径为r ，则|CB |＝r .∵圆C 与圆A 内切，∴|CA |＝20－r .∴|CA |＋|CB |＝20.又|AB |＝12，∴|CA |＋|CB |＝20>|AB |.∴点C 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．∵2a ＝20,2c ＝12，∴a ＝10，c ＝6，b 2＝64.又∵A 、B 在y 轴上，∴C 点的轨迹方程为＋＝1.y 2100x 26411．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．x 2a 2y 2b 2∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)∴Error!∴Error!故所求椭圆的标准方程为＋y 2＝1.x 24(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．y 2a 2x 2b 2∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36，∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.y 2100x 23612. [2014·青岛高二检测]设F 1，F 2分别为椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点．x 2a 2y 2b 2(1)若椭圆C 上的点A (1，)到F 1，F 2两点的距离之和等于4，32写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点K 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程．解：(1)椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A (1，)在椭圆上，因此32＋＝1，得b 2＝3，则c 2＝a 2－b 2＝1.所以椭圆C 的方程为＋122(32)2b 2x 24＝1，焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．y 23(2)设椭圆C 上的动点K (x 1，y 1)，线段F 1K 的中点Q (x ，y )，则x ＝，y ＝，即x 1＝2x ＋1，y 1＝2y .－1＋x 12y 12因为点K (x 1，y 1)在椭圆＋＝1上，所以x 24y 23＋＝1，即(x ＋)2＋＝1，此即为所求的轨迹方程．(2x ＋1)24(2y )23124y 23。

x2 1

y2 1
1
4k
曲线是焦点在 y轴上的椭圆，

1 k

1 4
且k
0
即 0k 4.
(3).
已知
F1 、F2
是椭圆
x2 100

y2 64
1的两个焦点，
P是椭圆上一点，且 F1PF2 60，求 PF1F2 的面积 .
解：由已知，a 10，b 8，
y
P
c a2 -b2 6
a2 - cx a ( x - c)2 y2 两边再平方得：
a4 - 2a2cx c2 x2 a2 x2 - 2a2cx a2c2 a2 y2
( ) ( ) a2 - c2 x2 a2 y2 a2 a2 - c2
x2
y2
a2 a2 - c2 1 ①
y
M(x, y)
Ay
F2AB 的周长 | AB | | AF2 | | BF2 |
| AF1 | | AF2 | | BF1 | | BF2 | 2a 2a 16 .
F1
O
F2
x
B
课堂练习：
(2) 方程 4x2 ky2 1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
求 k 的取值范围. 解： 方程 4x2 ky2 1 化为

64 3
3
.
巩固1 如图，在圆x2+y2=4上任意一点P,过点P作x轴的 垂线段 PD ，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段 PD 中点M的轨迹是什么？为什么？
解：设 M(x，y)，P(x0，y0)，则
x
x0 ，y
y0 2
.
∵ P(x0，y0) 在圆 x2 + y2 = 4 上，

