数列与不等式的综合-高中数学知识点讲解

数列与不等式的综合1．数列与不等式的综合

【知识点的知识】

证明与数列求和有关的不等式基本方法：

（1）直接将数列求和后放缩；

（2）先将通项放缩后求和；

（3）先将通项放缩后求和再放缩；

（4）尝试用数学归纳法证明．

常用的放缩方法有：

2푛1 1

2푛―12푛2푛+1

2푛＜，

2푛+12푛

2푛―1＞，

2푛+1＜2푛，

11

푛3＜

푛(푛2―1)=11

2[푛(푛―

1)―

1

푛(푛+1)]

1푛―

1

푛+1=

111

푛(푛―1)

=

푛(푛+1)＜푛2＜

1

푛―

1―

1

（n≥2），

푛

11

푛2＜

푛2―1=11

（푛―

1―

2

1

）（n≥2），

푛+1

1푛2=

441

4푛2＜4푛2―1=

2(2푛―1―

4푛2―1=2(2푛―

1―

1

2푛+1)，

2（푛+1―푛）=

2

푛+1―

푛＜

1

푛=

2

2푛＜

2

푛+푛―1= 2（푛―푛―

1）．

1

푛+1+

1

푛+2+⋯+

1

2푛≥

1

2푛+

1

2푛+⋯+

1

2푛=

푛

2푛=

1

2

푛+(푛+1)

푛(푛+1)＜

．

2

【解题方法点拨】

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求

解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

1/ 4

（1）添加或舍去一些项，如： 푎2 + 1＞|a |； 푛(푛 + 1)＞n ；

（2）将分子或分母放大（或缩小）；

푛 + (푛 + 1)

（3）利用基本不等式； 푛(푛 + 1)＜

；

2

（4）二项式放缩；

（5）利用常用结论；

（6）利用函数单调性．

（7）常见模型：

①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．

【典型例题分析】

题型一：等比模型

푎1 ― 1 典例 1：对于任意的 n ∈N *，数列{a n }满足 21 + 1 +

푎2 ― 2 22 + 1 +⋯ + 푎푛 ― 푛 2푛 + 1 = n +1． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

2 （Ⅱ）求证：对于 n ≥2， 푎2 +

2 푎

3 +⋯ + 2 푎푛+1＜1 ― 1 2푛． 푎1 ― 1 解答：（Ⅰ）由 21 + 1 +

푎2 ― 2 22 + 1 +⋯ + 푎푛 ― 푛 2푛 + 1 = 푛 + 1①， 푎1 ― 1 当 n ≥2 时，得 21 + 1 +

푎2 ― 2 22 + 1 +⋯ + 푎푛―1 ― (푛 ― 1) 2푛―1 + 1 = 푛②， 푎푛

― 푛 ①﹣②得2푛 + 1 = 1(푛 ≥ 2)．

∴푎푛

= 2푛 +1 + 푛(푛 ≥ 2)． 푎1 ― 1

又 1＝7 不适合上式．

21 + 1 = 2，得 a

综上得푎푛

= {

7 ，푛 = 1

2푛 + 1 + 푛，푛 ≥ 2；

2 （Ⅱ）证明：当 n ≥2 时，푎푛 =

2 2 2푛 + 1 + 푛＜ 2푛 = 1 2푛―1．

2/ 4

2 ∴ 푎2 + 2 푎

3 +⋯ + 2 1 2 + 푎푛+1＜ 1 22 +⋯ + 1 2푛 = 1 1 2 (1 ― 2푛 1 ― 1 2

) = 1 ― 1 2푛． 2 ∴当 n ≥2 时，푎2 + 2 푎3 +⋯ + 2 푎푛

+1＜1 ―

1 2푛． 题型二：裂项相消模型

典例 2：数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前 n 项和，对于任意 n ∈N *，总有 a n ，S n ，a n 2 成等差数列．

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设푏푛 = 1 푛

푎2푛，数列{b n }的前 n 项和为 T n ，求证：푇푛

＞ 푛 + 1．

分析：（1）根据 a n ＝S n ﹣S n ﹣1，整理得 a n ﹣a n ﹣1＝1（n ≥2）进而可判断出数列{a n }是公差为 1 的等差数列，根 据等差数列的通项公式求得答案．

（2）由（1）知푏푛 = 1 1 1 푛2，因为 푛(푛 + 1) = 푛2＞ 1 푛 ―

1 1 ，所以푏푛

＞ 푛 ―

푛 + 1

1

，从而得证． 푛 + 1 解答：（1）由已知：对于 n ∈N *，总有 2S n ＝a n +a n 2①成立

∴2푆푛―1 = 푎푛―1 + 푎푛―12（n ≥2）②

①﹣②得 2a n ＝a n +a n 2﹣a n ﹣1﹣a n ﹣12，∴a n +a n ﹣1＝（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1）

∵a n ，a n ﹣1 均为正数，∴a n ﹣a n ﹣1＝1（n ≥2）∴数列{a n }是公差为 1 的等差数列

又 n ＝1 时，2S 1＝a 1+a 12，解得 a 1＝1，∴a n ＝n ．（n ∈N *）

（2）解：由（1）可知푏푛 = 1 1 1 푛2∵ 푛(푛 + 1) = 푛

2＞푛2∵ 푛(푛 + 1) =

1 푛 ― 1 푛 + 1 ∴푇푛＞(1 ― 1 1 2) + (

2 ― 1 1 3) + +(푛 ―

1 푛 + 1) = 푛 푛 + 1 【解题方法点拨】

（1）放缩的方向要一致．

（2）放与缩要适度．

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．