数学·选修2－1(人教A版)2．2椭圆2．2.1椭圆及其标准方程(一)课时训练一、选择题1．椭圆x225＋y2169＝1的焦点坐标是( )A．(±5,0)B．(0，±5) C．(0，±12) D．(±12,0)答案：C2．设F1，F2是椭圆x225＋y29＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为( )A．16 B．18 C．20 D．不确定答案：B3．焦点在坐标轴上，且a2＝13，c2＝12的椭圆的标准方程为( )A.x213＋y212＝1圆锥曲线与方程B.x213＋y225＝1或x225＋y213＝1C.x213＋y2＝1D.x213＋y2＝1或x2＋y213＝1解析：因为a2＝13, c2＝12，所以b2＝a2－c2＝1，焦点可能在x 轴上，也可能在y轴上．故选D.答案：D4．“1＜m＜3”是“方程x2m－1＋y23－m＝1表示椭圆”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若方程x2m－1＋y23－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m－1＞0，3－m＞0，且m－1≠3－m，即1＜m＜3且m≠2.所以“1＜m＜3”是“方程x2m－1＋y23－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.答案：B5．已知椭圆的方程为x 28＋y 2m 2＝1，焦点在x 轴上，则其焦距为( )A ．28－m 2B ．222－|m |C ．2m 2－8D ．2|m |－2 2答案：A二、填空题6．a ＝6，c ＝1，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是________________．答案：y 236＋x 235＝17．椭圆x 2100＋y 236＝1上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________．答案：148．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在 x 轴上的椭圆，则α∈_________________.解析：依题意有sin α＞cos α＞0，因为 α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4＜α＜π2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2三、解答题9．已知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4 m ，外轮廓线上点到两个焦点距离的和为 3 m ，求这个椭圆的标准方程．解析：根据题意， c ＝1.2, a ＝1.5，所以b ＝a 2－c 2＝2.25－1.44＝0.9，所以椭圆的标准方程为x 22.25＋y 20.81＝1或 x 20.81＋y 22.25＝1 .10．已知方程k 2x 2＋(k 2－2k ＋2)y 2＝k .(1)k 为何值时，方程表示直线？(2) k 为何值时，方程表示圆？(3)k 为何值时，方程表示椭圆？解析：因为k 2－2k ＋2＝(k －1)2＋1≥1，(1)当 k 2＝0，即k ＝0时，方程表示直线，该直线为 y ＝0.(2)若表示圆，则k2－2k＋2＝k2，且k＞0，解得k＝1.(3)若表示椭圆，则k2＞0，k＞0且k2－2k＋2≠k2，解得k＞0，且k≠1.综上知(1)k＝0时，方程表示直线；(2)k＝1时，方程表示圆；(3) k＞0，且k≠1时，方程表示椭圆．。

2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课时过关·能力提升基础巩固1设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m则点的轨迹是A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段解析:因为m>2,所以m所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.答案:A2椭圆上的一个点到一个焦点的距离为则点到另一个焦点的距离为A.5B.6C.7D.8解析:∵a2=25,∴a=5,2a=10.设P到另一个焦点的距离为d,由椭圆的定义知,d+2=2a=10,故d=8.答案:D3如果方程表示焦点在轴上的椭圆那么实数的取值范围是A.a>3B.a<-2C.a>3或a<-2D.a>3或-6<a<-2答案:D4已知椭圆上的点到该椭圆一个焦点的距离为是的中点为坐标原点那么线段的长是A.2 B.4 C.8 D解析:设另一焦点为G,连接MG,则|MG|=2a-|MF|=2×5-2=8.又ON为△FMG的中位线,故|ON|=4.答案:B5以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2的椭圆的标准方程为AC解析:由9x2+5y2=45,得其焦点F1(0,2),F2(0,-2),设所求椭圆方程为因为点M(2在椭圆上,所以又a2-b2=4,解得a2=12,b2=8,故所求椭圆方程为答案:B6椭圆的焦点为点在椭圆上若则∠F1PF2的大小为.解析:由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2.在△PF1F2中,cos∠F1PF2-故∠F1PF2=120°.答案:2120°7已知F1,F2是椭圆C的两个焦点为椭圆上一点且若△PF1F2的面积为9,则b=.解析:依题意,有解得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故b=3.答案:38已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点-求它的标准方程解:∵椭圆的焦点在x轴上,∴可设标准方程为∵2a---=∴a∵c=2,∴c2=4,∴b2=a2-c2=6.故椭圆方程为9已知两圆C1:(x+4)2+y2=9,C2:(x-4)2+y2=169,动圆P与C1外切,与C2内切,求圆心P的轨迹.解:两圆半径分别是3和13,设动圆半径为r,由题意得-消去r,得|PC1|+|PC2|=16,即点P到两定点C1,C2的距离之和为定值16.又16>|C1C2|=8,所以点P的轨迹是椭圆.设其方程为依题意有2a=16,2c=8,所以a=8,c=4,所以b2=a2-c2=48,故圆心P的轨迹方程为能力提升1已知两椭圆ax2+y2=8与9x2+25y2=100的焦距相等,则a的值为()A.9或或C.9或或解析:∵椭圆9x2+25y2=100的标准方程为∴焦点在x轴上,且c2又∵椭圆ax2+y2=8的标准方程为或8解得a或a=9.答案:A2已知椭圆的焦点为点在该椭圆上且则点到轴的距离为A答案:C3若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点点为椭圆上的任意一点则的最大值为A.2B.3C.6D.8解析:由题意,得F(-1,0),设点P(x0,y0),则当x0=2时取得最大值为6.答案:C4已知F1,F2是椭圆的两个焦点是椭圆上一点且则△PF1F2的面积等于 ()A.24B.26C.2解析:因为a2=49,a=7,所以|PF1|+|PF2|=2a=14.又因为|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6.又因为|F1F2|=2c=-所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2.故△PF1F2的面积S·|PF2|答案:A5已知F1,F2为椭圆的两个焦点过的直线交椭圆于两点若则解析:由椭圆的定义,知|F2A|+|F1A|+|F2B|+|F1B|=4a=20,则|F1A|+|F1B|=|AB|=20-12=8.答案:86已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的标准方程是.解析:由题意,得2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,所以4c=2a.因为c=1,所以a=2,b2=a2-c2=3.故椭圆的标准方程为答案:7F1,F2分别是椭圆的左、右焦点分别为其短轴的两个端点且四边形的周长为设过的直线与椭圆相交于两点则·|BF2|的最大值为.答案:8求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)过点和的椭圆(2)过点(-3,2),且与有相同焦点的椭圆解:(1)设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).∵椭圆过点和解得∴所求椭圆的标准方程为x2(2)∵已知椭圆中a=3,b=2,且焦点在x轴上,∴c2=9-4=5.∴设所求椭圆方程为-∵点(-3,2)在所求椭圆上,-∴a'2=15.∴所求椭圆方程为9★已知点M在椭圆上垂直于椭圆焦点所在的直线垂足为并且为线段的中点求点的轨迹方程解:设P(x,y),点M坐标为(x0,y0).∵点M在椭圆上,∵M是线段PP'的中点,把代入得即x2+y2=36.故点P的轨迹方程为x2+y2=36.。

椭圆的方程及其性质知识集结知识元椭圆的定义知识讲解1．椭圆的定义【知识点的认识】1．椭圆的第一定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．2．椭圆的第二定义平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e 叫椭圆的离心率．3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．【命题方向】利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．1．根据定义判断动点轨迹例：如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|＝|PF|，进而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解答：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A点评：本题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用．2．与定义有关的计算例：已知椭圆上的一点P到左焦点的距离为，则点P到右准线的距离为（）A．2B．2C．5D．3分析：先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离，再用第二定义求出点P到右准线的距离d．解答：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣＝，离心率e＝，再由椭圆的第二定义得＝e＝，∴点P到右准线的距离d＝5，故选C．点评：本题考查椭圆的第一定义和第二定义，以及椭圆的简单性质．例题精讲椭圆的定义例1.'点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：x=的距离的比是常数，求M的轨迹．'例2.'已知P为⊙B：（x+2）2+y2=36上一动点，点A（2，0），线段AP垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．'例3.'已知△ABC 的周长等于18，B 、C 两点坐标分别为（0，4），（0，-4），求A 点的轨迹方程．'椭圆的标准方程知识讲解1．椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式：（1）（a ＞b ＞0），焦点在x 轴上，焦点坐标为F （±c ，0），焦距|F 1F 2|＝2c ；（2）（a ＞b ＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，±c ），焦距|F 1F 2|＝2c ．两种形式相同点：形状、大小相同；都有a ＞b ＞0；a 2＝b 2+c 2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a ＞b ＞0）中心在原点，焦点在x 轴上（a ＞b ＞0）中心在原点，焦点在y 轴上图形顶点A（a ，0），A ′（﹣a ，0）B （0，b ），B ′（0，﹣b ）A （b ，0），A ′（﹣b ，0）B （0，a ），B ′（0，﹣a ）对称轴x 轴、y 轴，长轴长2a ，短轴长2b焦点在长轴长上x 轴、y 轴，长轴长2a ，短轴长2b焦点在长轴长上焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）F 1（0，﹣c ），F 2（0，c ）焦距|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2﹣b 2|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2﹣b 2离心率e ＝（0＜e ＜1）e ＝（0＜e ＜1）准线x ＝±y ＝±例题精讲椭圆的标准方程例1.'已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为12，离心率为，求椭圆的标准方程．'例2.'写出适合下列条件的曲线方程：（1）求椭圆的标准方程．（2）已知双曲线两个焦点分别为F 1（-5，0），F 2（5，0），双曲线上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．'例3.'若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．'椭圆的性质知识讲解1．椭圆的性质【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．例题精讲椭圆的性质例1.'求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程：（1）椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A（3，2）；（2）双曲线的焦点在x轴上，右焦点为F，过F作重直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且|AB|=3，离心率为．'例2.'已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，-3）．（1）求椭圆C的方程；（2）若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点，OP⊥OQ，已知直线OP的斜率为，求点Q的坐标．'例3.'如图，椭圆E：+=1（a>b>0）经过点A（0，1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．'当堂练习解答题练习1.'已知椭圆的中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k>0）与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）求四边形AEBF面积的最大值．'练习2.'椭圆C：=1（a>b>0）的左焦点为F1（-1，0），点P（1，）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上另一点M满足△ABM的重心为坐标原点O，求△ABM的面积．'练习3.'已知P是右焦点为F的椭圆Γ：上一动点，若|PF|的最小值为1，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）当PF⊥x轴且点P在x轴上方时，设直线l与椭圆Γ交于不同的两点M，N，若PF平分∠MPN，则直线l的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．'练习4.'己知椭圆的一个顶点坐标为（2，0），离心率为，直线y=x+m 交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设点C（1，1），当△ABC的面积为1时，求实数m的值．'练习5.'已知椭圆Γ：，B1，B2分别是椭圆短轴的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1，B2的点，若△B1F1B2的边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程；（3）设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．'练习6.'已知曲线Γ：=1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1∙k2是定值；（2）设点C满足=λ（λ>0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．'练习7.'已知椭圆C：的左、右焦点分别是E、F，离心率，过点F的直线交椭圆C于A、B两点，△ABE的周长为16．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为原点，圆D：（x-3）2+y2=r2（r>0）与椭圆C交于M、N两点，点P为椭圆C 上一动点，若直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点，求证：|OG|∙|OH|为定值．'练习8.'已知椭圆E：=1（a>b>0）的离心率为，且过点A（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）问：是否存在过点M（0，2）的直线l，使以直线l被椭圆E所截得的弦CD为直径的圆过点N（-1，0），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．'练习9.'已知椭圆C：=1（a>b>0）的短轴长为2，离心率为，直线l：y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N，A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当△AMN的面积为时，求1的方程．'练习10.'求与双曲线-=1有相同的焦点，且过点M（2，1）的椭圆的方程．'练习11.'求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．'练习12.'已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4（-1），求椭圆方程．'。

§2.2.1(2)椭圆及其标准方程1、椭圆2214x y m +=的焦距是2，则m 的值是（ ） A 、5 B 、5或8 C 、3或5 D 、202、如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A 、(0,)+∞B 、(0,2)C 、(1,)+∞D 、(0,1)3、把圆229x y +=上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的14，则所得到的曲线的方程是（ ） A 、221916x y += B 、2219144x y += C 、2216199x y += D 、22199x y += 4、椭圆220(0)mx ny mn m n ++=<<的焦点坐标是（ ）A 、(0,B 、(C 、(0,D 、( 5、椭圆221259x y +=与221(09)925x y k k k+=<<--的关系是（ ） A 、有相等的焦距，相同的焦点 B 、有相等的焦距，不同的焦点C 、有不等的焦距，不同的焦点D 、以上都不对6、已知一个圆的圆心在原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PQ ，则线段PQ 的中点M 的轨迹是（ ）A 、圆B 、圆或椭圆C 、椭圆D 、其他曲线7、命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和||||2(0,)PA PB a a a +=>是常数，命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的 条件.8、已知1F 、2F 是椭圆221169x y +=的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于点A 、B ，若||5AB =，则11||||AF BF += .9、以椭圆229545x y +=的焦点为焦点且经过点M 的椭圆的标准方程为 .10、若(0,)2πα∈，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围是 .11、设00(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一动点，1F 、2F 是椭圆的两焦点，则当 0x = ；12||||PF PF ⋅最大且为 .12、求经过两点11(,)33A 、1(0,)2B -的椭圆的标准方程。

人教版高中数学精品资料课时作业10 椭圆及其标准方程时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是()A．(±5，0)B．(0，±5)C．(±56，0) D．(±536，0)解析：椭圆4x2＋9y2＝1的标准形式为x214＋y219＝1，∴a2＝14，b2＝19.故c2＝14－19＝536.答案：C2．已知椭圆x2a2＋y22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是()A.x24＋y22＝1 B.x23＋y22＝1C．x2＋y22＝1 D.x26＋y22＝1解析：由题知a2－2＝4，∴a2＝6.∴所求椭圆的方程为x26＋y22＝1.答案：D3．在椭圆x23＋y2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的距离为()A．4 B．4 3C．3 D．5.5解析：把粒子运动轨迹表示出来，可知整个距离为4a，即4 3.答案：B4．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4 B．5C．7 D．8解析：由题意知，焦距为4，则有m－2－(10－m)＝(42)2.解得：m＝8.答案：D5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m<n<0)的焦点坐标是() A．(0，±m－n) B．(±m－n，0)C．(0，±n－m) D．(±n－m，0)解析：化为标准方程是x2－n＋y2－m＝1，∵m<n<0，∴0<－n<－m.∴焦点在y轴上，且c＝－m－－n＝n－m. 答案：C6．设P是椭圆x216＋y212＝1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝216－12＝4，∴△PF1F2为直角三角形．答案：B二、填空题(每小题8分，共24分)7．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是________．解析：将原方程整理，得x22＋y22k＝1.根据题意得2k>2，k>0，解得0<k<1.答案：0<k<18．已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.解析：由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝20.又∵|F2A|＋|F2B|＝12，∴|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝8.答案：89．(2011·江西高考)若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点(1，12)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线．∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c＝1.设P(1，12)，则k OP＝12，∵OP⊥AB，∴k AB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0,2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为x25＋y24＝1.答案：x25＋y24＝1三、解答题(共40分)10．(10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过A(3，－2)和B(－23，1)两点的椭圆的标准方程．解：(1)∵焦点在y轴上，∴设其标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5.∴b2＝a2－c2＝144.∴所求椭圆方程为y2169＋x2144＝1.(2)方法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，依题意，有32a2＋－22b2＝1，－232a2＋12b2＝1，解得a2＝15，b2＝5.∴所求椭圆的方程为x215＋y25＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．依题意，有－22a2＋32b2＝1，12a2＋－232b2＝1，，解得a2＝5，b2＝15.∵a<b，不合题意，舍去．∴所求椭圆的方程为x215＋y25＝1.方法二：设所求椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，依题意，得3A＋4B＝1，12A＋B＝1，解得A＝115，B＝15.∴所求椭圆方程为115x2＋15y2＝1.∴其标准方程为x215＋y25＝1.图111．(15分)如图1，已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P过B点且与圆A内切，设动圆P的半径为r，求圆心P的轨迹方程．解：由题可知|PB|＝r，∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，即点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.12．(15分)设P(x，y)是椭圆x225＋y216＝1上的点且P的纵坐标y≠0，点A(－5,0)、B(5,0)，试判断k PA·k PB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解：∵点P在椭圆x225＋y216＝1上，∴y2＝16×(1－x225)＝16×25－x225.①∵点P的纵坐标y≠0，∴x≠±5.∴k PA＝yx＋5，k PB＝yx－5.∴k PA·k PB＝yx＋5·yx－5＝y2x2－25.②把①代入②，得k PA·k PB＝16×25－x225x2－25＝－1625.∴k PA·k PB为定值，这个定值是－16 25.。